清单03 平行四边形（7个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年八年级数学下学期期中考点大串讲（华东师大版）

清单03平行四边形（7个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 平行四边形的性质 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 3. 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 清单02 平行四边形的判定 1. 与边有关的判定： （1） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （3） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【考点题型一】利用平行四边形的性质求解（） 【例1】如图，在周长为cm的平行四边形中，相交于点O，交于E， 则的周长为（        ）    A．4cm B．6cm C．8cm D．cm 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，由题意推出垂直平分，得，据此即可求解； 【详解】解：由题意得：点O为的中点，cm ∴ cm ∵ ∴垂直平分 ∴ ∴的周长 cm 故选D 【变式1-1】如图，在中，已知，，平分交边于点，则等于（    ） A．2 B．4 C．3 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，由平行四边形的性质可得，，，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得，即可求的长． 【详解】四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 故选：C． 【变式1-2】如图，在平行四边形中，，，分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线交于点F，交于点E，则的周长是（    ） A．7 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了作图-基本作图（垂直平分线）和平行四边形性质，要熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角，作已知线段的垂直平分线，作已知角的角平分线，过一点作已知直线的垂线）的方法．利用垂直平分线的作法得垂直平分，则，利用等线段代换得到的周长，然后根据平行四边形的性质可确定周长的值． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵由作法可知，直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的周长． 故选B． 【变式1-3】如图，在中，，点在边上，以为边作，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，平行四边形的性质，掌握等腰三角形的两个底角相等，平行四边形的对角相等是解本题的关键．根据等腰三角形的性质可求，再根据平行四边形的性质可求． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 故选：． 【变式1-4】如图，在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的对边平行即可求解． 【详解】解：因为平行四边形中，， ∴， ∴． 则的度数是． 故选：D． 【变式1-5】如图，在中，是的垂直平分线，交于点，交于点，连接．若的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质．根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，得到，由的周长为得到，等量代换得到，即可得到的周长． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的周长为． 故选：B． 【变式1-6】如图，已知点，，将线段平移得到线段，且四边形的周长为，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D．9 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，根据点，得，根据将线段平移得到线段得，，则四边形是平行四边形，即，根据平行四边形的性质和四边形的周长为得，在中，，，根据勾股定理得，，即可得；掌握平移的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵点，， ∴， ∵将线段平移得到线段， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形的周长为， ∴， 在中，，，根据勾股定理得， ， ∴四边形的面积为：， 故选：D． 【变式1-7】如图，平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题．根据平行四边形的性质可知，又因为平分，所以，则，则，同理可证，先求出，再求出，继而可得出答案． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，，， ∴， 又平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式1-8】如图，在中，为边延长线上一点，连接，．若的面积为12，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的面积等于底高解答． 设与之间的距离为，由，根据的面积为12，可推导出，进而解答即可． 【详解】解：设与之间的距离为， ， ， 故选：C． 【考点题型二】平行四边形中最小值问题（） 【例2】如图，在中，，，是边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长的最小值为（    ） A．14.4 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【答案】A 【分析】设，交于点O，过点O作于点F，勾股定理求得，等面积法求得，根据垂线段最短，当点D与点F，重合时，最小，进而求得的最小值，即可求解． 【详解】解：设，交于点O，过点O作于点F，如图所示， 在四边形中，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 当点D与点F，重合时，最小， ∴的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键． 【变式2-1】如图，在平行四边形中，，，点在边上，连接，，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是本题的关键．由直角三角形的性质可得，，由平行四边形的性质可得，当时，有最小值为，即可求解． 【详解】解：设与交于点，过点作于， ，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 当时，有最小值为， 的最小值为， 故选：D 【变式2-2】如图，在中，，，P为边上的一动点，连接，以为邻边作，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理、平行四边形性质、垂线段最短等知识点，确定的最小值成为解题的关键，先利用勾股定理算出，再根据垂线段最短可得当时，的长的最小；再根据平行四边形的性质可知,即的长的最小值就是线段长的最小值，据此即可解答即． 【详解】解：∵，， ， 根据垂线段最短可得当时，的长的最小； ∴,即, 解得：， ∵在中， ∴， ∴的长的最小值就是线段长的最小值． 故答案为：． 【变式2-3】如图，平行四边形，，，点为上一动点，则的最小值为 【答案】10 【分析】本题考查了轴对称最短问题和平行四边形的性质，学会利用轴对称的性质解决最短问题是解题的关键； 作点A关于的对称点，连接交于点P，即为最小值，根据直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半及勾股定理求出，根据轴对称得出，然后根据平行四边形的性质得出，，再次利用勾股定理即可求出结果． 【详解】如图：作点A关于的对称点，连接交于点P，即为最小值， ，， ， ， ， ∴， ， ， ， 在中， ， 点A和点关于轴对称， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 故答案为：10． 【变式2-4】如图，在中，，，．点为边上任意一点，连结，以，为邻边作，连结，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质．以，为邻边作平行四边形，由平行四边形的性质可知是中点，最短也就是最短，所以应该过作的垂线，根据垂线段最短即可解决问题． 【详解】解：，，， ，， ，， 设，交于点，过点作， 四边形是平行四边形， ，， 最短也就是最短， 当与重合时，的值才是最小， 则的最小值为， 故答案为：． 【变式2-5】如图，在平行四边形中，，，，点是边上且．是边上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接、，则的最小值   ． 【答案】 【分析】取的中点．连接，，作交的延长线于．利用全等三角形的性质证明，点的运动轨迹是射线，由“”可证，可得，推出，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点．连接，，作交的延长线于， ，， ，， 点是的中点，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，旋转得， ， ， ， ， 点的运动轨迹是射线， ，， ， ∵，， ， ， ， ∵平行四边形， ∴， ∴， 在中，，，， 则， ，由勾股定理得， ， 在中，， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转变换，平行四边形的性质，含30度直角三角形性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 【变式2-6】如图，在中，，，点H，G分别是边上的动点，连接，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最大值与最小值的差为 ．    【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短，三角形中位线定理．连接利用三角形中位线定理是关键．连接，过A作于M；由题意得，则可求得的长，从而由勾股定理求得；由三角形中位线定理得，当G与C重合时，最长；当G与M重合时，最短，从而可求得的最大值与最小值的差． 【详解】解：如图，连接，过A作于M；    则； ∵四边形是平行四边形，且， ∴， ∴； ∴； ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 由勾股定理得； ∵点为的中点，点为的中点， ∴； 当G与C重合时，最长且为，此时； 当G与M重合时，最短且为，此时； ∴的最大值与最小值的差为． 故答案为：． 【考点题型三】判断能否构成平行四边形（） 【例3】如图，四边形的对角线交于点O，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法． 根据平行四边形的判定判断即可得到答案． 【详解】解：A．由，无法证明四边形是平行四边形； B．由，无法证明四边形是平行四边形； C．由，无法证明四边形是平行四边形； D．由，可以证明四边形是平行四边形． 故选：D． 【变式3-1】 四边形 中，对角线与交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理依次判断即可． 【详解】解：A．根据平行四边形的判定可知，满足，的四边形不一定是平行四边形，故A符合题意； B．根据两组对边互相平行的四边形是平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，故B不符合题意； C．根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，故C不符合题意； D．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，故D不符合题意， 故选：A． 【变式3-2】不能判断四边形是平行四边形的是（　　） A． B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②一组对边平行且相等的四边形的平行四边形，③两组对边分别相等的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可． 【详解】解：A．根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意； B．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题； C．不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意； D．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题； 故选：C． 【变式3-3】如图，在四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A． B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理依次对各个选项进行判定即可．本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A、若，能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； B、若，，能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； C、若，，不能判定四边形为平行四边形，故本选项符合题意； D、若，，能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； 故选：C 【变式3-4】下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．对角线相互垂直 B．对角线互相平分 C．一组对角相等 D．一组对边相等 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法逐项判断即可，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，而对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故本选项错误； 、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确； 、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故本选项错误； 、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项错误； 故选：． 【变式3-5】如图，四边形的对角线交于点，下列能判断四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、由，，不能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、由，，不能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、， ，， ， ， 四边形是平行四边形，故本选项符合题意； D、由，，不能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 故选：C 【考点题型四】添一个条件成为平行四边形（） 【例4】如图，在四边形中，，添加下列条件后仍不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟记平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A．∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意； B．∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意； C．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意； D．∵，， ∴四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项符合题意； 故选：D． 【变式4-1】在四边形中，，添加一个条件不能判定四边形是平行四边形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判断方法，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、添加，能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、添加，能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、因为，所以，添加，则，此时，能判定四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D、添加，不能判定四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D 【变式4-2】如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理． 【详解】、由可得，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意； 、由，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意； 、∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，符合题意； 、由，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意； 故选：． 【变式4-3】如图，若要使四边形为平行四边形，则需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，根据已知条件可得，再根据平行四边形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：由图可得， ， A，添加，可得，四边形中仅一组对边平行，不能判定四边形为平行四边形； B，添加，四边形中一组对边平行且相等，能判定四边形为平行四边形； C，添加，可得，推出与不平行，四边形不是平行四边形； D，添加，四边形中一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形为平行四边形； 故选B． 【考点题型五】求与己知三点组成平行四边形的点的个数（） 【例5】以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是，点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】先根据题意画出图形，然后分为边和对角线两种情况，分别根据平行四边形的判定和平移的性质即可解答． 【详解】解：如图：当为对角线时，点的坐标为，即； 当为边时，点的坐标为，即；点的坐标为，即． 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定、平移的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 【变式5-1】如图,在平面直角坐标系中,三点的坐标分别是,若以为顶点的四边形为平行四边形,则点的坐标不可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质可知：平行四边形的对边平行且相等，连接各个顶点，数形结合，可以做出D点可能的坐标，利用排除法即可求得答案． 【详解】解：数形结合可得点D的坐标可能是（﹣3，﹣1），（7，﹣1），（1,5）；但不可能是（2,5） 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和直角坐标系，考查学生解题的综合能力，解题的关键是在直角坐标系中画出可能的平行四边形． 【变式5-2】中，点、、的坐标分别为、、，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】过作，过作，可求直线解析式为及直线解析式为，由，即可求解． 【详解】解：如图，过作，过作，    设直线解析式为，则有 ， 解得：， 直线解析式为， 可设直线解析式为， 经过点， ， 解得：， 直线解析式为， ， ， 解得：， ． 故答案：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定方法，待定系数法求一次函数解析式，两直线平行时解析式中相等，掌握解法是解题的关键． 【变式5-3】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 【答案】或或 【分析】此题主要考查平行四边形的判定，分三种情形，可以以、或为一条对角线，画出平行四边形即可. 【详解】解：根据题意得，建立如图直角坐标系． 当，时，； 当，时，； 当，时，． 故答案为：或或． 【考点题型六】利用平行四边形的判定与性质求解（） 【例6】如图，在四边形中， (1)证明：四边形是平行四边形； (2)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)216 【分析】本题考查了平行四边的性质与判定，勾股定理，求平行四边的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由平行线的性质得，因为得，则两组对应边互相平行的四边形是平行四边形，即可作答． （2）运用勾股定理列式，，则，解出，再运算出，结合平行四边形的面积等于底乘高，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点作 设 ∵ ∴在 在 则 解得 ∴ 则四边形的面积 【变式6-1】如图，在平行四边形中，点E、F分别是边的中点． (1)求证：； (2)若四边形的周长为12，，，求平行四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，平行四边形的周长，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明且得到四边形为平行四边形，继而得证； （2）利用四边形的周长为12，，求出，继而求出，从而得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即，， 又∵点E，F分别是边，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴； （2）解：由（1）得：四边形是平行四边形， 又∵四边形的周长为12，即， ∴， ∴，， 又∵， ∴平行四边形ABCD的周长． 【变式6-2】如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质和判定： （1）根据平行四边形的性质可得，根据E、F分别是的中点，可得，即可得结论； （2）利用角平分线的定义、平行线的性质可得到，进而利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E、F分别是边上的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 【变式6-3】如图，在矩形中，点E为的中点，延长，交于点F，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若为的角平分线，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由可证，可得，由平行四边形的判定可得结论； （2）由角平分线的性质可得，可求，由勾股定理可求的长，即可求解； 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵为的角平分线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质等知识，掌握矩形的性质是解题的关键． 【变式6-4】如图，在中，点E，F在对角线上，且连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的对边相等可得，对边平行可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“边角边”证明，故可得出结论； （2）根据平行四边形的性质得，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题． 此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是得出，再由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）证明：在中， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴． 【考点题型七】平行四边形中动点综合题（） 【例7】如图所示，在四边形中，，，，点从向终点以的速度运动．点从点向终点以的速度运动．，两点同时出发，有一点到达终点停止后另一点也停止运动，直线将四边形截成两个四边形，分别为四边形和四边形， (1)当运动秒时，线段______cm，______cm（用含有的代数式表示）； (2)直线运动多少秒后将四边形截得两个四边形中一个四边形为平行四边形？ (3)直线运动多少秒后将四边形截得两个面积相等的四边形？ 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，利用分类讨论是解题的关键． （1）用含t的代数式分别表示和的长； （2）分两种情况，①若四边形是平行四边形，则,进而求出t的值；②若四边形是平行四边形，则，进而求出t的值； （3）根据梯形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：运动t秒时，， 故答案为：t；． （2）由（1）可得：，， 当四边形为平行四边形时， ∵， ∴， 即， 解得； 当四边形为平行四边形时， ∵， ∴， 即， 解得； 综上所述：为12或9时，所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形， 故答案为：12或9． （3）解：由（1）可得：，，， 设边上的高为，依题意得， ∴ 解得： 答：直线运动秒后将四边形截得两个面积相等的四边形． 【变式7-1】如图，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动，点同时以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动，点停止运动时，点也随之停止运动．当运动时间为多少秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．     【答案】或秒 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、平行四边形的判定．因为，所以当时以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，本题要分两种情况考虑：当点 在点右侧时，当Q在点左侧时． 【详解】当点 在点右侧时， 点是的中点， ， ，， ， 解得：； 当Q在点左侧时， ，， 解得：， 综上所述经过秒或秒时以点，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【变式7-2】如图，在四边形中，，点P先以每秒2个单位长度的速度由A向D运动，再以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，点Q以每秒2个单位长度的速度由A向B运动．点P、点Q同时出发，当点Q到达终点时，点P随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)直接写出的长是________； (2)当点P在线段上时，________；当点P在射线上时，________；（用含t的代数式表示） (3)当是等腰三角形时，求t的值； (4)连结，以中两个顶点和点P、点Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t值． 【答案】(1)10 (2)当点P在线段上时，；点P在射线上时， (3)t的值为5或6或 (4)或 【分析】（1）过D点作于E，求出，中，利用勾股定理求解即可； （2）根据路程、速度、时间之间的关系即可求解； （3）分当， ， ，三种情况分别讨论，求出，再除以2即可求解； （4）当时，则，当时，则，解方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，D点作于E， ∴， 中，； （2）解：∵的长是10，点P先以每秒2个单位长度的速度由A向D运动， ∴点P从点A运动到点D需要5秒， ∴当点P在线段上时，； ∵点P再以每秒4个单位长度的速度沿射线运动， ∴当点P在射线上时，； （3）解：∵点Q以每秒2个单位长度的速度由A向B运动，当是等腰三角形时， 当时，， ∴； 当时，如图，则， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，则， 在中，，则， ∴， ∴， ∴； ∴t的值为5或6或； （4）如图，当时，则， ∴， 如图，当时，则， ∴， ∴或． 【点睛】本题考查了动点问题，涉及到了平行四边形的判定、勾股定理、一元一次方程、等腰三角形的判定等知识，解题关键是发现直角三角形，运用勾股定理以及分类讨论的思想． 【变式7-3】如图，在平行四边形中，，，．点在边上由点向点运动，速度为每秒；点在边上由点向点A运动，速度为每秒．点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，连接，设运动时间为秒． (1)当何值时，四边形为平行四边形？ (2)当为何值时，点在的平分线上？ (3)当为何值时，四边形的面积是四边形的面积的四分之三？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． （1）根据平行四边形的性质得出，列出关于t的方程，求出t的值即可； （2）根据平行四边形的性质和角平分线定义得出，根据等腰三角形的判定得出，即可得出，求出t的值即可； （3）设平行四边形边是高为，根据四边形的面积是四边形的面积的四分之三，得出，求出t的值即可． 【详解】（1）解：因为四边形为平行四边形， 所以， 所以， 解得：． （2）解：连接， 因为四边形为平行四边形， 所以，， 所以， 因为点在的平分线上， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 解得：； （3）解：设平行四边形边是高为， 因为四边形的面积是四边形的面积的四分之三， 所以， 解得， 所以，当时，四边形的面积是四边形的面积的四分之三． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03平行四边形（7个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 平行四边形的性质 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 3. 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 清单02 平行四边形的判定 1. 与边有关的判定： （1） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （3） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 【考点题型一】利用平行四边形的性质求解（） 【例1】如图，在周长为cm的平行四边形中，相交于点O，交于E， 则的周长为（        ）    A．4cm B．6cm C．8cm D．cm 【变式1-1】如图，在中，已知，，平分交边于点，则等于（    ） A．2 B．4 C．3 D．8 【变式1-2】如图，在平行四边形中，，，分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线交于点F，交于点E，则的周长是（    ） A．7 B．10 C．11 D．12 【变式1-3】如图，在中，，点在边上，以为边作，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】如图，在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-5】如图，在中，是的垂直平分线，交于点，交于点，连接．若的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【变式1-6】如图，已知点，，将线段平移得到线段，且四边形的周长为，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D．9 【变式1-7】如图，平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-8】如图，在中，为边延长线上一点，连接，．若的面积为12，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【考点题型二】平行四边形中最小值问题（） 【例2】如图，在中，，，是边上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则长的最小值为（    ） A．14.4 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【变式2-1】如图，在平行四边形中，，，点在边上，连接，，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C． D． 【变式2-2】如图，在中，，，P为边上的一动点，连接，以为邻边作，则线段长的最小值为 ． 【变式2-3】如图，平行四边形，，，点为上一动点，则的最小值为 【变式2-4】如图，在中，，，．点为边上任意一点，连结，以，为邻边作，连结，则的最小值为 ． 【变式2-5】如图，在平行四边形中，，，，点是边上且．是边上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接、，则的最小值   ． 【变式2-6】如图，在中，，，点H，G分别是边上的动点，连接，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最大值与最小值的差为 ．    【考点题型三】判断能否构成平行四边形（） 【例3】如图，四边形的对角线交于点O，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-1】 四边形 中，对角线与交于点O，下列条件中不一定能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-2】不能判断四边形是平行四边形的是（　　） A． B．， C．， D．， 【变式3-3】如图，在四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A． B．， C．， D．， 【变式3-4】下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．对角线相互垂直 B．对角线互相平分 C．一组对角相等 D．一组对边相等 【变式3-5】如图，四边形的对角线交于点，下列能判断四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【考点题型四】添一个条件成为平行四边形（） 【例4】如图，在四边形中，，添加下列条件后仍不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】在四边形中，，添加一个条件不能判定四边形是平行四边形的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，若要使四边形为平行四边形，则需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【考点题型五】求与己知三点组成平行四边形的点的个数（） 【例5】以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是，点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【变式5-1】如图,在平面直角坐标系中,三点的坐标分别是,若以为顶点的四边形为平行四边形,则点的坐标不可能是（  ） A． B． C． D． 【变式5-2】中，点、、的坐标分别为、、，则点的坐标为 ． 【变式5-3】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标： ． 【考点题型六】利用平行四边形的判定与性质求解（） 【例6】如图，在四边形中， (1)证明：四边形是平行四边形； (2)当时，求四边形的面积． 【变式6-1】如图，在平行四边形中，点E、F分别是边的中点． (1)求证：； (2)若四边形的周长为12，，，求平行四边形的周长． 【变式6-2】如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，求的长． 【变式6-3】如图，在矩形中，点E为的中点，延长，交于点F，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若为的角平分线，，求四边形的周长． 【变式6-4】如图，在中，点E，F在对角线上，且连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若求的度数． 【考点题型七】平行四边形中动点综合题（） 【例7】如图所示，在四边形中，，，，点从向终点以的速度运动．点从点向终点以的速度运动．，两点同时出发，有一点到达终点停止后另一点也停止运动，直线将四边形截成两个四边形，分别为四边形和四边形， (1)当运动秒时，线段______cm，______cm（用含有的代数式表示）； (2)直线运动多少秒后将四边形截得两个四边形中一个四边形为平行四边形？ (3)直线运动多少秒后将四边形截得两个面积相等的四边形？ 【变式7-1】如图，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动，点同时以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动，点停止运动时，点也随之停止运动．当运动时间为多少秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．     【变式7-2】如图，在四边形中，，点P先以每秒2个单位长度的速度由A向D运动，再以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，点Q以每秒2个单位长度的速度由A向B运动．点P、点Q同时出发，当点Q到达终点时，点P随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)直接写出的长是________； (2)当点P在线段上时，________；当点P在射线上时，________；（用含t的代数式表示） (3)当是等腰三角形时，求t的值； (4)连结，以中两个顶点和点P、点Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t值． 【变式7-3】如图，在平行四边形中，，，．点在边上由点向点运动，速度为每秒；点在边上由点向点A运动，速度为每秒．点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，连接，设运动时间为秒． (1)当何值时，四边形为平行四边形？ (2)当为何值时，点在的平分线上？ (3)当为何值时，四边形的面积是四边形的面积的四分之三？ 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$