期中模拟测试卷01(测试范围：第1-2章)（沪教版2020选择性必修，上海专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期中真题分类汇编

2024-2025学年高二数学下学期期中模拟测试卷01 测试范围：第1-2章 一、填空题 1．以为圆心，3为半径的圆的一般方程是 . 2．若倾斜角为的直线过点和，则实数 . 3．抛物线的焦点坐标是 ． 4．双曲线的渐近线方程是 . 5．已知直线1过点，且它的一个法向量，则该直线的一般式方程为 6．若直线与直线的夹角为，则 . 7．已知实数满足关系：，则的最小值 . 8．在平面直角坐标系中，直线l：（是参数，），圆C：（是参数，），则圆心到直线的距离是 ． 9．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则的面积为 ． 10．如图，已知是椭圆的左焦点，为椭圆的下顶点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，射线与圆交于点，则的取值范围为 .    11．为测量一工件的内圆弧对应的半径，工人用三个半径均为的圆柱形量棒放在与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺下沿水平面到中间量棒顶侧面的垂直深度（如图所示），则 . 12．已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别是，点坐标为，双曲线上的满足，则 . 二、单选题 13．已知直线：，：，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 14．已知直线与圆，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为（    ） A． B． C．1 D．3 15．已知椭圆：，过点且方向向量为的光线，经直线反射后过的右焦点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 16．已知集合，若实数、满足：对任意的，均有，则称是集合的“可行数对”，给出以下两个命题，则（    ） ①中存在“可行数对” ②中存在“可行数对”； A．①为真命题，②为真命题 B．①为假命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为真命题，②为假命题 三、解答题 17．设直线，直线. (1)若，求，之间的距离； (2)求直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最大时的直线的方程. 18．已知圆． (1)求圆的标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径： (2)若直线与圆交于A，B两点，且，求的值． 19．树林的边界是直线（如图所在直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于的垂线上的点点点处，米，若兔子沿方向以4米每秒的速度向树林逃跑，同时狼沿线段方向以2米每秒的速度进行追击，若狼到达处的时间不多于兔子到达处的时间，狼就会吃掉兔子． (1)求兔子被狼吃掉的点的区域面积； (2)若兔子要想不被狼吃掉，求锐角的取值范围． 20．已知双曲线，，分别为其左、右焦点，为其左顶点．设过右焦点的直线与的右支交于，两点，其中点位于第一象限内．当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的方程； (2)设直线，分别与直线交于，两点，问：是否存在实数，使右焦点恒位于以线段为直径的圆上？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 21．在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，，，点在线段上，点在线段上，且，设直线与交于点． (1)当变化时，点始终在某个椭圆上运动，求出椭圆的方程； (2)过点作直线与椭圆交于、不同的两点，再过点作直线的平行线与椭圆交于、不同的两点. ①证明：为定值； ②求面积的取值范围. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期期中模拟测试卷01 测试范围：第1-2章 一、填空题 1．以为圆心，3为半径的圆的一般方程是 . 【答案】 【分析】求得圆的标准方程化为一般式即可. 【解析】由题意可知圆的标准方程为， 化圆的一般式得. 故答案为：. 2．若倾斜角为的直线过点和，则实数 . 【答案】./. 【分析】根据直线斜率公式以及倾斜角与斜率的关系计算即可. 【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线斜率，则，解得. 故答案为：. 3．抛物线的焦点坐标是 ． 【答案】 【分析】将抛物线方程转化为标准形式，由此求得抛物线的焦点坐标. 【解析】由得，所以抛物线的焦点在轴上，且，所以抛物线的焦点坐标为. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查抛物线焦点坐标的求法，属于基础题. 4．双曲线的渐近线方程是 . 【答案】 【分析】直接根据双曲线的方程，令方程的右边等于0求出渐近线的方程． 【解析】已知双曲线 令：=0 即得到渐近线方程为：y=±2x 故答案为y=±2x 【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题. 5．已知直线1过点，且它的一个法向量，则该直线的一般式方程为 【答案】 【分析】由直线的法向量可求得直线的斜率，再由点斜式方程可得解. 【解析】直线1的一个法向量，则该直线的斜率为，直线过， 由点斜式得到直线方程为,化简得到一般方程：. 故答案为：. 6．若直线与直线的夹角为，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意，作出图象，找到所求角与直线的倾斜角的关系，利用诱导公式和同角的正余弦与正切之间的关系计算即得. 【解析】因轴，直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，由图知，， 则. 故答案为：. 7．已知实数满足关系：，则的最小值 . 【答案】 【分析】转化为圆上的点到原点的距离的最值，将圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标与半径，进而求解即可. 【解析】把圆的方程化为标准方程得： ， 则圆心坐标为，圆的半径， 设圆上一点的坐标为，为圆上的点到原点的距离， 而圆心到原点的距离为， 则圆上的点到原点的距离的最小值为. 故答案为：. 8．在平面直角坐标系中，直线l：（是参数，），圆C：（是参数，），则圆心到直线的距离是 ． 【答案】/ 【分析】先将直线方程和圆方程化为普通方程，求出圆心坐标，然后利用点到直线的距离公式可求得答案 【解析】直线l：（t是参数，）的普通方程为 ， 圆C：（是参数，）的普通方程为 ，则圆心， 所以圆心到直线的距离为 ， 故答案为： 9．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义求出点的横坐标，设，利用求出点坐标，再根据两点距离公式求出进而求的面积即可. 【解析】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 点为抛物线上的点，且， 设点横坐标为，则由抛物线的定义可知，解得， 将代入抛物线方程，解得， 由对称性不妨取，设， 则，， 因为，则，解得，即， 所以， 所以的面积， 故答案为：. 10．如图，已知是椭圆的左焦点，为椭圆的下顶点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，射线与圆交于点，则的取值范围为 .    【答案】 【分析】由题意求得点轨迹，根据轨迹判断计算的取值范围. 【解析】设为椭圆的右焦点，连接，如图所示：   、分别为、的中点，，为直径，， ， 所以点轨迹是以为圆心为半径的圆，在圆内，且， 所以，，， 即的取值范围为. 故答案为：. 11．为测量一工件的内圆弧对应的半径，工人用三个半径均为的圆柱形量棒放在与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺下沿水平面到中间量棒顶侧面的垂直深度（如图所示），则 . 【答案】/ 【分析】设两圆外切于点，连接，作交于点，点为线段与圆的交点，然后利用求解即可. 【解析】 如图，设两圆外切于点，连接，作交于点， 点为线段与圆的交点， 因为，所以， 因为，， 所以，所以， 所以，解得， 故答案为：. 12．已知双曲线的方程为，其左、右焦点分别是，点坐标为，双曲线上的满足，则 . 【答案】 【分析】设的内切圆与三边分别相切于，利用切线长相等求得内切圆圆心横坐标为，又由得在的平分线上，进而得到即为内心，应用双曲线的定义求得面积差即可. 【解析】如图，设的内切圆与三边分别相切于， 可得，，， 又由双曲线定义可得， 则， 又，解得， 则点横坐标为，即内切圆圆心横坐标为. 又，可得， 化简得，即， 即是的平分线，由于，， 所以点是的内心，且半径为， 则， 又， 所以. 故答案为：. . 【点睛】关键点睛：本题解题关键是根据条件式化简求得，即得是的平分线，再结合双曲线定义和内切圆的性质求得点是的内心. 二、单选题 13．已知直线：，：，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】先根据两直线垂直的充要条件求出，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【解析】因为， 所以，解得或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 14．已知直线与圆，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】结合圆心到直线的距离以及半径即可得解. 【解析】因为圆的圆心，半径， 所以圆心到直线的距离等于， 故圆上的点到直线的距离的最小值为． 故选：A. 15．已知椭圆：，过点且方向向量为的光线，经直线反射后过的右焦点，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方向向量以及反射光线的性质可得，再由勾股定理可得，可得离心率. 【解析】设过点且方向向量为的光线，交直线的点为，右焦点为， 如下图所示： 因为方向向量的直线斜率为，则，直线AB的斜率为， 又由反射光线的性质可得的斜率为1，故， 所以为等腰直角三角形，且到的距离为， 又，故， 所以，则， 故，离心率. 故选：A 16．已知集合，若实数、满足：对任意的，均有，则称是集合的“可行数对”，给出以下两个命题，则（    ） ①中存在“可行数对” ②中存在“可行数对”； A．①为真命题，②为真命题 B．①为假命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为真命题，②为假命题 【答案】D 【分析】由题意，从而将问题转化为与命题①②中所表示的曲线是否有交点，即可求解． 【解析】由题意对任意的，均有，则， 又，则， 所以可看成以原点为圆心，为半径的圆上及圆内部的点，记 对于命题①，因为对应的图形是抛物线，显然与有交点，所以①为真命题， 对于命题②，由，得到，表示双曲线，且实半轴长为， 所以与没有交点，所以②为假命题， 故选：D. 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于转化成与命题①②中所表示的曲线是否相交. 三、解答题 17．设直线，直线. (1)若，求，之间的距离； (2)求直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最大时的直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，然后根据平行线之间的距离公式计算； （2）利用二次函数知识得到，再代入已知条件即可得到结果. 【解析】（1）根据两直线平行，可知，解得，所以的方程是，即. 所以的距离是. （2）由于的横纵截距分别为和，即和，故根据题意有，， 而相应面积. 所以即要求在时的最大值， 由于，且当时， 故最大时有.将代入， 知此时的方程为，即. 18．已知圆． (1)求圆的标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径： (2)若直线与圆交于A，B两点，且，求的值． 【答案】(1)，圆心坐标，半径为 (2)或 【分析】（1）配方得到圆的标准方程，得到圆心坐标和半径； （2）由垂径定理得到圆心到直线距离，从而根据点到直线距离公式得到方程，求出答案 【解析】（1）由，得， 则圆的标准方程为， 圆的圆心坐标，半径为． （2）由，得圆心到直线的距离为， 则圆心到直线的距离，得或． 19．树林的边界是直线（如图所在直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于的垂线上的点点点处，米，若兔子沿方向以4米每秒的速度向树林逃跑，同时狼沿线段方向以2米每秒的速度进行追击，若狼到达处的时间不多于兔子到达处的时间，狼就会吃掉兔子． (1)求兔子被狼吃掉的点的区域面积； (2)若兔子要想不被狼吃掉，求锐角的取值范围． 【答案】(1)平方米； (2). 【分析】（1）根据给定条件，建立直角坐标系，由时间关系求得的坐标满足的关系即可求出. （2）求出直线的方程，利用直线与圆的位置关系列出不等式求得的范围. 【解析】（1）以点为原点，射线分别为轴的非负半轴建立平面直角坐标系， 则，设， 由狼到达处的时间不多于兔子到达处的时间，得，即， 则4，整理得， 因此M在以为圆心，为半径的圆及内部， 所以兔子被狼吃掉的点的区域面积平方米. （2）依题意，直线的斜率满足，直线的方程为， 由兔子要想不被狼吃掉，得直线与圆相离， 则，解得，因此，而，解得， 所以锐角的取值范围是. 20．已知双曲线，，分别为其左、右焦点，为其左顶点．设过右焦点的直线与的右支交于，两点，其中点位于第一象限内．当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的方程； (2)设直线，分别与直线交于，两点，问：是否存在实数，使右焦点恒位于以线段为直径的圆上？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）依据题意设出，代入双曲线中建立方程，再结合双曲线中基本量的运算关系得到另一个方程，求解基本量，得到双曲线方程即可. （2）设出直线的方程，联立双曲线方程，得到关于点坐标的韦达定理；再分别求得的方程，以及点的坐标，利用数量积的坐标运算表示，再结合题意建立方程，求解参数即可. （3）求得直线不存在斜率时满足的，当斜率存在时，将所求问题，转化为直线斜率之间的关系，结合点的坐标满足曲线方程，求解即可. 【解析】（1）因为当直线与轴垂直时，， 且点位于第一象限内，所以设， 代入方程中得到，而， 解得，，则双曲线的方程为. （2）由上问得双曲线的方程为， 如图，则点，的坐标分别为， 又双曲线渐近线为，显然直线的斜率不为零， 故设其方程为，， 联立双曲线方程可得：， 设点的坐标分别为，且恒成立 则， ， ； 又直线方程为：，令，则， 故点的坐标为；直线方程为：， 令，则，故点的坐标为； 若右焦点恒位于以线段为直径的圆上，则， 则 ，令，解得， 故存在，使右焦点恒位于以线段为直径的圆上. （3）当直线斜率不存在时， 对曲线，令，解得， 故点的坐标为，此时， 在三角形中，，故可得， 则存在常数，使得成立； 当直线斜率存在时，不妨设点的坐标为，， 此时直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，， 假设存在常数，使得成立，即， 则一定有：，也即； 又；； 又点的坐标满足，则， 故 ； 故假设成立，存在实数常数，使得成立； 综上所述，存在常数，使得恒成立. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线中存在常数满足条件的问题；其中第二问的关键是能够分析出向量数量积是定值，再表示出数量积，进而求解参数，第三问处理的关键是要投石问路，找到特殊情况下的参数值，再验证非特殊情况下依旧成立，同时还要注意本小题中把角度关系，转化为斜率关系即可. 21．在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，，，点在线段上，点在线段上，且，设直线与交于点． (1)当变化时，点始终在某个椭圆上运动，求出椭圆的方程； (2)过点作直线与椭圆交于、不同的两点，再过点作直线的平行线与椭圆交于、不同的两点. ①证明：为定值； ②求面积的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）利用向量线性坐标运算得坐标，然后求出直线和的方程，再利用交轨法求得点的轨迹方程； （2）①设直线的方程为，与椭圆方程联立，韦达定理，表示出，，进而得，设的方程为，与椭圆方程联立，韦达定理，表示出，进而得，即可求解比值，得证； ②将转化为，再借助韦达定理转化为关于m的函数，换元后，利用对勾函数性质求解值域即可求解范围. 【解析】（1）设点，根据已知可得，所以， 因此，所以；同理可得． 因此的斜率，直线的方程为， 所以的方程为，所以， 设直线与的交点坐标为，根据可得， ，整理可得， 因此当变化时，点始终在椭圆上运动． （2）①令直线的方程为， 联立直线和椭圆方程可得，化简得， 由于椭圆与直线交于两点，， 因此，所以或， 根据韦达定理可得，， 又因为，， 因此， 令的方程为，椭圆与直线交于两点， 联立直线和椭圆方程，化简得， 同理：，，， 因此（为定值）． 又因为当的方程为时，直线与直线重合，不符合题意． 所以（定值）． ②由于，又由于， 因此， 化简可得，设，由于，因此， 因此， 又由于当时，，因此， 因此，所以面积的取值范围为． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$