练案15 11.1.5 旋转体-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第四册同步学习指导(人教B版2019)

练案［１５］ Ａ组　 基础自测 １． Ｃ　 圆柱是矩形绕其一条边所在直线旋转一周形成的几何体，故 ①错；以直角三角形的一条直角边所在直线为轴，旋转一周，才能 构成圆锥，故②错；圆台是由圆锥截得的，故其任意两条母线延长 后一定交于一点，故③错；④是圆锥的性质，故④正确． ２． Ｂ　 圆锥的轴截面是等腰三角形，腰长为５，底为６，则高为４， 所以轴截面面积Ｓ ＝ １２ × ６ × ４ ＝ １２． ３． Ｂ　 正方体的内切球半径为正方体棱长的一半，外接球半径为 正方体的体对角线长的一半．设正方体的棱长为ａ，则内切球 的半径为ｒ ＝ ａ２ ，外接球的半径为Ｒ ＝槡 ３ ２ ａ，所以内切球半径与 外接球半径的比为１槡３． ４． Ｃ　 截面图形应为图Ｃ所示的圆环面． ５． ＡＢ　 如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为１，高 为１，母线就是等腰直角三角形的斜边为槡２，所以所形成的几 何体的表面积是Ｓ ＝ πｒｌ ＋ πｒ２ ＝ π 槡× １ × ２ ＋ π × １２ ＝（槡２ ＋ １） π．如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的底面半径 是等腰直角三角形斜边上的高为槡２２ ，两个圆锥的母线都是等 腰直角三角形的直角边，母线长是１，所以形成的几何体的表 面积Ｓ ＝ ２ × πｒｌ ＝ ２ × π ×槡２２ 槡× １ ＝ ２π． 综上可知，形成的几何体的表面积是（槡２ ＋１）π或槡２π． ６．６π　 由圆柱的轴截面是面积为４的正方形，可得其边长为２，则圆 柱的底面半径为ｒ ＝ １，母线长ｌ ＝ ２，所以该圆柱的表面积Ｓ ＝ Ｓ侧＋２Ｓ底＝２πｒｌ ＋２πｒ ２ ＝６π． ７． １４ 　 作出圆锥及其内切球的轴截面，如图所 示．设圆锥底面圆的半径为ｒ，母线长为ｌ， 因为圆锥的侧面积是底面积的２倍， 所以πｒｌ ＝２πｒ２，所以ｌ ＝２ｒ， 故∠ＡＤＣ ＝３０°，则圆锥的轴截面为正三角形． 又∠ＤＣＢ ＝９０°，所以ＢＣＢＤ ＝ １ ２ ， 即Ｒ内Ｒ外＝ １ ２ ，故 Ｓ１ Ｓ２ ＝ １４ ． ８． Ｓ２ 　 如图，设圆锥底面半径为ｒ，母线长为ｌ， 由题意得 π ２ ｌ ２ ＝ Ｓ， πｌ ＝２πｒ{ ， 解得ｒ ＝ Ｓ２槡π，所以底面积为πｒ２ ＝ π × Ｓ２π ＝ Ｓ２ ． ９．如图轴截面ＳＡＢ，圆锥ＳＯ的底面直径为 ＡＢ，ＳＯ为高，ＳＡ为母线，则∠ＡＳＯ ＝ ３０°．在 Ｒｔ△ＳＯＡ中，ＡＯ ＝ ＳＯ·ｔａｎ ３０° ＝ 槡２ ３３ （ｃｍ）． ＳＡ ＝ ＳＯｃｏｓ ３０° ＝ ２ 槡３ ２ ＝ 槡４ ３３ （ｃｍ）． 所以Ｓ△ＡＳＢ ＝ １２ ＳＯ·２ＡＯ ＝ 槡 ４ ３ ３ （ｃｍ ２）． 所以圆锥的母线长为槡４ ３３ ｃｍ，圆锥的轴截面的面积为槡 ４ ３ ３ ｃｍ ２ ． １０．平面ＡＢＣ截球所得的截面是一个圆面，Ａ，Ｂ，Ｃ三点在这个圆面 的圆上，∵ ＡＢ ＝１８，ＢＣ ＝２４，ＡＣ ＝３０， ∴ ＡＣ２ ＝ＡＢ２ ＋ＢＣ２，∴ ∠ＡＢＣ ＝９０°， ∴ ＡＣ为这个圆的直径．设ＡＣ的中点为Ｍ，球心为Ｏ，球的半径为 Ｒ，连接ＯＭ，则球心到平面ＡＢＣ的距离为ＯＭ，由题意知ＯＭ ＝ １ ２ Ｒ．连接ＯＡ，在Ｒｔ△ＯＭＡ中，∠ＯＭＡ ＝ ９０°，ＯＭ ＝ １ ２ Ｒ，ＡＭ ＝ １ ２ ＡＣ ＝１５，ＯＡ ＝Ｒ，由勾股定理得， １ ２( )Ｒ ２ ＋１５２ ＝Ｒ２， 即３４ Ｒ ２ ＝２２５，解得Ｒ 槡＝１０ ３．故球的半径为槡１０ ３． Ｂ组　 素养提升 １． ＡＤ　 设底面半径为ｒ，若矩形的长恰好为圆柱的底面周长，则 ２πｒ ＝８，所以ｒ ＝ ４π；同理，若矩形的宽恰好为圆柱的底面周长，则 ２πｒ ＝４，所以ｒ ＝ ２π ． 故圆柱的底面半径为２ π 或４ π ． ２． Ｃ　 设该棱柱的底面边长为ａ，则该棱柱的高为槡３ａ３ ，设正三角形的 外接圆的半径为ｒ，则由正弦定理得２ｒ ＝ ａ ｓｉｎ π３ ，即ｒ ＝ ａ 槡３ ， 设其外接球的半径为Ｒ，则４πＲ２ ＝ ６０π，即Ｒ２ ＝ １５，又Ｒ２ ＝ ｒ２ ＋ 槡３ａ( )６ ２ ，所以ａ２ ＝３６，即ａ ＝６，则该棱柱的底面边长为６． ３． Ａ　 设正三棱台上下底面所在圆面的半径ｒ１，ｒ２，所以２ｒ１ ＝ 槡３ ３ ｓｉｎ ６０°，２ｒ２ ＝ 槡 ４ ３ ｓｉｎ ６０°，即ｒ１ ＝３，ｒ２ ＝４，设球心到上下底面的距离分 别为ｄ１，ｄ２，球的半径为Ｒ，所以ｄ１ ＝ Ｒ２槡－９，ｄ２ ＝ Ｒ２槡－１６，故 ｜ｄ１ － ｄ２ ｜ ＝ １或ｄ１ ＋ ｄ２ ＝ １，即 Ｒ２槡－９ － Ｒ２槡－１６ ＝ １或 Ｒ２槡－９ ＋ Ｒ２槡－１６ ＝１，解得Ｒ２ ＝２５符合题意，所以球的表面积 为Ｓ ＝４πＲ２ ＝１００π．故选Ａ． ４．２槡ｒＲ　 槡ｒＲ ［解析］　 圆台的轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，由此得梯 形腰长为Ｒ ＋ ｒ，梯形的高即球的直径，即（ｒ ＋Ｒ）２ －（Ｒ － ｒ）槡 ２ ＝ ２槡ｒＲ，球的半径为槡ｒＲ． ５．４　 因为ＡＢ ＝ＢＣ ＝ＡＣ 槡＝２ ３，所以△ＡＢＣ的外接圆的半径ｒ 槡＝ ３ × 槡３ × ２３ ＝ ２，又球心Ｏ到平面ＡＢＣ的距离为槡 ３ ２ Ｒ，所以Ｒ ２ － 槡３ ２( )Ｒ ２ ＝２２，解得Ｒ ＝４． ６．（１）画出圆台的侧面展开图，并还原成圆 锥展开的扇形，且设扇形的圆心为Ｏ． 由图得：所求的最短距离是ＭＢ′，设ＯＡ ＝ Ｒ，圆心角是θ，则由题意知１０π ＝ θＲ①， ２０π ＝ θ（２０ ＋ Ｒ）②，由①②解得θ ＝ π２ ， Ｒ ＝２０ ｃｍ，所以ＯＭ ＝３０ ｃｍ，ＯＢ′ ＝４０ ｃｍ， 则ＭＢ′ ＝５０ ｃｍ                                                                       ． —２３３— 故绳子的最短长度为５０ ｃｍ． （２）作ＯＣ⊥Ｂ′Ｍ交)ＡＡ′于Ｄ，交ＭＢ′于Ｃ，ＯＣ是顶点Ｏ到ＭＢ′的最 短距离，则ＤＣ是ＭＢ′与 )ＡＡ′的最短距离，ＤＣ ＝ ＯＣ － ＯＤ ＝ ＯＭ·ＯＢ′ ＭＢ′ －２０ ＝４ ｃｍ，即上底面圆周上的点到绳子的最短距离是 ４ ｃｍ． Ｃ组　 创新拓展 　 （ 槡 槡８４ ２ ＋ ６４ ５）π 　 如图，过点Ｆ在平面 ＡＢＥＦ内作ＦＧ⊥ＡＢ，垂足为Ｇ，过点Ｃ在平 面ＡＢＣＤ内作ＣＨ⊥ＡＢ，垂足为Ｈ， 由题意可得Ｏ１Ｆ ＝４，ＯＡ ＝１０，Ｏ２Ｃ ＝６，由圆 台的几何性质可知ＯＯ１⊥ＡＢ， 在平面ＡＢＥＦ中，Ｏ１Ｆ∥ＯＡ，ＦＧ⊥ＡＢ，则四边形ＯＯ１ＦＧ为矩形，则 ＯＧ ＝Ｏ１Ｆ ＝４，所以ＡＧ ＝ＯＡ －ＯＧ ＝１０ －４ ＝６，同理可得ＢＨ ＝ＯＢ － ＯＨ ＝１０ －６ ＝４，由题意可知ＦＧＣＨ ＝ ３４且ＦＧ ＋ ＣＨ ＝ １４，则 ＦＧ ＝ ６，ＣＨ ＝ ８，从而ＡＦ ＝ ＡＧ２ ＋ＦＧ槡 ２ ＝ ６２ ＋６槡 ２ 槡＝ ６ ２， ＢＣ ＝ ＢＨ２ ＋ＣＨ槡 ２ ＝ ４２ ＋８槡 ２ 槡＝４ ５， 故该汝窑双耳罐的侧面积为π·ＡＦ·（Ｏ１Ｆ ＋ ＯＡ）＋ π·ＢＣ· （Ｏ２Ｃ ＋ＯＡ） ＝π 槡×６ ２ ×（４ ＋１０）＋π 槡×４ ５ ×（６ ＋１０） ＝（ 槡 槡８４ ２ ＋６４ ５）π（平方厘米）． 练案［１６］ Ａ组　 基础自测 １． Ｄ　 Ｖ ＝ １３ Ｓｈ ＝ １ ３ × 槡３ ４ ×３ ＝ 槡３ ４ ． ２． Ａ　 设圆锥的底面半径为ｒ，母线长为ｌ， ∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形， ∴ ２ｒ ＝ ｌ２ ＋ ｌ槡 ２，即ｌ 槡＝ ２ｒ， 由题意得，侧面积Ｓ侧＝πｒ·ｌ 槡＝ ２πｒ２ 槡＝１６ ２π，∴ ｒ ＝４． ∴ ｌ 槡＝４ ２， 高ｈ ＝ ｌ２ － ｒ槡 ２ ＝４． ∴圆锥的体积Ｖ ＝ １３ Ｓｈ ＝ １ ３ π ×４ ２ ×４ ＝ ６４３ π，故选Ａ． ３． Ｂ　 设圆柱的底面半径为ｒ，则圆锥的母线长为ｒ２槡＋ ３， 而它们的侧面积相等，所以２πｒ 槡× ３ ＝ πｒ × ３ ＋ ｒ槡 ２ 即槡２ ３ ＝ ３ ＋ ｒ槡 ２，故ｒ ＝ ３，故圆锥的体积为１３ π 槡× ９ × ３ 槡＝ ３ ３π． ４． ＡＤ　 以ＢＣ所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为 ３，母线长为５，高为４的圆锥，其侧面积为π × ３ × ５ ＝ １５π，体 积为１３ × π × ３ ２ × ４ ＝ １２π，故Ａ正确，Ｂ错误；以ＡＣ所在直线 为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为４，母线长为５，高为３ 的圆锥，侧面积为π × ４ × ５ ＝ ２０π，体积为１３ × π × ４ ２ × ３ ＝ １６π，故Ｃ错误，Ｄ正确． ５． Ｃ　 根据球的截面的性质，得球的半径Ｒ ＝ ３２ ＋ ４槡 ２ ＝ ５（ｃｍ）， 所以Ｖ球＝ ４３ πＲ ３ ＝ ５００π３ （ｃｍ ３）． ６．槡３π３ 　 易知圆锥的母线长为２，设圆锥的底面半径为ｒ，则２πｒ ＝ １２ × ２π × ２， ∴ ｒ ＝ １，高ｈ ＝ ｌ２ － ｒ槡 ２ 槡＝ ３． ∴ Ｖ圆锥＝ １ ３ πｒ ２ｈ ＝ １３ π 槡× ３ ＝槡 ３π ３ ． ７．槡６　 设长方体的棱长分别为ａ，ｂ，ｃ，则 ａｂ 槡＝ ２， ａｃ 槡＝ ３， ｂｃ 槡＝ ６ { ，三式相乘可知 （ａｂｃ）２ ＝ ６，所以长方体的体积Ｖ ＝ ａｂｃ 槡＝ ６． ８． １５ ６８０ ｃｍ３　 因为两底面面积分别是Ｓ ＝４４２ ＝１ ９３６，Ｓ′ ＝８２ ＝６４， 所以其体积Ｖ ＝ １３ （Ｓ ＋槡ＳＳ′ ＋ Ｓ′）ｈ ＝ １ ３ （１ ９３６ ＋８ ×４４ ＋６４）× ２０ ＝１５ ６８０（ｃｍ３）．所以这一个下料斗至少可以装料１５ ６８０ ｃｍ３ ． ９．（１）设球的半径为ｒ，则由已知得 ４πｒ２ ＝ ６４π，ｒ ＝ ４． 所以球的体积Ｖ ＝ ４３ × π × ｒ ３ ＝ ２５６３ π． （２）设球的半径为Ｒ， 由已知得４３ πＲ ３ ＝ ５００３ π，所以Ｒ ＝ ５， 所以球的表面积为Ｓ ＝ ４πＲ２ ＝ ４π × ５２ ＝ １００π． １０． ∵ ＶＭ是棱锥的高， ∴ ＶＭ⊥ＭＣ． 在Ｒｔ△ＶＭＣ中，ＭＣ ＝ ＶＣ２ － ＶＭ槡 ２ ＝ ５２ － ４槡 ２ ＝ ３（ｃｍ）， ∴ ＡＣ ＝ ２ＭＣ ＝ ６（ｃｍ）． 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＢＣ ＝ ＡＣ２ － ＡＢ槡 ２ ＝ ６２ － ４槡 ２ 槡＝ ２ ５（ｃｍ）． Ｓ底＝ ＡＢ·ＢＣ 槡 槡＝ ４ × ２ ５ ＝ ８ ５（ｃｍ２）， ∴ Ｖ锥＝ １ ３ Ｓ底ｈ ＝ １ ３ 槡× ８ ５ × ４ ＝ 槡 ３２ ５ ３ （ｃｍ ３）． ∴棱锥的体积为槡３２ ５３ ｃｍ ３ ． Ｂ组　 素养提升 １． ＡＢ　 当圆柱的高为８ ｃｍ时，Ｖ ＝ π × １２２( )π ２ × ８ ＝ ２８８ π （ｃｍ３）， 当圆柱的高为１２ ｃｍ时，Ｖ ＝ π × ８２( )π ２ × １２ ＝ １９２ π （ｃｍ３）． ２． Ｂ　 在△ＡＯＢ中，∠ＡＯＢ ＝ １２０°，而ＯＡ ＝ ＯＢ 槡＝ ３，取ＡＢ中点 Ｃ，连接ＯＣ，ＰＣ，有ＯＣ⊥ＡＢ，ＰＣ⊥ＡＢ，如图， ∠ＡＢＯ ＝ ３０°，ＯＣ ＝槡３２ ，ＡＢ ＝ ２ＢＣ ＝ ３，由△ＰＡＢ的面积为槡 ９ ３ ４ ， 得１２ × ３ × ＰＣ ＝ 槡 ９ ３ ４ ，解得ＰＣ ＝ 槡 ３ ３ ２ ，于是ＰＯ ＝ ＰＣ ２ － ＯＣ槡 ２ ＝ 槡３ ３( )２ ２ － 槡３( )２槡 ２ 槡＝ ６，所以圆锥的体积Ｖ ＝ １３ π × ＯＡ ２ × ＰＯ ＝ １３ π ×（槡３） ２ 槡槡× ６ ＝ ６π．故选Ｂ． ３． Ａ　 设三棱柱的高为ｈ，底面面积为Ｓ，体积为Ｖ，则Ｖ ＝ Ｖ１ ＋ Ｖ                                                                       ２ —２３４— 练案［１５］ 第十一章　 立体几何初步 １１． １　 ［１１． １． ５　 旋转体］ Ａ组·基础自测 一、选择题 １．有下列四种说法： ①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体； ②以直角三角形的一条直角边所在直线为旋 转轴，旋转所得几何体是圆锥； ③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也 可能不相交； ④圆锥的底面是圆面，侧面是个曲面． 其中错误的有 （　 ） Ａ． １个 Ｂ． ２个 Ｃ． ３个 Ｄ． ４个 ２．一个圆锥的母线长为５，底面圆半径为３，则该 圆锥的轴截面的面积为 （　 ） Ａ． １０ Ｂ． １２ Ｃ． ２０ Ｄ． １５ ３．正方体的内切球半径与外接球半径的比是 （　 ） Ａ． １槡２ Ｂ． １槡３ 槡Ｃ． ２槡３ Ｄ． １２ ４．如图所示的几何体是从一个圆柱 中挖去一个以圆柱的上底面为底 面，下底面圆心为顶点的圆锥而 得到的．现用一个平面去截这个 几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图 形为 （　 　 ） ５．（多选题）等腰直角三角形直角边长为１，现将 该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几 何体的表面积可以为 （　 　 ） 槡Ａ． ２π Ｂ．（ 槡１ ＋ ２）π 槡Ｃ． ２ ２π　 Ｄ．（ 槡２ ＋ ２）π 二、填空题 ６．已知圆柱的上、下底面的中心分别为Ｏ１，Ｏ２，过 直线Ｏ１Ｏ２的平面截该圆柱所得的截面是面积 为４的正方形，则该圆柱的表面积为　 　 　 　 ． ７．已知一个圆锥的侧面积是底面积的２倍，记该 圆锥的内切球的表面积为Ｓ１，外接球的表面积 为Ｓ２，则Ｓ１Ｓ２ ＝ 　 　 　 　 ． ８．已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为 Ｓ，则圆锥的底面面积是　 　 　 　 ． 三、解答题 ９．一个圆锥的高为２ ｃｍ，母线与轴的夹角为 ３０°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积                                                                  ． —４５１— １０．球面上有三个点Ａ，Ｂ，Ｃ，其中ＡＢ ＝ １８，ＢＣ ＝ ２４，ＡＣ ＝ ３０，且球心到平面ＡＢＣ的距离为球 半径的一半，求这个球的半径． Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．（多选题）将一张长为８，宽为４的矩形硬纸卷 成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径可能是 （　 　 ） Ａ． ２ π Ｂ． π２ Ｃ． π ４ Ｄ． ４ π ２．（２０２４·铁岭高一检测）已知底面是正三角形 的直三棱柱的高是它底面边长的槡３３倍，若其外 接球的表面积为６０π，则该棱柱的底面边长为 （　 　 ） Ａ． ３ Ｂ． ４ Ｃ． ６ Ｄ． ８ ３．（２０２２·新课标全国Ⅱ卷）已知正三棱台的高 为１，上、下底面边长分别为槡３ ３和槡４ ３，其顶 点都在同一球面上，则该球的表面积为 （　 ） Ａ． １００π Ｂ． １２８π Ｃ． １４４π Ｄ． １９２π 二、填空题 ４．已知球的外切圆台上、下底面半径分别为ｒ，Ｒ，则 圆台的高为　 　 　 　 ，球的半径为　 　 　 　 ． ５．已知△ＡＢＣ的顶点都在半径为Ｒ的球Ｏ的球 面上，球心Ｏ到平面ＡＢＣ的距离为槡３２ Ｒ，ＡＢ ＝ ＢＣ ＝ ＡＣ 槡＝ ２ ３，则球Ｏ的半径Ｒ ＝ 　 　 　 　 ． 三、解答题 ６．圆台的上、下底面半径分别为５ ｃｍ， １０ ｃｍ，母线长ＡＢ ＝ ２０ ｃｍ，从圆台 母线ＡＢ的中点Ｍ拉一条绳子绕圆 台侧面转到Ｂ点（Ｂ在下底面），求： （１）绳子的最短长度； （２）在绳子最短时，上底面圆周上的点到绳子 的最短距离． Ｃ组·创新拓展 　 宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名 窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被 认为是五大名窑之首．如图１，这是汝窑双耳 罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接 而成，其直观图如图２所示．已知该汝窑双耳 罐下底面圆的直径是１２厘米，中间圆的直径 是２０厘米，上底面圆的直径是８厘米，高是 １４厘米，且上、下两圆台的高之比是３４，则 该汝窑双耳罐的侧面积是　 　 　 　 平方厘米．                                                                         —５５１—