19.3课题学习 选择方案（教学课件）2024-2025学年人教版（2012）数学八年级下册

19.3 课题学习 选择方案 第十九章 一次函数 素养目标 1.会用一次函数知识解决方案选择问题,体会函数模型思想; 2.能从不同的角度思考问题,优化解决问题的方法; 重难点 3.能进行解决问题过程的反思,总结解决问题的方法. 新知导入 做一件事情,有时有不同的实施方案.比较这些方案,从中选择最佳方案作为行动计划,是非常必要的.在选择方案时,往往需要从数学角度进行分析,涉及变量的问题常用到函数. 让我们一起学习如何运用一次函数选择最佳方案吧. 探究新知 【探究一】怎样选取上网收费方式? 下表给出A,B,C三种上宽带网的收费方式. 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/(元/min) A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 C 120 不限时 选择哪种方式能节省上网费? 探究新知 【问题1】上表中哪些方式上网费用是变化的,哪些是不变的? A,B 方式的上网费用是随着时间的变化而变化的,C 方式的上网费用是不变的. 【问题2】在A、B两种方式中,上网费由哪些部分组成? 上网费 = 月使用费 + 超时费. 【问题3】影响超时费的变量是什么? 上网时间. 【问题4】这三种方式中有一定最优惠的方式吗? 没有一定最优惠的方式,与上网的时间有关. 探究新知 设上网时间为 x h,则 A,B,C三种方式的上网费用分别为 y1,y2,y3,其中y1,y2都是关于 x 的函数,比较以上三种方式哪种方式更优惠?应该怎么比较? 【分析】x 代表上网时间,则需要比较在 x>0 的范围内,y1,y2,y3的大小关系,费用最少的,即为最优惠的. 探究新知 解:从表中可以看出:当 0≤x≤25 时, y1=30. 当 x>25 时, y1=30+0.0560(x-25)=3x-45. A 方式的函数解析式为: 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/(元/min) A 30 25 0.05 探究新知 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/(元/min) B 50 50 0.05 从表中可以看出:当 0≤x≤50 时, y2=50. 当 x>50 时, y2=50+0.0560(x-50)=3x-100. B 方式的函数解析式为: 探究新知 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/(元/min) C 120 不限时 从表中可以看出:C方式无论上网时间多久,每月只用交一次费用即可. C 方式的函数解析式为: y3= 120 (x≥0) 探究新知 0 30 50 25 50 120 y1 x y l1 y3 y2 l2 从图中可以看出:在直线 l1的左侧,A 方式最省钱. A 方式和 B 方式在直线 l1上有交点,此时有 3x-45=50,解得 在同一坐标系画出它们的图象: 探究新知 从图中可以看出:在直线 l1和直线 l2 之间,B 方式最省钱. B 方式和 C 方式在直线 l2 上有交点,此时有 3x-100=120,解得 0 30 50 25 50 120 y1 x y l1 y3 y2 l2 探究新知 从图中可以看出:在直线 l2的右侧,C 方式最省钱,此时 0 30 50 25 50 120 y1 x y l1 y3 y2 l2 探究新知 (1)当上网时间为 时,选择A方式最省钱; (2)当上网时间为 时,选择B方式最省钱; (3)当上网时间 时,选择C方式最省钱. 探究新知 【探究二】怎样租车? 某学校计划在总费用 2 300 元的限额内,租用汽车送 234 名学生和 6 名教师集体外出活动,每辆汽车上至少要有 1 名教师.现有甲、乙两种大客车,它们的载客量和租金如表所示: 甲种客车 乙种客车 载客量(单位:人/辆) 45 30 租金 (单位:元/辆) 400 280 探究新知 【问题1】如果单独租甲种车需要多少辆?乙种车呢? 240 30=8 单独租甲种车要6辆,单独租乙种车要8辆. 【问题2】如果甲、乙都租,你能确定合租车辆的范围吗? 单独租甲种车要6辆,单独租乙种车要8辆,又因为每辆汽车上至少要有 1 名教师,共6名教师,所以最多租用汽车6辆,综上,合租车辆为6辆. 探究新知 【问题3】你能给出最节省费用的租车方案吗? 解:设租用甲种客车 x 辆,则租用乙种客车 (6-x) 辆.租车总费用为 y 元. 从人数上:6 名教师和 234 名学生共计 240 人,所以甲种客车和乙种客车总共的载客量要 ≥ 240. 45x+30(6 - x) ≥ 240 x ≥ 4 探究新知 从费用上:学校计划的费用是 2 300 元,所以甲种客车和乙种客车总共的费用要≤2 300. 400x+280(6-x)≤2 300, 所以x的取值范围为: , 根据实际意义,x只能取4或5. 【问题3】你能给出最节省费用的租车方案吗? 解:设租用甲种客车 x 辆,则租用乙种客车 (6-x) 辆.租车总费用为 y 元. 探究新知 解:设租用甲种客车 x 辆,则租用乙种客车 (6-x) 辆.租车总费用为 y 元. 由题意可得 y=400x+280(6-x)=120x+1680(x=4或5) 方案一:当x=4时,即租用4辆甲种汽车,2辆乙种汽车 y=120 4+1680=2160. 方案二:当x=5时,即租用5辆甲种汽车,1辆乙种汽车 y=120 5+1680=2280. 综上,选择方案一更划算. 归纳总结 解决含多个变量的问题时,可以分析这些变量之间的关系,从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量,然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数,以此作为解决问题的数学模型. 小结 实际问题 函数问题 设变量 找对应关系 函数问题的解 实际问题的解 解释实 际意义 谢谢同学们的聆听 练习1 为了全面贯彻党的教育方针,使学生成长为德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人,在课程标准中,强调要加强体育教育.某中学为了增强学生的体质,准备购买一批甲、乙两种体育器材300件,已知某体育用品店,甲种器材每件20元,乙种器材每件15元,且该店对同时购买两种器材有两种销售方案.(只能选择其中一种) 方案一:甲种器材每件打九折,乙种器材每件打六折; 方案二:甲、乙种器材每件均打八折; 设购买甲种器材 件,选择方案一的购买费用为 元,选择方案二的购买费用为 元. (1)请分别写出 , 与x之间的函数关系式; 解析:(1)由题意得: , ; (2)请你计算该校选择哪种方案支付的费用较少. 解析:(2)当 时, ,解得 ; 当 时, ,解得 ; 当 时, ,解得 ; ∵ , ,∴ , ∴当 时,两种方案费用一样;当时 时,方案二支付的费用较少;当时 时,方案一支付的费用较少. 练习2 合肥某校有3名教师准备带领部分学生(不少于3人)参观野生动物园经洽谈,野生动物园的门票价格为教师票每张36元,学生票半价,且有两种购票优惠方案方案一:购买一张教师票赠送一张学生票;方案二,按全部师生门票总价的 QUOTE 80% 付款,只能选用其中一种方案购买假如学生人数为x(人),生门票总金额为y(元) (1)分别写出两种优惠方案中y与x的函数表达式; 解析:(1)按优惠方案一可得 QUOTE ,y-1.=36 3+(x-3) 36 ,1-2.=18x+54(x≥3) , 按优惠方案二可得 QUOTE ,y-2.=(18x+36 3) 80%=14.4x+86.4(x≥3) . (2)请通过计算回答,选择哪种购票方案师生门票总费用较少; (2)请通过计算回答,选择哪种购票方案师生门票总费用较少; 解析:(2) QUOTE (2)∵,y-1.-,y-2.=3.6x-32.4(x≥3) , ①当 QUOTE ,y-1.-,y-2.=0 时,得,解得 QUOTE x=9 , 当购买9张票时,两种优惠方案付款一样多; ②当 QUOTE ,y-1.-,y-2.<0 时,得,解得 QUOTE x<9 , QUOTE ,y-1.<,y-2. ,选方案一较划算; QUOTE ∴3≤x<9 时, ③当 QUOTE ,y-1.-,y-2.>0 时,得,解得 QUOTE x>9 , 当 QUOTE ,y-1.>,y-2. ,选方案二较划算. QUOTE x>9 时, (3)若选择最优惠的方案后,共付款288元,则学生有多少人? 解析:(3)当 QUOTE x<9 时,, 解得 QUOTE x<9 , QUOTE x=13 ,不满足 当 QUOTE x>9 时,, 解得 ,满足题意, 学生有14人. 练习3 古人常说:“读书可以启智,读书可以明理,读书可以医愚”,读书不但可以让人增长智慧,开拓视野,而且还能让人明事理,知荣辱.某校为营造书香校园,计划购进个某品牌书架,已知该品牌书架的单价为200元个,经过与厂家协商,厂家给出两种优惠方案: 方案一:所有书架均按原价的八折销售; 方案二:若一次购买不超过10个,则每个书架按原价的九折销售;若一次购买超过10个,则前10个打九折,超过的部分每个书架的价格在九折的基础上再降低30元. (1)分别求方案一实际付款金额 (元)和方案二实际付款金额 (元)与之间的函数关系式; 解析:(1)由题意可得: , 当 时, , 当 时, , ∴ , ; (2)当 时,请分别求出两种方案的实际付款金额,并判断选择哪种方案对学校来说更省钱. 解析:(2)当 时, (元), (元), ∴ , ∴选择方案一更省钱. 练习4 A城有肥料200吨,B城有肥料300吨.现要把这些肥料全部运往C,D两乡,C乡需要肥料240吨,D乡需要肥料260吨,其运往C,D两乡的运费如下表: 两乡 两城 C/(元/吨) D/(元/吨) A 20 24 B 15 17 设从A城运往C乡的肥料为x吨,从A城运往两乡的总运费为 元,从B城运往两乡的总运费为 元. (1)分别直接写出 , 与x之间的函数关系式(不要求写自变量的取值范围); 解析:(1)A城运往C乡的肥料量为x吨,则运往D乡的肥料量为 吨;B城运往C、D乡的肥料量分别为 吨和 吨, ∴ , , ∴ 与x之间的函数关系式为: , 与x之间的函数关系式为: ; (2)当A城运往两乡的总运费不低于4200元时,怎样调运,才能使A,B两城运往两乡的总费用的和最小?并求出最小值. 解析:(2)依题意, 解得: , 设两城总费用和为w元,则 , ∴w随着x的增大而减小, ∴当 时, 此时调运方案为:A城运150吨肥料到C城,运50吨肥料到D城;B城运90吨肥料到C城,运210吨肥料到D城,最小费用为9120元. $$