练案17 11.2 平面的基本事实与推论-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第四册同步学习指导(人教B版2019)

练案［１７］ 第十一章　 立体几何初步 １１． ２　 ［平面的基本事实与推论］ Ａ组·基础自测 一、选择题 １．如图所示，下列符号表示错误的是 （　 ） Ａ． ｌ∈α　 　 　 Ｂ． Ｐｌ　 　 　 Ｃ． ｌα　 　 　 Ｄ． Ｐ∈α ２．下图中正确表示两个相交平面的是（　 　 ） ３．如图，四棱锥Ｐ － ＡＢＣＤ，ＡＣ∩ＢＤ ＝ Ｏ，Ｍ是ＰＣ 的中点，直线ＡＭ交平面ＰＢＤ于点Ｎ，则下列 结论正确的是 （　 　 ） Ａ． Ｏ，Ｎ，Ｐ，Ｍ四点不共面 Ｂ． Ｏ，Ｎ，Ｍ，Ｄ四点共面 Ｃ． Ｏ，Ｎ，Ｍ三点共线 Ｄ． Ｐ，Ｎ，Ｏ三点共线 ４．设Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３，Ｐ４ 为空间中的四个不同点，则 “Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３，Ｐ４ 中有三点在同一条直线上”是 “Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３，Ｐ４在同一个平面上”的 （　 ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 ５．（多选题）已知α，β为平面，Ａ，Ｂ，Ｍ，Ｎ为点，ａ 为直线，下列推理正确的是 （　 　 ） Ａ． Ａ∈ａ，Ａ∈β，Ｂ∈ａ，Ｂ∈βａβ Ｂ． Ｍ∈α，Ｍ∈β，Ｎ∈α，Ｎ∈βα∩β ＝ＭＮ Ｃ． Ａ∈α，Ａ∈βα∩β ＝ Ａ Ｄ． Ａ，Ｂ，Ｍ∈α，Ａ，Ｂ，Ｍ∈β，且Ａ，Ｂ，Ｍ不共线 α，β重合 二、填空题 ６．在长方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的所有棱中，既与 ＡＢ共面，又与ＣＣ１共面的棱有　 　 　 　 条． ７．在正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，下列说法正确 的是　 　 　 　 　 （填序号）． （１）直线ＡＣ１在平面ＣＣ１Ｂ１Ｂ内． （２）设正方形ＡＢＣＤ与Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 的中心分别 为Ｏ、Ｏ１，则平面ＡＡ１Ｃ１Ｃ与平面ＢＢ１Ｄ１Ｄ 的交线为ＯＯ１ ． （３）由Ａ、Ｃ１、Ｂ１确定的平面是ＡＤＣ１Ｂ１ ． （４）由Ａ、Ｃ１、Ｂ１确定的平面与由Ａ、Ｃ１、Ｄ确定 的平面是同一个平面                                                                 ． —８５１— ８．如图，在正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中，试根据 图形填空： （１）平面ＡＢ１∩平面Ａ１Ｃ１ ＝ 　 　 　 　 ； （２）平面Ａ１Ｃ１ＣＡ∩平面ＡＣ ＝ 　 　 　 　 ； （３）平面Ａ１Ｃ１ＣＡ∩平面Ｄ１Ｂ１ＢＤ ＝ 　 　 　 　 ； （４）平面Ａ１Ｃ１，平面Ｂ１Ｃ，平面ＡＢ１的公共点为 　 　 　 　 ． 三、解答题 ９．如图，ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ∩α ＝ Ｂ，ＣＤ∩α ＝ Ｄ，ＡＣ∩α ＝ Ｅ．求证：Ｂ，Ｅ，Ｄ三点共线． １０．如图，直角梯形ＡＢＤＣ中， ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ ＞ ＣＤ，Ｓ是直角 梯形ＡＢＤＣ所在平面外一 点，画出平面ＳＢＤ和平面 ＳＡＣ的交线． Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．（多选题）如图所示，在正方体 ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中，Ｏ为ＤＢ 的中点，直线Ａ１Ｃ 交平面 Ｃ１ＢＤ于点Ｍ，则下列结论正 确的是 （　 ） Ａ． Ｃ１，Ｍ，Ｏ三点共线 Ｂ． Ｃ１，Ｍ，Ｏ，Ｃ四点共面 Ｃ． Ｃ１，Ｏ，Ａ，Ｍ四点共面 Ｄ． Ｄ１，Ｄ，Ｏ，Ｍ                                                                         四点共面 —９５１— ２．如图，在正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中，点Ｅ在 棱Ｄ１Ｃ１ 上，且Ｄ１Ｅ ＝ １３ Ｄ１Ｃ１，设ＡＥ与平面 ＢＢ１Ｄ１Ｄ的交点为Ｏ，则 （　 　 ） Ａ．三点Ｄ１，Ｏ，Ｂ共线，且ＯＢ ＝ ２ＯＤ１ Ｂ．三点Ｄ１，Ｏ，Ｂ共线，且ＯＢ ＝ ３ＯＤ１ Ｃ．三点Ｄ１，Ｏ，Ｂ不共线，且ＯＢ ＝ ２ＯＤ１ Ｄ三点Ｄ１，Ｏ，Ｂ不共线，且ＯＢ ＝ ３ＯＤ１ ３．下列各图均是正六棱柱，Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓ分别是所 在棱的中点，这四个点不共面的图形是 （　 ） 二、填空题 ４．给出以下结论：①和一条直线都相交的两条直 线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同 一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重 合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其 中正确结论的个数是　 　 　 　 　 ． ５．在正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｏ为平面ＡＢＣＤ 的中心，则平面Ａ１ＡＣ与平面ＤＢＣ１ 的交线为 　 　 　 　 ． 三、解答题 ６．如图所示，在棱长为ａ的正方 体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中，Ｍ，Ｎ 分别是ＡＡ１，Ｄ１Ｃ１的中点，过Ｄ， Ｍ，Ｎ三点的平面与正方体的下 底面相交于直线ｌ． （１）画出直线ｌ的位置； （２）设ｌ∩Ａ１Ｂ１ ＝ Ｐ，求线段ＰＢ１的长． Ｃ组·创新拓展 　 如图，正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 的棱长为２，Ｅ 是侧棱ＡＡ１ 的中点，则平面Ｂ１ＣＥ截正方体 ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 所得的截面图形的周长 是　 　 　 　 ．                                                                        —０６１— ＝ Ｓｈ．因为Ｅ，Ｆ分别为ＡＣ，ＡＢ的中点，所以Ｓ△ＡＥＦ ＝ １４ Ｓ， 所以Ｖ１ ＝ １３ ｈ Ｓ ＋ １ ４ Ｓ ＋ Ｓ· Ｓ槡( )４ ＝ ７１２ Ｓｈ，Ｖ２ ＝ Ｖ － Ｖ１ ＝ ５ １２Ｓｈ．所以Ｖ１Ｖ２ ＝ ７５． ４． １６ 　 Ｖ三棱锥Ａ － ＤＥＤ１ ＝ Ｖ三棱锥Ｅ － ＤＤ１Ａ ＝ １ ３ × １ ２ × １ × １ × １ ＝ １ ６ ． ５． 槡６４ 　 由题可得两个圆台的高分别为ｈ甲 ＝ ２ ｒ２ － ｒ( )[ ]１ ２ － ｒ２ － ｒ( )１槡 ２ 槡＝ ３ ｒ２ － ｒ( )１ ， ｈ乙＝ ３ ｒ２ － ｒ( )[ ]１ ２ － ｒ２ － ｒ( )１槡 ２ 槡＝２ ２ ｒ２ － ｒ( )１ ， 所以Ｖ甲Ｖ乙＝ １ ３ Ｓ２ ＋ Ｓ１ ＋ Ｓ２Ｓ槡( )１ ｈ甲 １ ３ Ｓ２ ＋ Ｓ１ ＋ Ｓ２Ｓ槡( )１ ｈ乙 ＝ ｈ甲 ｈ乙 ＝ 槡３ ｒ２ － ｒ( )１ 槡２ ２ ｒ２ － ｒ( )１ ＝槡６４ ． ６．因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的 深度为３ｒ，水面半径为槡３ ｒ，则容器内水的体积为Ｖ ＝ Ｖ圆锥－ Ｖ球＝ １ ３ π（槡３ｒ） ２·３ｒ － ４３ πｒ ３ ＝ ５３ πｒ ３ ．将球取出后，设容器中 水的深度为ｈ，则水面圆的半径为槡３３ ｈ，从而容器内水的体积 是Ｖ′ ＝ １３ π 槡 ３ ３( )ｈ ２ ｈ ＝ １９ πｈ ３ ．由Ｖ ＝ Ｖ′得ｈ ＝ ３槡１５ｒ． Ｃ组　 创新拓展 　 ＢＣ　 以题图１中平面ＡＢＣＤ为分界面进行数数，易知欧氏反 例（即题图２）在平面ＡＢＣＤ上方的顶点有５个，在平面ＡＢＣＤ 中的顶点有４个，在平面ＡＢＣＤ下方的顶点有５个，共有１４个 顶点，故Ａ错误；易知欧氏反例在平面ＡＢＣＤ上方的棱有１２ 条，根据对称性可知在平面ＡＢＣＤ下方的棱有１２条，共有２４ 条棱，故Ｂ正确；由题意与中位线定理易得欧氏反例的表面是 由８个棱长为１，其中一个角为６０°的菱形，与４个棱长为１的 正方形组成，所以其表面积为Ｓ ＝ ８ × ２ × １２ × １ × １ × ｓｉｎ ６０° ＋ ４ × １２ 槡＝ ４ ３ ＋ ４，故Ｃ正确；由题意可知，欧氏反例的体积可 由两个棱长为２的正四棱锥减掉四个棱长为１的正四棱锥而 得，对于棱长为ａ的正四棱锥，其底面面积为ａ２，其底面对角 线长为槡２ａ，所以其高为ｈ ＝ ａ２ － 槡２ａ( )２槡 ２ ＝槡２ａ２ ，故其体积为 Ｖ ＝ １３ × ａ ２ ×槡２ａ２ ＝槡 ２ ６ ａ ３，所以欧氏反例的体积为２ ×槡２６ × ２ ３ － ４ ×槡２６ × １ ３ 槡＝ ２ ２，故Ｄ错误． 练案［１７］ Ａ组　 基础自测 １． Ａ　 观察图知：Ｐｌ，Ｐ∈α，ｌα，则ｌ∈α是错误的． ２． Ｄ　 Ａ中没有画出相交平面的交线，且不可见的线没有画成虚 线；Ｂ中不可见的线没有画成虚线；Ｃ中虚、实线没按画图规 则画；Ｄ中交线及实、虚线均正确．故选Ｄ． ３． Ｄ　 直线ＡＣ与直线ＰＯ交于点Ｏ，所以平面ＰＣＡ与平面ＰＢＤ 交于点Ｏ，所以必相交于直线ＰＯ，直线ＡＭ在平面ＰＡＣ内，点 Ｎ∈ＡＭ，故Ｎ∈平面ＰＡＣ，故Ｏ，Ｎ，Ｐ，Ｍ四点共面，所以Ａ错 误．若点Ｄ与Ｏ，Ｍ，Ｎ共面，则直线ＢＤ在平面ＰＡＣ内，与题目 矛盾，故Ｂ错误． Ｏ，Ｍ分别为ＡＣ，ＰＣ中点，所以ＯＭ∥ＰＡ， ＯＮ∩ＰＡ ＝ Ｐ，故ＯＮ∩ＯＭ ＝ Ｏ，故Ｃ错误． ４． Ａ　 由推论１：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一 个平面，可得若Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３，Ｐ４ 中有三点在同一条直线上，则 Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３，Ｐ４在同一个平面上，故充分性成立；由推论３：经过 两条平行直线，有且只有一个平面，可得当Ｐ１∈ ｌ１，Ｐ２∈ ｌ１， Ｐ３∈ｌ２，Ｐ４∈ ｌ２，ｌ１∥ ｌ２ 时，Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３，Ｐ４ 在同一个平面上，但 Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３，Ｐ４中无三点共线，故必要性不成立．故选Ａ． ５． ＡＢＤ　 选项Ｃ中，α与β有公共点Ａ，则它们有过点Ａ的一条 交线，而不是点Ａ，故Ｃ错误；Ａ、Ｂ、Ｄ均正确． ６． ５　 由图可知，既与ＡＢ共面又与ＣＣ１ 共面的棱有ＣＤ、ＢＣ、 ＢＢ１、ＡＡ１、Ｃ１Ｄ１共５条． ７．（２）（３）（４）　 （１）错误．如下图所示，点Ａ平面ＣＣ１Ｂ１Ｂ，所 以直线ＡＣ１平面ＣＣ１Ｂ１Ｂ． （２）正确．如图所示． 因为Ｏ∈直线ＡＣ平面ＡＡ１Ｃ１Ｃ，Ｏ∈直线 ＢＤ平面ＢＢ１Ｄ１Ｄ，Ｏ１∈直线Ａ１Ｃ１平面 ＡＡ１Ｃ１Ｃ，Ｏ１∈直线Ｂ１Ｄ１平面ＢＢ１Ｄ１Ｄ，所 以平面ＡＡ１Ｃ１Ｃ与平面ＢＢ１Ｄ１Ｄ的交线 为ＯＯ１ ． （３）（４）都正确，如下图所示．因为ＡＤ∥ Ｂ１Ｃ１且ＡＤ ＝ Ｂ１Ｃ１， 所以四边形ＡＢ１Ｃ１Ｄ是平行四边形， 所以Ａ，Ｂ１，Ｃ１，Ｄ共面． ８．（１）Ａ１Ｂ１ 　 （２）ＡＣ　 （３）ＯＯ１ 　 （４）Ｂ１ ９．［证明］　 因为ＡＢ∥ＣＤ， 所以ＡＢ，ＣＤ可确定一个平面，设为平面β， 所以ＡＣ在平面β内，即点Ｅ在平面β内． 而ＡＢ∩α ＝ Ｂ，ＣＤ∩α ＝ Ｄ，ＡＣ∩α ＝ Ｅ， 可知点Ｂ，Ｄ，Ｅ为平面α与平面β的公共点， 根据基本事实３可得，Ｂ，Ｄ，Ｅ三点共线． １０．很明显，点Ｓ是平面ＳＢＤ和平面ＳＡＣ的一个公共点，即点Ｓ 在交线上． 由于ＡＢ ＞ ＣＤ，则分别延长ＡＣ和ＢＤ交于点Ｅ，如图所示                                                                      ， —２３５— ∵ Ｅ∈ＡＣ，ＡＣ平面ＳＡＣ， ∴ Ｅ∈平面ＳＡＣ． 同理，可证Ｅ∈平面ＳＢＤ． ∴点Ｅ在平面ＳＢＤ和平面ＳＡＣ的交 线上，则连接ＳＥ，直线ＳＥ就是平面 ＳＢＤ和平面ＳＡＣ的交线． Ｂ组　 素养提升 １． ＡＢＣ　 如图，连接Ａ１Ｃ１，ＡＣ，则ＡＣ∩ＢＤ ＝ Ｏ．又Ａ１Ｃ∩平面 Ｃ１ＢＤ ＝Ｍ， ∴ Ｃ１，Ｍ，Ｏ三点在平面Ｃ１ＢＤ与平面ＡＣＣ１Ａ１的交线上，即Ｃ１， Ｍ，Ｏ三点共线，∴ Ａ，Ｂ，Ｃ均正确，Ｄ不正确．故选ＡＢＣ． ２． Ｂ　 连接ＡＤ１，ＢＣ１，ＢＤ１， ∵ Ｏ∈直线ＡＥ， ∴ ＡＥ平面ＡＢＣ１Ｄ１， ∴ Ｏ∈平面ＡＢＣ１Ｄ１ ． 又∵ Ｏ∈平面ＢＢ１Ｄ１Ｄ，平面ＡＢＣ１Ｄ１ ∩平面ＢＢ１Ｄ１Ｄ ＝ ＢＤ１，∴ Ｏ∈直线 ＢＤ１，∴ Ｄ１，Ｏ，Ｂ共线． ∵ △ＡＢＯ∽△ＥＤ１Ｏ， ∴ ＯＢＯＤ１ ＝ ＡＢＥＤ１ ＝ ３１，∴ ＯＢ ＝ ３ＯＤ１ ．故选Ｂ． ３． Ｄ　 在选项Ａ、Ｂ、Ｃ中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均 有ＰＳ∥ＱＲ，即在此三个图形中Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓ共面，故选Ｄ． ４． ０　 如图所示，在正方体ＡＢＣＤ － Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′ 中，ＡＤ与Ａ′Ｂ′都与直线ＡＡ′相交，但是直线 ＡＤ与Ａ′Ｂ′不在同一平面内，故①错误；在正 方体ＡＢＣＤ － Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′中，直线ＡＢ，ＡＤ，ＡＡ′ 两两相交，但是这三条直线不在同一平面 内，故②错误；当两个平面相交时，两个平面 可有无数个公共点，只有当两个平面有三个不共线的公共点 时，两个平面才重合，故③错误；两两平行的三条直线也可能 在同一平面内，故④错误．综上可知，正确结论的个数是０． ５． ＯＣ１ 　 平面Ａ１ＡＣ即平面Ａ１ＡＣＣ１，因为ＡＣ 平面Ａ１ＡＣ，ＢＤ平面ＤＢＣ１， ＡＣ∩ＢＤ ＝Ｏ，所以Ｏ∈平面Ａ１ＡＣ，Ｏ∈平面 ＤＢＣ１，又Ｃ１∈平面Ａ１ＡＣ，Ｃ１∈平面ＤＢＣ１，所 以平面Ａ１ＡＣ∩平面ＤＢＣ１ ＝ＯＣ１ ． ６．（１）延长ＤＭ交Ｄ１Ａ１ 的延长线于Ｅ，连接 ＮＥ，则ＮＥ即为直线ｌ的位置． （２）∵ Ｍ为ＡＡ１的中点，ＡＤ∥ＥＤ１，∴ ＡＤ ＝ Ａ１Ｅ ＝Ａ１Ｄ１ ＝ ａ． ∵ Ａ１Ｐ∥Ｄ１Ｎ，且Ｄ１Ｎ ＝ １２ ａ，∴ Ａ１Ｐ ＝ １ ２ Ｄ１Ｎ ＝ １ ４ ａ，于是ＰＢ１ ＝ Ａ１Ｂ１ － Ａ１Ｐ ＝ ａ － １４ ａ ＝ ３ ４ ａ． Ｃ组　 创新拓展 槡槡　 ３ ２ ＋２ ５　 设Ｆ为ＡＤ中点，连接ＥＦ，ＦＣ，Ａ１Ｄ， 在正方体中，Ａ１Ｂ１∥ＤＣ，Ａ１Ｂ１ ＝ＤＣ， 则四边形Ａ１Ｂ１ＣＤ为平行四边形， 所以Ａ１Ｄ∥Ｂ１Ｃ，Ａ１Ｄ ＝Ｂ１Ｃ， 因为Ｆ为ＡＤ中点，Ｅ是ＡＡ１的中点， 所以ＥＦ∥Ａ１Ｄ，所以ＥＦ∥Ｂ１Ｃ， 所以平面Ｂ１ＣＥ截正方体ＡＢＣＤ －Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１所得的截面图形为梯 形Ｂ１ＣＦＥ， 其中Ｂ１Ｃ 槡 槡＝ ４ ＋４ ＝２ ２，ＥＦ 槡 槡＝ １ ＋１ ＝ ２， ＣＦ ＝Ｂ１Ｅ 槡 槡＝ ４ ＋１ ＝ ５， 则梯形Ｂ１ＣＦＥ的周长为槡槡３ ２ ＋２ ５， 即所得的截面图形的周长是槡槡３ ２ ＋２ ５． 练案［１８］ Ａ组　 基础自测 １． Ｂ　 由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，所以这 两个三角形相似． ２． Ｃ ３． Ｂ　 ＥＦ∥Ｂ１Ｃ１∥ＢＣ∥ＡＤ∥Ａ１Ｄ１ ． ４． Ｃ　 如图，在正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中，与 直线ＢＡ１异面的直线有ＣＤ，Ｃ１Ｄ１，Ｃ１Ｃ，Ｄ１Ｄ， Ｂ１Ｃ１，ＡＤ，共６条，故选Ｃ． ５． Ｃ　 分两类进行讨论． （１）若两条直线与两异面直线的交点有４个， 如图（１），直线ＡＢ与异面直线ａ，ｂ分别相交 于点Ａ，Ｂ，直线ＣＤ与异面直线ａ，ｂ分别相交于点Ｃ，Ｄ，那么Ａ，Ｂ， Ｃ，Ｄ四点不可能共面，否则与ａ，ｂ异面矛盾，故直线ＡＢ与ＣＤ异 面；（２）若两条直线与两异面直线的交点有３个，如图（２），两条直 线相交． ６． ＜ 　 取ＢＣ中点Ｅ，连接ＥＭ、ＥＮ（图略），则 ＥＭ ＝ １２ ＡＣ， ＥＮ ＝ １２ ＢＤ { ，相加ＥＭ ＋ＥＮ ＝ １２ （ＡＣ ＋ ＢＤ），又ＥＭ ＋ ＥＮ ＞ ＭＮ，所以ＭＮ ＜ １ ２ （ＡＣ ＋ ＢＤ）． ７．梯形　 如图，在△ＡＢＤ中，∵ ＡＥＡＢ ＝ ＡＨ ＡＤ ＝ １ ２ ， ∴ ＥＨ∥ＢＤ且ＥＨ ＝ １２ ＢＤ． 在△ＢＣＤ中，∵ ＣＦＣＢ ＝ ＣＧ ＣＤ ＝ １ ３ ， ∴ ＦＧ∥ＢＤ且ＦＧ ＝ １３ ＢＤ                                                                      ， —２３６—