清单01 分式（考点清单，知识导图+13个考点清单&题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（华东师大版）

清单01 分式（13个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 分式及基本概念 1.分式有意义的条件：B≠0； 2.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 3.分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 4.分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 清单02 分式运算 1.分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 2.分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 3.同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 4.异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 清单03 分式方程 1.解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 2.分式方程应用 列分式方程解应用题的一般步骤：①审， ②设， ③列， ④解， ⑤验（必须要检验） ⑥答 清单04 零指数幂与负整数指数幂 1.零指数 a0=1 (a≠0) 1.负整数指数幂 a-1= (a≠0) 3.科学计数法 有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学计数法． 【考点题型一】分式有意义的条件（） 【例1】（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）分式有意义的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（22-23八年级下·江苏扬州·期中）下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级上·重庆·期中）使式子有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25八年级上·山东潍坊·期中）根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（   ） … 0 1 2 … … 0 * * 无意义 * … A． B． C． D． 【变式1-4】（23-24九年级下·福建厦门·阶段练习）分式有意义，则满足的条件是 ． 【考点题型二】分式值为0的条件（） 【例2】（23-24八年级下·辽宁阜新·期中）若分式的值为0，则x的值为（    ） A． B．1 C． D．0 【变式2-1】（23-24八年级上·湖北十堰·期末）当 时，分式的值为0． 【考点题型三】分式的求值（） 【例3】（23-24八年级下·海南儋州·期中）已知，则 ． 【变式3-1】（23-24八年级下·江苏泰州·期中）若，则 ． 【变式3-2】（23-24八年级下·江苏南京·期中）若，则的值为 ； 【变式3-3】（22-23八年级上·山东泰安·期中）已知，则代数式的值为 ． 【考点题型四】分式的基本性质运用（） 【例4】（24-25八年级下·江苏南京·期中）如果把分式中的x和y都扩大到原来的4倍，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的2倍 B．扩大到原来的4倍 C．不变 D．缩小到原来的 【变式4-1】（24-25八年级下·江苏南京·期中）根据分式的基本性质，下列各式从左到右的变形中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）若把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（　　） A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．缩小6倍 【变式2-3】（22-23八年级下·江苏扬州·期中）下列各分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（24-25八年级上·重庆·期中）下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型五】分式的乘除法运算（） 【例5】（24-25八年级上·北京·阶段练习）计算： (1) ； (2)． 【变式5-1】（23-24八年级下·四川遂宁·期中）计算： 【变式5-2】（22-23八年级上·山东聊城·期中）计算： (1) (2) 【变式5-3】（24-25八年级上·山东济南·期中）计算 (1) (2) 【考点题型六】分式的加减法运算（） 【例6】（22-23八年级下·江苏南京·期中）计算： (1)； (2)． 【变式6-1】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)． 【变式6-2】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）计算： (1) (2) (3) 【变式6-3】（2024·河南信阳·三模）计算的结果是（    ） A．2 B． C．0 D． 【考点题型七】】分式的混合运算（） 【例7】（24-25八年级上·山东泰安·期中） 计算 (1) (2) 【变式7-1】（24-25八年级上·全国·期中）化简分式： (1)   (2)． 【变式7-2】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）化简： (1)； (2)． 【变式7-3】（2023八年级上·全国·专题练习）分式计算 (1) (2) 【考点题型八】分式化简求值（） 【例8】（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式8-1】（24-25九年级下·陕西西安·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式8-2】（24-25八年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中． 【考点题型九】解分式方程（） 【例9】（23-24七年级下·山东东营·期末）解方程 (1)； (2) 【变式9-1】（2024·陕西西安·模拟预测）解方程：． 【变式9-2】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）解方程： (1)； (2) 【变式9-3】（24-25八年级上·山东淄博·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式9-4】（24-25八年级上·山东泰安·期中）解方程： (1)； (2)． 【考点题型十】已知分式方程的解求参数（） 【例10】（24-25八年级上·山东威海·期中）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式10-1】（23-24八年级下·全国·单元测试）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A． B．0 C．3 D．0或3 【变式10-2】（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）若分式方程有增根，则 ． 【变式10-3】（24-25八年级上·四川眉山·期中）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ． 【考点题型十一】分式方程应用题（） 【例11】（23-24八年级下·四川眉山·期中）某校开展“垃圾分类，你我有责”主题活动．为更好地进行垃圾分类，准备购进A，B两种品牌的垃圾桶，购买时发现，购买B品牌垃圾桶的单价比购买A品牌垃圾桶的单价多50元，用2000元购买A品牌垃圾桶的个数是用1500元购买B品牌垃圾桶个数的2倍． (1)求A、B两种品牌垃圾桶的单价各是多少元？ (2)该校决定购进A、B两种品牌垃圾桶共20个，购买的总费用不超过2500元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？ 【变式11-1】（23-24八年级下·河南南阳·期中）为了调动学生学习数学的兴趣，某校八年级举行了数学计算题比赛，为表彰获奖的选手，年级组准备在学校对面的晨光文具店购买，两种文具作为奖品．已知文具的单价比文具的单价贵元，且用元购买文具的数量与用元购买文具的数量相同． (1)求，两种文具的单价； (2)若年级组需要购买，两种文具共件，且购买这两种文具的总费用不超过元，则年级组至少购买种文具多少件？ 【变式11-2】（22-23八年级上·北京海淀·期末）随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传：根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 【变式11-3】（2023·重庆南岸·一模）为了美化环境，建设生态南岸，某社区需要对8400平方米的区域进行绿化改造，计划由甲、乙两个绿化工程队合作完成，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多100平方米，甲队单独完成全部任务所需时间是乙队的． (1)甲、乙两队每天分别能完成多少平方米的绿化改造面积？ (2)已知甲队每天施工费用为2400元，乙队每天施工费用为1800元，若先由甲队施工若干天后，再由甲、乙两个施工队合作完成，恰好20天完成绿化改造，求完成这项绿化改造任务总共需要施工费用多少元？ 【变式11-4】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）学校组织八年级同学进行游学活动，学生分乘甲乙两辆大巴车从学校出发前往相距70km“天乐湖”游玩．下午游览结束两车同时原路返校，途中甲车进加油站加油，耗时15分钟，乙车在距离学校5千米处出故障抛锚，不得已老师带领学生下车步行回校，由于抄小路少走了2千米．大巴车的平均行驶速度是学生步行速度的12倍，最终步行的学生老师比另一批晚到达16分钟．求大巴车速度． 【考点题型十二】零指数幂和负整数指数幂（） 【例12】（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）计算：． 【变式12-1】（24-25八年级上·吉林长春·期中）计算： (1)； (2)． 【变式12-1】（23-24八年级下·四川攀枝花·期中）计算： (1)． (2) 【变式12-2】（23-24八年级下·四川成都·期末）计算： 【考点题型十三】科学计数法（） 【例13】（23-24八年级上·北京海淀·期末）杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，甲醇的质量约为0.00079，将0.00079用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】（2024八年级上·全国·专题练习）2024年9月9日，工业和信息化部宣布中国首台氟化氩光刻机，实现套刻技术，标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展．已知8纳米米，0.000000008用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式13-2】（2024·甘肃定西·模拟预测）是第五代移动通信技术，应用网络下载一个的文件只需要秒，下载一部高清电影只需要1秒．将用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【变式13-3】（24-25八年级上·重庆·期中）纳米机器人在医学和材料科学等领域有广泛应用，尺寸为几十至几百纳米．例如，一个52纳米大小的纳米机器人，其长度为0.000000052米．数据0.000000052用科学记数法表示为 ． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 分式（13个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 分式及基本概念 1.分式有意义的条件：B≠0； 2.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 3.分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 4.分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 清单02 分式运算 1.分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 2.分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 3.同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 4.异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 清单03 分式方程 1.解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 2.分式方程应用 列分式方程解应用题的一般步骤：①审， ②设， ③列， ④解， ⑤验（必须要检验） ⑥答 清单04 零指数幂与负整数指数幂 1.零指数 a0=1 (a≠0) 1.负整数指数幂 a-1= (a≠0) 3.科学计数法 有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学计数法． 【考点题型一】分式有意义的条件（） 【例1】（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）分式有意义的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题关键是理解并掌握分式有意义的条件：当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．分式是否有意义与分子的取值无关．据此可得，求解即可获得答案． 【详解】解：依题意得：， 解得． 故选：A． 【变式1-1】（22-23八年级下·江苏扬州·期中）下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义分母不为零；（3）分式值为零分子为零且分母不为零．根据分式有意义，分母不等于0对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、时，，分式无意义，故本选项不符合题意； B、时，，分式无意义，故本选项不符合题意； C、时，，分式无意义，故本选项不符合题意； D、无论x取何值，，分式都有意义，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式1-2】（24-25八年级上·重庆·期中）使式子有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不能为0列式计算即可． 【详解】解：当有意义时，， 解得， 故选B． 【变式1-3】（24-25八年级上·山东潍坊·期中）根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（   ） … 0 1 2 … … 0 * * 无意义 * … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件及分式的值为的条件解答即可，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 【详解】解：由表格可知，当时分式无意义， ∴不合题意； ∵当时，分式的值为， ∴不符合题意，符合题意， 故选：． 【变式1-4】（23-24九年级下·福建厦门·阶段练习）分式有意义，则满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，当分母不为0时，分式有意义．根据分式有意义的条件得到，即可求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点题型二】分式值为0的条件（） 【例2】（23-24八年级下·辽宁阜新·期中）若分式的值为0，则x的值为（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件是解题的关键.分式的值为零的条件是：分子为零，分母不为零，由此列方程与不等式，从而可得答案. 【详解】解： 分式的值为0， 由可得： 故选：D 【变式2-1】（23-24八年级上·湖北十堰·期末）当 时，分式的值为0． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，理解“分式且”是解题的关键． 根据题意令分子为零，即，解得；将代入，结果不为零，即可得出． 【详解】解：要使分式的值为0， ， 解得：， 当时，； 故答案：． 【考点题型三】分式的求值（） 【例3】（23-24八年级下·海南儋州·期中）已知，则 ． 【答案】0 【分析】此题考查了分式的求值，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键，原式化简得，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，，， ． 故答案为：0. 【变式3-1】（23-24八年级下·江苏泰州·期中）若，则 ． 【答案】0 【分析】此题考查了分式的求值，解题的关键是把化成．先把要求的式子化成，再代值计算即可． 【详解】解： ， ． 故答案为：0 【变式3-2】（23-24八年级下·江苏南京·期中）若，则的值为 ； 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值．根据得出，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】（22-23八年级上·山东泰安·期中）已知，则代数式的值为 ． 【答案】4 【分析】此题考查了分式的求值运算，适当变形后整体代入是解题的关键．解法一将变形为，再将变形为整体代入求解．解法二将原式的分子和分母同时除以，再将整体代入即求出值． 【详解】解：解法一： ，即， ∴原式． 解法二：将原式的分子和分母同时除以， 故答案为：4． 【考点题型四】分式的基本性质运用（） 【例4】（24-25八年级下·江苏南京·期中）如果把分式中的x和y都扩大到原来的4倍，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的2倍 B．扩大到原来的4倍 C．不变 D．缩小到原来的 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ∴如果把分式中的x和y都扩大为原来的4倍，那么分式的值扩大为原来的4倍， 故选：B． 【变式4-1】（24-25八年级下·江苏南京·期中）根据分式的基本性质，下列各式从左到右的变形中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练理解分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变进行逐项判断． 【详解】解：A．，原计算错误，该选项不符合题意； B．，原计算错误，该选项不符合题意； C．，原计算错误，该选项不符合题意； D．，正确，该选项符合题意； 故选：D． 【变式2-2】（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）若把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（　　） A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．缩小6倍 【答案】C 【分析】本题考查的是对分式的性质的理解，根据分式的基本性质分式中元素扩大或缩小倍，只要将原数乘以或除以，再代入原式求解即可． 【详解】解：把原式中的、分别换成、，那么 把分式中的和都扩大倍，分式的值缩小倍， 故选：C． 【变式2-3】（22-23八年级下·江苏扬州·期中）下列各分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了最简分式，熟练掌握分式的约分和最简分式的定义是解题的关键．直接利用最简分式的定义，一个分式的分子与分母没有公因式时叫最简分式，进而分析得出答案． 【详解】解：A．，故此选项不合题意； B．，故此选项不合题意； C．，故此选项不合题意； D．是最简分式，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式2-4】（24-25八年级上·重庆·期中）下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同乘或除以不为零的数或整式，分式的值不变．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质逐一进行分析判断即可． 【详解】解：A．分式的分子分母同时减去一个数，所得的分式与原分式的值不一定相等，故 错误； B． 分式的分子分母同时除以同一个不为0的数时，分子分母的各项都要除，故错误； C． 分式的分子分母同时平方后，所得的分式与原分式的值不一定相等，故错误； D． 由分式的左边可得，故分式的分子分母同除以a，分式的值不变，故，正确． 故选：D． 【考点题型五】分式的乘除法运算（） 【例5】（24-25八年级上·北京·阶段练习）计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式运算，涉及到因式分解，熟记运算法则是关键． （1）根据分式的乘除混合运算运算即可； （2）运用完全平方式、平方差公式、提取公因式因式分解，再约分化简即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 【变式5-1】（23-24八年级下·四川遂宁·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题的关键．根据分式的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 【变式5-2】（22-23八年级上·山东聊城·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据积的乘方，同底数幂的除法运算即可； （2）根据分式的除法，因式分解计算即可求出答案． 【详解】（1）解：原式＝ ＝ （2）解：原式＝ ＝ ＝． 【点睛】此题考查了积的乘方，分式除法，解题关键是熟练掌握其相关的运算法则． 【变式5-3】（24-25八年级上·山东济南·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，分式的乘除法计算： （1）先把两个分式的分子和分母都分解因式，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案； （2）先把第一个分式的分子分解因式，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点题型六】分式的加减法运算（） 【例6】（22-23八年级下·江苏南京·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将分子分母能因式分解的进行因式分解，再通分计算即可； （2）先将分子分母能因式分解的进行因式分解，再通分计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则． 【变式6-1】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式加减运算：同分母分式的加减法是分母不变，分式相加减；异分母分式的加减法运算通过通分转化为同分母的加减运算． （1）根据同分母相加减，分母不变，分子相加减，即可得出答案； （2）先把分式的分子与分母进行因式分解，再化成同分母分式，然后进行约分，即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式6-2】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的混合运算，正确计算是解题的关键： （1）根据同分母分式的减法计算即可； （2）根据异分母分式的加法计算即可； （3）先通分，再计算即可 【详解】（1）解： （2）解：         （3）解：                          【变式6-3】（2024·河南信阳·三模）计算的结果是（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的加法，先利用分式的性质把原式变为同分母分式减法，再进行运算即可． 【详解】解： 故选：B． 【考点题型七】】分式的混合运算（） 【例7】（24-25八年级上·山东泰安·期中） 计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是： （1）先把分子分母因式分解，再根据分式的运算法则计算即可； （2）先计算括号内，再根据分式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式7-1】（24-25八年级上·全国·期中）化简分式： (1)   (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算． （1）先对括号里面的分式进行通分，计算括号里面的减法运算，利用完全平方公式进行化简，再将除法要转化为乘法，再计算分是乘法即可； （2）先对括号里面的分式进行通分，计算括号里面的减法运算，利用平方差公式进行化简，再将除法要转化为乘法，再计算分是乘法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式7-2】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）先化简计算括号，再将除法化为乘法，借助于平方差公式和完全平方公式计算； （2）先进行括号内分式的减法计算，再将除法化为乘法计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式7-3】（2023八年级上·全国·专题练习）分式计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，涉及完全平方公式以及平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简通分括号内的式子，再算括号外的除法即可； （2）先化简通分括号内的式子，再算括号外的除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点题型八】分式化简求值（） 【例8】（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 根据分式混合运算的顺序，结合式子的特点，先算括号内的减法，再算除法，将除法转化为乘法后约分即可得出化简结果，然后将代入化简结果求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【变式8-1】（24-25九年级下·陕西西安·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】本题考查分式的化简求值，化简中用到因式分解、约分，注意因式分解，约分符号问题，最后使得式子最简．根据分式的化简，通过通分、约分化简得到的式子，把代入求值即得． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【变式8-2】（24-25八年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ； 代入得原式． 【考点题型九】解分式方程（） 【例9】（23-24七年级下·山东东营·期末）解方程 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法步骤是解题的关键． （1 ）根据解分式方程的方法步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验，求解，即可解题； （2 ）根据解分式方程的方法步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验，求解，即可解题． 【详解】（1）解： 方程两边同乘，得， 解得：， 检验：时，， ∴是该分式方程的解； （2）解： 方程两边同乘，得 解得：， 检验：时，， ∴是该分式方程的解． 【变式9-1】（2024·陕西西安·模拟预测）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，方程左右两边同时乘以，去分母，去括号，移项并合并同类项即可，最后检验即可． 【详解】解： 程左右两边同时乘以，得： 经检验，当时，， 所以，是原分式方程的解． 【变式9-2】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程的基本思路方法，是解题的关键．基本方法是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． （1）分式方程两边乘以，化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． （2）分式方程两边乘以，化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的根； （2）解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是增根，原分式方程无解． 【变式9-3】（24-25八年级上·山东淄博·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 检验：当时，； 故方程的解为：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 检验：当时，， 故方程的解为：． 【变式9-4】（24-25八年级上·山东泰安·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意验根是解题的关键． （1）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】（1）解： 两边都乘以去分母得： 解得：， 检验：当时，， ∴是分式方程的解； （2）解： ∴ 两边都乘以去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 【考点题型十】已知分式方程的解求参数（） 【例10】（24-25八年级上·山东威海·期中）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解及其解法，掌握分式方程的解法是解题的关键，理解分式有意义的条件是正确解答的前提． 先将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，由分式方程的解为正数以及分式有意义的条件确定m的取值范围． 【详解】解：关于x的分式方程化为整式方程得，， 解得， 由于分式方程的解为正数， 所以，即， 又∵，， 解得：， ∴ ∴ ∴m的取值范围为且， 故选：D． 【变式10-1】（23-24八年级下·全国·单元测试）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A． B．0 C．3 D．0或3 【答案】A 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．分式方程去分母转化为整式方程，把增根代入整式方程，即可求得相关字母的值． 【详解】解：分式方程， 去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 解得：， 故选：A． 【变式10-2】（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）若分式方程有增根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，解决本题的关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义，分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解． 【详解】解：∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得， 即增根为5， 方程两边同乘得， 化简得， 将代入， ， 故答案为：． 【变式10-3】（24-25八年级上·四川眉山·期中）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则并注意不要漏掉分母不为0的情况是解本题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为负数确定出m的范围即可． 【详解】解∶解方程， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 关于的分式方程的解为负数， 且． 且． 故答案为∶ 且． 【考点题型十一】分式方程应用题（） 【例11】（23-24八年级下·四川眉山·期中）某校开展“垃圾分类，你我有责”主题活动．为更好地进行垃圾分类，准备购进A，B两种品牌的垃圾桶，购买时发现，购买B品牌垃圾桶的单价比购买A品牌垃圾桶的单价多50元，用2000元购买A品牌垃圾桶的个数是用1500元购买B品牌垃圾桶个数的2倍． (1)求A、B两种品牌垃圾桶的单价各是多少元？ (2)该校决定购进A、B两种品牌垃圾桶共20个，购买的总费用不超过2500元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？ 【答案】(1)A种垃圾桶每个的售价为100元，B种垃圾桶每个的售价为150元 (2)10个 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设A种垃圾桶每个的售价为x元，则B种垃圾桶每个的售价为元，利用数量=总价÷单价，结合用2000元购买A种垃圾桶的个数量是用1500元购买B种垃圾桶的个数的2倍，列出分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购买B种垃圾桶y个，则购买A种垃圾桶个，利用总价=单价×数量，结合总价不超过2500元，列出一元一次不等式，解之即可得出y的取值范围，再取其中的最大整数值即可． 【详解】（1）设A种垃圾桶每个的售价为x元，则B种垃圾桶每个的售价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：A种垃圾桶每个的售价为100元，B种垃圾桶每个的售价为150元． （2）设购买B种垃圾桶y个，则购买A种垃圾桶个， 依题意得：， 解得：， 答：最多可以购买B种垃圾桶10个． 【变式11-1】（23-24八年级下·河南南阳·期中）为了调动学生学习数学的兴趣，某校八年级举行了数学计算题比赛，为表彰获奖的选手，年级组准备在学校对面的晨光文具店购买，两种文具作为奖品．已知文具的单价比文具的单价贵元，且用元购买文具的数量与用元购买文具的数量相同． (1)求，两种文具的单价； (2)若年级组需要购买，两种文具共件，且购买这两种文具的总费用不超过元，则年级组至少购买种文具多少件？ 【答案】(1)文具的单价为元，则B文具的单价为元； (2)年级组至少购买种文具件． 【分析】（）设文具的单价为元，则文具的单价为元，由用元购买文具的数量与用元购买文具的数量相同列出方程即可； （）设设年级组购买种文具件，根据购买这两种文具的总费用不超过元，列出不等式即可； 此题考查一元一次不等式应用，分式方程的应用，解题的关键读懂题意列出方程和不等式． 【详解】（1）解：设文具的单价为元，则文具的单价为元， 根据题意，得， 解得 ， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 答：文具的单价为元，则B文具的单价为元； （2）设年级组购买种文具件， 根据题意，得：， 解得， ∴年级组至少购买种文具件． 【变式11-2】（22-23八年级上·北京海淀·期末）随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传：根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 【答案】80吨 【分析】本题考查的是解分式方程的应用，解题的关键是找准等量关键正确列出方程． 设新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则旧型机器人每天搬运的货物量为吨，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：设新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则旧型机器人每天搬运的货物量为吨， 根据题意得：， 方程两边同乘， 得， 解得， 经检验，是分式方程的解； 答：新型机器人每天搬运的货物量为80吨． 【变式11-3】（2023·重庆南岸·一模）为了美化环境，建设生态南岸，某社区需要对8400平方米的区域进行绿化改造，计划由甲、乙两个绿化工程队合作完成，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多100平方米，甲队单独完成全部任务所需时间是乙队的． (1)甲、乙两队每天分别能完成多少平方米的绿化改造面积？ (2)已知甲队每天施工费用为2400元，乙队每天施工费用为1800元，若先由甲队施工若干天后，再由甲、乙两个施工队合作完成，恰好20天完成绿化改造，求完成这项绿化改造任务总共需要施工费用多少元？ 【答案】(1)甲工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成200平方米的绿化改造面积； (2)69600元． 【分析】（1）设乙工程队每天能完成平方米的绿化改造面积，则甲工程队每天能完成平方米的绿化改造面积，根据甲队单独完成全部任务所需时间是乙队的，即可得出关于的分式方程，解之即可得出结论； （2）设甲工程队先做了天，则甲乙合作了天，根据先由甲队施工若干天后，再由甲、乙两个施工队合作完成，恰好天完成绿化改造完成列一元一次方程求得甲单独做的天数，从而即可得解． 【详解】（1）解∶设乙工程队每天能完成平方米的绿化改造面积，则甲工程队每天能完成平方米的绿化改造面积， 依题意得∶， 解得∶， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为， ∴ 答∶甲工程队每天能完成平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成平方米的绿化改造面积； （2）解：设甲工程队先做了天，则甲乙合作了天，则： ， 解得， ∴完成这项绿化改造任务总共需要施工费用为（元）． 【点睛】本题考查了一元一次方程以及分式方程的应用，解题的关键是∶准等量关系，正确列出一元一次方程和分式方程． 【变式11-4】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）学校组织八年级同学进行游学活动，学生分乘甲乙两辆大巴车从学校出发前往相距70km“天乐湖”游玩．下午游览结束两车同时原路返校，途中甲车进加油站加油，耗时15分钟，乙车在距离学校5千米处出故障抛锚，不得已老师带领学生下车步行回校，由于抄小路少走了2千米．大巴车的平均行驶速度是学生步行速度的12倍，最终步行的学生老师比另一批晚到达16分钟．求大巴车速度． 【答案】大巴车的速度为60千米小时． 【分析】本题考查分式方程的应用．设学生步行速度为千米小时，则大巴车速度为千米小时，根据最终步行的学生老师比另一批晚到达16分钟列方程得：，解方程并检验可得答案． 【详解】解：设学生步行速度为千米小时，则大巴车速度为千米小时， 根据题意列方程得：， 解得：， 经检验是原方程的解，也符合题意， 答：大巴车的速度为60千米小时． 【考点题型十二】零指数幂和负整数指数幂（） 【例12】（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算．先化简负整数指数幂、零指数幂、立方根以及绝对值，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 【变式12-1】（24-25八年级上·吉林长春·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的运算， （1）根据绝对值、零指数幂及负整数指数幂将原式化简，再进行加减运算即可； （2）根据有理数的乘方、绝对值、负整数指数幂及零指数幂将原式化简，再进行加减运算即可； 掌握相应的运算法则、运算顺序、性质及公式是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式12-1】（23-24八年级下·四川攀枝花·期中）计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，含乘方的分式乘除混合计算： （1）先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算乘方，再计算乘除法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式12-2】（23-24八年级下·四川成都·期末）计算： 【答案】1 【分析】本题考查实数的混合运算，先进行乘方，开方，零指数幂，负整数指数幂的运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 【考点题型十三】科学计数法（） 【例13】（23-24八年级上·北京海淀·期末）杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，甲醇的质量约为0.00079，将0.00079用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故选B． 【变式13-1】（2024八年级上·全国·专题练习）2024年9月9日，工业和信息化部宣布中国首台氟化氩光刻机，实现套刻技术，标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展．已知8纳米米，0.000000008用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：B． 【变式13-2】（2024·甘肃定西·模拟预测）是第五代移动通信技术，应用网络下载一个的文件只需要秒，下载一部高清电影只需要1秒．将用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为的形式，其中，为整数是关键． 【详解】解：将用科学记数法表示应为， 故选：A． 【变式13-3】（24-25八年级上·重庆·期中）纳米机器人在医学和材料科学等领域有广泛应用，尺寸为几十至几百纳米．例如，一个52纳米大小的纳米机器人，其长度为0.000000052米．数据0.000000052用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，由此即可得出答案． 这里． 【详解】 故答案为： 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$