2024—2025学年人教版八年级数学下册期中几何综合题训练

人教版八年级数学下学期期中几何综合题训练 1.如图，为菱形内一点，，平分交的延长线于点，，连接，． 求证：四边形为正方形； 求的值． 2.如图，在矩形中，是上一点，垂直平分，分别交、、于点、、，连接、． 求证：四边形是菱形； 若，为的中点，，求的长． 3.如图，四边形是菱形，，． 作的平分线，交于点；不写作法，保留作图痕迹 在的条件下，点在直线上，当取最大值时，求的长； 如图，，分别是线段，上的动点，，求四边形周长的最小值． 4.已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线、射线交于点、，点与点、点不重合，． 当点在线段上时， 如图，求证：； 连接交于点，当时，求的长． 当时，求的长．直接写出答案 5. 【探究发现】如图，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点，求证：四边形是菱形； 【类比应用】如图，直线分别交矩形的边，于点，，将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，若，，求的长； 【拓展延伸】如图，直线分别交平行四边形的边，于点，，将平行四边形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，若，，，求的长． 6.已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为． 如图，连接、求证：四边形为菱形． 如图，求的长． 如图，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止．在运动过程中，点的速度为每秒，设运动时间为秒．若点的速度为每秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 7.如图，在长方形中，，，点是边上的一点，、分别长、，满足动点从点出发，以的速度沿运动，最终到达点设运动时间为． _______、________； 为何值时，把四边形的周长平分？ 另有一点从点出发，按照的路径运动，且速度为，若、两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求为何值时，的面积等于． 8.如图，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在边上的处，折痕为，过点作交于，连接． 求证：四边形为菱形； 当点在边上移动时，折痕的端点、也随之移动； 当点与点重合时如图，求菱形的边长； 若限定、分别在边、上移动，求出点在边上移动的最大距离． 、 9.如图，已知矩形，，，对角线，交于点，为对角线上一点，连． 求证：是等边三角形； 当时，求线段的长； 在边上取点，连结，若，为线段，的中点，连结，求的取值范围． 10.如图，在菱形中，，，，、在菱形的边，上． 证明：为等边三角形 当点，分别在边，上移动时，请探究四边形的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值． 在的情况下，的周长最小值为_________ 如图，当点在边的延长线上，点在边的延长线上移动时，且时，则点到的距离为________。 11.如图，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点落在边上的处，折痕为，过点作交于，连接． 求证：四边形为菱形； 当点在边上移动时，折痕的端点、也随之移动； 当点与点重合时如图，求菱形的边长； 若限定、分别在边、上移动包含端点，直接写出四边形面积的范围_______． 参考答案 1.（1）方法一设，则，，，，；菱形为正方形． 方法二 过点作于点．，，，．平分，，，菱形为正方形； （2）四边形为正方形，，，，，，过点作交于点，，，．，，，，，． 2.证明：垂直平分，，． 四边形是矩形，，， 在与中， ，． ，四边形是平行四边形， ，四边形是菱形． ，分别为，的中点， ， 设，则， 在中，， 解得，， ． 设，则，， 在中，，解得， 由四边形是菱形，可得， 在中，， ． 3.（1）如答图． （2）如答图，连接，，，延长交于点，连接． 四边形是菱形，， ， ， ，都是等边三角形， ． 平分， ，， ， ， 当点与点重合时，取最大值． ，， ． ，， ，， 当取最大值时，的长为． （3）， ． ，， ≌， ，， ， 的值最小时，四边形的周长最小． 根据垂线段最短可知，当，时，的值最小，为此时满足， 四边形周长的最小值为． 4.（1）证明：连接， 四边形是菱形，， ， 为等边三角形， ， ， ，即， ， ． 解：连接交于点， 四边形是菱形， 于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）当在线段上时， 作于点，作于点， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ，， ， ， 设，则， ， 解得， ； 当在延长线上时，作于点， ，， ， ， ，， 由同理可知，，， ， ． 5.（1）证明：四边形是矩形， ， ， 垂直平分， ，， ， ， 又， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为菱形； （2） 如图，过点作于， 由折叠可知：，， ，， ， 在中，，即， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ； （3） 过点作，交的延长线于，过点作于， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， 则，由勾股定理可得， ， 由折叠的性质可知：，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 在中，． 6.（1）证明：四边形是矩形， ， ， 的垂直平分线分别交、于点、， ， 在和中， ≌， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 四边形是菱形， ， 设， 则，， 四边形是矩形， ， 在中， 由勾股定理得：， 解得，即； （3）分为三种情况： 第一、在上． 的速度是，而的速度是， 只能再上，此时当、、、四点为顶点的四边形不是平行四边形； 第二、当在上时，在或上，只有当在上时，当、、、四点为顶点的四边形才有可能是平行四边形，如图， ，， ， ； 第三情况：当在上时，在或上，此时当、、、四点为顶点的四边形不是平行四边形； ． 7.（1）3、； 解：， 点在上，， ； 解：点在上， 如图， ， ， ； 相遇前，点在上， 如图， ， ， ， 又， ， ， ； 相遇后，点在上， 如图， ， ， ， ． 综上，或或时，的面积等于．  8.（1）证明：折叠纸片使点落在边上的处，折痕为， 点与点关于对称， ，，， 又， ， ， ， ， 四边形为菱形； （2）四边形是矩形， ，，， 点与点关于对称， ， 在中，， ； 在中，，， ， 解得：， 菱形的边长为； 当点与点重合时，如图： 点离点最近，由知，此时； 当点与点重合时，如图所示： 点离点最远，此时四边形为正方形，， 点在边上移动的最大距离为．  9.证明：（1）在矩形中， ， ， ，， ， 是等边三角形； （2）作， ， ， 在中， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 或； （3）连结，取的中点，连结，， ， ， ．  10.（1）证明：连接． 菱形，， ， 与 都是等边三角形， ，． ， 即：， ， ≌， ． ， 是等边三角形． （2）四边形的面积不会变化，理由如下： 由（1）可知，当，分别在边，上移动时，≌， ． 过作于，则， 在中，， ， ， 即：． 四边形的面积是定值，定值是． ； 根据得到≌，是等边三角形，便可以得到，， 由此确定的周长，结合垂线段最短，可知当与垂直时，最短，此时的周长最小； 由得≌，是等边三角形， ，， 的周长， 当时，最短，此时的周长最小， 由可知此时，， 周长的最小值是． ． 过作，过作于， 由可知，， ， ， ， ． 由可知， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 11.（1）证明：折叠纸片使点落在边上的处，折痕为， 点与点关于对称． ，， ，  ，  ， ， ， 四边形为菱形． （2）点与点关于对称， ， 在中， ， 即， 在中，，， 即， 解得． 菱形边长为． ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$