练案18 11.3.1 平行直线与异面直线-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第四册同步学习指导(人教B版2019)

练案［１８］ 第十一章　 立体几何初步 １１． ３　 ［１１． ３． １　 平行直线与异面直线］ Ａ组·基础自测 一、选择题 １．若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两 对应平行，那么这两个三角形 （　 ） Ａ．全等 Ｂ．相似 Ｃ．仅有一个角相等 Ｄ．无法判断 ２．如图，空间四边形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ相 等，顺次连接各边中点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，则四边形 ＥＦＧＨ一定是 （　 ） Ａ．矩形 Ｂ．正方形 Ｃ．菱形 Ｄ．空间四边形 ３．如图所示，在长方体木块ＡＣ１ 中，Ｅ，Ｆ分别是 Ｂ１Ｏ和Ｃ１Ｏ的中点，则长方体的各棱中与ＥＦ 平行的有 （　 ） Ａ． ３条 Ｂ． ４条 Ｃ． ５条 Ｄ． ６条 ４．正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，棱所在直线与直 线ＢＡ１是异面直线的条数为 （　 ） Ａ． ４ Ｂ． ５ Ｃ． ６ Ｄ． ７ ５．分别和两条异面直线相交的两条不同直线的 位置关系是 （　 ） Ａ．相交 Ｂ．异面 Ｃ．异面或相交 Ｄ．平行 二、填空题 ６．空间四边形ＡＢＣＤ中，Ｍ，Ｎ分别为ＡＢ，ＣＤ的 中点，则ＭＮ 　 　 　 　 　 １２（ＡＣ ＋ ＢＤ）（填“≥” “＞”“≤”“＜”“＝”符号）． ７．已知Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ为空间四边形ＡＢＣＤ的边ＡＢ、 ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ上的点，若ＡＥＡＢ ＝ ＡＨ ＡＤ ＝ １ ２， ＣＦ ＣＢ ＝ ＣＧ ＣＤ ＝ １３，则四边形ＥＦＧＨ形状为　 　 　 　 　 ． ８．已知棱长为ａ的正方体ＡＢＣＤ －Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′中，Ｍ、Ｎ 分别为ＣＤ、ＡＤ的中点，则ＭＮ与Ａ′Ｃ′的位置关系 是　 　 　 　 　 ． 三、解答题 ９．如图，在正方体ＡＢＣＤ － Ａ′Ｂ′ Ｃ′Ｄ′中，若Ｅ，Ｆ分别为ＡＡ′， ＣＣ′的中点，求证：四边形 ＢＦＤ′Ｅ是平行四边形． １０． 如图，在正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，ＭＮ∥ＡＣ． （１）ＡＭ和ＣＮ是否是异面直 线？并说明理由； （２）Ｄ１Ｂ和ＣＣ１ 是否是异面 直线？并说明理由                                                                  ． —１６１— Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．若直线ｌ与平面α相交，则下列结论正确的是 （　 ） Ａ．平面α内存在无数条直线与直线ｌ异面 Ｂ．平面α内存在唯一的一条直线与直线ｌ 平行 Ｃ．平面α内存在唯一的一条直线与直线ｌ 相交 Ｄ．平面α内的直线与直线ｌ都相交 ２．（多选题）如图，设Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ依次是空间四边 形ＡＢＣＤ的边ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上除端点外的 点，且ＡＥＡＢ ＝ ＡＨ ＡＤ ＝ λ， ＣＦ ＣＢ ＝ ＣＧ ＣＤ ＝ μ，则下列结论正 确的是 （　 ） Ａ．当λ ＝ μ时，四边形ＥＦＧＨ是平行四边形 Ｂ．当λ≠μ时，四边形ＥＦＧＨ是梯形 Ｃ．当λ ＝ μ ＝ １２时，四边形ＥＦＧＨ是平行四 边形 Ｄ．当λ ＝ μ≠ １２时，四边形ＥＦＧＨ是梯形 ３．已知Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别为空间四边形ＡＢＣＤ各边 ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ的中点，若对角线ＢＤ ＝ ２，ＡＣ ＝ ４，则ＥＧ２ ＋ ＨＦ２的值是 （　 ） Ａ． ５ Ｂ． １０ Ｃ． １２ Ｄ．不能确定 二、填空题 ４．如图，点Ｐ在平面ＡＢＣ外，点Ｆ在ＢＣ的延长 线上，Ｅ在线段ＰＡ上，则直线ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ，ＥＦ， ＡＰ，ＢＰ中有　 　 　 　 对异面直线． ５．如图，在三棱锥Ａ － ＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是 棱ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ的中点，则当ＡＣ，ＢＤ满足 条件　 　 　 　 时，四边形ＥＦＧＨ为菱形，当 ＡＣ，ＢＤ满足条件　 　 　 　 　 　 　 时，四边形 ＥＦＧＨ是正方形． 三、解答题 ６．如图所示，在三棱锥Ａ － ＢＣＤ中， Ｅ，Ｆ，Ｇ分别是棱ＡＢ，ＡＣ，ＡＤ上 的点，且满足ＡＥＡＢ ＝ ＡＦ ＡＣ ＝ ＡＧ ＡＤ． 求证：△ＥＦＧ∽△ＢＣＤ． Ｃ组·创新拓展 　 已知Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别为空间四边形ＡＢＣＤ四条 边ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ的中点，若ＡＣ ＝ ＢＤ ＝ ６，则 ＥＧ２ ＋ ＨＦ２ ＝ 　 　 　 　 ．                                                                         —２６１— ∵ Ｅ∈ＡＣ，ＡＣ平面ＳＡＣ， ∴ Ｅ∈平面ＳＡＣ． 同理，可证Ｅ∈平面ＳＢＤ． ∴点Ｅ在平面ＳＢＤ和平面ＳＡＣ的交 线上，则连接ＳＥ，直线ＳＥ就是平面 ＳＢＤ和平面ＳＡＣ的交线． Ｂ组　 素养提升 １． ＡＢＣ　 如图，连接Ａ１Ｃ１，ＡＣ，则ＡＣ∩ＢＤ ＝ Ｏ．又Ａ１Ｃ∩平面 Ｃ１ＢＤ ＝Ｍ， ∴ Ｃ１，Ｍ，Ｏ三点在平面Ｃ１ＢＤ与平面ＡＣＣ１Ａ１的交线上，即Ｃ１， Ｍ，Ｏ三点共线，∴ Ａ，Ｂ，Ｃ均正确，Ｄ不正确．故选ＡＢＣ． ２． Ｂ　 连接ＡＤ１，ＢＣ１，ＢＤ１， ∵ Ｏ∈直线ＡＥ， ∴ ＡＥ平面ＡＢＣ１Ｄ１， ∴ Ｏ∈平面ＡＢＣ１Ｄ１ ． 又∵ Ｏ∈平面ＢＢ１Ｄ１Ｄ，平面ＡＢＣ１Ｄ１ ∩平面ＢＢ１Ｄ１Ｄ ＝ ＢＤ１，∴ Ｏ∈直线 ＢＤ１，∴ Ｄ１，Ｏ，Ｂ共线． ∵ △ＡＢＯ∽△ＥＤ１Ｏ， ∴ ＯＢＯＤ１ ＝ ＡＢＥＤ１ ＝ ３１，∴ ＯＢ ＝ ３ＯＤ１ ．故选Ｂ． ３． Ｄ　 在选项Ａ、Ｂ、Ｃ中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均 有ＰＳ∥ＱＲ，即在此三个图形中Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓ共面，故选Ｄ． ４． ０　 如图所示，在正方体ＡＢＣＤ － Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′ 中，ＡＤ与Ａ′Ｂ′都与直线ＡＡ′相交，但是直线 ＡＤ与Ａ′Ｂ′不在同一平面内，故①错误；在正 方体ＡＢＣＤ － Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′中，直线ＡＢ，ＡＤ，ＡＡ′ 两两相交，但是这三条直线不在同一平面 内，故②错误；当两个平面相交时，两个平面 可有无数个公共点，只有当两个平面有三个不共线的公共点 时，两个平面才重合，故③错误；两两平行的三条直线也可能 在同一平面内，故④错误．综上可知，正确结论的个数是０． ５． ＯＣ１ 　 平面Ａ１ＡＣ即平面Ａ１ＡＣＣ１，因为ＡＣ 平面Ａ１ＡＣ，ＢＤ平面ＤＢＣ１， ＡＣ∩ＢＤ ＝Ｏ，所以Ｏ∈平面Ａ１ＡＣ，Ｏ∈平面 ＤＢＣ１，又Ｃ１∈平面Ａ１ＡＣ，Ｃ１∈平面ＤＢＣ１，所 以平面Ａ１ＡＣ∩平面ＤＢＣ１ ＝ＯＣ１ ． ６．（１）延长ＤＭ交Ｄ１Ａ１ 的延长线于Ｅ，连接 ＮＥ，则ＮＥ即为直线ｌ的位置． （２）∵ Ｍ为ＡＡ１的中点，ＡＤ∥ＥＤ１，∴ ＡＤ ＝ Ａ１Ｅ ＝Ａ１Ｄ１ ＝ ａ． ∵ Ａ１Ｐ∥Ｄ１Ｎ，且Ｄ１Ｎ ＝ １２ ａ，∴ Ａ１Ｐ ＝ １ ２ Ｄ１Ｎ ＝ １ ４ ａ，于是ＰＢ１ ＝ Ａ１Ｂ１ － Ａ１Ｐ ＝ ａ － １４ ａ ＝ ３ ４ ａ． Ｃ组　 创新拓展 槡槡　 ３ ２ ＋２ ５　 设Ｆ为ＡＤ中点，连接ＥＦ，ＦＣ，Ａ１Ｄ， 在正方体中，Ａ１Ｂ１∥ＤＣ，Ａ１Ｂ１ ＝ＤＣ， 则四边形Ａ１Ｂ１ＣＤ为平行四边形， 所以Ａ１Ｄ∥Ｂ１Ｃ，Ａ１Ｄ ＝Ｂ１Ｃ， 因为Ｆ为ＡＤ中点，Ｅ是ＡＡ１的中点， 所以ＥＦ∥Ａ１Ｄ，所以ＥＦ∥Ｂ１Ｃ， 所以平面Ｂ１ＣＥ截正方体ＡＢＣＤ －Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１所得的截面图形为梯 形Ｂ１ＣＦＥ， 其中Ｂ１Ｃ 槡 槡＝ ４ ＋４ ＝２ ２，ＥＦ 槡 槡＝ １ ＋１ ＝ ２， ＣＦ ＝Ｂ１Ｅ 槡 槡＝ ４ ＋１ ＝ ５， 则梯形Ｂ１ＣＦＥ的周长为槡槡３ ２ ＋２ ５， 即所得的截面图形的周长是槡槡３ ２ ＋２ ５． 练案［１８］ Ａ组　 基础自测 １． Ｂ　 由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，所以这 两个三角形相似． ２． Ｃ ３． Ｂ　 ＥＦ∥Ｂ１Ｃ１∥ＢＣ∥ＡＤ∥Ａ１Ｄ１ ． ４． Ｃ　 如图，在正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中，与 直线ＢＡ１异面的直线有ＣＤ，Ｃ１Ｄ１，Ｃ１Ｃ，Ｄ１Ｄ， Ｂ１Ｃ１，ＡＤ，共６条，故选Ｃ． ５． Ｃ　 分两类进行讨论． （１）若两条直线与两异面直线的交点有４个， 如图（１），直线ＡＢ与异面直线ａ，ｂ分别相交 于点Ａ，Ｂ，直线ＣＤ与异面直线ａ，ｂ分别相交于点Ｃ，Ｄ，那么Ａ，Ｂ， Ｃ，Ｄ四点不可能共面，否则与ａ，ｂ异面矛盾，故直线ＡＢ与ＣＤ异 面；（２）若两条直线与两异面直线的交点有３个，如图（２），两条直 线相交． ６． ＜ 　 取ＢＣ中点Ｅ，连接ＥＭ、ＥＮ（图略），则 ＥＭ ＝ １２ ＡＣ， ＥＮ ＝ １２ ＢＤ { ，相加ＥＭ ＋ＥＮ ＝ １２ （ＡＣ ＋ ＢＤ），又ＥＭ ＋ ＥＮ ＞ ＭＮ，所以ＭＮ ＜ １ ２ （ＡＣ ＋ ＢＤ）． ７．梯形　 如图，在△ＡＢＤ中，∵ ＡＥＡＢ ＝ ＡＨ ＡＤ ＝ １ ２ ， ∴ ＥＨ∥ＢＤ且ＥＨ ＝ １２ ＢＤ． 在△ＢＣＤ中，∵ ＣＦＣＢ ＝ ＣＧ ＣＤ ＝ １ ３ ， ∴ ＦＧ∥ＢＤ且ＦＧ ＝ １３ ＢＤ                                                                      ， —２３６— ∴ ＥＨ∥ＦＧ且ＥＨ ＞ＦＧ， ∴四边形ＥＦＧＨ为梯形． ８．平行　 如图所示， ＭＮ瓚 １２ ＡＣ， 又∵ ＡＣ瓚Ａ′Ｃ′， ∴ ＭＮ瓚 １２ Ａ′Ｃ′． ９．［证明］　 如图所示，取ＢＢ′的中点Ｇ， 连接ＧＣ′，ＧＥ． 因为Ｆ为ＣＣ′的中点， 所以ＢＧ∥ＦＣ′，且ＢＧ ＝ＦＣ′． 所以四边形ＢＦＣ′Ｇ是平行四边形． 所以ＢＦ∥ＧＣ′，ＢＦ ＝ＧＣ′， 又因为ＥＧ∥Ａ′Ｂ′，ＥＧ ＝Ａ′Ｂ′， Ａ′Ｂ′∥Ｃ′Ｄ′，Ａ′Ｂ′ ＝Ｃ′Ｄ′， 所以ＥＧ∥Ｃ′Ｄ′，ＥＧ ＝Ｃ′Ｄ′． 所以四边形ＥＧＣ′Ｄ′是平行四边形． 所以ＥＤ′∥ＧＣ′，ＥＤ′ ＝ＧＣ′， 所以ＢＦ∥ＥＤ′，ＢＦ ＝ＥＤ′， 所以四边形ＢＦＤ′Ｅ是平行四边形． １０．（１）ＡＭ和ＣＮ不是异面直线．理由如下： ∵ ＭＮ∥ＡＣ，∴ ＭＮ和ＡＣ确定一个平面，∴ ＡＭ和ＣＮ在同一个平 面内，即ＡＭ和ＣＮ不是异面直线． （２）Ｄ１Ｂ和ＣＣ１是异面直线，理由如下： 假设Ｄ１Ｂ与ＣＣ１在同一个平面ＣＣ１Ｄ１内，则Ｂ∈平面ＣＣ１Ｄ１，Ｃ ∈平面ＣＣ１Ｄ１，∴ ＢＣ平面ＣＣ１Ｄ１， 这与几何体ＡＢＣＤ －Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１是正方体矛盾，∴假设不成立． 故Ｄ１Ｂ和ＣＣ１是异面直线． Ｂ组　 素养提升 １． Ａ　 在Ａ中，平面α内存在无数条直线与直线ｌ异面，故Ａ正 确；在Ｂ中，平面α内不存在直线与直线ｌ平行，故Ｂ错误；在 Ｃ中，平面α内存在无数条直线与直线ｌ相交，故Ｃ错误；在Ｄ 中，平面α内的直线与直线ｌ相交或异面，故Ｄ错误．故选Ａ． ２． ＡＢＣ　 如图所示，连接ＢＤ． ∵ ＡＥＡＢ ＝ ＡＨ ＡＤ ＝ λ，∴ ＥＨ∥ＢＤ，且ＥＨ ＝ λＢＤ． 同理，ＦＧ∥ＢＤ，且ＦＧ ＝ μＢＤ． ∴ ＥＨ∥ＦＧ． ∴当λ ＝ μ时，ＥＨ ＝ ＦＧ， ∴四边形ＥＦＧＨ是平行四边形． ∴选项Ａ，Ｃ正确，Ｄ错． 当λ≠μ时，ＥＨ≠ＦＧ， 四边形ＥＦＧＨ是梯形， ∴选项Ｂ正确． ３． Ｂ　 如图所示，由三角形中位线的性质 可得ＥＨ瓚 １２ ＢＤ，ＦＧ瓚 １ ２ ＢＤ，再根据基 本事实４可得四边形ＥＦＧＨ是平行四边 形，那么所求的是平行四边形的对角线 的平方和，ＥＧ２ ＋ ＨＦ２ ＝ ２ ×（１２ ＋ ２２）＝ １０．故选Ｂ． ４． ５　 异面直线有５对，分别是ＡＢ与ＥＦ，ＢＣ与ＡＰ，ＡＣ与ＢＰ，ＡＣ 与ＥＦ，ＥＦ与ＢＰ． ５． ＡＣ ＝ ＢＤ　 ＡＣ ＝ ＢＤ且ＡＣ⊥ＢＤ　 易知ＥＨ∥ＢＤ∥ＦＧ，且ＥＨ ＝ １ ２ ＢＤ ＝ ＦＧ，同理ＥＦ∥ＡＣ∥ＨＧ，且ＥＦ ＝ １ ２ ＡＣ ＝ ＨＧ，显然四边 形ＥＦＧＨ为平行四边形．要使平行四边形ＥＦＧＨ为菱形需满 足ＥＦ ＝ ＥＨ，即ＡＣ ＝ ＢＤ；要使四边形ＥＦＧＨ为正方形需满足 ＥＦ ＝ ＥＨ且ＥＦ⊥ＥＨ，即ＡＣ ＝ ＢＤ且ＡＣ⊥ＢＤ． ６．［证明］　 在△ＡＢＤ中， ∵ ＡＥＡＢ ＝ ＡＧ ＡＤ， ∴ ＥＧ∥ＢＤ 在△ＡＤＣ中， ＡＦ ＡＣ ＝ ＡＧ ＡＤ，∴ ＧＦ∥ＤＣ． 在△ＡＢＣ中，ＡＥＡＢ ＝ ＡＦ ＡＣ，∴ ＥＦ∥ＢＣ． 又∠ＧＥＦ与∠ＤＢＣ的方向相同． ∴ ∠ＧＥＦ ＝∠ＤＢＣ，同理 ∠ＥＧＦ ＝∠ＢＤＣ，∠ＥＦＧ ＝∠ＢＣＤ． ∴ △ＥＦＧ∽△ＢＣＤ． Ｃ组　 创新拓展 　 ３６　 因为Ｅ，Ｆ分别为空间四边形ＡＢＣＤ边ＡＢ，ＢＣ的中点， 所以ＥＦ∥ＡＣ且ＥＦ ＝ １２ ＡＣ ＝ ３， 同理ＨＧ∥ＡＣ且ＨＧ ＝ １２ ＡＣ ＝ ３， ＥＨ ＝ １２ ＢＤ ＝ ３，ＦＧ ＝ １ ２ ＢＤ ＝ ３， 所以ＥＦ∥ＨＧ且ＥＦ ＝ ＨＧ， 所以四边形ＥＦＧＨ为平行四边形， 又ＥＨ ＝ ＦＧ ＝ １２ ＢＤ ＝ ３， 由余弦定理得ＥＧ２ ＝ ＥＦ２ ＋ ＦＧ２ － ２ＥＦ·ＦＧ·ｃｏｓ∠ＥＦＧ ＝ １８ － １８ｃｏｓ∠ＥＦＧ， ＦＨ２ ＝ ＥＦ２ ＋ ＥＨ２ － ２ＥＦ·ＥＨ·ｃｏｓ∠ＦＥＨ ＝ １８ － １８ｃｏｓ∠ＦＥＨ， 因为∠ＦＥＨ ＋∠ＥＦＧ ＝ π， 所以ｃｏｓ∠ＦＥＨ ＋ ｃｏｓ∠ＥＦＧ ＝ ０， 所以ＥＧ２ ＋ ＨＦ２ ＝ １８ － １８ｃｏｓ∠ＥＦＧ ＋ １８ － １８ｃｏｓ∠ＦＥＨ ＝ ３６． 练案［１９］ Ａ组　 基础自测 １． Ｂ　 在长方体ＡＢＣＤ － Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′中， ①Ａ′Ｄ′与ＡＢ异面，Ａ′Ｄ′∥平面ＢＣＣ′Ｂ′，而ＡＢ与平面ＢＣＣ′Ｂ′ 相交； ②Ａ′ Ｄ′与ＢＢ′异面，Ａ′ Ｄ′∥平面ＢＣＣ′ Ｂ′，而ＢＢ′在平面 ＢＣＣ′Ｂ′内； ③分别取ＡＢ，Ａ′Ｂ′中点Ｅ，Ｆ，ＥＦ与Ａ′Ｄ′异面，Ａ′Ｄ′∥平面 ＢＣＣ′Ｂ′，而ＥＦ与平面ＢＣＣ′Ｂ′平行． ２． Ｂ　 如图所示，结合图形可知ＡＡ１∥平面ＢＣＣ１Ｂ１，ＡＡ１∥平面 ＤＣＣ１Ｄ１，ＡＡ１∥平面ＢＢ１Ｄ１                                                                      Ｄ． —２３７—