2025年湖北省中考数学复习题型专题（含6个专题 ）课件

题型九 全国趋势跨学科试题 2025湖北数学 1.(2024成都)中国古代运用“土圭之法”判别四季.夏至时日影最短,冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数.某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子AB垂直于地面，AB长8尺.在夏至时，杆子AB在太阳光线AC照射下产生的日影为BC；在冬至时，杆子AB在太阳光线AD照射下产生的日影为BD.已知∠ACB＝73.4°，∠ADB＝26.6°，求春分和秋分时日影长度 解：∵AB⊥BD， ∴∠ABD＝∠ABC＝90°， ∵AB＝8，∠ACB＝73.4°，∠ADB＝26.6°， ∴BC＝＝≈≈2.39(尺)， BD＝＝≈＝16(尺)， (结果精确到0.1尺；参考数据：sin 26.6°≈0.45，cos 26.6°≈0.89，tan 26.6°≈0.50，sin 73.4°≈0.96，cos 73.4°≈0.29，tan 73.4°≈3.35) ∴夏至与冬至日影长度的平均数为≈9.2(尺). ∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数， ∴春分和秋分时日影长度约为9.2尺. 2. (2024辽宁)如图①，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起.起始位置示意图如图②，此时测得点A到BC所在直线的距离AC＝3 m，∠CAB＝60°；停止位置示意图如图③，此时测得∠CDB＝37°(点C，A，D在同一直线上，且直线CD与地面平行，图③中所有点在同一平面内.定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变). (1)求AB的长； 解：(1)在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠CAB＝60°，AC＝3， ∵cos∠CAB＝， ∴AB＝＝6， 答：AB的长为6 m； (2)求物体上升的高度CE(结果精确到0.1 m).(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73) (2)在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠CAB＝60°，AC＝3， ∵tan∠CAB＝， ∴BC＝3tan 60°＝3， 在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，∠CDB＝37°， ∵sin∠CDB＝， ∴BD＝≈＝8.65，∴CE＝BD－AB＝8.65－6≈2.7， 答：物体上升的高度CE约为2.7 m. 3. (2024乐山)我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地. 送行二步与人齐，五尺人高曾记. 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉. 良工高士素好奇，算出索长有几？ 　　 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺(5尺为一步)，秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺.(假设秋千的绳索拉的很直) (1)如图①，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度； 解：(1)如解图，过点A'作A'B⊥OA，垂足为B.  设秋千绳索的长度为x尺. 由题可知，OA＝OA'＝x，AB＝4，A'B＝10， ∴OB＝OA－AB＝x－4. 在Rt△OA'B中，由勾股定理得A'B2＋OB2＝OA'2， ∴102＋(x－4)2＝x2. 解得x＝14.5. 答：秋千绳索OA的长度为14.5尺； 解图 B (2)如图②，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA'释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方OA″，两次位置的高度差PQ＝h.根据上述条件能否求出秋千绳索OA的长度？如果能，请用含α，β和h的式子表示；如果不能，请说明理由. (2)能. 由题可知，∠OPA'＝∠OQA″＝90°，OA'＝OA″＝OA. 在Rt△OA'P中，OP＝OA'·cos α＝OA·cos α. 同理，OQ＝OA″·cos β＝OA·cos β. ∵OQ－OP＝h， ∴OA·cos β－OA·cos α＝h.∴OA＝. 4. 问题背景：日常生活中的各种称重仪器大多都可以测出一定范围内的物体质量，当物体质量太轻或太重时便无法直接测量出结果，在数学活动课上，老师让同学们测空牛奶盒的质量. 实验操作：如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点A处，且托盘上放置了一个100 g的砝码，右侧托盘可以在BC段滑动.已知AC＝15 cm，BC＝50 cm，通过往牛奶盒里加入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下表中的实验数据. 实验数据： 实验序号 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 总质量m(牛 奶盒＋水)/g 120 60 50 40 150 CD的 距离l/cm 12.5 25 30 37.5 10 问题解决： 任务一：根据表中数据可知，CD的长度随着总质量的增大而　　　　，并依此猜想：l与m满足怎样的函数关系：　　 　　(填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”)； 减小 反比例函数 设l关于m的函数解析式为l＝(k≠0)， ∴k＝ml，代入(60，25)，得k＝60×25＝1 500， ∴l关于m的函数解析式为l＝， 设空牛奶盒的质量为a g， 根据题意，得(65＋a)＝， 解得a＝10， 答：这个空牛奶盒的质量为10 g； 任务二：某同学给空牛奶盒里加入了65 g的水，移动托盘使天平保持平衡，此时CD＝20 cm，求这个空牛奶盒的质量； 任务三：在任务二的情况下，天平达到平衡，此时将含65 g水的牛奶盒与砝码的位置互换，要使天平仍保持平衡，则右边托盘应怎样移动. 由任务二得含65 g水的牛奶盒总质量为75 g， ∵将含65 g水的牛奶盒与砝码的位置互换， ∴要使天平左边与右边平衡，可列式为75×15＝100·l， 解得l＝11.25， 20－11.25＝8.75， ∴要使天平仍保持平衡，右边托盘应向左边移动8.75 cm. $$题型八 全国趋势综合与实践 2025湖北数学 1. 项目式学习 项目主题：优化大豆种植密度 项目背景：大豆，通称黄豆，属一年生草本，是我国重要粮食作物之一，已有五千年栽培历史，古称“菽”，某校综合实践小组以探究“大豆种植密度优化方案”为主题展开项目学习. 驱动任务：探究大豆产量与种植密度的关系 研究步骤：(1)在劳动实践基地中选定6块单位面积(1平方米)的地块作为试验田，并选定适宜的大豆品种； 类型一　项目式学习(山西、广西等考查) (2)在不同试验田中种植株数不同的大豆，严格控制影响大豆生长的其他变量，在大豆成熟期，对每株大豆的产量进行统计； (3)数据分析，形成结论. 试验数据： 试验田编号 1 2 3 4 5 6 单位面积试验田种植株数x(株) 30 40 50 60 70 80 单株的平均产量y(粒) 51 46 41 36 31 26 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务： (1)根据表中信息可知，单位面积试验田中大豆单株的平均产量y(粒)是种植株数x(株)的　　　　函数(选填“一次”“二次”“反比例”)，y与x的函数关系式为　　 　　(30≤x≤80)； (2)若要使单位面积试验田中大豆的总产量(单位：粒)最大，请通过计算说明单位面积试验田中大豆植株种植数量的方案. 一次 y＝－0.5x＋66 (2)设单位面积试验田中大豆总产量为w粒， 根据题意得，w＝xy， 由(1)得，y＝－0.5x＋66， ∴w与x的函数关系式为w＝x(－0.5x＋66)＝－0.5x2＋66x＝－0.5(x－66)2＋2 178. ∵－0.5＜0，且30≤x≤80， ∴当x＝66时，w最大， ∴当单位面积试验田中大豆植株种植数量为66株时，可使单位面积试验田中大豆的总产量最大. 2. 问题背景：如图①，是一款专为提升阅读舒适度与效率而精心设计的产品——铝合金阅读支架.这款阅读支架采用人体工学设计，可自由调节角度与高度，完美适应各种阅读场景，无论是伏案工作、学习阅读，都能有效减轻颈部和肩部的压力，对预防青少年近视也能起到很大的作用. 项目主题：某校实践小组准备以这款阅读支架构建数学模型，探究哪一种情形时阅读最舒适. 研究步骤： 步骤1：选择身高中等的小张坐在桌子前，通过调节支架杆与底座、阅读面板与支架杆的角度，让小张反馈哪一种情形时阅读最舒适； 步骤2：抽象数学模型 如图②是为了解决问题他们画出的从侧面看的数学图形，AB表示底座，BC表示支架杆，CD表示面板； 步骤3：测量相关数据，解决实际问题 通过测量得到：AB＝22 cm，BC＝15 cm，DC＝24 cm，底座AB的厚度为0.5 cm，未调节支架各部分前支架杆BC与底座AB的夹角∠ABC＝37°，支架杆BC与面板CD的夹角∠BCD＝112°. 问题探究： (1)求未调节支架前上方边缘D距离桌面的高度；(结果精确到0.1 cm；参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26，tan 75°≈3.73) 解：(1)如解图①，过点C作CE⊥AB于点E，过点C作AB的平行线，过点D作DF⊥前述平行线于点F， 在Rt△CBE中，∠ABC＝37°，BC＝15 cm， ∴CE＝BC·sin∠ABC＝15·sin 37°≈15×0.60＝9 cm， ∵CF∥AB， ∴∠FCB＝∠ABC＝37°， ∟ ∟ F E 解图① 在Rt△CBE中，∠DCF＝∠DCB－∠FCB＝112°－37°＝75°， ∵DC＝24 cm， ∴DF＝CD·sin∠DCF＝24·sin 75°≈24×0.97＝23.28 cm， ∴顶部边缘D处离桌面的高度为CE＋DF＋0.5＝9＋23.28＋0.5≈32.8 cm， 答：顶部边缘D距离桌面的高度约为32.8 cm； ∟ ∟ F E 解图① 问题解决： (2)如图③，小张不断调整支架的各部分角度，确定了最舒适的情形，测量发现此时支架杆BC与面板CD的夹角∠BCD并未发生变化，支架杆BC与底座AB的夹角为∠ABC＝30°，则调节后支架上方边缘D距离桌面的高度发生了怎样的变化？(结果精确到0.1 cm；参考数据：sin 82°≈0.99，cos 82°≈0.14，tan 82°≈7.12) (2)如解图②，过点C作CG⊥AB于点G， 过点C作AB的平行线，过点D作DH⊥前述平行线于点H， 在Rt△CBG中，∠ABC＝30°，BC＝15 cm， ∴CG＝BC·sin∠ABC＝15·sin30°＝15×0.5＝7.5 cm， ∟ H G M 解图② ∵CH∥AB， ∴∠HCB＝∠ABC＝30°， 在Rt△CDH中，∠DCH＝∠DCB－∠HCB＝112°－30°＝82°， ∴DH＝CD·sin∠DCH＝24·sin82°≈24×0.99＝23.76 cm， ∴此时顶部边缘D距桌面的高度为CG＋DH＋0.5＝7.5＋23.76＋0.5≈31.8 cm， 由(1)知，调节前支架上方边缘D距离桌面的高度约为32.8 cm， ∵32.8－31.8＝1.0 cm， ∴调节后支架上方边缘D距离桌面的高度下降了1.0 cm. 答：调节后产生的变化为支架上方边缘D距离桌面的高度下降了1.0 cm. ∟ H G M 解图② 3. (2024广东省卷)综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图①所示： ①一张直径为10 cm的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤漏斗. 类型二　跨学科实践(广东省卷、贵州、甘肃等考查) 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图②所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图①所示漏斗中. 【实践探索】 (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)？用你所学的数学知识说明. 解：(1)能； 设圆锥滤纸底面周长为C，半径为r，母线为l， 漏斗底面半径为R＝ cm，母线长L＝7 cm，滤纸直径d＝10 cm， 由题意得πd＝C＝2πr，r＝ cm，l＝＝5 cm， ∴＝， 又∵＝＝， ∴＝， ∴滤纸能紧贴漏斗内壁； (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积.(结果保留π) (2)设滤纸围成圆锥形的高为h cm，由(1)可知h＝＝ cm， ∴V圆锥＝πr2h＝×π×()2×＝ cm3. 4. (2024贵州)综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习. 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC 的夹角为∠A； 第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水.(直线NN'为法线，AO为入射光线，OD为折射光线.) 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N'在同一平面内，测得AC＝20 cm，∠A＝45°，折射角∠DON＝32°. 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： (1)求BC的长； 解：(1)∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝20 cm， ∴∠ABC＝∠A＝45°， ∴BC＝AC＝20 cm； (2)求B，D之间的距离(结果精确到0.1 cm). (参考数据：sin 32°≈0.53，cos 32°≈0.85，tan 32°≈0.62) (2)∵E是AC的中点，∴EC＝10 cm， ∵AC＝20 cm，∠A＝45°，∴OE＝AE＝AC－EC＝10 cm， ∵四边形EONC是矩形，∴ON＝EC＝10 cm，CN＝OE＝10 cm， ∵∠OND＝90°， ∴DN＝ON·tan∠DON＝10×tan 32°≈6.2 cm， ∴BD＝BC－CN－DN＝20－10－6.2＝3.8 cm. 答：B，D之间的距离约为3.8 cm. 5. (2023衢州)视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“ ”形图都是正方形结构，同一行的“ ”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表. 素材1　国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“ ”形图边长b(mm)，在平面直角坐标系中描点如图①. 探究1　检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“ ”形图边长. 解：探究1：由图象中的点的坐标规律得到n与b近似成反比例关系， 设n＝(k≠0)， 将其中一点(9，0.8)代入，得0.8＝，解得k＝7.2， ∴n＝； 将n＝1.2代入n＝，解得b＝6； 答：检测距离为5米时，n与b的关系式为n＝，视力值1.2所对应行的“ ”形图边长为6 mm； 素材2　图②为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“ ”形图所成的角叫做分辨视角θ.视力值n与分辨视角θ(分)的对应关系 近似满足n＝(0.5≤θ≤10). 探究2　当n≥1.0时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨观角θ的范围. ∵n＝， ∴在自变量θ的取值范围内，n随着θ的增大而减小， ∴当n≥1.0时，0＜θ≤1.0， ∵0.5≤θ≤10， ∴0.5≤θ≤1.0； 素材3　如图③，当θ确定时，在A处用边长为b1的Ⅰ号“ ”测得的视力与在B处用边长为b2的Ⅱ号“ ”测得的视力相同. 探究3　若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“ ”形图边长. 由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三 角形性质可得＝， 由探究1知，b1＝6， ∴＝， 解得b2＝， 答：检测距离为3 m时，视力值1.2所对应行的“ ”形图边长为mm. 6. (2023广西) 【综合与实践】 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”.某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务. 类型三　文化主题实践探究(浙江、广西等考查) 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：(m0＋m)·l＝M·(a＋y).其中秤盘质量m0克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米. 【方案设计】 目标：设计简易杆秤.设定m0＝10，M＝50，最大可称重物质量为1 000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米. 任务一：确定l和a的值. (1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； 解：(1)根据题意，得m＝0，y＝0， 将m＝0，y＝0，m0＝10，M＝50代入(m0＋m)l＝M(a＋y)， 得10l＝50a ， ∴l＝5a； (2)当秤盘放入质量为1 000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (2)根据题意，得m＝1 000，y＝50， 将m＝1 000，y＝50，m0＝10，M＝50代入(m0＋m)l＝M(a＋y)，得(10＋1 000)l＝50(a＋50)， ∴101l＝5a＋250； (3)根据(1)和(2)所列方程，求出l和 a的值. (3)联立(1)，(2)中的两个方程， 得，解得； 任务二：确定刻线的位置. (4)根据任务一，求y关于m的函数解析式； (4)把l＝2.5，a＝0.5，m0＝10，M＝50代入(m0＋m)l＝M(a＋y)， 得2.5(10＋m)＝50(0.5＋y)， 化简，得y＝， ∴y关于m的函数解析式为y＝(0≤m≤1 000)； (5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离. (5)由(4)知y＝， 将m＝100代入解析式y＝ ，得y＝5， 将m＝200代入解析式y＝，得y＝10， ∵10－5＝5(厘米)， ∴从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，相邻刻线间的距离为5厘米. 7. (2023台州)【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具.综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀(控制水的流速大小)的软管制作简易计时装置. 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为 30 cm，开始放水后每隔10 min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm (观察值) 30 29 28.1 27 25.8 任务1　分别计算表中每隔10 min水面高度观察值的变化量； 解：任务1： 变化量分别为：29－30＝－1(cm)； 28.1－29＝－0.9(cm)； 27－28.1＝－1.1(cm)； 25.8－27＝－1.2(cm)， 【建立模型】 小组讨论发现： “t＝0，h＝30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系. 任务2　利用t＝0时，h＝30；t＝10时，h＝29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式； 设h＝kt＋b(k≠0)， ∵t＝0时，h＝30；t＝10时，h＝29， ∴分别代入h＝kt＋b中，得， 解得， ∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为h＝－0.1t＋30； 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差.小组决定优化函数解析式，减少偏差.通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小. 任务3　(1)计算任务2得到的函数解析式的w值； (1)w＝(30－30)2＋(29－29)2＋(28－28.1)2＋(27－27)2＋(26－25.8)2＝0.05； (2)请确定经过(0，30)的一次函数解析式，使得w的值最小； (2)设h＝at＋30(a≠0)，则 w＝(30－30)2＋(10a＋30－29)2＋(20a＋30－28.1)2＋(30a＋30－27)2＋(40a＋30－25.8)2 ＝(10a＋1)2＋(20a＋1.9)2＋(30a＋3)2＋(40a＋4.2)2 ＝3 000a2＋612a＋12＋1.92＋33＋4.22. ∴当a＝－＝－0.102时，w最小. ∴优化后的函数解析式为h＝－0.102t＋30，可使得w的值最小； 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间. 任务4　请你简要写出时间刻度的设计方案. 设计时间刻度方案要点： ①时间刻度的0刻度在水位最高处； ②刻度从上向下均匀变大； ③每0.102 cm表示1 min(1 cm表示时间约为9.8 min). 8. (2024齐齐哈尔)综合与实践 如图①，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”.如图②，在△ABC中，∠A＝90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作 DE⊥AB交AB的延长线于点E. (1)【观察感知】如图②，通过观察，线段AB与DE的数量关系是　　　 　 ； AB＝DE 【解法提示】∵线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，∴BC＝BD，∠CBD＝90°，∴∠ABC＋∠DBE＝90°，∵∠A＝90°，∴∠ABC＋∠C＝90°，∴∠C＝DBE，∵∠A＝∠E＝90°， (2)【问题解决】如图③，连接CD并延长交AB 的延长线于点F， 若AB＝2，AC＝6，求△BDF的面积； ∴△ABC≌△EDB(AAS)，∴AB＝DE. (2)∵线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD， ∴BC＝BD，∠CBD＝90°， ∴∠ABC＋∠DBE＝90°， ∵∠A＝90°， ∴∠ABC＋∠C＝90°， ∴∠C＝DBE， ∵∠A＝∠E＝90°， ∴△ABC≌△EDB(AAS)，∴AB＝ED，AC＝EB， ∵AB＝2，AC＝6， ∴DE＝2，BE＝6，∴AE＝AB＋BE＝8， ∵∠DEB＋∠A＝180°， ∴DE∥AC，∴△DEF∽△CAF， ∴＝，即＝， 解得EF＝4， ∴BF＝BE＋EF＝10，∴S△BDF＝BF·DE＝10； (3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接CE交BD于点N，则＝　 　　； 【解法提示】如解图①，过N作NM⊥AE于点M，∴∠A＝∠NME＝90°，AC∥MN，∴△EMN∽△EAC得，＝，即＝，∴EM＝MN，同理可得△BMN∽△BED∴＝，即＝，解得MN＝，由△BMN∽△CAB得，＝＝. ∟ M N 解图① (4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线AB上找点P，使tan∠BCP＝，请直接写出线段AP的长度. 或 【解法提示】①如解图②，当点P在点B左侧时，过P作PQ⊥BC于点Q，∵tan∠BCP＝＝，tan∠ABC＝＝＝3，∴PQ＝CQ，PQ＝3BQ，设BQ＝2a，则PQ＝6a，CQ＝9a，∴BC＝BQ＋CQ＝11a，∵BC＝＝2＝11a，∴a＝，∴BP＝＝2a＝ ，∴AP＝BP－AB＝； ②如解图③，当点P在点B右侧时，作PG⊥BC交CB延长线于点G，tan∠BCP＝＝，tan∠PBG＝tan∠ABC，即＝＝3， ∴PG＝CG，PG＝3BG，设BG＝2a，则PG＝6a，CG＝9a， ∴BC＝CG－BG＝7a， ∵BC＝＝2＝7a， ∴a＝， 解图② 解图③ ∵BP＝＝2a＝， ∴AP＝AB＋BP＝；综上，AP的长度为或. $$题型十一　锐角三角函数实际应用 2025湖北数学 类型一　几何测量问题 1. 周末，小琳和几个同学相约到某景点游玩，他们计划在入口A处集合后，先去位于入口西南方向的景点B，然后沿着南偏西37°方向到达景点C，最后再去景点D，已知景点D位于景点C的正东方向，入口A的正南方向，BC＝300米，CD＝500米，求入口A与景点D之间的距离．(结果精确到1米，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0. 80，tan 37°≈0.75) 解：如图，过点B分别作AD，CD的垂线，垂足分别为点E，F，则四边形BEDF是矩形， ∴BE＝FD，BF＝ED. ∵BC＝300米，CD＝500米， ∴CF＝BC·sin 37°≈180(米)，BF＝DE＝BC·cos 37°≈240(米)， ∴AE＝BE＝FD＝CD－CF≈500－180＝320(米)， ∴AD＝AE＋DE≈320＋240＝560(米)， 答：入口A到景点D之间的距离约为560米. F E 解：如图，过点C作CG⊥EF于点G，∴∠CGB＝90°， ∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°， ∵CD∥EF，∴∠ACD＝∠CBG，∴△ADC∽△CGB， ∴＝，即＝，解得CG＝2， 2. 如图，为了得到某段黄河大堤(大堤顶端平面与底端平面平行)的坡度tan α(即∠CEF的正切值)，小英拿来了长5米的竹竿AB斜靠在大堤顶端C处，且AC∶BC＝1∶4，竹竿B端接触水平地面(点B，E，F在同一水平线上)，小英量得竿顶与大堤顶端水平面的高度AD为0.5米，接着她测得大堤顶端C到大堤底端E的距离为2.5米，请你求出这段黄河大堤的坡度． G ∟ 在Rt△CEG中，CE＝2.5，由勾股定理得， EG＝＝＝1.5， ∴tan α＝＝＝. 答：这段黄河大堤的坡度为. G ∟ 类型二　真实问题情境 3. 如图①是某款电动平衡车，图②是其简化示意图，该款平衡车的座位AB、底盘CD平行于地面，座位AB可沿EF方向调节，当座位AB的位置最低时，支架EF＝27 cm，CE＝35 cm，支架EF与座位AB的夹角∠EFB＝70°，与支架CE的夹角∠CEF＝115°，底盘CD到地面的距离为10 cm，求座位AB最低时到地面的距离．(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75，≈1.41) 解：如图②，过点E作EG⊥AB，交AB的延长线于点G，延长GE交CD于点H，由题意得，AB∥CD，∴∠AGE＝∠CHE＝90°， ∵∠EFB＝70°， ∴∠FEG＝∠AGE－∠EFB＝90°－70°＝20°， ∵∠CEF＝115°， ∴∠CEH＝180°－∠CEF－∠FEG＝180°－115°－20°＝45° 在Rt△EFG中，sin ∠EFG＝， ∴GE＝EF·sin 70°≈27×0.94＝25.38 cm， G H ∟ 在Rt△CEH中，cos ∠CEH＝， ∴EH＝CE·cos 45°＝35×≈35×＝24.675 cm， ∴GH＝GE＋EH＝25.38＋24.675≈50.1 cm， ∴50.1＋10＝60.1 cm， 答：座位AB最低时到地面的距离约为60.1 cm. G H ∟ 类型三　课题活动实践探究 4. 为了测量教学楼的高度，两位同学分别设计了不同的方案，测量方案与测量数据如下表： 课题 测量教学楼高度  测量工具 自制直角三角形模具，皮尺 皮尺，测角仪 测量 示意图 第4题图① 第4题图②  课题 测量教学楼高度  测量方案 方案一：小万调整自己的位置，使自制的直角三角形模具DEF的斜边DF保持与地面平行(D，F，C三点共线，且点C在AB上)，边DE与教学楼顶部B点在同一直线上 方案二：小唯在实验楼C处用测角仪分别测得教学楼底部A点的俯角和教学楼顶部B点的仰角(点E在AB上) 说明 A，B，C，D，E，F均在同一平面内，测角仪高度忽略不计 测量数据 EF＝0.3 m，DE＝0.4 m，AC＝1.7 m，CD＝20.5 m CD＝7.4 m，∠ACE＝30°，∠BCE＝37° 请选择其中一个方案及其测量数据求出教学楼高．(结果精确到1 m，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，≈1.73) 解：选择方案一： ∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠EDF＝∠CDB， ∴△DEF∽△DCB，∴＝，∴＝， 解得CB＝15.375 m， ∴AB＝AC＋CB＝1.7＋15.375≈17 m. 答：教学楼高约为17 m. 选择方案二： 由题意知，CD＝AE＝7.4 m，CE⊥AB. 在Rt△ACE中，∵∠ACE＝30°，∴CE＝＝≈12.8 m. ∵∠BCE＝37°， ∴在Rt△BCE中，BE＝CE·tan 37°≈12.8×0.75＝9.6 m， ∴AB＝BE＋AE＝9.6＋7.4＝17 m. 答：教学楼高约为17 m. (任选一个即可) $$题型十二　方程的实际应用 2025湖北数学 1. 某商店以每盏25元的价格采购了一批节能灯，运输过程中损坏了3盏，然后以每盏30元的价格售完，共获利160元，该商店共购进了多少盏节能灯？ 解：设该商店共购进了x盏节能灯， 根据题意，得30(x－3)－25x＝160， 解得x＝50， 答：该商店共购进了50盏节能灯. 2. 扎染是中国古老的手工印染工艺，被列为国家级非物质文化遗产．某扎染制品专卖店3月份的销售额为3.2万元，5月份的销售额为7.2万元，求这两个月销售额的月平均增长率． 解：设这两个月销售额的月平均增长率为x， 根据题意，得3.2(1＋x)2＝7.2， 解得x＝0.5(负值舍去). 答：这两个月销售额的月平均增长率为50％. 3. 某学校组织初一、初二两个年级的学生开展植树造林活动．已知初一学生植树900棵与初二学生植树1200棵所用的时间相同，且两个年级平均每小时共植树350棵．初二年级平均每小时植树多少棵？ 解：设初二年级平均每小时植树x棵， 则初一年级平均每小时植树(350－x)棵， 根据题意，列方程得：＝， 解得x＝200， ∴经检验，x＝200是原分式方程的解且符合实际意义. 答：初二年级平均每小时植树200棵. 4. 毽球俗称“毽子”，古代文人也称“燕子”，并有诗句“踢碎香风抛玉燕”的描述，是一项传统的民间体育活动．某校为进一步推进传统体育活动进校园工作的落实，准备举办毽球比赛，并计划购买一批毽球作为奖品，现有甲、乙两个品牌的毽球可供选择．已知购买5个甲品牌毽球和3个乙品牌毽球共需花费94元，乙品牌毽球的单价比甲品牌毽球的单价多2元．求甲品牌毽球的单价． 解：设甲品牌毽球的单价是x元，乙品牌毽球的单价是y元， 由题意得解得 答：甲品牌毽球的单价为11元. 解：设人行通道的宽度为x m，根据题意，得 (26－3x)(16－3x)＝50×4，416－126x＋9x2＝200，x2－14x＋24＝0， (x－2)(x－12)＝0， 解得x＝2或x＝12， ∵16－3x＞0，解得x＜，∴x＝2. 答：人行通道的宽度为2 m. 5. 某植物园计划在长26 m，宽16 m的矩形空地上种植四种不同品种的玫瑰，其布局如图所示，阴影部分为玫瑰种植区域，每块区域面积相同，均为50 m2，其余部分为等宽的人行通道，求人行通道的宽度． 6. 今有雀一只重一两九铢，燕一只重一两五铢．有燕雀二十五只，并重二斤一十三铢，问燕雀各几何？(选自《张丘建算经》)题目大意：一只雀重1两9铢，一只燕重1两5铢．雀和燕一共有25只，共重2斤13铢．燕、雀各有多少只？(“斤”“两”“铢”为我国古代质量单位，1斤＝16两，1两＝24铢) 解：∵1斤＝16两，1两＝24铢， ∴一只雀重33铢，一只燕重29铢，雀和燕共重781铢， 设燕有x只，雀有y只，根据题意可列方程组 解得答：燕有11只，雀有14只. 7. 某商店经销一种吉祥物玩具，销售成本为每件30元，据市场分析，若按每件50元销售，一个月能售出500件．销售单价每降低1元，月销售量就增加10件，针对这种玩具的销售情况，当销售单价降价多少元时，月销售利润能够达到6 000元？ 解：设销售单价降价x元，则每件的销售利润为(50－x－30)元，月销售量为(500＋10x)件，依题意，得(50－x－30)(500＋10x)＝6 000，整理，得x2＋30x－400＝0， 解得x1＝10，x2＝－40(舍去). 答：当销售单价降价10元时，月销售利润能够达到6 000元. 8. 为了提高道路的通行效率，现对某路口实行了灯控路口智能化改造．据了解，该路段总长约14公里，改造后车辆通过该路段的行驶速度平均提高了40%，行驶时间平均减少了0.1 h，求改造前车辆通过该路段的平均速度． 解：设改造前车辆平均每小时行驶x公里，则改造后车辆平均每小时行驶x(1＋40％)公里， 根据题意，列方程得－＝0.1， 解得x＝40，经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意. 答：改造前车辆通过该路段的平均速度为每小时40公里. $$题型七　几何证明与作图 类型1 简单几何证明题 类型2 填空双空题 类型3 尺规作图 2025湖北数学 类型1　简单几何证明题 2025湖北数学 1. 如图，在△ABC和△DEF中，点A，E在线段CF上，AB与DE交于点G，若∠BAC＝∠D，∠AGE＝∠C，AC＝DF.求证：AB＝DE. 证明∵∠BAC＝∠D，∠DEF＝∠DEF， ∴∠AGE＝∠F， ∵∠AGE＝∠C， ∴∠C＝∠F. ∵AC＝DF，∠BAC＝∠D， ∴△ABC≌△DEF(ASA)， ∴AB＝DE. 证明：∵D是AB中点，∴AD＝BD， 在Rt△ADE和Rt△BDF中，， ∴Rt△ADE≌Rt△BDF(HL)， ∴∠A＝∠B， ∴AC＝BC， ∴△ABC是等腰三角形. 2. 如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC垂足为E，DF⊥BC垂足为F，且ED＝FD，求证：△ABC是等腰三角形． 3. 如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠ABD＝90°，E是BD的中点，且BC∥AE，连接CE.求证：AB＝CE. 证明：∵点E是BD的中点，BC＝CD， ∴CE⊥BD，∴∠CEB＝90°， ∵∠ABD＝90°， ∴AB∥CE. ∵BC∥AE， ∴四边形ABCE是平行四边形， ∴AB＝CE. 4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，过点C作CE∥AB，且AD＝CE，连接AE，BD.求证：∠ABD＝∠CAE. 证明：∵CE∥AB， ∴∠ECA＝∠DAB， 在△ABD和△CAE中， ∴△ABD≌△CAE(SAS)， ∴∠ABD＝∠CAE. 5. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为CD边上的中点，连接AE并延长，与BC的延长线交于点F，连接AC，DF，求证：四边形ACFD是平行四边形． 证明：∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠FCE， ∵E为CD的中点，∴CE＝DE， 在△ADE和△FCE中， ∴△ADE≌△FCE(ASA)，∴AE＝FE， ∵DE＝CE，∴四边形ACFD是平行四边形. 6. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，CD边的中点，连接CE，AF.求证：∠BCE＝∠DAF. 证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D＝90°. ∵E，F分别为AB，CD边的中点， ∴BE＝AB，DF＝CD，∴BE＝DF， 在△BEC和△DFA中， ∴△BEC≌△DFA(SAS)，∴∠BCE＝∠DAF. 一题多解法 7. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD，DE平分∠ADB交AB于点E，且∠AOB＝4∠ADE.求证：AB⊥BC. 证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形. ∵DE平分∠ADB，∴∠ADB＝2∠ADE， ∵∠AOB＝4∠ADE＝∠DAO＋∠ADB＝∠DAO＋2∠ADE， ∴∠DAO＝2∠DAE，∴∠DAO＝∠ADB， ∴AO＝DO，∴AO＝CO＝BO＝DO， ∴AC＝BD.∴四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC. 8. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，延长AE交BC的延长线于点F.若AB＝BC＋AD，求证：BE⊥AF. 证明：∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF， ∵E是CD的中点，∴DE＝EC， 在△ADE与△FCE中， ∴△ADE≌△FCE(ASA)， ∴AE＝FE，AD＝FC， ∵AB＝BC＋AD， ∴AB＝BC＋CF，即AB＝BF， ∴△ABF是等腰三角形， ∵AE＝FE， ∴E为AF的中点， ∴BE⊥AF. 类型2　填空双空题 2025湖北数学 1. 如图，点M，N是正方形ABCD边AD，CD上的点，分别以M，N为圆心，MD，ND长为半径画弧，交点F恰好在线段BN上，连接MN交对角线BD于点E.若BE＝2DE，BN∶DN＝2∶1，则(1)＝____；(2)tan ∠MND＝_____． 　 2. 如图，由三个全等的三角形(△ABE，△BCF，△CAD)与中间的小等边三角形DEF拼成一个大等边三角形ABC.连接BD并延长交AC于点G，若AE＝ED＝2，则(1)∠FDB的度数是____；(2)DG 的长是_____． 30° 　 3. 如图，正方形ABCD的边长是6，对角线的交点为O，点E在边CD上且CE＝2，CF⊥BE，连接OF，则(1)∠OFB＝____；(2)OF＝_____． 　 45° 4. 如图，BD是等边△ABC的中线，过点D作AB垂线FE，交AB于点F，交BC的延长线于点E，过点F作FH∥BD交AD于点H，若AH＝1，则AD的长是___，△BDE的面积是______． 12 4 5. (2024重庆B卷)如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点B为切点．连接AC交⊙O于点D，E是⊙O上一点，连接BE，DE，过点A作AF∥BE交BD的延长线于点F.若BC＝5，CD＝3，∠F＝∠ADE，则AB的长度是____；DF的长度是____． 　 6. 如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15，点D在AC上(可与点A，C重合)，分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足为E，F，则AE＋CF的最大值为____，最小值为____． 15 12 题型3　尺规作图 2025湖北数学 1. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC. (1)作∠BAC的平分线交BC于点D；(要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母) (1)解：如解图所示，射线AD即为所求； 解图 (2)证明：由(1)可知AD平分∠BAC， ∵AB＝AC，∴AD⊥BC，BD＝CD， ∴∠BDE＝∠CDE＝90°， 在△BDE和△CDE中， ∴△BDE≌△CDE(SAS). 1. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC. (2)在(1)的条件下，若E是线段AD上一点，连接BE，CE，求证：△BDE≌△CDE. 解图 2. 如图，在△ABC中，AB＝BC，D为边AC上一点，连接BD. (1)作∠BDE＝∠C，且DE交边AB于点E；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (1)解：如解图，∠BDE即为所求作(作法不唯一)； 解图 2. 如图，在△ABC中，AB＝BC，D为边AC上一点，连接BD. (2)在(1)的条件下，求证：∠BED＝∠ADB. (2)证明：由(1)可知，∠BDE＝∠C， ∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∴∠BDE＝∠A， ∴∠ADB＝∠ADE＋∠BDE＝∠ADE＋∠A＝∠BED， 即∠BED＝∠ADB. 解图 3. 如图，四边形ABCD是平行四边形，连接BD. (1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段BD的垂直平分线(保留作图痕迹，不写作法)； 解：(1)作线段BD的垂直平分线EF如解图所示； 解图 (2)如解图，∵EF是线段BD的垂直平分线，∴BF＝DF，∠BFE＝∠DFE. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠BFE＝∠DEF， ∴∠DFE＝∠DEF， ∴DE＝DF＝6. ∴AE＝AD－DE＝2. 3. 如图，四边形ABCD是平行四边形，连接BD. (2)若(1)中所作的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，连接DF，AD＝8，DF＝6，求AE的长． 解图 4. 如图，线段AC，BD相交于点O，且AB∥CD，AE⊥BD于点E. (1)尺规作图：过点C作BD的垂线，垂足为点F，连接AF，CE；(保留作图痕迹，不写作法，并标明相应的字母) 解：(1)如解图，CF，AF，CE即为所求； 解图 4. 如图，线段AC，BD相交于点O，且AB∥CD，AE⊥BD于点E. (2)若AB＝CD，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．(若前问未完成，可画草图完成此问) (2)四边形AECF是平行四边形，理由如下： ∵AB∥CD，∴∠B＝∠D， ∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∠BEA＝∠DFC＝90°. 又∵AB＝CD，∴△ABE≌△CDF(AAS)， ∴AE＝CF， ∴四边形AECF是平行四边形. 解图 5. 中国清代数学家李之铉在其著作《几何易简集》中记载了这样一道画图题： 原文 释义 甲乙为定直线，以甲为圆心，以任意之半径截于丙；又以丙为圆心，以同度之半径作两弧而得交点丁；以丁为圆心，丁丙为半径画弧，连丙丁而引长之则得交点戊；戊甲相连. 如图，已知射线AB，①以点A为圆心，以任意长为半径画弧，交射线AB于点C；②以点C为圆心，以AC长为半径画弧交①中所画弧于点D；③以点D为圆心，以CD长为半径画弧交CD的延长线于点E；④连接AE. (1)根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，完成这道作图题(保留作图痕迹，不写作法)； 解：(1)如解图，即为所求； 解图 (2)根据(1)完成的图，连接AD，补充如下证明过程： 证明：由作图痕迹得，AD＝CD＝DE， ∴∠DAC＝_______，∠DEA＝∠DAE， ∵∠ACE＋∠CEA＋∠CAE＝180°，∠CAE＝_______＋_______， ∴∠ACE＋∠CEA＋∠DAC＋∠DAE＝180°， ∴2(∠DAC＋∠DAE)＝180°， 即∠DAC＋_______＝90°， ∴∠EAB＝____°， ∴AB⊥AE. 解图 90 ∠DCA ∠DAC ∠DAE ∠DAE 6. 在学习了矩形相关知识后，智慧小组通过查阅资料发现：A4纸张、常见报纸等矩形的长与宽之比为∶1，在房屋建筑中也存在这样的比例现象，目的是为了使物体更加美观，通常这样的矩形被定义为“标准矩形”．“标准矩形”可由正方形得到，如图，在正方形ABCD中，连接BD，以点D为圆心，BD的长为半径作弧交DC的延长线于点F，过点F作FE⊥AB交AB的延长线于点E.猜想：若利用尺规得到AE的中点G且GH⊥AE交DF于点H，则四边形EFHG也是“标准矩形”． (1)按猜想用尺规作出四边形EFHG(不写做法，保留作图 痕迹)； (1)作出四边形EFHG如解图； 解图 (2)补充证明过程： 证明：∵G是AE中点，GH⊥AE，∴H是DF中点，∠EGH＝90°， ∴_____＝HF， ∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC， ∵EF⊥AB，∴∠AEF＝∠DFE＝90°，∴四边形________是矩形， 由(1)知四边形AEFD是“标准矩形”， 设AD＝a，∴EF＝___，DF＝_____， ∴DH＝HF＝_____，∴＝_____， ∴四边形EFHG是“标准矩形”． 解图 DH EFHG a a 7. 如图，已知矩形ABCD，点M，N分别在CD，AB上(不与顶点重合)，连接MN，线段MN将矩形ABCD分为面积相等的两部分． (1)请用数学中常用的工具：圆规，无刻度直尺，找出一组符合条件的M点和N点(保留作图痕迹，不写作法)； (1)解：如解图①，点M，N即为所求； 一题多解法 解图① (2)求证：AM＝CN. (2)证明：如解图②，连接AM，CN， ∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，AB∥CD，∴∠OAN＝∠OCM. ∵∠AON＝∠COM，∴△AON≌△COM(ASA)，∴AN＝CM. ∵AB∥CD，∴∠CMN＝∠MNA， ∵MN＝NM， ∴△ANM≌△CMN(SAS)， ∴AM＝CN. 解图② 解：(1)如图①，CD即为所求作(作法不唯一)； D 8. 如图，在6×6的正方形网格中，等腰三角形ABC的顶点A，B在格点上，顶角∠A＝36°.请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图(保留作图痕迹，不写作法)． (1)在图①中，作△ABC的中线CD； (2)在图②中，作△ABC的角平分线BE. (2)如图②，BE即为所求作. E $$题型十 反比例函数综合题 2025湖北数学 类型一　反比例函数与一次函数综合 1. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与反比例函数y＝(k≠0)的图象在第一、三象限分别交于A(1，4)，B两点，与y轴交于点C(0，2)． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； 解：(1)∵点A(1，4)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上， ∴k＝1×4＝4，∴反比例函数的解析式为y＝. ∵点A(1，4)，C(0，2)在一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象上， ∴，解得，∴一次函数的解析式y＝2x＋2； (2)连接BO，在x轴正半轴上有一点M，要使CM＝2OB，求出点M的坐标． A(1，4)，C(0，2) (2)设点M的坐标为(m，0)， ∵C(0，2)，∴CM2＝m2＋4， 令＝2x＋2，解得x1＝1，x2＝－2， ∴B(－2，－2)，∴OB2＝8， ∵CM＝2OB，∴CM2＝4OB2，∴m2＋4＝4×8＝32， 解得m＝±2， ∵点M在x轴的正半轴上，∴m＞0，∴M(2，0). 2. 如图，过原点的直线y＝kx(k>0)分别与函数y＝(x>0)和y＝(x<0)的图象交于A，B两点． (1)若A(1，m)，求点B的坐标； 解：(1)∵点A的坐标为(1，m)且点A在反比例函数y＝的图象上， ∴m＝1，∴A(1，1)， 将A(1，1)代入y＝kx，可得k＝1， ∴直线AB的函数解析式为y＝x， ∵点B在函数y＝(x＜0)的图象上，联立 解得x1＝－2，x2＝2(舍去)，∴点B的坐标是(－2，－2)； (2)过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两平行线交于点C.当直线y＝kx(k＞0)中k取不同的值时，△ABC的面积是否变化？若不变，请求出△ABC的面积；若变化，请探究△ABC面积的变化规律． (2)△ABC的面积不变，设A(a，)(a＞0). ∵点A在直线y＝kx(k＞0)上，将点A(a，)代入y＝kx，得k＝， ∴直线AB的函数解析式为y＝x. ∵y＝x的图象与y＝的图象相交于点B， ∴x＝，解得x＝－2a(正值已舍去)， ∴点B的横坐标为－2a. ∵点B在函数y＝(x＜0)的图象上， ∴点B的坐标为(－2a，－)， ∴BC＝3a，AC＝， ∴S△ABC＝BC·AC＝·3a·＝. 3. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A(2，6)，B(3，m)两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D. (1)求反比例函数的解析式及m的值； 解：(1)设反比例函数的解析式为y＝(k≠0)， 将点A(2，6)代入，得k＝12， ∴反比例函数的解析式为y＝， 将B(3，m)代入y＝，得m＝4， ∴m的值为4； (2)请判断线段AD和线段BC的数量关系，并说明理由． A(2，6)，B(3，m) (2)AD＝BC，理由如下： 由(1)知，B(3，4)，如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，∴E(0，6)，F(3，0)， 设一次函数的解析式为y＝ax＋b(a≠0)，将点A(2，6)，B(3，4)分别代入一次函数的解析式中， 得解得 ∴一次函数的解析式为y＝－2x＋10. E F ∟ ∟ 令y＝0，则－2x＋10＝0，解得x＝5，∴C(5，0)， 令x＝0，则y＝10，∴D(0，10)， ∴AE＝xA－xE＝2，DE＝yD－yE＝4，BF＝yB－yF＝4，CF＝xC－xF＝2， ∴在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD＝＝＝2， 在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC＝＝＝2， ∴AD＝BC. E F ∟ ∟ 4. 如图，一次函数y＝x＋b的图象与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点A(1，2)，与x轴交于点B. (1)求一次函数与反比例函数的解析式； 解：(1)将(1，2)代入y＝x＋b中，得＋b＝2，解得b＝， ∴一次函数的解析式为y＝x＋， 将(1，2)代入y＝中，得2＝，解得k＝2， ∴反比例函数的解析式为y＝； (2)以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别与x轴，一次函数y＝x＋b的图象交于C，D两点，再分别以C，D为圆心，大于CD长为半径画弧交于点E，作射线BE交反比例函数图象于点F，求点F的坐标． A(1，2) (2)由作图痕迹可知BF平分∠ABC， 如图，设一次函数的图象与y轴交于点G，过点F作FH⊥x轴于点H， 将x＝0代入y＝x＋中，得y＝，∴G(0，)， ∴OG＝， 将y＝0代入y＝x＋中，得x＝－1，∴B(－1，0)， ∴OB＝1， H ∟ G 在Rt△BOG中，tan∠OBG＝＝，∴∠OBG＝60°， ∵BF平分∠ABC，∴∠EBH＝∠EBA＝30°， ∵点F在反比例函数图象上， ∴设F(m，)(m＞0)，则OH＝m，FH＝， 在Rt△BFH中，tan∠FBH＝＝＝， 解得m＝2或m＝－3(舍去)， ∴F(2，). H ∟ G 类型二　反比例函数与几何图形综合 5. 如图，反比例函数y＝的图象过格点(网格线的交点)A. (1)求反比例函数的解析式； 解：(1)由题图可知点A的坐标是(3，2)， ∵点A在反比例函数y＝的图象上， ∴k＝3×2＝6. ∴反比例函数的解析式为y＝； (2)点B(m，6)在反比例函数的图象上，连接OA，OB，AB. ①点C是第三象限的格点，且其关于原点对称的点在点A与点B之间(不含点A，B)的反比例函数图象上，请直接写出点C的坐标； ②求点O到直线 AB的距离． (2)①点C的坐标是(－2，－3)； ②如图，过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，由反比例函数系数的几何意义可得S△OBE ＝S△OAF. B F ∟ ∵S四边形AFEB＝(AF＋BE)·EF＝×(2＋6)×2＝8， ∴S△OAB＝S△OBE＋S四边形AFEB－S△OAF＝S四边形AFEB＝8， 设点O到直线AB的距离为h， ∴S△OAB＝AB·h， ∵AB＝＝2， ∴h＝＝， 即点O到直线AB的距离为. B F ∟ 6. 如图，小郑用等腰三角形ABC和矩形BCDE拼成了一个“笔尖”图案(五边形ABEDC)，在平面直角坐标系中，点A落在x轴上，BC在y轴上，AB＝AC，反比例函数y＝的图象过点D和AB的中点F(2，2)． (1)求反比例函数的解析式； 解：(1)∵反比例函数y＝的图象过点F(2，2)， ∴k＝2×2＝4， ∴反比例函数的解析式为y＝； (2)求BE的长． (2)如图，过点F作FH⊥x轴于点H，则FH∥OB， ∵F是AB的中点，∴FH是△AOB的中位线， ∵F(2，2)，∴FH＝2，∴OB＝2FH＝4， ∵AB＝AC，OA⊥BC，∴O为边BC的中点， ∴OC＝OB＝4，∴点D的纵坐标为－4， 令y＝＝－4，解得x＝－，∴CD＝， ∵四边形 BCDE为矩形，∴BE＝CD＝. AB＝AC，AB的中点F(2，2) H ∟ $$题型五 二次函数性质综合题 2025湖北数学 解：(1)将B(3，0)代入y＝ax2－2ax－2，得9a－6a－2＝0，解得a＝， ∴抛物线的函数解析式为y＝x2－x－2， 直线BC的函数解析式为y＝x－2； 【解法提示】令x＝0，则y＝－2，∴C(0，－2)，设直线BC的函数解析式 几何画板动态演示 1 .如图，抛物线y＝ax2－2ax－2与x轴交于A，B(3，0)两点，与y轴交于点C，P是x轴下方抛物线上一点，设点P的横坐标为m. (1)求抛物线的函数解析式，并直接写出直线BC的函数解析式； 为y＝kx＋b1(k≠0)，将B(3，0)，C(0，－2)代入得，，解得， ∴直线BC的函数解析式为y＝x－2. (2)过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线BC于点E，若D，E，P三点中，有两个点恰好关于第三点对称，求m的值； (2)∵点P在x轴下方抛物线上，且横坐标为m， ∴P(m，m2－m－2)， ∴E(m，m－2)，D(m，0)， 当点D，P关于点E对称时，PE＝ED， ∴m－2－(m2－m－2)＝－m2＋2m＝2－m 即m2－4m＋3＝0，解得m＝3(舍去)或m＝1， 当点D，E关于点P对称时，DP＝EP， ∴－(m2－m－2)＝m2－m－2－(m－2)， 解得m＝－或m＝3(舍去). 综上所述，m的值为1或－； (3)若Q为y轴上点C下方的一点，当以CQ为直角边的Rt△CPQ与Rt△AOC相似时，求点Q的坐标. (3)令x2－x－2＝0，解得x＝－1或x＝3， ∴A(－1，0)， 由(1)得，C(0，－2)， ∴OA＝1，OC＝2， 如解图，分情况讨论：①当＝＝时， ∵∠CQ1P1＝90°，P1(m，m2－m－2)，∴Q1(0，m2－m－2)， 解图 ∴P1Q1＝m，CQ1＝－2－(m2－m－2)＝－m2＋m， ∴＝，解得m＝0(舍去)或m＝， 将m＝代入m2－m－2，得×()2－×－2＝－， ∴点Q1的坐标为(0，－)； ②当＝＝时，＝，解得m＝0(舍去)或m＝－1(舍去)； ③当＝＝时， ∵∠Q2CP2＝90°，∴CP2∥x轴， ∴点P2的纵坐标为－2，∴令m2－m－2＝－2，解得m＝0(舍去)或m ＝2，∴P2(2，－2)，∴CP2＝2，CQ2＝CP2＝1，∴OQ2＝3，∴点Q2坐标为(0，－3)； ④当＝＝时， ∵由③得CP2∥x轴，P2(2，－2)，CP2＝2， ∴CQ3＝2CP2＝4，∴Q3O＝6，∴点Q3坐标为(0，－6).综上所述，点Q的坐标为(0，－)或(0，－3)或(0，－6). 2. (2024孝感模拟节选)已知抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C，连接BC. (1)求a，b的值及直线BC的解析式； 解：(1)将点A(－1，0)，B(3，0)代入y＝ax2＋bx＋3， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3； 几何画板动态演示 令x＝0，得y＝3， ∴C(0，3)， 设直线BC的解析式为y＝kx＋t(k≠0)， 将B(3，0)，C(0，3)代入，得， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝－x＋3； (2)如图①，点P是抛物线上位于直线BC上方的一点，连接AP交BC于点E，过点P作PF⊥x轴于点F，交BC于点G.连接CP，CA，记△PCE的面积为S1，△ACE的面积为S2，求的最大值； (2)设P(m，－m2＋2m＋3)(0＜m＜3)，则G(m，－m＋3)， ∴PG＝－m2＋2m＋3＋m－3＝－m2＋3m. 如解图①，过A作AH⊥x轴，交直线BC于点H，则PF∥HA， 设H(－1，n)，将H(－1，n)代入y＝－x＋3，得n＝1＋3＝4， ∴H(－1，4)， ∴AH＝4， H 解图① ∴△PGE∽△AHE， ∴＝， ∴＝＝＝＝－(m－)2＋， ∵－＜0， ∴当m＝时，有最大值为； 解图① H (3)如图②，将抛物线位于x轴下方的部分不变，位于x轴上方的部分关于x轴对称，得到新的图形，将直线BC向下平移n个单位，得到直线l，若直线l与新的图形有四个不同交点，请直接写出n的取值范围. (3)4＜n＜. 【解法提示】如解图②，将直线BC向下平移n个单位所得直线l的解析式为y＝－x＋3－n，当直线l过点A(－1，0)时，－1×(－1)＋3－n＝0，解得n＝4；将抛物线y＝－x2＋2x＋3位于x轴上方面的部分关于x轴对称，得到新的图形的解析式为y＝x2－2x－3(－1＜x＜3)，当直线y＝－x＋3－n与抛物线y＝x2－2x－3(－1＜x＜3)相切时，令x2－2x－3＝－x＋3－n， 整理得x2－x－6＋n＝0，∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×(－6＋n)＝25－4n＝0，解得n＝， ∴当4＜n＜时，直线l与新的图形有四个不同交点， ∴n的取值范围为4＜n＜ I 解图② 3. (2024恩施州模拟)如图①，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，直线l：y＝x－3经过B，C两点. (1)求出该二次函数的解析式； 解：(1)在y＝x－3中，令x＝0得y＝－3，令y＝0得x＝3， ∴B(3，0)，C(0，－3)， 将B(3，0)，C(0，－3)代入y＝x2＋bx＋c， 得，解得， ∴二次函数的解析式为y＝x2－2x－3； (2)已知点P为直线l上的一点，设其横坐标为t，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N(P，M不重合). ①当PM＝MN时，求点P的横坐标； (2)①如解图①，∵点P为直线l上的一点，其横坐标为t， ∴P(t，t－3)，M(t，t2－2t－3)， ∴PM＝｜t2－2t－3－(t－3)｜＝｜t2－3t｜， ∵抛物线y＝x2－2x－3的对称轴为直线x＝1， ∴MN＝｜2(t－1)｜＝｜2t－2｜， N M P 解图① ∵PM＝MN， ∴｜t2－3t｜＝｜2t－2｜， ∴t2－3t＝(2t－2)或t2－3t＝－(2t－2)， 解得t＝2＋或t＝2－或t＝1＋或t＝1－， ∴P点横坐标为2＋或2－或1＋或1－； N M P 解图① ②当PM的长度随t的增大而增大时，直接写出t的取值范围. ②当0＜t≤或t＞3时，PM的长度随t的增大而增大. 【解法提示】由①知，PM＝｜t2－3t｜，当t≤0或t≥3时，PM＝t2－3t＝(t－)2－，∴PM关于t的抛物线开口向上，对称轴为直线t＝，∴当t≥时，PM的长度随t的增大而增大，∵t≤0或t≥3，∴当t≥3时，PM的长度随t的增大而增大；当0＜t＜3时，PM＝－t2＋3t＝－(t－)2＋，∴PM关于t的抛物线开口向下，对称轴为直线t＝，∴当t≤时，PM的长度随t 的增大而增大，∵0＜t＜3， ∴当0＜t≤时，PM的长度随t的增大而增大； 由题意得t＝0或3时P，M重合，PM长为0， 综上所述，当0＜t≤或t＞3时，PM的长度随t的增大而增大； (3)如图②，将二次函数y＝x2＋bx＋c在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“W”形状的新图象，再将直线l向上平移n个单位长度，得到直线l'，当直线l'与这个新图象有3个公共点时，求n的值. (3)在y＝x2－2x－3中，令y＝0，得0＝x2－2x－3， 解得x＝－1或x＝3， ∴A(－1，0)，B(3，0)， ∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， ∴抛物线y＝x2－2x－3的顶点为(1，－4)， ∴将抛物线y＝x2－2x－3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则翻折上来的部分抛物线顶点为(1，4)， ∴翻折上来的部分抛物线解析式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3(－1≤x≤3)， 直线l向上平移n个单位长度得到直线l'为y＝x－3＋n， 如解图②，当直线l'经过点A或与y＝－x2＋2x＋3相切时， 直线l'与新图象恰好有三个不同的交点， 解图② ①当直线l'经过点A(－1，0)时， 把A(－1，0)代入y＝x－3＋n得 0＝－1－3＋n， 解得n＝4， ②当y＝x－3＋n与y＝－x2＋2x＋3相切时，令x－3＋n＝－x2＋2x＋3，即x2－x＋n－6＝0，由题意得方程只有一个解 ∴方程x2－x＋n－6＝0的判别式等于0， ∴b2－4ac＝(－1)2－4(n－6)＝0，解得n＝， 综上所述，n＝4或n＝时，直线l'与这个新图象有3个公共点. 4. (2024荆州模拟)如图，已知经过点A(－2，0)和B(x，0)(x＞－2)的抛物线y＝－x2＋mx＋n(m＞0)与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D. (1)请用含m的代数式表示n和点D的坐标； 解：(1)∵抛物线经过点A(－2，0)， ∴－×(－2)2＋m×(－2)＋n＝0，∴n＝m＋1， ∵y＝－x2＋mx＋n＝－(x－m)2＋m2＋n＝－(x－m)2＋m2＋m＋1， ∴对称轴为直线x＝m，∴点D的坐标为(2m，m＋1)； (2)设直线EF垂直平分OC，垂足为E，交该抛物线的对称轴于点F，连接CF，DF，∠CFD＝90°，求m的值； (2)如解图①，设CD与抛物线对称轴交于点G，则CD＝2CG＝2m，GF＝OC＝(m＋1)， ∵点C与点D关于抛物线对称轴对称， ∠CFD＝90°，CD∥x轴， ∴△CDF是等腰直角三角形，CD＝2GF， ∴2m＝2×(m＋1)，解得m＝1， ∴m的值为1； G 解图① (3)①∵m＝1，n＝m＋1＝2， ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2＝－(x－1)2＋， ∴B(4，0)，Q(t，－t2＋t＋2)， 则抛物线对称轴为直线x＝1，直线CD的解析式为y＝2， ∴d1＝｜t－1｜，d2＝｜－t2＋t＋2－2｜＝｜－t2＋t｜， (3)若在(2)的条件下，点Q是抛物线上在y轴右侧的一个动点，其横坐标为t，点Q到抛物线对称轴和直线CD的距离分别是d1，d2，且d＝d1－d2. ①求d关于t的函数解析式； ∵点Q在y轴右侧的抛物线上运动，t＞0， ∴当0＜t≤1时，d＝d1－d2＝(1－t)－(－t2＋t)＝t2－t＋1； 当1＜t≤2时，d＝d1－d2＝(t－1)－(－t2＋t)＝t2＋t－1； 当t＞2时，d＝d1－d2＝(t－1)－(t2－t)＝－t2＋t－1， ∴d与t之间的函数关系式为d＝ ②当0＜d≤1时，直接写出t的取值范围. ②0＜t＜3－或－1＜t≤2或4≤t＜3＋. 【解法提示】当d＝t2－t＋1＝0时，解得t＝3－(不合题意的值已舍去)，当d＝1时，同理可得t＝0(不合题意的值已舍去)，依次求出1＜t≤2，t＞2时，d＝0和d＝1对应的t的值为－1；3＋和2；4(不符合题意的值已舍去)，如解图②，∴当0＜d≤1时，t的取值范围为0＜t＜3－或－1＜t≤2或4≤t＜3＋. 解图② 5. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋3与x轴交于点A(－1，0)和点B，与y轴交于点C. (1)求b的值； 解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋3与x轴交于点A(－1，0)， ∴0＝－1－b＋3，解得b＝2； (2)如图，M是第一象限抛物线上的点，∠MAB＝∠ACO，求点M的横坐标； (2)如解图①，过点M作MN⊥x轴于点N， ∵b＝2， ∴y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， 令y＝0，则－(x－1)2＋4＝0， 解得x＝－1或x＝3， ∵A(－1，0)， ∴B(3，0)，令x＝0，则y＝3，∴C(0，3)，OC＝3. 设M(m，－m2＋2m＋3)， ∟ N 解图① ∵∠MAB＝∠ACO，∠MNA＝∠AOC， ∴△MAN∽△ACO， ∴＝，即＝， 解得m＝或－1(舍去). ∴点M的横坐标为； ∟ N 解图① (3)将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点N.设L的顶点横坐标为n，NC的长为d. ①求d关于n的函数解析式； ①∵二次函数沿水平方向平移，得到新抛物线L， ∴图象L的解析式为y＝－(x－n)2＋4＝－x2＋2nx－n2＋4， ∴N(0，－n2＋4)， 当点N在点C的上方时，NC＝－n2＋1， 当点N在点C的下方时，NC＝n2－1. 令NC＝0， 解得n＝1或n＝－1. ∴当n＜－1或n＞1时，d＝n2－1；当－1≤n≤1时，d＝－n2＋1； ∴d关于n的函数解析式为d＝ ②L与x轴围成的区域记为U，U与△ABC内部重合的区域(不含边界)记为W.当d随n的增大而增大，且W内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出n的取值范围. ②n的取值范围为－1≤n≤1－或≤n＜. 【解法提示】由①得d＝，画出大致图象如解图②， 解图② 当x＝0时，yL＞2，当x＝1时，yL≤1， ∴， ∴－＜n＜，n≥1＋或n≤1－， ∴－＜n≤1－， ∵－1≤n≤0或n≥1， ∴－1≤n≤1－；当W内恰有2个整数点(0，1)，(1，1)时，如解图④， ∵d随n的增大而增大，∴－1≤n≤0或n≥1，△ABC中含(0，1)，(0，2)，(1，1)三个整数点(不含边界)，当W内恰有2个整数点(0，1)，(0，2)时，如解图③， 解图③ 解图④ 当x＝0时，1＜yL≤2，当x＝1时，yL＞1，∴，∴－＜n≤－或≤n＜，1－＜n＜1＋，∴≤n＜， ∵－1≤n≤0或n≥1，∴≤n＜；当W内恰有2个整数点(0，2)，(1，1)时，此情况不存在，舍去，综上所述，n的取值范围为－1≤n≤1－或≤n＜. 6.在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c(b，c是常数)与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.P为x轴上方抛物线上的动点(不与点C重合)，设点P的横坐标为m. (1)直接写出b，c的值； 解：(1)b＝2，c＝3 【解法提示】∵抛物线y＝－x2＋bx＋c(b，c是常数)与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，∴抛物线y＝－x2＋bx＋c的解析式为y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3，∴b＝2，c＝3； 几何画板动态演示 (2)如图，直线l是抛物线的对称轴，当点P在直线l的右侧时，连接PA，过点P作PD⊥PA，交直线l于点D.若PA＝PD，求m的值； (2)如解图①，过点P作PE⊥AB于点E，过点D作DF⊥EP交EP的延长线于点F， ∴∠PEA＝∠F＝90°， ∵PD⊥PA，PA＝PD， ∴∠PAE＋∠APE＝90°，∠DPF＋∠APE＝90°， ∴∠PAE＝∠DPF， ∴△PAE≌△DPF(AAS)， F E 解图① ∴PE＝DF， ∵P(m，－m2＋2m＋3)，A(－1，0)， ∴PE＝DF＝－m2＋2m＋3，点D的横坐标为m－(－m2＋2m＋3)＝m2－m－3， ∵直线l的解析式为x＝1，点D在直线l上， ∴m2－m－3＝1，解得m＝或m＝， ∵点P在直线l的右侧且在x轴上方抛物线上， ∴1＜m＜3，∴m＝； F E 解图① (3)过点P作x轴的平行线与直线BC交于点Q，线段PQ的长记为d. ①求d关于m的函数解析式； (3)①由(1)知，抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3， 当x＝0时，y＝3，即C(0，3)， ∵B(3，0)， ∴设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)， 得，解得， ∴直线BC的解析式为y＝－x＋3， ∵P(m，－m2＋2m＋3)(－1＜m＜3，且m≠0)，当y＝－x＋3＝－m2＋2m＋3时，x＝m2－2m，即Q(m2－2m，－m2＋2m＋3)； 当－1＜m＜0时，点P在点Q的左侧，d＝PQ＝m2－2m－m＝m2－3m， 当0＜m＜3时，点P在点Q的右侧，d＝PQ＝m－(m2－2m)＝－m2＋3m， ∴d＝； ②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况. ②绘制d＝的函数图象如解图②， ∵点A(－1，4)，C(，)，B(3，0)， 由图象可知，当＜d＜4时，m的值只有1个， 故点P只有1个； 当d＝时，m的值有2个，故点P有2个； 解图② 当0＜d＜时，m的值有3个，故点P有3个；当d＝0时，m＝0或m＝3， ∵m≠0， ∴此时m只有一个值，故点P有一个值， 综上所述，当＜d＜4时，点P有1个；当d＝时，点P有2个；当0＜d＜时，点P有3个. 解图② 7. (2024襄阳模拟)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点(－2，－3)，与x轴交于A，B(1，0)两点，与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，设点P的横坐标为m. 解：(1)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点(－2，－3)，与x轴交于A，B(1，0)两点，将两点坐标代入y＝ax2＋2x＋c，得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3， (1)直接写出a，c的值，并求出此时抛物线的顶点坐标； 即y＝(x＋1)2－4； ∴抛物线y＝x2＋2x－3的顶点坐标为(－1，－4)； (2)若∠PAB＝∠OCB，求点P的坐标； (2)当y＝0时，即x2＋2x－3＝0， 解得x1＝－3，x2＝1. ∴A(－3，0)，B(1，0)， 即OA＝3，OB＝1. 当x＝0时，y＝－3，即OC＝3， ∴OA＝OC. 当点P在x轴上方抛物线上时，如解图①所示，设直线AP交y轴于点E，连接BC， 解图① 由∠PAB＝∠OCB，OA＝OC，∠AOE＝∠COB， ∴△AOE≌△COB(ASA). ∴OE＝OB＝1， ∴E(0，1). 设直线AE的解析式为y＝kx＋b(k≠0)， 把A(－3，0)，E(0，1)代入，得 解得 ∴直线AE的解析式为y＝x＋1， 由直线AE与抛物线y＝x2＋2x－3相交，得x＋1＝x2＋2x－3， 解得x1＝－3，x2＝. 由点P在第一象限，得x＝， 此时y＝x＋1＝×＋1＝，∴P(，)； 解图① (3)过点P作PD⊥y轴，垂足为点D，过点P作y轴的平行线与x轴交于点M，与AC相交于点N，过点N作y轴的垂线，交y轴于点E，设矩形PNED的周长为C. ①求C关于m的函数解析式； (3)①设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)， 把A(－3，0)，C(0，－3)代入，得解得 ∴直线AC的解析式为y＝－x－3， 由P(m，m2＋2m－3)，得N(m，－m－3)，当m＜－3时，如解图②， 解图② ∴PD＝0－m＝－m，PN＝m2＋2m－3－(－m－3)＝m2＋3m， ∴C＝2(PD＋PN)＝2(－m＋m2＋3m)＝2m2＋4m， 当m＞1时，如解图③， ∴PD＝m，PN＝m2＋2m－3－(－m－3)＝m2＋3m， ∴C＝2(PD＋PN)＝2(m＋m2＋3m)＝2m2＋8m， ∴C＝； 解图② 解图③ 【解法提示】∵C＝，当C＝2m2＋4m(m＜－3)时，m＝－＝－1，故当m＞－1时，C随m的增大而增大，不符合题意；当C＝2m2＋8m(m＞1)时，m＝－＝－2，故当m＞1时，C随m的增大而增大，综上所述，当m＞1时，C随m的增大而增大. ②当C随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围. ②m＞1 8. 对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作d(M，N). 【迁移应用】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋2与坐标轴交于A，B两点，点C的坐标为(－2，0)，抛物线G：y＝ax2＋bx＋c经过A，B，C三点. (1)求抛物线G的函数表达式； 解：(1)∵直线y＝－x＋2，当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝4， ∴A(0，2)，B(4，0). ∵抛物线经过点C(－2，0)， ∴设抛物线的函数表达式为y＝a(x＋2)(x－4)，将点A(0，2)代入，得－8a＝2， ∴a＝－， ∴抛物线G的函数解析式为y＝－(x＋2)(x－4)＝－x2＋x＋2； (2)点D为第一象限抛物线上的一点，连接CD交AB于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△CBE的面积为S2，若＝，求d(点D，△ABC)的值； (2)如解图①，连接AD，过点E作EF⊥AD于点F，过点E作EG⊥BC于点G，易证△ADE∽△BCE. ∵＝， ∴＝，∴＝，即＝，∴＝. 设点E的坐标为(x，－x＋2)，则点D的纵坐标为(－x＋2)＝－x＋， 解图① ∴＝，∴点D的横坐标为x＋，∴点D的坐标为(x＋，－x＋)， 将点D的坐标代入抛物线，得－x＋)2＋x＋)＋2＝－x＋， 解得x＝1，∴点E(1，)，点D(2，2). 如解图①，过点D作DH⊥AB于点H， ∵AD∥x轴，点A(0，2)， ∴点F(1，2)，∴AD＝2，AE＝＝，EF＝＝2－＝， ∴S△ADE＝AE·DH＝AD·EF，∴DH＝＝＝， ∴d(点D，△ABC)＝； (3)已知坐标系中有一直线L：y＝－x＋t，若d(G，L)≥2，求t的取值范围. (3)∵d(G，L)≥2， ∴直线L与抛物线G没有交点，且最近的距离为2.如解图②，当直线L与抛物线G只有一个交点时，得到直线m，则方程－x2＋x＋2＝－x＋t只有一个实数根， 整理得－x2＋x＋2－t＝0， ∴b2－4ac＝()2＋(2－t)＝0， ∴t＝. 解图② 记直线m与抛物线的交点为G，与y轴的交点为点M，则M(0，)，将直线m沿垂直于直线m的方向平移2个单位，即可得满足条件的直线L，记为直线n，则GK⊥直线n，GK＝2，过点G作GL∥y轴，交直线n于点L，则∠LGM＝∠OMG＝45°， ∴∠LGK＝45°，∴△LGK是等腰直角三角形， ∴LG＝2，记直线n与y轴的交点为N，则四边形MNLG为平行四边形， ∴MN＝LG＝2， ∴点N的坐标为(0，＋2)，∴t的取值范围为t≥＋2. $$