第5章 分式与分式方程（思维导图+知识梳理+20大考点讲练+优选真题难度分层练 共70题）-2024-2025学年北师大版数学八年级下学期章节培优复习知识讲练测

2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期中复习知识串讲【优等生培优版】 第5章 分式与分式方程 （知识梳理+易错点拨+20个重难点考点讲练+压轴题专练 共70题） 同学你好，本套讲义结合课本内容设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识点梳理，易错考点点拨，重点难点考点真题汇编讲练，精选10道易错压轴题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 导图指引 考点点睛 3 知识精讲 复习回顾 3 知识点梳理01：分式的有关概念及性质 3 知识点梳理02：分式的运算 4 知识点梳理03：分式方程 5 知识点梳理04：分式方程的应用 5 易错点拨 查漏补缺 5 易错知识点01：分式的概念与性质 5 易错知识点02：分式的运算 6 易错知识点03：分式方程 6 易错知识点04：分式与分式方程的综合应用 7 重点难点 考点讲练 7 重点难点考点讲练01:分式有意义的条件 7 重点难点考点讲练02:分式的值为零的条件 8 重点难点考点讲练03:分式的值 9 重点难点考点讲练04:分式的基本性质 12 重点难点考点讲练05:约分 14 重点难点考点讲练06:通分 15 重点难点考点讲练07:最简分式 17 重点难点考点讲练08:最简公分母 18 重点难点考点讲练09:分式的乘除法 19 重点难点考点讲练10:分式的加减法 22 重点难点考点讲练11:分式的混合运算 24 重点难点考点讲练12:分式的化简求值 27 重点难点考点讲练13:列代数式（分式） 30 重点难点考点讲练14:分式方程的定义 31 重点难点考点讲练15:分式方程的解 32 重点难点考点讲练16:解分式方程 34 重点难点考点讲练17:换元法解分式方程 37 重点难点考点讲练18:分式方程的增根 40 重点难点考点讲练19:由实际问题抽象出分式方程 41 重点难点考点讲练20:分式方程的应用 42 压轴专练 拔尖冲刺 45 知识点梳理01：分式的有关概念及性质 1．分式 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 【易错点剖析】分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义. 2.分式的基本性质 　　（M为不等于0的整式）. 3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子、分母中含有公因式，要进行约分化简. 知识点梳理02：分式的运算 1．约分　 利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 2．通分 利用分式的基本性质，使分子和分母同乘以适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　　 3．基本运算法则 　 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算 ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. （2）乘法运算 ，其中是整式，. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 ，其中是整式，. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. （4）乘方运算 分式的乘方，把分子、分母分别乘方. 4.分式的混合运算顺序 　先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的. 知识点梳理03：分式方程 1．分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根. 【易错点剖析】因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解. 知识点梳理04：分式方程的应用 【高频考点精讲】列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解. 易错知识点01：分式的概念与性质 1. 分式与整式的混淆： 学生可能无法准确区分分式和整式，特别是在分母中含有字母的情况下。例如，是分式，因为分母中含有字母 x；而是整式，因为分母中不含有字母。 2. 分式有意义的条件理解不清： 学生可能忽视分式有意义的条件是分母不能为0。例如，对于分式，当 b = 0 时，分式无意义。 3. 分式的基本性质应用错误： 学生可能错误地应用分式的基本性质，即分子和分母同时乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变。例如，将的分子和分母同时乘以 c（c≠0）得到是正确的，但将的分子乘以 c、分母乘以 d（c≠d且c,d≠0）得到则是错误的。 易错知识点02：分式的运算 1. 分式的乘除法运算错误： 学生可能在进行分式的乘除法运算时，出现分子与分子相乘、分母与分母相乘（乘法）或除式的分子分母颠倒位置后再与被除式相乘（除法）的错误。例如，计算时，错误地得到而不是。 2. 分式的加减法运算错误： 学生可能在进行同分母分式的加减法运算时，忘记分母不变、只将分子相加减的原则。或者在进行异分母分式的加减法运算时，不会先通分再加减。例如，计算时，错误地得到而不是。 3. 分式运算中的符号处理不当： 学生可能在分式运算中忽视符号的处理，导致运算结果错误。例如，计算时，错误地得到而不是。 4. 分式化简不彻底： 学生可能在分式化简过程中，没有将分子和分母中的公因式完全约去，导致化简结果不是最简分式。例如，化简时，错误地得到而不是。 易错知识点03：分式方程 1. 分式方程无解与增根混淆不清： 学生可能无法准确理解分式方程无解与增根的区别。无解是指方程没有满足条件的解，而增根是在去分母过程中产生的、使最简公分母为0的解，它可能不是原方程的解。例如，解方程时，如果去分母后得到 x = 2x - 2，解得 x = 2，但代入最简公分母x(x−1)得0，所以 x = 2 是增根，原方程无解。 2. 解分式方程时去分母错误： 学生可能在解分式方程时，错误地去分母或漏乘某些项。例如，解方程时，如果错误地去分母得到2(x−1)−(x+1)=(x+1)，则会导致后续计算错误。 3. 解分式方程后未检验： 学生可能在解出分式方程的解后，忘记将解代入最简公分母进行检验，从而可能得到增根或错误解。 4. 列分式方程解决实际问题时建模错误： 学生可能在列分式方程解决实际问题时，无法准确理解题意、找出等量关系并正确设立未知数，导致列出的方程错误。 易错知识点04：分式与分式方程的综合应用 1. 分式与分式方程的混合运算错误： 学生可能在进行分式与分式方程的混合运算时，出现运算顺序错误或符号处理不当等问题。 2. 分式与分式方程在几何问题中的应用错误： 学生可能无法将分式与分式方程的知识应用于解决几何问题，如利用分式方程求解图形的面积、周长等。 重点难点考点讲练01:分式有意义的条件 【例题精讲】（2024春•雁塔区校级期中）要使分式有意义，则x的取值应满足（　　） A．x≠4 B．x≠3 C．x＝4 D．x＝3 【思路点拨】根据分式有意义即分母不为0计算即可． 【规范解答】解：要使分式有意义， 则x﹣4≠0， 所以x≠4， 故选：A． 【考点评析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【训练1】（2024春•郫都区校级期中）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围 　x≠2　 ． 【思路点拨】根据分式有意义的条件即可． 【规范解答】解：根据题意知x﹣2≠0， 解得x≠2． 故答案为：x≠2． 【考点评析】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解决此题的关键． 【训练2】（2021春•江津区校级期中）要使式子在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是　a≥﹣3且a≠±1　 ． 【思路点拨】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【规范解答】解：由题意得，a+3≥0且a2﹣1≠0， 解得a≥﹣3且a≠±1． 故答案为：a≥﹣3且a≠±1． 【考点评析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义⇔分母为零； （2）分式有意义⇔分母不为零； （3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 重点难点考点讲练02:分式的值为零的条件 【例题精讲】（2022春•昆都仑区校级期中）下列说法：①x＝0是2x﹣1＜0的解；②若a＞b，则2﹣a＞2﹣b；③25x2﹣kxy+4y2是一个完全平方式，则k＝20；④两个连续奇数的平方差是8的整数倍；⑤若分式的值为0，则x的值为±3；⑥已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为±3．其中正确的个数是（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【思路点拨】①根据不等式的解的意义，代入验证； ②根据不等式是性质求解； ③根据完全平方公式求解； ④根据题意列式证明； ⑤根据分数的值为0 的条件求解； ⑥根据一元一次不等式的定义求解； 【规范解答】解：①当x＝0时2x﹣1＝﹣1＜0，故①正确； ②当a＞b，有2﹣a＜2﹣b，故②错误； ③当25x2﹣kxy+4y2是一个完全平方式，则k＝±20，故③错误； ④∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝4n•2＝8n， ∴两个连续奇数的平方差是8的整数倍，故④正确； ⑤若分式的值为0，则x＝3，故⑤错误； ⑥若是关于x的一元一次不等式，则m的值为±4，故⑥错误； 正确的有①④，故选：D． 【考点评析】本题考查了方程、不等式、分式、完全平方式，掌握代数基础知识是解题的关键． 【训练1】（2023春•天宁区校级期中）若分式的值为零，则x的值为　3　 ． 【思路点拨】分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零，由此得到3﹣|x|＝0且x+3≠0，从而得到x的值． 【规范解答】解：依题意得：3﹣|x|＝0且x+3≠0， 解得x＝3． 故答案为：3． 【考点评析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 【训练2】（2024春•兰考县期中）已知分式，当x＝﹣3时，该分式没有意义；当x＝﹣4时，该分式的值为0，则（m+n）2010＝　1　 ． 【思路点拨】根据分式没有意义的条件，可求得m的值，再根据分式的值为0的条件，可求得n的值，代入求出（m+n）2010． 【规范解答】解：∵x+m＝0时，分式无意义， ∴x≠﹣m， ∴m＝3， 又因为x﹣n＝0，分式的值为0， ∴x＝n，即n＝﹣4， ∴（m+n）2010＝（3﹣4）2010＝1． 故答案为1． 【考点评析】本题要注意：若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 重点难点考点讲练03:分式的值 【例题精讲】（2024春•济南期中）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】首先根据，设a＝2k，b＝5k，再将化简为，然后将a＝2k，b＝5k代入计算即可得出答案． 【规范解答】解：∵， ∴设a＝2k，b＝5k， ∴ ． 故选：A． 【考点评析】此题主要考查了分式的运算，求分式的值，熟练掌握分式的约分，以及求分式值的方法与技巧是解决问题的关键． 【训练1】（2024春•梁溪区校级期中）若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】先将化成b，再代入式子求值即可． 【规范解答】解：∵， ∴b， 则． 故答案为：A． 【考点评析】本题考查分式的值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【训练2】（2024春•沙坪坝区校级期中）一个四位数若满足千位与十位的数字之和等于百位的2倍，其百位与个位的数字之和等于十位的2倍则称为“双运数”．已知为“双运数”，则的值 　3　 ．将四位数M的千位与十位数字构成的两位数记作P（M），将这个四位数M的百位与个位数字构成的两位数记作Q（M），若5P（M）+3Q（M）满足被17除余3，则所有满足条件的M的和为 　7654　 ． 【思路点拨】根据题意，可得a+c＝2b，b+d＝2c，则a+b+c+d＝2b+2c，由此得a+d＝b+c，进而得出的值；由题意得：P（M）＝10a+c，Q（M）＝10b+d，则可得出5P（M）+3Q（M）＝50a+5c+30b+3d，由题意可知5P（M）+3Q（M）被17除余3，设50a+5c+30b+3d＝17m+3，由题意得a+c＝2b，b+d＝2c，进行整理即可． 【规范解答】解：由题意得：a+c＝2b，b+d＝2c，则a+b+c+d＝2b+2c， ∴a+d＝b+c， ∴， ∵a+c＝2b， ∴， ∴； 由题意得：P（M）＝10a+c，Q（M）＝10b+d， 则5P（M）+3Q（M） ＝5（10a+c）+3（10b+d） ＝50a+5c+30b+3d ∵5P（M）+3Q（M）被17除余3， ∴设50a+5c+30b+3d＝17m+3， 由题意得：a+c＝2b， 则c＝2b﹣a， ∴50a+30b+5（2b﹣a）+3d＝17m+3， ∴50a+30b+10b﹣5a+3d＝17m+3， ∴45a+40b+3d＝17m+3， ∵b+d＝2c， ∴d＝2c﹣b， ∴45a+40b+3（2c﹣b） ＝45a+40b+6c﹣3b ＝45a+37b+6c ＝17m+3， ∵a+c＝2b， ∴a＝2b﹣c， ∴45（2b﹣c）+37b+6c ＝90b﹣45c+37b+6c ＝127b﹣39c ＝17m+3， 其中m是某个整数，则满足条件的（b，c）组合为（1，1），（1，6），（5，4），（6，9），（8，2），（9，7）， 又∵a＝2b﹣c，d＝2c﹣b，且a，b为0到9的整数，且a≠0， ∴只有（1，1）和（5，4）组合符合条件，则M为1111和6543， ∴1111+6543＝7654． 故答案为：3，7654． 【考点评析】本题考查了求分式的值，整式的加减一元一次方程的应用，认真审题，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 重点难点考点讲练04:分式的基本性质 【例题精讲】（2024春•天宁区校级期中）若把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的3倍 C．缩小为原来的 D．不变 【思路点拨】用2x和2y代替式子中的x和y即可得出结论． 【规范解答】解：把x和y都扩大为原来的2倍，即用2x和2y代替式子中的x和y， 可得：， ∴分式的值扩大为原来的2倍． 故选：A． 【考点评析】本题考查了分式的性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数． 【训练1】（2024春•南岸区期中）若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意逐项把各选项分式字母的值均扩大为原来的2倍，约分后与原分式进行比较，从而可判断分式的值是否发生变化，从而可得答案． 【规范解答】解：A． 中x，y的值均扩大为原来的2倍得到，故原选项不合题意； B． 中x，y的值均扩大为原来的2倍得到，故原选项不合题意； C． 中x，y的值均扩大为原来的2倍得到，故原选项符合题意； D． 中x，y的值均扩大为原来的2倍得到，故原选项不合题意． 故选：C． 【考点评析】本题考查了分式的性质，熟练掌握约分是关键． 【训练2】（2022春•济南期中）阅读理解 材料：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … … ﹣0.25 ﹣0. ﹣0.5 ﹣1 无意义 1 0.5 0. 0.25 … 从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当x＜0时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：． 根据上述材料完成下列问题： （1）当x＞0时，随着x的增大，1的值 　减小　 （增大或减小）； 当x＜0时，随着x的增大，的值 　减小　 （增大或减小）； （2）当x＞1时，随着x的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； （3）当0≤x≤2时，求代数式值的范围． 【思路点拨】（1）由、的变化情况，判断1、1的变化情况即可； （2）由2，即可求解； （3）由2，再结合x的取值范围即可求解． 【规范解答】解：（1）∵当x＞0时随着x的增大而减小， ∴随着x的增大，1的值减小； ∵当x＜0时随着x的增大而减小， ∵1， ∴随着x的增大，的值减小， 故答案为：减小，减小； （2）∵2， ∵当x＞1时，的值无限接近0， ∴的值无限接近2； （3）∵5， 又∵0≤x≤2， ∴﹣13， ∴﹣8． 【考点评析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． 重点难点考点讲练05:约分 【例题精讲】（2024春•宜阳县期中）化简：得（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】分子、分母分别因式分解，然后约分即可． 【规范解答】解： ． 故选：B． 【考点评析】此题主要是考查了约分，由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去． 【训练1】（2024春•高新区校级期中）化简：　　 ． 【思路点拨】先把分子分母分解因式，然后进行约分就可以． 【规范解答】解：原式． 【考点评析】约分的依据是分式的基本性质，注意在分子、分母能分解因式时应先分解因式． 【训练2】（2018春•兴化市期中）约分：　　 ． 【思路点拨】找出各式的分子分母的公因式，约分即可得到结果． 【规范解答】解：原式． 故答案为：． 【考点评析】此题考查了约分，约分的关键是找出分子分母的公因式． 重点难点考点讲练06:通分 【例题精讲】（2024春•宿城区校级期中）通分： （1），； （2），． 【思路点拨】（1）根据通分的定义就是将异分母分式转化成同分母的分式，即可得出答案； （2）根据通分的定义就是将异分母分式转化成同分母的分式，即可得出答案． 【规范解答】解：（1），， ∵最简公分母是a2b2， ∴， ； （2）∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），x2+xy＝x（x+y）， ∴最简公分母是x（x+y）（x﹣y）， ∴， ． 【考点评析】此题考查了通分，掌握通分的定义即通分：将异分母分式转化成同分母的分式是解题的关键． 【训练1】（2024春•玄武区校级期中）（1）通分：和； （2）约分：． 【思路点拨】（1）通分时先分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，计算即可； （2）先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，计算即可． 【规范解答】解：（1）； ； （2）原式 ． 【考点评析】本题考查的是通分和约分，熟练掌握其定义和规律方法总结是解题的关键． 【训练2】（2021春•南阳期中）下面是小东同学课堂上进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应问题． （1）填空： ①以上化简步骤中，第 　二　 步进行的是分式的通分，通分的依据是 　分式的基本性质　 ．即为：　分式的分子和分母都乘以同一个不等于0的式子，分式的值不变　 ； ②第 　四　 步开始出现错误，这一步错误的原因是 　去括号没有变号　 ； （2）请直接写出该分式化简后的正确结果； （3）除注意上述错因外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【思路点拨】（1）①根据异分母分式的加减法法则判断即可； ②根据异分母分式的加减法法则判断即可； （2）根据异分母分式的加减法法则进行计算即可解答； （3）根据分式化简的步骤进行解答即可． 【规范解答】解：（1）①以上化简步骤中，第 二步进行的是分式的通分，通分的依据是 分式的基本性质．即为：分式的分子和分母都乘同一个不等于0的式子，分式的值不变； ②第 四步开始出现错误，这一步错误的原因是 去括号没有变号； 故答案为：二，分式的基本性质，分式的分子和分母都乘同一个不等于0的式子，分式的值不变；四，去括号没有变号； （2）原式 ； （3）在进行分式化简时，分子或分母是多项式，一般先进行分解因式，然后再进行计算（答案不唯一）． 【考点评析】本题考查了分式的混合运算，通分，分式的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键． 重点难点考点讲练07:最简分式 【例题精讲】（2023秋•东昌府区校级期中）分式，，，中，最简分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【规范解答】解：分子分母有公因式x2﹣1， ；；这三个是最简分式． 故选：C． 【考点评析】最简分式就是分子和分母没有可以约分的公因式． 【训练1】．（2023春•建邺区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．分式的值为零，则x的值为±2 B．根据分式的基本性质，等式 C．分式中的x，y都扩大3倍，分式的值不变 D．分式是最简分式 【思路点拨】直接利用分式的值为零的条件以及分式的基本性质、最简分式的定义分别分析得出答案． 【规范解答】解：A、分式的值为零，则x的值为﹣2，故此选项错误； B、根据分式的基本性质，等式（x≠0），故此选项错误； C、分式中的x，y都扩大3倍，分式的值扩大为3倍，故此选项错误； D、分式是最简分式，正确； 故选：D． 【考点评析】此题主要考查了分式的值为零的条件以及分式的基本性质、最简分式的定义，正确掌握相关定义是解题关键． 【训练2】（2024春•青神县期中）下列分式中：；；；，其中最简分式有　2　 个． 【思路点拨】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【规范解答】解：分式；；；，其中最简分式是， 故答案为：2． 【考点评析】此题主要考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意． 重点难点考点讲练08:最简公分母 【例题精讲】（2024春•古县期中）分式与的最简公分母为 　2（m+3）　 ． 【思路点拨】根据最简公分母的定义即各分母所有因式的最高次幂的积计算． 【规范解答】解：∵2m+6＝2（m+3）， ∴分式与的最简公分母是2（m+3）． 故答案为：2（m+3）． 【考点评析】本题考查了最简公分母，熟练掌握定义并灵活计算是解题的关键． 【训练1】（2019秋•永定区校级期中）分式，的最简公分母是　2a3bc　 ． 【思路点拨】根据确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式确定；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【规范解答】解：题中两分式的最简公分母即求两分式分母的最小公倍数，即为2a3bc． 故答案为2a3bc． 【考点评析】本题主要考查了最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 【训练2】（2024春•泗阳县期中）分式和的最简公分母是 　6a2b3c　 ． 【思路点拨】由题意直接根据最简公分母的定义，即可得出答案． 【规范解答】解：∵分式的分母2a2b，3ab3c都是单项式， ∴分式与的最简公分母是6a2b3c， 故答案为：6a2b3c． 【考点评析】本题考查的是最简公分母，熟知当各分母都是单项式时，最简公分母就是“各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里”是解答此题的关键． 重点难点考点讲练09:分式的乘除法 【例题精讲】（2024春•历下区期中）如果一个正整数n的倒数可以分解成两个正整数a，b（a，b均不为n）倒数相乘的形式，我们定义这种分解为“倒分解”；并定义其中两个乘数差最大的一种分解为n的“最大倒分解”，这个最大的差记为：，例：12的倒分解为或，因为，所以最大倒分解为，所认． （1）填空：写出8的一种倒分解：　　 ； （2）计算F（36）的值； （3）若3m+6的最大倒分解为，且，求m的值． 【思路点拨】（1）根据倒分解的定义即可求解； （2）根据倒分解的定义即可求解； （3）根据倒分解的定义列出方程即可求得． 【规范解答】解：（1）8的倒分解为． 故答案为：． （2）∵36的倒分解为： 或 或 或 ， 其中最大的倒分解 ， ∴． （3）∵3m+6的最大倒分解为：且， ∴①当m+2＞3时， ， 解得：m＝4， 经检验，m＝4 是原方程的根， 但m＝4时，3m+6＝18，最大倒分解为 ，故不合题意，舍去， ②当m+2＜3时， 解得m＝0， 经检验，m＝0 是原方程的根，且符合题意， 综上可得，m的值为0． 【考点评析】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是理解新定义运算的法则． 【训练1】（2023春•零陵区校级期中）计算与化简： （1）（﹣a2b）2•（﹣a2b2）3； （2）； （3）； （4）． 【思路点拨】（1）先计算积的乘方，在计算同底数幂 （2）利用负指数幂以及零指数幂即可 （3）先因式分解，再把除法转化为乘法，然后约分； （4）先因式分解，再把除法转化为乘法，然后约分． 【规范解答】解：（1）（﹣a2b）2⋅（﹣a2b2）3 ＝a4b2⋅（﹣a6b6） ＝﹣a10b8； （2） ＝2+2+1 ＝5； （3） ； （4） ＝﹣y． 【考点评析】本题考查了积的乘方、同底数幂负指数幂以及零指数幂分式的混合运算，熟悉运算法则是解题的关键． 【训练2】（2023春•武侯区校级期中）计算： （1）； （2）解不等式组：； （3）． 【思路点拨】分别计算即可． 【规范解答】解：（1）原式＝21﹣（1） ＝2； （2）， 解不等式①，得x≤2， 解不等式②，得x＞﹣1， ∴原不等式组的解集为﹣1＜x≤2； （3）原式••（a+1）（a﹣1） ＝（a+1）（a﹣2） ＝a2﹣a﹣2． 【考点评析】本题考查解一元一次不等式组和分式的乘除法等，熟练掌握一元一次不等式组的解法、分式乘除法的运算法则及零指数幂的值是解答本题的关键． 重点难点考点讲练10:分式的加减法 【例题精讲】（2024秋•莱西市期中）已知代数式，第一次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子记为，第二次操作将作为新的x代入F1中化简后得到新的式子记为，第三次操作将作为新的x代入F2中化简后得到新的式子F3…以此类推重复上述操作，以下结论中正确的有（　　） ①； ②若，则； ③不存在整数x使得的值为负整数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【思路点拨】依据题意，根据所给信息逐个求出F3，F4，F5，F6，然后按照分式的加减法法则进行计算，即可判断得解． 【规范解答】解：由题意，∵， ∴F3，故①错误． ∴F4，F5，F6． ∴84． ∵x＜1， ∴12． ∴87＜8490，即8790，故②正确． ∵8， 又若整数x使得为整数， ∴4x+1＝﹣7． ∴此时，为15． ∴不存在整数x使得的值为负整数，故③正确． 综上，正确的有②③共2个． 故选：C． 【考点评析】本题主要考查了分式的加减法，解题时要熟练掌握并能读懂题意，准确计算是关键． 【训练1】（2016春•江都区期中）计算：　x﹣2　 ． 【思路点拨】根据同分母分式相加减，分子相加减，可得答案． 【规范解答】解：原式 ＝x﹣2， 故答案为：x﹣2． 【考点评析】本题考查了分式的加减，同分母分式相加减，分子相加减是解题关键． 【训练2】（2023春•玄武区校级期中）深化理解：阅读下列材料，并解答问题： 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b； 则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b． ∵对于任意x上述等式成立， ∴解得：． ∴x﹣2． 这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式． （1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为 　x+7　 ； （2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x的值． 【思路点拨】（1）利用题干中的方法进行变形即可得出结论； （2）利用（1）中的方法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，利用整除性质即可得出结论． 【规范解答】解：（1）由分母x﹣1，可设x2+6x﹣3＝（x﹣1）（x+a）+b， 则x2+6x﹣3＝（x﹣1）（x+a）+b＝x2+ax﹣x﹣a+b＝x2+（a﹣1）x﹣a+b． ∵对于任意x上述等式成立， ∴， 解得：． ∴x+7． 故答案为：x+7． （2）由分母x﹣3，可设2x2+5x﹣20＝（x﹣3）（2x+a）+b， 则2x2+5x﹣20＝（x﹣3）（2x+a）+b ＝2x2+ax﹣6x﹣3a+b ＝2x2+（a﹣6）x﹣3a+b， ∵对于任意x上述等式成立， ∴， 解得：． ∴2x+11． ∵x为整数，分式的值为整数， ∴为整数， ∴x＝4或16或2或﹣10． 【考点评析】本题主要考查了分式的加减法，整式的加减，分式的值，本题是阅读型题目，连接题干中的方法并熟练应用是解题的关键． 重点难点考点讲练11:分式的混合运算 【例题精讲】（2024春•济南期中）已知y1，且y2，y3，y4⋯yn，则y2024为（　　） A． B．2﹣x C． D． 【思路点拨】分别用式子表示出y1、y2、y3、y4、y5、y6……的结果，再根据规律得到结果． 【规范解答】解：∵y1， ∴y2， y3， y4y1， y5， y6， 由此类推，2024＝674×3+2， 得y2024＝y2， 故选：C． 【考点评析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是根据式子的变化规律来解答． 【训练1】（2024春•仁寿县期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：22．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：1． 解决下列问题： （1）分式是　真　 （填“真分式”或“假分式”）； （2）将假分式化为带分式； （3）先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【思路点拨】（1）根据题意，可以判断分式是真分式还是假分式； （2）根据题目中的例子，可以将假分式化为带分式； （3）根据分式的除法和减法可以将式子化简，然后化为带分式，从而可以求得x取什么整数时，该式的值为整数． 【规范解答】解：（1）由题意可得， 分式是真分式， 故答案为：真； （2） ＝x+2； （3） ， ∵2， ∴当x＝0或2时，2的值为整数， 又∵原分式中（x+1）（x﹣1）≠0，x（x﹣3）≠0， ∴x≠0，±1，3， 由上可得，当x＝2时，2的值为整数． 【考点评析】本题考查分式的化简求值、新定义，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值． 【训练2】（2024春•邓州市期中）计算与化简： （1）计算：． （2）化简：． 【思路点拨】（1）先计算乘方，绝对值，负整数指数幂，再合并即可； （2）先计算括号内的分式的减法运算，再计算除法运算，从而可得结果． 【规范解答】解：（1） ＝﹣1﹣2+9 ＝6； （2） ． 【考点评析】本题考查的是化简绝对值，负整数指数幂的含义，分式的混合运算，掌握运算法则与运算顺序是解本题的关键． 重点难点考点讲练12:分式的化简求值 【例题精讲】（2022秋•永兴县校级期中）老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用字母A代替了原代数式的一部分，如下： （A） （1）求代数式A，并将其化简； （2）原代数式的值能等于﹣1吗？请说明理由． 【思路点拨】（1）根据题目中的等式可以求得代数式A，并将其化简； （2）先判断，然后根据判断说明理由即可． 【规范解答】解：（1）∵（A） ∴[A] ∴（A） ∴A ∴A ∴A ∴A； （2）原代数式的值不能等于﹣1， 理由：若原代数式的值等于﹣1， 则1，得x＝0， 当x＝0时，原代数式中的除式等于0，原代数式无意义， 故原代数式的值不能等于﹣1． 【考点评析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 【训练1】（2023秋•昌平区期中）阅读理解 材料：为了研究分式与分母x的关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … … ﹣0.25 ﹣0. ﹣0.5 ﹣1 无意义 1 0.5 0. 0.25 … 从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当x＜0时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：． 根据上述材料完成下列问题： （1）当x＞0时，随着x的增大，的值 　减小　 （增大或减小）； 当x＜0时，随着x的增大，的值 　减小　 （增大或减小）； （2）当x＞1时，随着x的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； （3）当0≤x≤2时，求代数式值的范围． 【思路点拨】（1）由、的变化情况，判断1、1的变化情况即可； （2）由2，即可求解； （3）由2，再结合x的取值范围即可求解． 【规范解答】解：（1）∵当x＞0时随着x的增大而减小， ∴随着x的增大，1的值减小； ∵当x＜0时随着x的增大而减小， ∵1， ∴随着x的增大，的值减小， 故答案为：减小，减小． （2）∵2， ∵当x＞1时，的值无限接近0， ∴的值无限接近2． （3）∵5， 又∵0≤x≤2， ∴﹣13， ∴﹣8． 【考点评析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． 【训练2】（2022春•沈丘县期中）先化简：，然后x在﹣1，0，1，2四个数中选一个你认为合适的数代入求值． 【思路点拨】利用分解因式、完全平方公式以及通分法化简原分式，再分析给定的数据中使原分式有意义的x的值，将其代入化简后的算式中即可得出结论． 【规范解答】解：原式•• ＝x+1． ∵在﹣1，0，1，2四个数中，使原式有意义的值只有2， ∴当x＝2时，原式＝2+1＝3． 【考点评析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是将原分式化简成x+1．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，先将原分式化简，再代入数据求值． 重点难点考点讲练13:列代数式（分式） 【例题精讲】（2019秋•滦南县期中）我国是一个水资源贫乏的国家，每一个公民都应自觉养成节约用水的意识和习惯，为提高水资源的利用率，某住宅小区安装了循环用水装置．经测算，原来a天用水b吨，现在这些水可多用4天，现在每天比原来少用水　　 吨． 【思路点拨】少用吨数＝原来每天用的吨数﹣现在每天用的吨数．关键描述语是：现在这些水可多用4天． 【规范解答】解：依题意得：． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了列代数式（分式），解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系． 【训练1】（2024春•桥西区期中）长为300m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进． （1）求甲这次往返的时间t往，t返；（用含v的代数式表示） （2）求甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程． 【思路点拨】（1）根据路程＝速度和×时间，列出方程即可求解； （2）由甲这次往返队伍的过程中队伍行进的时间为t往+t返，结合路程＝速度和×时间即可求解． 【规范解答】解：（1）由题意可知，2v•t往﹣v•t往＝300，2v•t返+v•t返＝300 ∴，； （2）， ． 所以甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为400m． 【考点评析】本题考查了列分式及分式运算，读懂题目，列出式子是解题关键． 【训练2】（2020春•孟津县期中）一辆货车从甲地运送货物到乙地，速度为a千米/小时，然后空车按原路返回时速度为b千米/小时，求货车从送货到返回原地的平均速度． 【思路点拨】根据题意，可以先设出甲乙两地的路程，然后即可计算出货车从送货到返回原地的平均速度． 【规范解答】解：设甲乙两地的路程为S千米， ， 即货车从送货到返回原地的平均速度为千米/小时． 【考点评析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 重点难点考点讲练14:分式方程的定义 【例题精讲】（2023春•威远县期中）下列方程中，是分式方程的是（　　） A． B． C．3x＝x﹣5 D．2x﹣y＝1 【思路点拨】根据分母中含有未知数的方程叫做分式的定义进行判断即可． 【规范解答】解：A．该方程是一元一次方程，不符合题意； B．该方程是分式方程，符合题意； C．该方程是一元一次方程，不符合题意； D．该方程是二元一次方程，不符合题意； 故选：B． 【考点评析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解决问题的关键． 【训练1】（2023春•成华区校级期中）下列方程：（1）5，其中是分式方程的有（　　） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（3）（4） 【思路点拨】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程判断． 【规范解答】解：（1）的方程分母中不含未知数，故不是分式方程； （2）（3）（4）的方程分母中含未知数x，所以是分式方程． 故选：D． 【考点评析】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）． 【训练2】（2012春•化州市校级期中）下列关于x的方程①，②，③，④中，是分式方程的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【思路点拨】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断． 【规范解答】解：关于x的方程②，③中，分母中都含有字母，都是分式方程； 关于x的方程①，④中，分母中不含未知数，故不是分式方程． 综上所述，是分式方程的有②、③，共2个． 故选：C． 【考点评析】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）． 重点难点考点讲练15:分式方程的解 【例题精讲】（2024春•仁寿县期中）若关于x的分式方程3的解为正实数，则实数m的取值范围是（　　） A．m＜3且m≠1 B．m＜3且m≠2 C．m＜3 D．m＜6且m≠2 【思路点拨】求得分式方程的解，依据题意列出不等式即可得出结论． 【规范解答】解：去分母得： x+m﹣3m＝3（x﹣2）． 去括号得： x﹣2m＝3x﹣6． ∴x＝3﹣m． ∵分式方程有可能产生增根， ∴3﹣m≠2． ∴m≠1． ∵关于x的分式方程3的解为正实数， ∴3﹣m＞0． ∴m＜3． 综上，实数m的取值范围是m＜3且m≠1． 故选：A． 【考点评析】本题主要考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式，正确求得分式方程的解，考虑分式方程的增根的情况是解题的关键． 【训练1】（2024春•双流区校级期中）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是 　m＜2且m≠1　 ． 【思路点拨】先把分式方程化为整式方程，解整式方程得到x＝2﹣m，此方程的解为正数且不能为原方程的增根，所以2﹣m＞0且2﹣m﹣1≠0，然后解不等式组即可． 【规范解答】解：去分母得x﹣2（x﹣1）＝m， 解得x＝2﹣m， 因为原方程的解为正数， 所以x＞0且x﹣1≠0， 即2﹣m＞0且2﹣m﹣1≠0， 解得m＜2且m≠1． 故答案为：m＜2且m≠1． 【考点评析】本题考查了分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 【训练2】（2024秋•灌阳县期中）阅读： 对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为x1＝a，x2＝b． 应用上面的结论解答下列问题： （1）方程有两个解，分别为x1＝2，x2＝　4　 ． （2）关于x的方程的两个解分别为x1＝2，x2＝　　 ． （3）关于x的方程的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值． 【思路点拨】（1）方程变形后，利用题中的结论确定出方程的解即可； （2）方程变形后，根据利用题中的结论，确定出x1与x2的值即可； （3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为x1、x2，代入原式计算即可得到结果． 【规范解答】解：（1）∵2×4＝8，2+4＝6， ∴方程的两个解分别为x1＝2，x2＝4． 故答案为：4． （2）方程变形得：， 由题中的结论得：方程有一根为2，另一个根为； 则x1＝2，x2； 故答案为：． （3）方程整理得：， 得2x﹣1＝n﹣1或2x﹣1＝n， 可得x1，x2， 则原式． 【考点评析】此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键． 重点难点考点讲练16:解分式方程 【例题精讲】（2024春•江北区校级期中）已知关于x的分式方程的解为正数，关于y的不等式组有解且最多5个整数解，则所有符合条件的整数m之和为 　4　 ． 【思路点拨】先解方程及不等式组，再根据不等式组解的情况及该分式方程的解为正数可求解m的取值范围，进而可求解所有满足条件的整数m之和即可． 【规范解答】解：解分式方程， 去分母得：m﹣2＝x﹣3，解得x＝m+1， ∵方程的解为正数， ∴m+1＞0，即m＞﹣1， ∵当x＝3时是方程的增根， ∴m+1≠3，解得m≠2， ∴m＞﹣1且m≠2； 由y+3＞0解得：y＞﹣3， 由， ∴y＜m， ∵有解， ∴m＞﹣3， 又∵最多有5个整数解， ∴﹣3＜m≤3， ∴﹣1＜m≤3且m≠2， ∴所有符合条件的整数m的值有：0、1，3， ∴和为：0+1+3＝4． 故答案为：4． 【考点评析】本题主要考查了分式方程、一元一次不等式组的解法等知识点，能够结合解得情况确定m的取值范围是解题的关键． 【训练1】（2023秋•任城区期中）解方程 （1） （2）． 【思路点拨】（1）观察可得最简公分母是（x+1）（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解； （2）观察可得最简公分母是（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【规范解答】解：（1）方程两边同时乘以（x+1）（x﹣1），得 x+1＝1， 解得x＝0． 检验：把x＝0代入（x+1）（x﹣1）＝﹣1≠0． ∴原方程的解为：x＝0． （2）方程两边同时乘以（x﹣2），得 1+3（x﹣2）＝x﹣1， 解得x＝2． 检验：把x＝2代入（x﹣2）＝0． ∴原方程无解． 【考点评析】考查了解分式方程，注意： （1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． （2）解分式方程一定注意要验根． 【训练2】（2024春•济南期中）我们把形如xa+b（a，b不为零），且两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”． 例如x4为十字分式方程，可化为x1+3， ∴x1＝1，x2＝3． 再如x6为十字分式方程，可化为x（﹣2）+（﹣4）， ∴x1＝﹣2，x2＝﹣4． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若x5为十字分式方程，则x1＝ 　﹣2　 ，x2＝ 　﹣3　 ． （2）若十字分式方程x2的两个解分别为x1＝m，x2＝n，求的值． （3）若关于x的十字分式方程xk﹣1的两个解分别为x1，x2（k＞0，x1＞x2），求的值． 【思路点拨】（1）类比题目中“十字方程”的答题方法即可求解． （2）结合运用“十字方程”并代数运算即可求解 （3）善于观察并分析方程，代入运算即可求解． 【规范解答】解：（1）x5可化为x（﹣2）+（﹣3）， ∴x1＝﹣2，x2＝﹣3． （2）由已知得mn＝﹣5，m+n＝﹣2， ∴ ． （3）原方程变为x﹣2k﹣3， ∴x﹣2k+（﹣2k﹣3） ∴x1﹣2＝k，x2﹣2＝﹣2k﹣3， ∴ ． 【考点评析】本题考查根与系数的关系，分式方程；理解“十字方程”的定义以及题目中的答题方法，能够将所求分式方程转化为二元一次方程组求解是解题的关键． 重点难点考点讲练17:换元法解分式方程 【例题精讲】（2024春•嘉定区校级期中）在分式方程1中，令y，则原方程可化为关于y的方程是　y2﹣y+2＝0　 ． 【思路点拨】设y，则，原方程可化为y1，求出即可． 【规范解答】解：设y，则原方程可化为y1， 即y2﹣y+2＝0， 故答案为：y2﹣y+2＝0． 【考点评析】本题考查了解分式方程的应用，能正确换元是解此题的关键，难度适中． 【训练1】（2024春•花溪区校级期中）阅读下面材料：解方程：． 解：设，则原方程化为， 方程两边同时乘y，得y2﹣4＝0，解得y＝±2． 经检验，y＝±2都是方程的解． 当y＝2时，，解得x＝﹣1；当y＝﹣2时，，解得． 经检验，x＝﹣1，都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝﹣1或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 解答下面的问题： （1）对于方程，若，则原方程可化为 　　 ，原方程的解为 　或　 ． （2）模仿上述换元法解方程：． 【思路点拨】（1）按照材料中分式方程的换元的方法，设，则原方程可化为，按照解分式方程的方法，可求得y的值，进而求得x的值； （2）按照材料中分式方程的换元的方法，设，则原方程可化为，按照解分式方程的方法，可求得y的值，进而求得x的值． 【规范解答】解：（1）对于方程，若设，则原方程可化为， 方程两边同时乘y，得y2﹣4y﹣5＝0， 解得y＝﹣1或y＝5． 经检验，y＝﹣1，y＝5都是方程的解． 当y＝﹣1时，，解得； 当y＝5时，，解得． 经检验，，都是原分式方程的根， 故原方程的解为或； （2）原方程化为． 设，则原方程化为， 方程两边同时乘y，得y2﹣1＝0， 解得y＝±1． 经检验，y＝±1都是方程的解． 当y＝1时，，该方程无解； 当y＝﹣1时，，解得． 经检验，是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为． 【考点评析】本题考查了解分式方程，熟练掌握换元法是解此题的关键． 【训练2】（2022春•邗江区校级期中）阅读下面材料，解答后面的问题．解方程：0．解：设y，则原方程化为：y0，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，经检验：y＝±2都是方程y0的解，∴当y＝2时，2，解得x＝﹣1，当y＝﹣2时，2，解得：x，经检验：x＝﹣1或x都是原分式方程的解，∴原分式方程的解为x＝﹣1或x．上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： （1）若在方程0中，设y，则原方程可化为：　　 ； （2）若在方程中0，设y，则原方程可化为：　　 ； （3）模仿上述换元法解方程：10． 【思路点拨】（1）和（2）将所设的y代入原方程即可； （3）利用换元法解分式方程，设，将原方程化为，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可． 【规范解答】解：（1）将代入原方程，则原方程化为； 故答案为：； （2）将代入方程，则原方程可化为； 故答案为：； （3）原方程化为：， 设，则原方程化为：， 方程两边同时乘y得：y2﹣1＝0， 解得：y＝±1， 经检验：y＝±1都是方程的解． 当y＝1时，，该方程无解； 当y＝﹣1时，，解得：； 经检验：是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为． 【考点评析】本题考查了分式方程的解法，关键是如何换元，题目比较好，有一定的难度． 重点难点考点讲练18:分式方程的增根 【例题精讲】（2024春•洪雅县期中）已知关于x的分式方程有增根，则k的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3 【思路点拨】把分式方程化成整式方程得k+3＝x﹣2，由分式方程有增根得出x＝2，把x＝2代入k+3＝x﹣2，即可求出k的值． 【规范解答】解：去分母得：k+3＝x﹣2， ∵分式方程有增根， ∴x﹣2＝0， 解得：x＝2， 把x＝2代入k+3＝x﹣2得：k+3＝2﹣2， 解得：k＝﹣3， 故选：C． 【考点评析】本题考查了分式方程的增根，理解分式方程的增根的含义是解决问题的关键． 【训练1】（2024春•麦积区期中）关于x的方程产生增根，则常数m的值等于 　1　 ． 【思路点拨】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x﹣1＝0，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【规范解答】解：去分母，得：x＝m， 由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，即x＝1， 把x＝1代入整式方程，可得：m＝1． 故答案为：1． 【考点评析】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【训练2】2020春•洛宁县期中）若关于x的方程1有增根，求m的值． 【思路点拨】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母（x﹣3）＝0，所以增根是x＝3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值． 【规范解答】解：方程两边都乘（x﹣3），得 x+x﹣3＝m， ∵方程有增根， ∴最简公分母x﹣3＝0，即增根是x＝3， 把x＝3代入整式方程，得m＝3． 【考点评析】本题考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤： ①确定增根的值； ②化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 重点难点考点讲练19:由实际问题抽象出分式方程 【例题精讲】（2024春•晋城期中）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天：若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列列出的分式方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度是慢马的2倍，即可列出相应的方程，本题得以解决． 【规范解答】解：由题意可得， 2， 故选：A． 【考点评析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 【训练1】（2024春•瑶海区校级期中）一组学生组织春游，预计共需要费用120元，后来又有2人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊3元，设原来这组学生有x人，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据“每人可少分摊3元“列方程求解． 【规范解答】解：由题意得：， 故选：C． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到相等关系是解题的关键． 【训练2】（2024春•亭湖区校级期中）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍． （1）求两种型号玩具的单价各是多少元？ 根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：30，解得x＝5，经检验x＝5是原方程的解． 乙：1.6，解得x＝65，经检验x＝65是原方程的解． 则甲所列方程中的x表示 　B型玩具的单价　 ，乙所列方程中的x表示 　A型玩具的数量　 （2）该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多少个？ 【思路点拨】（1）根据所列方程即可判断出x的意义； （2）设可购进A型玩具a个，则8a+5（200﹣a）≤1350，解不等式即可得出答案． 【规范解答】解：（1）根据所列方程即可知，甲所列方程中的x表示B型玩具的单价；乙所列方程中的x表示A型玩具的数量； 故答案为：B型玩具的单价；A型玩具的数量； （2）设可购进A型玩具a个，则B型玩具（200﹣a）个， 根据题意得：8a+5（200﹣a）≤1350， a≤116， ∴整数a最大值是116， 答：最多可购进A型玩具116个． 【考点评析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确地理解题意是解题的关键． 重点难点考点讲练20:分式方程的应用 【例题精讲】（2024春•辉县市期中）某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同，请解答下列问题： （1）这两种家电每件的进价分别是多少元？ （2）若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种家电不超过67件，则该商场有哪几种购买方案？ 【思路点拨】（1）设A种家电每件进价为x元，根据“用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同”再建立方程求解即可； （2）设购进A种家电a件，根据“该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种家电不超过67件”再建立不等式解题即可． 【规范解答】解：（1）设A种家电每件进价为x元，则B种家电每件进价为（x+100）元．根据题意得： 解得：x＝500， 经检验，x＝500是原方程的解且符合题意， ∴x+100＝500+100＝600， 答：A种家电每件进价500元，B种家电每件进价600元． （2）设购进A种家电a件，则购进B种家电（100﹣a）件．根据题意得： ，解得：65≤a≤67． 又∵a为正整数， ∴a的值可以为65，66，67． ∴该商场共有3种购买方案． 方案1：购进A种家电65件，B种家电35件． 方案2：购进A种家电66件，B种家电34件． 方案3：购进A种家电67件，B种家电33件． 【考点评析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系与不等关系是解本题的关键． 【训练1】（2023春•福田区校级期中）为响应垃圾分类的要求，营造干净整洁的学习生活环境，创建和谐文明的校园环境．学校准备购买A、B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元，且用18000元购买A种垃圾桶的组数量是用13500元购买B种垃圾桶的组数量的2倍． （1）求A、B两种垃圾桶每组的单价分别是多少元； （2）该学校计划用不超过8000元的资金购买A、B两种垃圾桶共20组，则最多可以购买B种垃圾桶多少组？ 【思路点拨】（1）设A种垃圾桶每组的单价为x元，则B种垃圾桶每组的单价为（x+150）元，利用数量＝总价÷单价，结合用9000元购买A种垃圾桶的数量与用13500元购买B种垃圾桶的数量相等，即可得出关于x的分式方程，经检验后即可得出A种垃圾桶每组的单价，再将其代入（x+150）中即可求出B种垃圾桶每组的单价； （2）设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶（20﹣y）组，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过8000元，列出一元一次不等式，解之即可得出y的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论． 【规范解答】解：（1）设A种垃圾桶每组的单价为x元，则B种垃圾桶每组的单价为（x+150）元， 依题意得：， 解得：x＝300， 经检验，x＝300是原方程的解，且符合题意， ∴x+150＝300+150＝450． 答：A种垃圾桶每组的单价是300元，B种垃圾桶每组的单价是450元． （2）设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶（20﹣y）组， 依题意得：300（20﹣y）+450y≤8000， 解得：y， 又∵y为正整数， ∴y的最大值为13． 答：最多可以购买B种垃圾桶13组． 【考点评析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用．解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【训练2】（2023春•成华区校级期中）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降，今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元． （1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？ （2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元的资金购进这两款汽车共15辆，且A款汽车的数量不少于6辆，有几种进货方案？ （3）按照（2）中两种汽车进价不变，如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是 　0.5　 万元．（不必提供求解过程，直接给出a值即可） 【思路点拨】（1）求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系． （2）关系式为：x≥6且A款汽车总价+B款汽车总价≤105． （3）设总获利为W万元，购进A款汽车x辆，根据题意，列出W关于x的函数关系式为W＝（9﹣7.5）x+（8﹣6﹣a）（15﹣x）＝（a﹣0.5）x+30﹣15a，当a﹣0.5＝0时，获利与x无关，（2）中所有方案获利相同． 【规范解答】解：（1）设今年5月份A款汽车每辆售价m万元．根据题意，得： ， 解得：m＝9． 经检验，m＝9是原方程的根且符合题意． 答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元； （2）设购进A款汽车x辆．根据题意，得： ， 解得：6≤x≤10． ∵x的正整数解为6，7，8，9，10， ∴共有5种进货方案， 方案1．购进A款汽车6辆，购进B款汽车9辆． 方案2．购进A款汽车7辆，购进B款汽车8辆． 方案3．购进A款汽车8辆，购进B款汽车7辆． 方案4．购进A款汽车9辆，购进B款汽车6辆． 方案5．购进A款汽车10辆，购进B款汽车5辆； （3）设总获利为W万元，购进A款汽车x辆，根据题意，得： W＝（9﹣7.5）x+（8﹣6﹣a）（15﹣x）＝（a﹣0.5）x+30﹣15a． 当a＝0.5时，（2）中所有方案获利相同． 故答案为：0.5． 【考点评析】本题考查分式方程和一元一次不等式组的综合应用，找到合适的等量关系及不等关系是解决问题的关键 1．（2024春•鹤壁期中）若x，y的值均扩大到原来的5倍，则下列分式的值保持不变的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据分式的基本性质，进行计算逐一判断即可． 【规范解答】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，选项C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 【考点评析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握该知识点是关键． 2．（2024春•武侯区校级期中）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】设第一次分钱的人数为x人，则第二次分钱的人数为（x+6）人，利用人均分得钱数＝总钱数÷参与分钱的人数，结合两次每人分得的钱数相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【规范解答】解：设第一次分钱的人数为x人，则第二次分钱的人数为（x+6）人， 依题意得：， 故选：A． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 3．（2024春•社旗县期中）根据分式的基本性质，分式变形可得到下列结果中的（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据分式的基本性质逐个判断即可． 【规范解答】解：， 故选：B． 【考点评析】本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的性质进行变形是解此题的关键． 4．（2024春•卫滨区校级期中）关于x的不等式组有解且最多五个整数解，关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为 　0　 ． 【思路点拨】先解二元一次不等式组，求出x的取值范围，根据已知条件求出a是取值范围，再根据一元二次方程解的情况，求出符合条件的所有整数，然后进行解答即可． 【规范解答】解：， 由①得：x≥a， 由②得：x＜1， ∴a≤x＜1， ∵不等式组最多五个整数解， ∴a≥﹣4， ∵， a+y+1＝2﹣y， y+y＝2﹣1﹣a 2y＝1﹣a， ， ∵y的分式方程 有非负整数解， ∴且， 解之得：a≤1且a≠﹣3， ∴﹣4≤a≤1且a≠﹣3， ∵y为非负整数， ∴a＝﹣1，1， ∴符合条件的所有整数a的和为：﹣1+1＝0， 故答案为：0． 【考点评析】本题主要考查了解二元一次不等式组和解分式方程，解题关键是熟练掌握解二元一次不等式组和解分式方程的一般步骤． 5．（2024春•麦积区期中）关于x的方程产生增根，则常数m的值等于 　1　 ． 【思路点拨】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x﹣1＝0，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【规范解答】解：去分母，得：x＝m， 由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，即x＝1， 把x＝1代入整式方程，可得：m＝1． 故答案为：1． 【考点评析】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 6．（2024春•秦都区校级期中）若关于x的分式方程1无解，则m的值为 　﹣2或1　 ． 【思路点拨】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值． 【规范解答】解：去分母得：x2﹣mx﹣3x+3＝x2﹣x， 解得：（2+m）x＝3， 由分式方程无解，得到2+m＝0，即m＝﹣2或x1，即m＝1， 综上，m的值为﹣2或1． 故答案为：﹣2或1 【考点评析】此题考查了分式方程的解，注意分母不为0这个条件． 7．（2024春•武侯区校级期中）已知W＝（） （1）化简W； （2）若a，2，3恰好是△ABC的三边长，请选取合适的整数a代入W，求出W的值． 【思路点拨】（1）先通分括号内的式子，再算括号外的除法即可； （2）根据a，2，3恰好是△ABC的三边长，求出a的取值范围，再选择使得W有意义的整数a的值代入（1）中的结果计算即可． 【规范解答】解：（1）W＝（） • • ； （2）∵a，2，3恰好是△ABC的三边长， ∴3﹣2＜a＜3+2， ∴1＜a＜5， 又∵（a+2）（a﹣2）≠0，a≠0， ∴a≠±2，a≠0， ∴a可以取得整数为3或4， 当a＝3时，W； 当a＝4时，W． 【考点评析】本题考查整式的化简求值、三角形三边关系，解答本题的关键是明确三边关系和分式化简求值的方法． 8．（2018春•冠县期中）某文教店老板到批发市场选购A、B两种品牌的绘图工具套装，每套A品牌套装进价比B品牌每套套装进价多2.5元，已知用200元购进A种套装的数量是用75元购进B种套装数量的2倍． （1）求A、B两种品牌套装每套进价分别为多少元？ （2）若A品牌套装每套售价为13元，B品牌套装每套售价为9.5元，店老板决定，购进B品牌的数量比购进A品牌的数量的2倍还多4套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过120元，则最少购进A品牌工具套装多少套？ 【思路点拨】（1）设B种品牌套装每套进价为x元，则A种品牌套装每套进价为（x+2.5）元．根据数量＝总价÷单价结合用200元购进A种套装的数量是用75元购进B种套装数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购进A品牌工具套装a套，则购进B品牌工具套装（2a+4）套，根据总利润＝单价利润×购进数量结合总利润超过120元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，取其内的最小正整数即可得出结论． 【规范解答】解：（1）设B种品牌套装每套进价为x元，则A种品牌套装每套进价为（x+2.5）元． 根据题意得：2， 解得：x＝7.5， 经检验，x＝7.5为分式方程的解， ∴x+2.5＝10． 答：A种品牌套装每套进价为10元，B种品牌套装每套进价为7.5元． （2）解：设购进A品牌工具套装a套，则购进B品牌工具套装（2a+4）套， 根据题意得：（13﹣10）a+（9.5﹣7.5）（2a+4）＞120， 解得：a＞16， ∵a为正整数， ∴a取最小值17． 答：最少购进A品牌工具套装17套． 【考点评析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量＝总价÷单价，列出关于x的分式方程；（2）根据总利润＝单价利润×购进数量，列出关于a的一元一次不等式． 9．（2023春•成华区校级期中）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降，今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元． （1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？ （2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元的资金购进这两款汽车共15辆，且A款汽车的数量不少于6辆，有几种进货方案？ （3）按照（2）中两种汽车进价不变，如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是 　0.5　 万元．（不必提供求解过程，直接给出a值即可） 【思路点拨】（1）求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系． （2）关系式为：x≥6且A款汽车总价+B款汽车总价≤105． （3）设总获利为W万元，购进A款汽车x辆，根据题意，列出W关于x的函数关系式为W＝（9﹣7.5）x+（8﹣6﹣a）（15﹣x）＝（a﹣0.5）x+30﹣15a，当a﹣0.5＝0时，获利与x无关，（2）中所有方案获利相同． 【规范解答】解：（1）设今年5月份A款汽车每辆售价m万元．根据题意，得： ， 解得：m＝9． 经检验，m＝9是原方程的根且符合题意． 答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元； （2）设购进A款汽车x辆．根据题意，得： ， 解得：6≤x≤10． ∵x的正整数解为6，7，8，9，10， ∴共有5种进货方案， 方案1．购进A款汽车6辆，购进B款汽车9辆． 方案2．购进A款汽车7辆，购进B款汽车8辆． 方案3．购进A款汽车8辆，购进B款汽车7辆． 方案4．购进A款汽车9辆，购进B款汽车6辆． 方案5．购进A款汽车10辆，购进B款汽车5辆； （3）设总获利为W万元，购进A款汽车x辆，根据题意，得： W＝（9﹣7.5）x+（8﹣6﹣a）（15﹣x）＝（a﹣0.5）x+30﹣15a． 当a＝0.5时，（2）中所有方案获利相同． 故答案为：0.5． 【考点评析】本题考查分式方程和一元一次不等式组的综合应用，找到合适的等量关系及不等关系是解决问题的关键． 10．（2024春•武进区校级期中）阅读下列材料，解决问题： 在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数的和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明． 材料1：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：x﹣2 这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式． 材料2：已知一个能被11整除的个位与百位相同的三位整数100x+10y+x，且1≤x≤4，求y与x的函数关系式． 解：∵9x+y， 又∵1≤x≤4，0≤y≤9，∴﹣7≤2x﹣y≤8，还要使为整数， ∴2x﹣y＝0，即y＝2x． （1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为　x+7　 ； （2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝　2或4或﹣10或16　 ； （3）已知一个六位整数能被33整除，求满足条件的x，y的值． 【思路点拨】（1）将分子x2+6x﹣3化为（x﹣1）（x+7）+4，依据题意可得； （2）将分子2x2+5x﹣20化为（x﹣3）（2x+11）+13，依题意可得； （3）由题意得出6061+30x+3y，即可知10x+y+4为33的倍数，据此可得． 【规范解答】解：（1） ＝x+7， 故答案为：x+7； （2） ＝2x+11， ∵分式的值为整数， ∴是整数， ∴x﹣3＝±1或x﹣3＝±13， 解得：x＝2或4或﹣10或16， 故答案为：2或4或﹣10或16； （3） ＝6061+30x+3y， ∵整数能被33整除， ∴为整数，即10x+y+4＝33k，（k为整数）， 当k＝1时，x＝2、y＝9符合题意； 当k＝2时，x＝6、y＝2符合题意； 当k＝3时，x＝9、y＝5符合题意． 【考点评析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式的化简求值的计算方法． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学八年级下学期期中复习知识串讲【优等生培优版】 第5章 分式与分式方程 （知识梳理+易错点拨+20个重难点考点讲练+压轴题专练 共70题） 同学你好，本套讲义结合课本内容设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识点梳理，易错考点点拨，重点难点考点真题汇编讲练，精选10道易错压轴题难度拔高练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 导图指引 考点点睛 2 知识精讲 复习回顾 3 知识点梳理01：分式的有关概念及性质 3 知识点梳理02：分式的运算 3 知识点梳理03：分式方程 4 知识点梳理04：分式方程的应用 4 易错点拨 查漏补缺 4 易错知识点01：分式的概念与性质 4 易错知识点02：分式的运算 5 易错知识点03：分式方程 5 易错知识点04：分式与分式方程的综合应用 6 重点难点 考点讲练 6 重点难点考点讲练01:分式有意义的条件 6 重点难点考点讲练02:分式的值为零的条件 6 重点难点考点讲练03:分式的值 7 重点难点考点讲练04:分式的基本性质 7 重点难点考点讲练05:约分 8 重点难点考点讲练06:通分 8 重点难点考点讲练07:最简分式 10 重点难点考点讲练08:最简公分母 10 重点难点考点讲练09:分式的乘除法 10 重点难点考点讲练10:分式的加减法 11 重点难点考点讲练11:分式的混合运算 12 重点难点考点讲练12:分式的化简求值 14 重点难点考点讲练13:列代数式（分式） 15 重点难点考点讲练14:分式方程的定义 16 重点难点考点讲练15:分式方程的解 16 重点难点考点讲练16:解分式方程 17 重点难点考点讲练17:换元法解分式方程 18 重点难点考点讲练18:分式方程的增根 19 重点难点考点讲练19:由实际问题抽象出分式方程 19 重点难点考点讲练20:分式方程的应用 20 压轴专练 拔尖冲刺 21 知识点梳理01：分式的有关概念及性质 1．分式 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. 【易错点剖析】分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义. 2.分式的基本性质 　　（M为不等于0的整式）. 3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子、分母中含有公因式，要进行约分化简. 知识点梳理02：分式的运算 1．约分　 利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 2．通分 利用分式的基本性质，使分子和分母同乘以适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．　　 3．基本运算法则 　 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算 ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. （2）乘法运算 ，其中是整式，. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 ，其中是整式，. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘. （4）乘方运算 分式的乘方，把分子、分母分别乘方. 4.分式的混合运算顺序 　先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的. 知识点梳理03：分式方程 1．分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根. 【易错点剖析】因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解. 知识点梳理04：分式方程的应用 【高频考点精讲】列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解. 易错知识点01：分式的概念与性质 1. 分式与整式的混淆： 学生可能无法准确区分分式和整式，特别是在分母中含有字母的情况下。例如，是分式，因为分母中含有字母 x；而是整式，因为分母中不含有字母。 2. 分式有意义的条件理解不清： 学生可能忽视分式有意义的条件是分母不能为0。例如，对于分式，当 b = 0 时，分式无意义。 3. 分式的基本性质应用错误： 学生可能错误地应用分式的基本性质，即分子和分母同时乘以或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变。例如，将的分子和分母同时乘以 c（c≠0）得到是正确的，但将的分子乘以 c、分母乘以 d（c≠d且c,d≠0）得到则是错误的。 易错知识点02：分式的运算 1. 分式的乘除法运算错误： 学生可能在进行分式的乘除法运算时，出现分子与分子相乘、分母与分母相乘（乘法）或除式的分子分母颠倒位置后再与被除式相乘（除法）的错误。例如，计算时，错误地得到而不是。 2. 分式的加减法运算错误： 学生可能在进行同分母分式的加减法运算时，忘记分母不变、只将分子相加减的原则。或者在进行异分母分式的加减法运算时，不会先通分再加减。例如，计算时，错误地得到而不是。 3. 分式运算中的符号处理不当： 学生可能在分式运算中忽视符号的处理，导致运算结果错误。例如，计算时，错误地得到而不是。 4. 分式化简不彻底： 学生可能在分式化简过程中，没有将分子和分母中的公因式完全约去，导致化简结果不是最简分式。例如，化简时，错误地得到而不是。 易错知识点03：分式方程 1. 分式方程无解与增根混淆不清： 学生可能无法准确理解分式方程无解与增根的区别。无解是指方程没有满足条件的解，而增根是在去分母过程中产生的、使最简公分母为0的解，它可能不是原方程的解。例如，解方程时，如果去分母后得到 x = 2x - 2，解得 x = 2，但代入最简公分母x(x−1)得0，所以 x = 2 是增根，原方程无解。 2. 解分式方程时去分母错误： 学生可能在解分式方程时，错误地去分母或漏乘某些项。例如，解方程时，如果错误地去分母得到2(x−1)−(x+1)=(x+1)，则会导致后续计算错误。 3. 解分式方程后未检验： 学生可能在解出分式方程的解后，忘记将解代入最简公分母进行检验，从而可能得到增根或错误解。 4. 列分式方程解决实际问题时建模错误： 学生可能在列分式方程解决实际问题时，无法准确理解题意、找出等量关系并正确设立未知数，导致列出的方程错误。 易错知识点04：分式与分式方程的综合应用 1. 分式与分式方程的混合运算错误： 学生可能在进行分式与分式方程的混合运算时，出现运算顺序错误或符号处理不当等问题。 2. 分式与分式方程在几何问题中的应用错误： 学生可能无法将分式与分式方程的知识应用于解决几何问题，如利用分式方程求解图形的面积、周长等。 重点难点考点讲练01:分式有意义的条件 【例题精讲】（2024春•雁塔区校级期中）要使分式有意义，则x的取值应满足（　　） A．x≠4 B．x≠3 C．x＝4 D．x＝3 【训练1】（2024春•郫都区校级期中）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围 　 　 ． 【训练2】（2021春•江津区校级期中）要使式子在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是　 　 ． 重点难点考点讲练02:分式的值为零的条件 【例题精讲】（2022春•昆都仑区校级期中）下列说法：①x＝0是2x﹣1＜0的解；②若a＞b，则2﹣a＞2﹣b；③25x2﹣kxy+4y2是一个完全平方式，则k＝20；④两个连续奇数的平方差是8的整数倍；⑤若分式的值为0，则x的值为±3；⑥已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为±3．其中正确的个数是（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【训练1】（2023春•天宁区校级期中）若分式的值为零，则x的值为　　 ． 【训练2】（2024春•兰考县期中）已知分式，当x＝﹣3时，该分式没有意义；当x＝﹣4时，该分式的值为0，则（m+n）2010＝　　 ． 重点难点考点讲练03:分式的值 【例题精讲】（2024春•济南期中）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【训练1】（2024春•梁溪区校级期中）若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【训练2】（2024春•沙坪坝区校级期中）一个四位数若满足千位与十位的数字之和等于百位的2倍，其百位与个位的数字之和等于十位的2倍则称为“双运数”．已知为“双运数”，则的值 　　 ．将四位数M的千位与十位数字构成的两位数记作P（M），将这个四位数M的百位与个位数字构成的两位数记作Q（M），若5P（M）+3Q（M）满足被17除余3，则所有满足条件的M的和为 　　 ． 重点难点考点讲练04:分式的基本性质 【例题精讲】（2024春•天宁区校级期中）若把分式中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的3倍 C．缩小为原来的 D．不变 【训练1】（2024春•南岸区期中）若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（　　） A． B． C． D． 【训练2】（2022春•济南期中）阅读理解 材料：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … … ﹣0.25 ﹣0. ﹣0.5 ﹣1 无意义 1 0.5 0. 0.25 … 从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当x＜0时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：． 根据上述材料完成下列问题： （1）当x＞0时，随着x的增大，1的值 　 　 （增大或减小）； 当x＜0时，随着x的增大，的值 　 　 （增大或减小）； （2）当x＞1时，随着x的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； （3）当0≤x≤2时，求代数式值的范围． 重点难点考点讲练05:约分 【例题精讲】（2024春•宜阳县期中）化简：得（　　） A． B． C． D． 【训练1】（2024春•高新区校级期中）化简： ． 【训练2】（2018春•兴化市期中）约分：　　 ． 重点难点考点讲练06:通分 【例题精讲】（2024春•宿城区校级期中）通分： （1） ，； （2），． 【训练1】（2024春•玄武区校级期中）（1）通分：和； （2） 约分：． 【训练2】（2021春•南阳期中）下面是小东同学课堂上进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应问题． （1）填空： ①以上化简步骤中，第 　　 步进行的是分式的通分，通分的依据是 　 　 ．即为： 　 ； ②第 　　 步开始出现错误，这一步错误的原因是 　 　 ； （2）请直接写出该分式化简后的正确结果； （3）除注意上述错因外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 重点难点考点讲练07:最简分式 【例题精讲】（2023秋•东昌府区校级期中）分式，，，中，最简分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【训练1】．（2023春•建邺区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．分式的值为零，则x的值为±2 B．根据分式的基本性质，等式 C．分式中的x，y都扩大3倍，分式的值不变 D．分式是最简分式 【训练2】（2024春•青神县期中）下列分式中：；；；，其中最简分式有　　 个． 重点难点考点讲练08:最简公分母 【例题精讲】（2024春•古县期中）分式与的最简公分母为 　 　 ． 【训练1】（2019秋•永定区校级期中）分式，的最简公分母是　 　 ． 【训练2】（2024春•泗阳县期中）分式和的最简公分母是 　 ． 重点难点考点讲练09:分式的乘除法 【例题精讲】（2024春•历下区期中）如果一个正整数n的倒数可以分解成两个正整数a，b（a，b均不为n）倒数相乘的形式，我们定义这种分解为“倒分解”；并定义其中两个乘数差最大的一种分解为n的“最大倒分解”，这个最大的差记为：，例：12的倒分解为或，因为，所以最大倒分解为，所认． （1）填空：写出8的一种倒分解：　　 ； （2）计算F（36）的值； （3）若3m+6的最大倒分解为，且，求m的值． 【训练1】（2023春•零陵区校级期中）计算与化简： （1） （﹣a2b）2•（﹣a2b2）3； （2）； （2） ； （4）． 【训练2】（2023春•武侯区校级期中）计算： （1） ； （2）解不等式组：； （2） ． 重点难点考点讲练10:分式的加减法 【例题精讲】（2024秋•莱西市期中）已知代数式，第一次操作将作为新的x代入中化简后得到新的式子记为，第二次操作将作为新的x代入F1中化简后得到新的式子记为，第三次操作将作为新的x代入F2中化简后得到新的式子F3…以此类推重复上述操作，以下结论中正确的有（　　） ①； ②若，则； ③不存在整数x使得的值为负整数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【训练1】（2016春•江都区期中）计算：　 ． 【训练2】（2023春•玄武区校级期中）深化理解：阅读下列材料，并解答问题： 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b； 则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b． ∵对于任意x上述等式成立， ∴解得：． ∴x﹣2． 这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式． （1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为 　 ； （2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x的值． 重点难点考点讲练11:分式的混合运算 【例题精讲】（2024春•济南期中）已知y1，且y2，y3，y4⋯yn，则y2024为（　　） A． B．2﹣x C． D． 【训练1】（2024春•仁寿县期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：22．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：1． 解决下列问题： （1）分式是　　 （填“真分式”或“假分式”）； （2）将假分式化为带分式； （3）先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【训练2】（2024春•邓州市期中）计算与化简： （1） 计算：． （2）化简：． 重点难点考点讲练12:分式的化简求值 【例题精讲】（2022秋•永兴县校级期中）老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用字母A代替了原代数式的一部分，如下： （A） （1）求代数式A，并将其化简； （2）原代数式的值能等于﹣1吗？请说明理由． 【训练1】（2023秋•昌平区期中）阅读理解 材料：为了研究分式与分母x的关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … … ﹣0.25 ﹣0. ﹣0.5 ﹣1 无意义 1 0.5 0. 0.25 … 从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当x＜0时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：． 根据上述材料完成下列问题： （1）当x＞0时，随着x的增大，的值 　　 （增大或减小）； 当x＜0时，随着x的增大，的值 　　 （增大或减小）； （2）当x＞1时，随着x的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； （3）当0≤x≤2时，求代数式值的范围． 【训练2】（2022春•沈丘县期中）先化简：，然后x在﹣1，0，1，2四个数中选一个你认为合适的数代入求值． 重点难点考点讲练13:列代数式（分式） 【例题精讲】（2019秋•滦南县期中）我国是一个水资源贫乏的国家，每一个公民都应自觉养成节约用水的意识和习惯，为提高水资源的利用率，某住宅小区安装了循环用水装置．经测算，原来a天用水b吨，现在这些水可多用4天，现在每天比原来少用水　　 吨． 【训练1】（2024春•桥西区期中）长为300m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进． （1）求甲这次往返的时间t往，t返；（用含v的代数式表示） （2）求甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程． 【训练2】（2020春•孟津县期中）一辆货车从甲地运送货物到乙地，速度为a千米/小时，然后空车按原路返回时速度为b千米/小时，求货车从送货到返回原地的平均速度． 重点难点考点讲练14:分式方程的定义 【例题精讲】（2023春•威远县期中）下列方程中，是分式方程的是（　　） A． B． C．3x＝x﹣5 D．2x﹣y＝1 【训练1】（2023春•成华区校级期中）下列方程：（1）5，其中是分式方程的有（　　） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（3）（4） 【训练2】（2012春•化州市校级期中）下列关于x的方程①，②，③，④中，是分式方程的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 重点难点考点讲练15:分式方程的解 【例题精讲】（2024春•仁寿县期中）若关于x的分式方程3的解为正实数，则实数m的取值范围是（　　） A．m＜3且m≠1 B．m＜3且m≠2 C．m＜3 D．m＜6且m≠2 【训练1】（2024春•双流区校级期中）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是 　　 ． 【训练2】（2024秋•灌阳县期中）阅读： 对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为x1＝a，x2＝b． 应用上面的结论解答下列问题： （1）方程有两个解，分别为x1＝2，x2＝　　 ． （2）关于x的方程的两个解分别为x1＝2，x2＝　 ． （3）关于x的方程的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值． 重点难点考点讲练16:解分式方程 【例题精讲】（2024春•江北区校级期中）已知关于x的分式方程的解为正数，关于y的不等式组有解且最多5个整数解，则所有符合条件的整数m之和为 　　 ． 【训练1】（2023秋•任城区期中）解方程 （1） （2）． 【训练2】（2024春•济南期中）我们把形如xa+b（a，b不为零），且两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”． 例如x4为十字分式方程，可化为x1+3， ∴x1＝1，x2＝3． 再如x6为十字分式方程，可化为x（﹣2）+（﹣4）， ∴x1＝﹣2，x2＝﹣4． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若x5为十字分式方程，则x1＝ 　　 ，x2＝ 　　 ． （2）若十字分式方程x2的两个解分别为x1＝m，x2＝n，求的值． （3）若关于x的十字分式方程xk﹣1的两个解分别为x1，x2（k＞0，x1＞x2），求的值． 重点难点考点讲练17:换元法解分式方程 【例题精讲】（2024春•嘉定区校级期中）在分式方程1中，令y，则原方程可化为关于y的方程是　 ． 【训练1】（2024春•花溪区校级期中）阅读下面材料：解方程：． 解：设，则原方程化为， 方程两边同时乘y，得y2﹣4＝0，解得y＝±2． 经检验，y＝±2都是方程的解． 当y＝2时，，解得x＝﹣1；当y＝﹣2时，，解得． 经检验，x＝﹣1，都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝﹣1或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 解答下面的问题： （1）对于方程，若，则原方程可化为 　 　 ，原方程的解为 　或　 ． （2）模仿上述换元法解方程：． 【训练2】（2022春•邗江区校级期中）阅读下面材料，解答后面的问题．解方程：0．解：设y，则原方程化为：y0，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，经检验：y＝±2都是方程y0的解，∴当y＝2时，2，解得x＝﹣1，当y＝﹣2时，2，解得：x，经检验：x＝﹣1或x都是原分式方程的解，∴原分式方程的解为x＝﹣1或x．上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： （1）若在方程0中，设y，则原方程可化为：　　 ； （2）若在方程中0，设y，则原方程可化为：　　 ； （3）模仿上述换元法解方程：10． 重点难点考点讲练18:分式方程的增根 【例题精讲】（2024春•洪雅县期中）已知关于x的分式方程有增根，则k的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3 【训练1】（2024春•麦积区期中）关于x的方程产生增根，则常数m的值等于 　　 ． 【训练2】2020春•洛宁县期中）若关于x的方程1有增根，求m的值． 重点难点考点讲练19:由实际问题抽象出分式方程 【例题精讲】（2024春•晋城期中）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天：若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列列出的分式方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【训练1】（2024春•瑶海区校级期中）一组学生组织春游，预计共需要费用120元，后来又有2人参加进来，费用不变，这样每人可少分摊3元，设原来这组学生有x人，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【训练2】（2024春•亭湖区校级期中）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍． （1）求两种型号玩具的单价各是多少元？ 根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：30，解得x＝5，经检验x＝5是原方程的解． 乙：1.6，解得x＝65，经检验x＝65是原方程的解． 则甲所列方程中的x表示 　 ，乙所列方程中的x表示 　 （2） 该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多少个？ 重点难点考点讲练20:分式方程的应用 【例题精讲】（2024春•辉县市期中）某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同，请解答下列问题： （1）这两种家电每件的进价分别是多少元？ （2）若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种家电不超过67件，则该商场有哪几种购买方案？ 【训练1】（2023春•福田区校级期中）为响应垃圾分类的要求，营造干净整洁的学习生活环境，创建和谐文明的校园环境．学校准备购买A、B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元，且用18000元购买A种垃圾桶的组数量是用13500元购买B种垃圾桶的组数量的2倍． （1）求A、B两种垃圾桶每组的单价分别是多少元； （2）该学校计划用不超过8000元的资金购买A、B两种垃圾桶共20组，则最多可以购买B种垃圾桶多少组？ 【训练2】（2023春•成华区校级期中）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降，今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元． （1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？ （2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元的资金购进这两款汽车共15辆，且A款汽车的数量不少于6辆，有几种进货方案？ （3）按照（2）中两种汽车进价不变，如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是 　0.5　 万元．（不必提供求解过程，直接给出a值即可） 1．（2024春•鹤壁期中）若x，y的值均扩大到原来的5倍，则下列分式的值保持不变的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•武侯区校级期中）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•社旗县期中）根据分式的基本性质，分式变形可得到下列结果中的（　　） A． B． C． D． 4．（2024春•卫滨区校级期中）关于x的不等式组有解且最多五个整数解，关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为 　　 ． 5．（2024春•麦积区期中）关于x的方程产生增根，则常数m的值等于 　　 ． 6．（2024春•秦都区校级期中）若关于x的分式方程1无解，则m的值为 　　 ． 7．（2024春•武侯区校级期中）已知W＝（） （1）化简W； （2）若a，2，3恰好是△ABC的三边长，请选取合适的整数a代入W，求出W的值． 8．（2018春•冠县期中）某文教店老板到批发市场选购A、B两种品牌的绘图工具套装，每套A品牌套装进价比B品牌每套套装进价多2.5元，已知用200元购进A种套装的数量是用75元购进B种套装数量的2倍． （1）求A、B两种品牌套装每套进价分别为多少元？ （2）若A品牌套装每套售价为13元，B品牌套装每套售价为9.5元，店老板决定，购进B品牌的数量比购进A品牌的数量的2倍还多4套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过120元，则最少购进A品牌工具套装多少套？ 9．（2023春•成华区校级期中）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降，今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元． （1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？ （2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元的资金购进这两款汽车共15辆，且A款汽车的数量不少于6辆，有几种进货方案？ （3）按照（2）中两种汽车进价不变，如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是 　　 万元．（不必提供求解过程，直接给出a值即可） 10．（2024春•武进区校级期中）阅读下列材料，解决问题： 在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数的和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明． 材料1：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：x﹣2 这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式． 材料2：已知一个能被11整除的个位与百位相同的三位整数100x+10y+x，且1≤x≤4，求y与x的函数关系式． 解：∵9x+y， 又∵1≤x≤4，0≤y≤9，∴﹣7≤2x﹣y≤8，还要使为整数， ∴2x﹣y＝0，即y＝2x． （1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为　 ； （2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝　 　 ； （3）已知一个六位整数能被33整除，求满足条件的x，y的值． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$