练案16 11.1.6 祖暅原理与几何体的体积-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第四册同步学习指导(人教B版2019)

故绳子的最短长度为５０ ｃｍ． （２）作ＯＣ⊥Ｂ′Ｍ交)ＡＡ′于Ｄ，交ＭＢ′于Ｃ，ＯＣ是顶点Ｏ到ＭＢ′的最 短距离，则ＤＣ是ＭＢ′与 )ＡＡ′的最短距离，ＤＣ ＝ ＯＣ － ＯＤ ＝ ＯＭ·ＯＢ′ ＭＢ′ －２０ ＝４ ｃｍ，即上底面圆周上的点到绳子的最短距离是 ４ ｃｍ． Ｃ组　 创新拓展 　 （ 槡 槡８４ ２ ＋ ６４ ５）π 　 如图，过点Ｆ在平面 ＡＢＥＦ内作ＦＧ⊥ＡＢ，垂足为Ｇ，过点Ｃ在平 面ＡＢＣＤ内作ＣＨ⊥ＡＢ，垂足为Ｈ， 由题意可得Ｏ１Ｆ ＝４，ＯＡ ＝１０，Ｏ２Ｃ ＝６，由圆 台的几何性质可知ＯＯ１⊥ＡＢ， 在平面ＡＢＥＦ中，Ｏ１Ｆ∥ＯＡ，ＦＧ⊥ＡＢ，则四边形ＯＯ１ＦＧ为矩形，则 ＯＧ ＝Ｏ１Ｆ ＝４，所以ＡＧ ＝ＯＡ －ＯＧ ＝１０ －４ ＝６，同理可得ＢＨ ＝ＯＢ － ＯＨ ＝１０ －６ ＝４，由题意可知ＦＧＣＨ ＝ ３４且ＦＧ ＋ ＣＨ ＝ １４，则 ＦＧ ＝ ６，ＣＨ ＝ ８，从而ＡＦ ＝ ＡＧ２ ＋ＦＧ槡 ２ ＝ ６２ ＋６槡 ２ 槡＝ ６ ２， ＢＣ ＝ ＢＨ２ ＋ＣＨ槡 ２ ＝ ４２ ＋８槡 ２ 槡＝４ ５， 故该汝窑双耳罐的侧面积为π·ＡＦ·（Ｏ１Ｆ ＋ ＯＡ）＋ π·ＢＣ· （Ｏ２Ｃ ＋ＯＡ） ＝π 槡×６ ２ ×（４ ＋１０）＋π 槡×４ ５ ×（６ ＋１０） ＝（ 槡 槡８４ ２ ＋６４ ５）π（平方厘米）． 练案［１６］ Ａ组　 基础自测 １． Ｄ　 Ｖ ＝ １３ Ｓｈ ＝ １ ３ × 槡３ ４ ×３ ＝ 槡３ ４ ． ２． Ａ　 设圆锥的底面半径为ｒ，母线长为ｌ， ∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形， ∴ ２ｒ ＝ ｌ２ ＋ ｌ槡 ２，即ｌ 槡＝ ２ｒ， 由题意得，侧面积Ｓ侧＝πｒ·ｌ 槡＝ ２πｒ２ 槡＝１６ ２π，∴ ｒ ＝４． ∴ ｌ 槡＝４ ２， 高ｈ ＝ ｌ２ － ｒ槡 ２ ＝４． ∴圆锥的体积Ｖ ＝ １３ Ｓｈ ＝ １ ３ π ×４ ２ ×４ ＝ ６４３ π，故选Ａ． ３． Ｂ　 设圆柱的底面半径为ｒ，则圆锥的母线长为ｒ２槡＋ ３， 而它们的侧面积相等，所以２πｒ 槡× ３ ＝ πｒ × ３ ＋ ｒ槡 ２ 即槡２ ３ ＝ ３ ＋ ｒ槡 ２，故ｒ ＝ ３，故圆锥的体积为１３ π 槡× ９ × ３ 槡＝ ３ ３π． ４． ＡＤ　 以ＢＣ所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为 ３，母线长为５，高为４的圆锥，其侧面积为π × ３ × ５ ＝ １５π，体 积为１３ × π × ３ ２ × ４ ＝ １２π，故Ａ正确，Ｂ错误；以ＡＣ所在直线 为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为４，母线长为５，高为３ 的圆锥，侧面积为π × ４ × ５ ＝ ２０π，体积为１３ × π × ４ ２ × ３ ＝ １６π，故Ｃ错误，Ｄ正确． ５． Ｃ　 根据球的截面的性质，得球的半径Ｒ ＝ ３２ ＋ ４槡 ２ ＝ ５（ｃｍ）， 所以Ｖ球＝ ４３ πＲ ３ ＝ ５００π３ （ｃｍ ３）． ６．槡３π３ 　 易知圆锥的母线长为２，设圆锥的底面半径为ｒ，则２πｒ ＝ １２ × ２π × ２， ∴ ｒ ＝ １，高ｈ ＝ ｌ２ － ｒ槡 ２ 槡＝ ３． ∴ Ｖ圆锥＝ １ ３ πｒ ２ｈ ＝ １３ π 槡× ３ ＝槡 ３π ３ ． ７．槡６　 设长方体的棱长分别为ａ，ｂ，ｃ，则 ａｂ 槡＝ ２， ａｃ 槡＝ ３， ｂｃ 槡＝ ６ { ，三式相乘可知 （ａｂｃ）２ ＝ ６，所以长方体的体积Ｖ ＝ ａｂｃ 槡＝ ６． ８． １５ ６８０ ｃｍ３　 因为两底面面积分别是Ｓ ＝４４２ ＝１ ９３６，Ｓ′ ＝８２ ＝６４， 所以其体积Ｖ ＝ １３ （Ｓ ＋槡ＳＳ′ ＋ Ｓ′）ｈ ＝ １ ３ （１ ９３６ ＋８ ×４４ ＋６４）× ２０ ＝１５ ６８０（ｃｍ３）．所以这一个下料斗至少可以装料１５ ６８０ ｃｍ３ ． ９．（１）设球的半径为ｒ，则由已知得 ４πｒ２ ＝ ６４π，ｒ ＝ ４． 所以球的体积Ｖ ＝ ４３ × π × ｒ ３ ＝ ２５６３ π． （２）设球的半径为Ｒ， 由已知得４３ πＲ ３ ＝ ５００３ π，所以Ｒ ＝ ５， 所以球的表面积为Ｓ ＝ ４πＲ２ ＝ ４π × ５２ ＝ １００π． １０． ∵ ＶＭ是棱锥的高， ∴ ＶＭ⊥ＭＣ． 在Ｒｔ△ＶＭＣ中，ＭＣ ＝ ＶＣ２ － ＶＭ槡 ２ ＝ ５２ － ４槡 ２ ＝ ３（ｃｍ）， ∴ ＡＣ ＝ ２ＭＣ ＝ ６（ｃｍ）． 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＢＣ ＝ ＡＣ２ － ＡＢ槡 ２ ＝ ６２ － ４槡 ２ 槡＝ ２ ５（ｃｍ）． Ｓ底＝ ＡＢ·ＢＣ 槡 槡＝ ４ × ２ ５ ＝ ８ ５（ｃｍ２）， ∴ Ｖ锥＝ １ ３ Ｓ底ｈ ＝ １ ３ 槡× ８ ５ × ４ ＝ 槡 ３２ ５ ３ （ｃｍ ３）． ∴棱锥的体积为槡３２ ５３ ｃｍ ３ ． Ｂ组　 素养提升 １． ＡＢ　 当圆柱的高为８ ｃｍ时，Ｖ ＝ π × １２２( )π ２ × ８ ＝ ２８８ π （ｃｍ３）， 当圆柱的高为１２ ｃｍ时，Ｖ ＝ π × ８２( )π ２ × １２ ＝ １９２ π （ｃｍ３）． ２． Ｂ　 在△ＡＯＢ中，∠ＡＯＢ ＝ １２０°，而ＯＡ ＝ ＯＢ 槡＝ ３，取ＡＢ中点 Ｃ，连接ＯＣ，ＰＣ，有ＯＣ⊥ＡＢ，ＰＣ⊥ＡＢ，如图， ∠ＡＢＯ ＝ ３０°，ＯＣ ＝槡３２ ，ＡＢ ＝ ２ＢＣ ＝ ３，由△ＰＡＢ的面积为槡 ９ ３ ４ ， 得１２ × ３ × ＰＣ ＝ 槡 ９ ３ ４ ，解得ＰＣ ＝ 槡 ３ ３ ２ ，于是ＰＯ ＝ ＰＣ ２ － ＯＣ槡 ２ ＝ 槡３ ３( )２ ２ － 槡３( )２槡 ２ 槡＝ ６，所以圆锥的体积Ｖ ＝ １３ π × ＯＡ ２ × ＰＯ ＝ １３ π ×（槡３） ２ 槡槡× ６ ＝ ６π．故选Ｂ． ３． Ａ　 设三棱柱的高为ｈ，底面面积为Ｓ，体积为Ｖ，则Ｖ ＝ Ｖ１ ＋ Ｖ                                                                       ２ —２３４— ＝ Ｓｈ．因为Ｅ，Ｆ分别为ＡＣ，ＡＢ的中点，所以Ｓ△ＡＥＦ ＝ １４ Ｓ， 所以Ｖ１ ＝ １３ ｈ Ｓ ＋ １ ４ Ｓ ＋ Ｓ· Ｓ槡( )４ ＝ ７１２ Ｓｈ，Ｖ２ ＝ Ｖ － Ｖ１ ＝ ５ １２Ｓｈ．所以Ｖ１Ｖ２ ＝ ７５． ４． １６ 　 Ｖ三棱锥Ａ － ＤＥＤ１ ＝ Ｖ三棱锥Ｅ － ＤＤ１Ａ ＝ １ ３ × １ ２ × １ × １ × １ ＝ １ ６ ． ５． 槡６４ 　 由题可得两个圆台的高分别为ｈ甲 ＝ ２ ｒ２ － ｒ( )[ ]１ ２ － ｒ２ － ｒ( )１槡 ２ 槡＝ ３ ｒ２ － ｒ( )１ ， ｈ乙＝ ３ ｒ２ － ｒ( )[ ]１ ２ － ｒ２ － ｒ( )１槡 ２ 槡＝２ ２ ｒ２ － ｒ( )１ ， 所以Ｖ甲Ｖ乙＝ １ ３ Ｓ２ ＋ Ｓ１ ＋ Ｓ２Ｓ槡( )１ ｈ甲 １ ３ Ｓ２ ＋ Ｓ１ ＋ Ｓ２Ｓ槡( )１ ｈ乙 ＝ ｈ甲 ｈ乙 ＝ 槡３ ｒ２ － ｒ( )１ 槡２ ２ ｒ２ － ｒ( )１ ＝槡６４ ． ６．因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的 深度为３ｒ，水面半径为槡３ ｒ，则容器内水的体积为Ｖ ＝ Ｖ圆锥－ Ｖ球＝ １ ３ π（槡３ｒ） ２·３ｒ － ４３ πｒ ３ ＝ ５３ πｒ ３ ．将球取出后，设容器中 水的深度为ｈ，则水面圆的半径为槡３３ ｈ，从而容器内水的体积 是Ｖ′ ＝ １３ π 槡 ３ ３( )ｈ ２ ｈ ＝ １９ πｈ ３ ．由Ｖ ＝ Ｖ′得ｈ ＝ ３槡１５ｒ． Ｃ组　 创新拓展 　 ＢＣ　 以题图１中平面ＡＢＣＤ为分界面进行数数，易知欧氏反 例（即题图２）在平面ＡＢＣＤ上方的顶点有５个，在平面ＡＢＣＤ 中的顶点有４个，在平面ＡＢＣＤ下方的顶点有５个，共有１４个 顶点，故Ａ错误；易知欧氏反例在平面ＡＢＣＤ上方的棱有１２ 条，根据对称性可知在平面ＡＢＣＤ下方的棱有１２条，共有２４ 条棱，故Ｂ正确；由题意与中位线定理易得欧氏反例的表面是 由８个棱长为１，其中一个角为６０°的菱形，与４个棱长为１的 正方形组成，所以其表面积为Ｓ ＝ ８ × ２ × １２ × １ × １ × ｓｉｎ ６０° ＋ ４ × １２ 槡＝ ４ ３ ＋ ４，故Ｃ正确；由题意可知，欧氏反例的体积可 由两个棱长为２的正四棱锥减掉四个棱长为１的正四棱锥而 得，对于棱长为ａ的正四棱锥，其底面面积为ａ２，其底面对角 线长为槡２ａ，所以其高为ｈ ＝ ａ２ － 槡２ａ( )２槡 ２ ＝槡２ａ２ ，故其体积为 Ｖ ＝ １３ × ａ ２ ×槡２ａ２ ＝槡 ２ ６ ａ ３，所以欧氏反例的体积为２ ×槡２６ × ２ ３ － ４ ×槡２６ × １ ３ 槡＝ ２ ２，故Ｄ错误． 练案［１７］ Ａ组　 基础自测 １． Ａ　 观察图知：Ｐｌ，Ｐ∈α，ｌα，则ｌ∈α是错误的． ２． Ｄ　 Ａ中没有画出相交平面的交线，且不可见的线没有画成虚 线；Ｂ中不可见的线没有画成虚线；Ｃ中虚、实线没按画图规 则画；Ｄ中交线及实、虚线均正确．故选Ｄ． ３． Ｄ　 直线ＡＣ与直线ＰＯ交于点Ｏ，所以平面ＰＣＡ与平面ＰＢＤ 交于点Ｏ，所以必相交于直线ＰＯ，直线ＡＭ在平面ＰＡＣ内，点 Ｎ∈ＡＭ，故Ｎ∈平面ＰＡＣ，故Ｏ，Ｎ，Ｐ，Ｍ四点共面，所以Ａ错 误．若点Ｄ与Ｏ，Ｍ，Ｎ共面，则直线ＢＤ在平面ＰＡＣ内，与题目 矛盾，故Ｂ错误． Ｏ，Ｍ分别为ＡＣ，ＰＣ中点，所以ＯＭ∥ＰＡ， ＯＮ∩ＰＡ ＝ Ｐ，故ＯＮ∩ＯＭ ＝ Ｏ，故Ｃ错误． ４． Ａ　 由推论１：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一 个平面，可得若Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３，Ｐ４ 中有三点在同一条直线上，则 Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３，Ｐ４在同一个平面上，故充分性成立；由推论３：经过 两条平行直线，有且只有一个平面，可得当Ｐ１∈ ｌ１，Ｐ２∈ ｌ１， Ｐ３∈ｌ２，Ｐ４∈ ｌ２，ｌ１∥ ｌ２ 时，Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３，Ｐ４ 在同一个平面上，但 Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３，Ｐ４中无三点共线，故必要性不成立．故选Ａ． ５． ＡＢＤ　 选项Ｃ中，α与β有公共点Ａ，则它们有过点Ａ的一条 交线，而不是点Ａ，故Ｃ错误；Ａ、Ｂ、Ｄ均正确． ６． ５　 由图可知，既与ＡＢ共面又与ＣＣ１ 共面的棱有ＣＤ、ＢＣ、 ＢＢ１、ＡＡ１、Ｃ１Ｄ１共５条． ７．（２）（３）（４）　 （１）错误．如下图所示，点Ａ平面ＣＣ１Ｂ１Ｂ，所 以直线ＡＣ１平面ＣＣ１Ｂ１Ｂ． （２）正确．如图所示． 因为Ｏ∈直线ＡＣ平面ＡＡ１Ｃ１Ｃ，Ｏ∈直线 ＢＤ平面ＢＢ１Ｄ１Ｄ，Ｏ１∈直线Ａ１Ｃ１平面 ＡＡ１Ｃ１Ｃ，Ｏ１∈直线Ｂ１Ｄ１平面ＢＢ１Ｄ１Ｄ，所 以平面ＡＡ１Ｃ１Ｃ与平面ＢＢ１Ｄ１Ｄ的交线 为ＯＯ１ ． （３）（４）都正确，如下图所示．因为ＡＤ∥ Ｂ１Ｃ１且ＡＤ ＝ Ｂ１Ｃ１， 所以四边形ＡＢ１Ｃ１Ｄ是平行四边形， 所以Ａ，Ｂ１，Ｃ１，Ｄ共面． ８．（１）Ａ１Ｂ１ 　 （２）ＡＣ　 （３）ＯＯ１ 　 （４）Ｂ１ ９．［证明］　 因为ＡＢ∥ＣＤ， 所以ＡＢ，ＣＤ可确定一个平面，设为平面β， 所以ＡＣ在平面β内，即点Ｅ在平面β内． 而ＡＢ∩α ＝ Ｂ，ＣＤ∩α ＝ Ｄ，ＡＣ∩α ＝ Ｅ， 可知点Ｂ，Ｄ，Ｅ为平面α与平面β的公共点， 根据基本事实３可得，Ｂ，Ｄ，Ｅ三点共线． １０．很明显，点Ｓ是平面ＳＢＤ和平面ＳＡＣ的一个公共点，即点Ｓ 在交线上． 由于ＡＢ ＞ ＣＤ，则分别延长ＡＣ和ＢＤ交于点Ｅ，如图所示                                                                      ， —２３５— 练案［１６］ 第十一章　 立体几何初步 １１． １　 ［１１． １． ６　 祖 ! 原理与几何体的体积］ Ａ组·基础自测 一、选择题 １． 已知高为３ 的三棱柱ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１的底面是边长为１的正三 角形（如图），则三棱锥Ｂ１ － ＡＢＣ 的体积为 （　 　 ） Ａ． １４ 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． １ ２ Ｃ．槡３６ Ｄ．槡 ３ ４ ２．圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是 槡１６ ２π，则圆锥的体积是 （　 ） Ａ． ６４π３ Ｂ． １２８π ３ Ｃ． ６４π 槡Ｄ． １２８ ２π ３．（２０２４·新课标全国Ｉ卷）已知圆柱和圆锥的 底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 槡３，则圆锥的体积为 （　 　 ） 槡Ａ． ２ ３π 槡Ｂ． ３ ３π 槡Ｃ． ６ ３π 槡Ｄ． ９ ３π ４．（多选题）已知△ＡＢＣ的三边长分别是ＡＣ ＝ ３， ＢＣ ＝ ４，ＡＢ ＝ ５．下列说法正确的是 （　 　 ） Ａ．以ＢＣ所在直线为旋转轴，将此三角形旋转 一周，所得旋转体的侧面积为１５π Ｂ．以ＢＣ所在直线为旋转轴，将此三角形旋转 一周，所得旋转体的体积为３６π Ｃ．以ＡＣ所在直线为旋转轴，将此三角形旋转 一周，所得旋转体的侧面积为２５π Ｄ．以ＡＣ所在直线为旋转轴，将此三角形旋转 一周，所得旋转体的体积为１６π ５．一平面截一球得到直径是６ ｃｍ的圆面，球心 到这个圆面的距离是４ ｃｍ，则该球的体积是 （　 ） Ａ． １００π３ ｃｍ ３ Ｂ． ２０８π３ ｃｍ ３ Ｃ． ５００π３ ｃｍ ３ Ｄ． 槡４１６ １３π３ ｃｍ ３ 二、填空题 ６．若圆锥的侧面展开图为一个半径为２的半圆， 则圆锥的体积是　 　 　 　 ． ７．一个长方体的三个面的面积分别是槡２，槡３，槡６， 则这个长方体的体积为　 　 　 　 ． ８．粉碎机的下料斗是正四棱台形，它的两底面边 长分别是８ ｃｍ和４４ ｃｍ，高是２０ ｃｍ．计算这一 个下料斗至少可以装料　 　 　 　 　 ． 三、解答题 ９．（１）已知球的表面积为６４π，求它的体积； （２）已知球的体积为５００３ π，求它的表面积． １０．如图，棱锥的底面ＡＢＣＤ是一 个矩形，ＡＣ与ＢＤ交于点Ｍ， ＶＭ 是棱锥的高． 若ＶＭ ＝ ４ ｃｍ，ＡＢ ＝ ４ ｃｍ，ＶＣ ＝ ５ ｃｍ，求 锥体的体积                                                                  ． —６５１— Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．（多选题）圆柱的侧面展开图是长１２ ｃｍ，宽 ８ ｃｍ的矩形，则这个圆柱的体积为 （　 ） Ａ． ２８８ π ｃｍ３ Ｂ． １９２ π ｃｍ３ Ｃ． ２８８π ｃｍ３ Ｄ． １９２π ｃｍ３ ２．（２０２３·全国高考真题）已知圆锥ＰＯ的底面 半径为槡３，Ｏ为底面圆心，ＰＡ，ＰＢ为圆锥的母 线，∠ＡＯＢ ＝ １２０°，若△ＰＡＢ的面积等于槡９ ３４ ， 则该圆锥的体积为 （　 ） Ａ． π 槡　 　 Ｂ． ６π　 　 Ｃ． ３π 槡　 　 Ｄ． ３ ６π ３．如图所示，三棱柱ＡＢＣ － Ａ′Ｂ′Ｃ′ 中，若Ｅ，Ｆ分别为ＡＣ，ＡＢ的中 点，平面ＥＣ′Ｂ′Ｆ将三棱柱分成体 积为Ｖ１（棱台ＡＥＦ － Ａ′Ｃ′Ｂ′的体 积），Ｖ２的两部分，那么Ｖ１Ｖ２ ＝ （　 ） Ａ． ７５ Ｂ． ６５ Ｃ． ８３ Ｄ． ４３ 二、填空题 ４．如图所示，正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的棱长为１，Ｅ为 线段Ｂ１Ｃ上的一点，则三 棱锥Ａ － ＤＥＤ１ 的体积为 　 　 　 　 　 ． ５．（２０２４·全国甲卷）已知圆台甲、乙的上底面半 径均为ｒ１，下底面半径均为ｒ２，圆台的母线长 分别为２ ｒ２ － ｒ( )１ ，３ ｒ２ － ｒ( )１ ，则圆台甲与乙的 体积之比为　 　 　 　 ． 三、解答题 ６．有一个倒置圆锥形容器，它的 轴截面（如图）是一个正三角 形，在容器内放一个半径为ｒ 的铁球，并注入水，使水面与 球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水 的深度． Ｃ组·创新拓展 　 （多选题）古希腊数学家欧几里得在《几何原 本》卷１１中这样定义棱柱：一个棱柱是一个立 体图形，它是由一些平面构成的，其中有两个 面是相对的、相等的，相似且平行的，其他各面 都是平行四边形．显然这个定义是有缺陷的， 由于《几何原本》作为“数学圣经”的巨大影 响，该定义在后世可谓谬种流传，直到１９１６ 年，美国数学家斯顿和米利斯首次给出欧氏定 义的反例．如图１，八面体Ｅ － ＡＢＣＤ － Ｆ的每 一个面都是边长为２的正三角形，且４个顶点 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ在同一平面内，取各棱的中点，切割 成欧氏反例（如图２），则该欧氏反例（　 　 ） Ａ．共有１２个顶点 Ｂ．共有２４条棱 Ｃ．表面积为 槡４ ＋ ４ ３ Ｄ．体积为槡                                                                        ２ —７５１—