专题07 期中必刷解答题（六大题型）（沪教版2020必修第二册，上海专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期中真题分类汇编

专题07 期中必刷解答题 题型概览 题型01 三角函数值、诱导公式、三角恒等变换 题型02 单位圆 题型03 解三角形Ⅰ 题型04 解三角形Ⅱ-最值、取值范围问题 题型05 第6-7章 实际应用题 题型06 三角函数综合 ( 题型01 ) 三角函数值、诱导公式、三角恒等变换 1．（23-24高一下·上海·期中）已知为钝角，且 (1)求的值 (2)求的值 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由同角关系求，再由结合诱导公式求值； （2）根据同角关系求，根据求出，再由二倍角正切公式求. 【解析】（1） （2）由题意可知 ， ， . 2．（23-24高一下·上海·期中）（1）化简 （2）已知，求的值 【答案】（1）0；（2）. 【分析】（1）根据两角差的正弦公式和两角和的余弦公式即可求解. （2）分式分子分母同时除以即弦化切即可计算求解. 【解析】（1） . （2）因为， 所以. 3．（21-22高一下·上海杨浦·期中）已知：.求： (1)的值； (2)的值 【答案】(1)2 (2)1 【分析】（1）利用两角差的正切公式计算即可； （2）将目标式变形，然后利用将目标式转化为用表示，再代入的值计算即可. 【解析】（1）由已知， 解得； （2）， 带入得 4．（23-24高一下·上海·期中）（1）已知角终边上一点，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）由题意可得，结合任意角三角函数值的定义运算求解； （2）根据两角和差公式解得，结合齐次式问题分析求解. 【解析】（1）因为角终边上一点，则， 所以，，； （2）因为，解得， 所以原式. 5．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知角和满足. (1)若，求的值: (2)若，求的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式求出，求出的值； （2）利用诱导公式得到，平方后结合二倍角的正弦公式求出答案. 【解析】（1）因为，， 所以，可得， 即，解得或. （2）因为，故， 可得，即， 故， 故. 6．（22-23高一上·浙江杭州·期末）已知，，，. (1)求的值； (2)求的值，并确定的大小. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由解得，由求出，利用两角差的余弦公式求解的值； （2）由，求出，再求，利用两角差的正切公式计算的值，并得到的大小. 【解析】（1），由，，， 又，，， . （2）由（1）可知，，， ， ，. 7．（22-23高一下·上海嘉定·期中）解答下列问题： (1)化简 (2)在中，若，求的值． 【答案】(1)； (2) ． 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）将，两边平方得，从而可得，再由，求解即可. 【解析】（1）解：原式=； （2）解：将，两边平方得， ， ， . 8．（22-23高一下·上海嘉定·期中）（1）已知，，且及都是锐角.求的值； （2）在中，已知与是方程的两个根.求. 【答案】（1）；（2）1 【分析】（1）根据平方公式分别求解，再利用和差角公式求解即可得的值； （2）根据方程的根又韦达定理可得，利用三角形内角和与两角和差的正切公式即可求的值. 【解析】（1）已知，，且及都是锐角， 所以，， 所以 又，所以，故； （2）因为与是方程的两个根 所以 在中，， 所以. 9．（20-21高一下·上海浦东新·期中）（1）求函数的值域； （2）化简：． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据各象限三角函数的符号计算可得； （2）利用诱导公式及同角三角函数的基本关系化简即可； 【解析】解：（1）因为，显然； 当在第一象限时，、、，，所以； 当在第二象限时，、、，，所以； 当在第三象限时，、、，，所以； 当在第四象限时，、、，，所以； 综上可得； （2） ( 题型02 ) 单位圆 10．（23-24高一下·上海·期中）已知：，. (1)求的值； (2)若角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，且终边与单位圆（圆心在原点，半径为1的圆）交于第一象限的点，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二倍角的余弦公式求解即可； （2）根据正余弦值的定义可得，再根据可得，再结合两角差的余弦公式求解即可. 【解析】（1） （2）因为，，故 由题意，，故 11．（23-24高一下·上海·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，以正半轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点，已知的横坐标分别为. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用三角函数的定义的，再利用三角函数的基本关系式，求得，结合两角差的余弦公式，即可求解； （2）由（1）求得，结合两角和的正切公式，即可求解. 【解析】（1）解：因为点的横坐标分别为， 由三角函数的定义，可得， 因为角为锐角，可得， 则. （2）解：由（1）知，且， 可得，所以. 12．（2024高一下·上海·专题练习）在平面直角坐标系中，已知锐角的终边与单位圆交点的纵坐标为，锐角的终边与单位圆交点的横坐标为． (1)求和的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据任意角三角函数的定义和同角三角函数的关系可求得结果； （2）先求出，再根据的范围可求得答案. 【解析】（1）由三角函数的定义可知，，， 因为，为锐角， 所以， ； （2）因为，，， 所以， 因为，，所以， 所以． 13．（22-23高三上·上海嘉定·期中）（1）若为锐角，，求角； （2）如图，圆心在原点，半径为2的圆与正半轴交于点，，是圆上的两动点，它们同时从点出发沿圆周做匀速运动，点逆时针方向每秒转，点顺时针方向每秒转，当它们出发后第2次相遇时，求该点坐标． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）给值求角问题，结合同角三角函数的平方公式以及两角差的正弦公式求解即可得角； （2）根据题意确定一次相遇所需时间，则可知相遇两次后按逆时针旋转的点走过的弧度，再利用三角函数的定义确定相遇点的坐标即可. 【解析】解：（1）因为为锐角， 所以，则 所以 因为为锐角，所以. （2）由于点逆时针方向每秒转，点顺时针方向每秒转，∴，即， 第一次相遇时需要4秒， 它们出发后第2次相遇时需要8秒，则此时走过的弧度为 ∴此时该点的坐标为，其中半径， 又， 则当它们出发后第2次相遇时，该点坐标为. 14．（21-22高一下·上海虹口·期中）如图，在平面直角坐标系中．锐角的终边分别与单位圆交于两点，角的终边与单位圆交于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为、、． (1)如果，，求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据三角函数定义得到，，进而利用同角三角函数关系得和余弦差角公式求出答案； （2）表达出，，利用三角函数有界性进行适当放缩，证明出，再利用适当放缩证明出，从而证明出结论. 【解析】（1）由题意得：，， 由于、均为锐角， 所以，， 所以． （2）， ， 所以， ， 所以， 同理， 所以线段． ( 题型03 ) 解三角形Ⅰ 15．（24-25高三上·上海·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，已知． (1)若，，求； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）可根据余弦定理，将已知条件代入求解边； （2）先由正弦定理得出角的正弦值，再求出角，进而求出角，最后求出边和，从而得到三角形的周长. 【解析】（1）根据余弦定理，已知，，. 将，，代入余弦定理公式可得： 化简得 解得（因为边长不能为负，舍去）. （2）已知，由正弦定理可得. 因为，可得. 因为，，时有两解（为锐角或钝角）. 当为锐角时，. ，，. 则. 再由正弦定理，可得. ，可得. 此时三角形周长为. 当为钝角时，. . 由正弦定理，可得. ，可得. 此时三角形周长为. 则的周长为或. 16．（24-25高三上·上海·期中）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B； (2)若△ABC的面积为，求a． 【答案】(1)； (2)6． 【分析】（1）由已知结合余弦定理即可求解； （2）由（1）得，由三角形面积求得，再由余弦定理即可求得a． 【解析】（1）因为， 所以由余弦定理得，故， 所以，又， 所以； （2）由（1）知，又，所以， 所以，所以，， 因为，所以，所以， 所以由余弦定理得,所以. 17．（24-25高一下·上海·期中）在中，设内角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知，． (1)求角A的值； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理结合已知得即可求解； （2）由三角形面积公式得，进一步由余弦定理得即可求解. 【解析】（1）根据余弦定理得， 则，而，从而； （2）， 则， 由余弦定理得 ， ∴，∴． 18．（23-24高一下·上海徐汇·期中）在中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，满足． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)4. 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和差角的正余弦公式计算即得. （2）由（1）的信息，利用和差角的余弦公式、二倍角的余弦公式化简即得. 【解析】（1）在中，由及正弦定理，得， 即 则，而， 因此，， 则，所以. （2）由（1）知，， . ( 题型0 4 )解三角形Ⅱ-最值、取值范围问题 19．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，. (1)求的值； (2)若，求bc的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数的基本关系化简后，得到一个关于的关系式，把的值代入即可求出值； （2）根据余弦定理表示出，然后把等式变为，利用基本不等式和的值即可求出的最大值． 【解析】（1）因为， 所以. （2）根据余弦定理可知：， ， 又，即， ，当且仅当时，， 故的最大值是． 20．（22-23高一下·上海宝山·期中）如图，四边形中，． (1)求线段的长； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）在中，由余弦定理计算即可求解； （2）设，在中，由余弦定理和基本不等式计算可得，结合三角形的面积公式计算即可求解. 【解析】（1）在中，由余弦定理得， 即，由解得， 所以； （2）设，在中，由余弦定理， 得， 当且仅当时等号成立，此时， 所以. 又，， 所以， 所以， 故四边形ABCD的面积的最大值为. 21．（20-21高三上·上海浦东新·期中）在中，已知. （1）若外接圆的直径长为，求的值； （2）若为锐角三角形，其面积为6，求的取值范围． 【答案】（1）6；（2）． 【分析】（1）先求出，再利用正弦定理可得的值； （2）由三角形面积得，利用正弦定理可把的表达式利用辅助角公式可二倍角公式结合正弦函数的性质可求的取值范围． 【解析】（1）由已知，又，∴， 故，， 由正弦定理得，∴． （2）由（1）可得，，则，∴． 由正弦定理得， ， 其中为锐角且，故. 由锐角三角形可得，，故， 故，所以， 故，所以， ∴的范围是． 22．（22-23高一下·上海闵行·期中）在中，角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用正余弦定理即可求解； （2）利用正弦定理将周长转化为关于角的三角函数，利用三角函数的值域即可求解； 【解析】（1）由正弦定理，， 由 可得， 由余弦定理， 则，则， 因为，所以； （2）由为锐角三角形，，可得， 由正弦定理，则， 则， 则的周长为， 由，则，因为，整理得： ，解得或（舍去）， 所以，则周长范围是. 23．（21-22高一下·上海崇明·期中）在中，角为锐角，且，其中． (1)证明：； (2)求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由及正弦定理得证； （2） 在中将代入后剩下关于的不等式，将其变形为关于的不等式，即得到的取值范围． 【解析】（1）由正弦定理 和， 得，所以； （2）因为角为锐角，所以， 所以，所以， 则，即，所以， 所以或， 所以实数的取值范围． ( 题型0 5 ) 第6-7章 实际应用题 24．（22-23高一下·上海宝山·期中）如图，我边防巡逻艇在处测得，北偏东相距10海里的处，有一艘可疑船只正以每小时12海里的航速沿东南方向驶去．上级指示我艇：匀速航行半小时，在处准时追上目标．    (1)求我边防巡逻艇的航速； (2)求我边防巡逻艇的航向角（即的大小，精确到）． 【答案】(1)28海里/小时； (2)北偏东 【分析】由题设条件可得，，，根据余弦定理即可求出和． 【解析】（1）由题意，，， 又可疑船速为12海里/小时，经过半小时两船相遇于点， 在中，由余弦定理得， ， ，又， 故我边防巡逻艇的航速为28海里/小时． （2）在中，， 由余弦定理得， ，则， 即我边防巡逻艇的航向角约为北偏东． 25．（23-24高三上·上海杨浦·期中）如下图所示，某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点、、.景区管委会又开发了风景优美的景点.经测量景点位于景点的北偏东方向处，位于景点的正北方向，还位于景点的北偏西方向上.已知.    (1)景区管委会准备由景点向景点修建一条笔直的公路.求线段的长度（长度单位精确到0.1km）； (2)求线段的长度（长度单位精确到0.1km）（）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理计算可得； （2）先求出，的正弦、余弦值，再利用和角的正弦公式求出，最后利用正弦定理计算可得. 【解析】（1） 依题意可得，，， 在中由余弦定理， 即，即， 解得（舍去）或， 所以线段的长度约为. （2）在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴ ， ， ∴ ． 又， 在中由正弦定理， 即，解得， 所以线段的长度约为. 26．（23-24高一下·上海·期中）如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行100海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上． (1)求处与小岛之间的距离； (2)求，两座小岛之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合图形求出相关角，利用正弦定理即可求得； （2）根据题设条件计算得到，在中利用余弦定理求得，接着在中利用余弦定理，即可求得结果. 【解析】（1）由题可知在中：，， 所以， 由正弦定理可得：， 所以（海里）． （2）由题可知在中：，，所以． 所以（海里）， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）， 由题意可知，在中，， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）. 27．（23-24高一下·上海·期中）如图，三地在以为圆心的圆形区域边界上，公里，公里，，是圆形区域外一景点，，． (1)半径的长（精确到小数点后两位）； (2)若一汽车从处出发，以每小时50公里的速度沿公路行驶到处，需要多少小时？（精确到小数点后两位） 【答案】(1)15.28公里 (2)1.25小时 【分析】（1）在中，利用余弦定理解得，利用正弦定理求外接圆半径； （2）根据题意利用正弦定理可得，在，利用余弦定理求得. 【解析】（1）在中，由余弦定理可得 ， 即， 所以（公里）. （2）在中，可得， 在中，由正弦定理可知， 即  可得， 所以， 在中，由余弦定理可得， ， 即（公里），所以所需时间为小时. 28．（23-24高三上·上海杨浦·期中）今年7月28日第5号台风“杜苏芮”在福建登陆，最大风力达到12级.路边一棵参天大树在树干某点B处被台风折断且形成角，树尖C着地处与树根A相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设（A，B，C三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计）    (1)若，求：折断前树的高度（结果保留一位小数） (2)问一辆横截面近似为宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理由. （参考：见图，为救援车的宽，） 【答案】(1)11.2米. (2)救援车不能从此处通过，理由见解析 【分析】（1）在中，利用正弦定理即可得解； （2）设，利用三角函数的恒等变换得到关于的关系式，结合正弦函数的性质即可得解. 【解析】（1）解：在中，，， 所以， 由正弦定理，得. 又， 所以 米. 所以折断前树的高度11.2米； （2）设的内接矩形的边在上且，设， 因为，，所以， 所以， 所以， 则 ， 因为，所以 所以，所以 因为，所以救援车不能从此处通过. 29．（23-24高一下·上海·期中）某农场计划圈出一块平面四边形区域种植两种农作物.如图，经测量已知，.现在将连接，在区域内种植农作物甲，在区域内种植农作物乙. (1)计算发现：无论多长，始终为定值.请你验证该结论，并求出这个定值； (2)已知农作物甲的经济收益与种植面积的平方成正比，比例系数为1；农作物乙的经济收益与种植面积的平方成正比，比例系数为2.记与的面积分别为和.请你帮助该农场规划四边形区域的大小，使得该种植计划经济收益最大. 【答案】(1)验证见解析，为定值 (2)时，该种植计划经济收益最大 【分析】（1）利用余弦定理推出与的关系，即可求得为一个定值； （2）由题意可知该种植计划经济收益为，求出的表达式，利用二次函数的基本性质以及余弦函数值的取值范围，可得出的最大值，从而可规划农场四边形区域的大小． 【解析】（1）在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， ，则， 故为定值； （2）由题意可知该种植计划经济收益为，由（1）知， 则 ， 当时，取到最大值. 30．（22-23高一下·上海松江·期中）松江区计划在科创云声召开一次展览会，需要搭建一个三角形展台．如图所示，OA、OB为展台固定墙壁（墙壁OA、OB足够长），两面形成120°角，现有两个方案：    方案一：在墙壁OB上取两点P、Q，用长度为的移动围挡围成一个以PQ为斜边的直角（只有MP，MQ两边为移动围挡）； 方案二：在墙壁OA、OB上分别取点E、F用长度为的移动围挡EF依托墙壁围成；分别求出两个方案下展台面积的最大值；若现有材料下所围成展台的面积越大方案越好，请问选择哪个方案？ 【答案】的面积的最大值为，的面积的最大值为，选方案2 【分析】设，表示出的面积，利用基本不等式可求出其最大值，设，利用余弦定理结合基本不等式可求出的最大值，从而可求出的最大值，比较大小即可得结论. 【解析】方案1，设， 因为，所以， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的面积的最大值为， 方案2，设，则由题意可得， 在中， 即，则， 所以，当且仅当时取等号， 所以的面积的最大值为， 因为， 所以方案2好，选方案2. ( 题型0 6 ) 三角函数综合 31．（24-25高三上·上海·期中）已知函数的表达式为. (1)求函数的单调增区间； (2)求方程在上的解. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用二倍角公式及差角公式、辅助角公式化简函数式，再利用三角函数的性质计算即可； （2）利用（1）求出的解析式结合三角函数的性质直接解方程即可. 【解析】（1）由 ， 令，解之得， 即该函数的单调增区间为； （2）由（1）知：， 所以若，即， 因为，所以， 则满足题意的或，即或. 32．（21-22高三上·上海静安·期中）设函数，且是最大值. (1)求的最小值； (2)在（1）的条件下，如果在区间上的最小值为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，根据是最大值，求得的值. （2）由题意根据，根据的最小值为，求出a的值. 【解析】（1）解：∵函数 ，且是最大值， ∴，. 解得，，故的最小值为， 故. （2）解：如果在区间上的最小值为， 因为，所以， ∴当时，函数取得最小值为， 解得. 33．（20-21高一下·上海杨浦·期中）已知函数的部分图像如图所示. （1）求函数的解析式； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据函数零点与函数周期的关系，结合正弦型函数的最小正周期公式、特殊值法进行求解即可； （2）根据两角和的正弦公式、降幂公式，结合辅助角公式和正弦型函数的单调性进行求解即可. 【解析】（1）由图可得，∴，， ∴，则， 又，解得， ∵，∴，∴； （3） . ∵，∴，则当时，取得最小值为0， 当时，取得最大值为，的取值范围为. 34．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，其中. (1)求函数的最小正周期及函数在区间上的最大值； (2)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且，，，求面积的大小. 【答案】(1)最小正周期为，最大值为2； (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，利用求出最小正周期，整体法得到，从而得到时，取得最大值2； （2）在（1）基础上，由求出，由余弦定理得到，由三角形面积公式求出答案. 【解析】（1） ， 故的最小正周期为， 时，，故当，即时， 取的最大值，最大值为2； （2），故， 因为，所以，故，解得， 又，， 由余弦定理得，即，解得，负值舍去， 故. 35．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知函数，． (1)求函数的严格减区间； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角恒等变换化简得出，由可求出的取值范围，再由正弦型函数的单调性可求出函数的减区间； （2）求出的取值范围，由参变量分离法可得出，求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围. 【解析】（1）解：因为， 因为，则，由可得， 所以，函数的严格减区间为. （2）解：由（1）可知，，则， 所以，，即， 所以，， 由可得， 所以，，所以，， 因此，实数的取值范围是. 36．（20-21高一下·上海普陀·期中）已知函数． （1）判断函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由； （2）求函数y=f(x)在的零点. 【答案】（1）偶函数；理由见解析；（2）或，其中且. 【分析】（1）根据奇偶函数的定义，判断函数的奇偶性；（2）方程转化为，即可求解. 【解析】（1）偶函数 说明如下：定义域对称，，所以f(x)是偶函数 （2）时，，可得 所以或，其中且. 37．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，. (1)求函数的最小正周期和单调增区间； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1),； (2). 【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式易得周期，将看成整体角，利用正弦函数的增区间即得其单调增区间； （2）将不等式变形为，利用正弦型函数的图象求得在上的值域，列出不等式组解之即得. 【解析】（1）函数的最小正周期为, 由，解得，， 故函数的最小正周期为，单调增区间为. （2）由可得，即（*）， 因，设，当时，， 而在上递增，在上递减，故，则， 要使（*）式恒成立，需使，解得.故实数的取值范围是. 38．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，满足 (1)求的值 (2)若存在，使得等式成立，求实数的取值范围； (3)若对任意都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解三角方程即可，注意的范围； （2）求出解析式，利用正弦函数的性质求出的范围，再分离参数求解作答； （3）代入化简得，对任意恒成立，换元后利用基本不等式求出最值得解． 【解析】（1）由题意可得， 即，解得， 又； （2）由（1）知， 令，则， 存在，使得等式成立， 即存在，使，则存在，使成立， 令，则的值域是 所以实数的取值范围为； （3）即， 化简整理得，，对任意恒成立， 令，则恒成立， 即，对任意恒成立， 又， 当且仅当即时等号成立， ， 所以实数的取值范围为． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 期中必刷解答题 题型概览 题型01 三角函数值、诱导公式、三角恒等变换 题型02 单位圆 题型03 解三角形Ⅰ 题型04 解三角形Ⅱ-最值、取值范围问题 题型05 第6-7章 实际应用题 题型06 三角函数综合 ( 题型01 ) 三角函数值、诱导公式、三角恒等变换 1．（23-24高一下·上海·期中）已知为钝角，且 (1)求的值 (2)求的值 2．（23-24高一下·上海·期中）（1）化简 （2）已知，求的值 3．（21-22高一下·上海杨浦·期中）已知：.求： (1)的值； (2)的值 4．（23-24高一下·上海·期中）（1）已知角终边上一点，求的值； （2）已知，求的值． 5．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知角和满足. (1)若，求的值: (2)若，求的值. 6．（22-23高一上·浙江杭州·期末）已知，，，. (1)求的值； (2)求的值，并确定的大小. 7．（22-23高一下·上海嘉定·期中）解答下列问题： (1)化简 (2)在中，若，求的值． 8．（22-23高一下·上海嘉定·期中）（1）已知，，且及都是锐角.求的值； （2）在中，已知与是方程的两个根.求. 9．（20-21高一下·上海浦东新·期中）（1）求函数的值域； （2）化简：． ( 题型02 ) 单位圆 10．（23-24高一下·上海·期中）已知：，. (1)求的值； (2)若角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，且终边与单位圆（圆心在原点，半径为1的圆）交于第一象限的点，求的值. 11．（23-24高一下·上海·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，以正半轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆交于两点，已知的横坐标分别为. (1)求的值； (2)求的值. 12．（2024高一下·上海·专题练习）在平面直角坐标系中，已知锐角的终边与单位圆交点的纵坐标为，锐角的终边与单位圆交点的横坐标为． (1)求和的值； (2)求的值． 13．（22-23高三上·上海嘉定·期中）（1）若为锐角，，求角； （2）如图，圆心在原点，半径为2的圆与正半轴交于点，，是圆上的两动点，它们同时从点出发沿圆周做匀速运动，点逆时针方向每秒转，点顺时针方向每秒转，当它们出发后第2次相遇时，求该点坐标． 14．（21-22高一下·上海虹口·期中）如图，在平面直角坐标系中．锐角的终边分别与单位圆交于两点，角的终边与单位圆交于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为、、． (1)如果，，求的值； (2)求证：． ( 题型03 ) 解三角形Ⅰ 15．（24-25高三上·上海·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，已知． (1)若，，求； (2)若，，求的周长． 16．（24-25高三上·上海·期中）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角B； (2)若△ABC的面积为，求a． 17．（24-25高一下·上海·期中）在中，设内角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知，． (1)求角A的值； (2)若，求． 18．（23-24高一下·上海徐汇·期中）在中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，满足． (1)求的值； (2)求的值． ( 题型0 4 )解三角形Ⅱ-最值、取值范围问题 19．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，. (1)求的值； (2)若，求bc的最大值. 20．（22-23高一下·上海宝山·期中）如图，四边形中，． (1)求线段的长； (2)求四边形面积的最大值． 21．（20-21高三上·上海浦东新·期中）在中，已知. （1）若外接圆的直径长为，求的值； （2）若为锐角三角形，其面积为6，求的取值范围． 22．（22-23高一下·上海闵行·期中）在中，角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； 23．（21-22高一下·上海崇明·期中）在中，角为锐角，且，其中． (1)证明：； (2)求实数的取值范围． ( 题型0 5 ) 第6-7章 实际应用题 24．（22-23高一下·上海宝山·期中）如图，我边防巡逻艇在处测得，北偏东相距10海里的处，有一艘可疑船只正以每小时12海里的航速沿东南方向驶去．上级指示我艇：匀速航行半小时，在处准时追上目标．    (1)求我边防巡逻艇的航速； (2)求我边防巡逻艇的航向角（即的大小，精确到）． 25．（23-24高三上·上海杨浦·期中）如下图所示，某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点、、.景区管委会又开发了风景优美的景点.经测量景点位于景点的北偏东方向处，位于景点的正北方向，还位于景点的北偏西方向上.已知.    (1)景区管委会准备由景点向景点修建一条笔直的公路.求线段的长度（长度单位精确到0.1km）； (2)求线段的长度（长度单位精确到0.1km）（）. 26．（23-24高一下·上海·期中）如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行100海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上． (1)求处与小岛之间的距离； (2)求，两座小岛之间的距离． 27．（23-24高一下·上海·期中）如图，三地在以为圆心的圆形区域边界上，公里，公里，，是圆形区域外一景点，，． (1)半径的长（精确到小数点后两位）； (2)若一汽车从处出发，以每小时50公里的速度沿公路行驶到处，需要多少小时？（精确到小数点后两位） 28．（23-24高三上·上海杨浦·期中）今年7月28日第5号台风“杜苏芮”在福建登陆，最大风力达到12级.路边一棵参天大树在树干某点B处被台风折断且形成角，树尖C着地处与树根A相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设（A，B，C三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计）    (1)若，求：折断前树的高度（结果保留一位小数） (2)问一辆横截面近似为宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理由. （参考：见图，为救援车的宽，） 29．（23-24高一下·上海·期中）某农场计划圈出一块平面四边形区域种植两种农作物.如图，经测量已知，.现在将连接，在区域内种植农作物甲，在区域内种植农作物乙. (1)计算发现：无论多长，始终为定值.请你验证该结论，并求出这个定值； (2)已知农作物甲的经济收益与种植面积的平方成正比，比例系数为1；农作物乙的经济收益与种植面积的平方成正比，比例系数为2.记与的面积分别为和.请你帮助该农场规划四边形区域的大小，使得该种植计划经济收益最大. 30．（22-23高一下·上海松江·期中）松江区计划在科创云声召开一次展览会，需要搭建一个三角形展台．如图所示，OA、OB为展台固定墙壁（墙壁OA、OB足够长），两面形成120°角，现有两个方案：    方案一：在墙壁OB上取两点P、Q，用长度为的移动围挡围成一个以PQ为斜边的直角（只有MP，MQ两边为移动围挡）； 方案二：在墙壁OA、OB上分别取点E、F用长度为的移动围挡EF依托墙壁围成；分别求出两个方案下展台面积的最大值；若现有材料下所围成展台的面积越大方案越好，请问选择哪个方案？ ( 题型0 6 ) 三角函数综合 31．（24-25高三上·上海·期中）已知函数的表达式为. (1)求函数的单调增区间； (2)求方程在上的解. 32．（21-22高三上·上海静安·期中）设函数，且是最大值. (1)求的最小值； (2)在（1）的条件下，如果在区间上的最小值为，求的值. 33．（20-21高一下·上海杨浦·期中）已知函数的部分图像如图所示. （1）求函数的解析式； （2）若，求的取值范围. 34．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，其中. (1)求函数的最小正周期及函数在区间上的最大值； (2)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且，，，求面积的大小. 35．（23-24高三上·上海嘉定·期中）已知函数，． (1)求函数的严格减区间； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 36．（20-21高一下·上海普陀·期中）已知函数． （1）判断函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由； （2）求函数y=f(x)在的零点. 37．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，. (1)求函数的最小正周期和单调增区间； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 38．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，满足 (1)求的值 (2)若存在，使得等式成立，求实数的取值范围； (3)若对任意都有恒成立，求实数的取值范围． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$