练案14 11.1.4 棱锥与棱台-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第四册同步学习指导(人教B版2019)

练案［１４］ 第十一章　 立体几何初步 １１． １　 ［１１． １． ４　 棱锥与棱台］ Ａ组·基础自测 一、选择题 １．下面说法正确的是 （　 ） Ａ．棱锥的侧面不一定是三角形 Ｂ．棱柱的各侧棱长不一定相等 Ｃ．棱台的各侧棱延长必交于一点 Ｄ．用一个平面截棱锥，得到两个几何体，一个 是棱锥，另一个是棱台 ２．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把 一个三棱台分成三棱锥的个数为 （　 ） Ａ． １　 　 　 Ｂ． ２　 　 　 Ｃ． ３　 　 　 Ｄ． ４ ３．（多选题）如果一个棱锥的各条棱长都相等， 那么这个棱锥可能是 （　 　 ） Ａ．三棱锥　 　 Ｂ．四棱锥 Ｃ．五棱锥　 　 Ｄ．六棱锥 ４．若正三棱锥的斜高是高的槡２ ３３ 倍，则棱锥的侧 面积是底面积的 （　 　 ） Ａ． ２３倍　 　 Ｂ． ２倍 Ｃ． ８ ３倍　 　 Ｄ． ３倍 ５．我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方 锥，下广二丈，高三丈．欲斩末为方亭，令上方六 尺．问：斩高几何？”大致意思是：有一个正四棱 锥下底边长为二丈，高三丈，现从上面截去一 段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底边长 为六尺，则截去的正四棱锥的高是 （　 　 ） 注：一丈＝ １０尺 Ａ． ９尺 Ｂ． ２０尺 Ｃ． ２１尺　 　 Ｄ． ３０尺 二、填空题 ６．在四棱锥的４个侧面中，直角三角形最多可有 　 　 　 　 个；在四面体的４个面中，直角三角形 最多可有　 　 　 　 个． ７．若棱台上、下底面的面积之比为２３，则上、下 底面对应边之比为　 　 　 　 　 ． ８．下列说法正确的是　 　 　 　 ． ①一个棱锥至少有四个面； ②如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱 锥的四条侧棱都相等； ③五棱锥只有五条棱； ④用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截 面三角形和底面三角形相似． 三、解答题 ９．如图，在边长为２ａ的正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分 别为ＡＢ，ＢＣ的中点，沿图中虚线将３个三角 形折起，使点Ａ，Ｂ，Ｃ重合，重合后记为点 Ｐ．问： （１）折起后形成的几何体是什 么几何体？ （２）这个几何体每个面（三角 形）的面积为多少                                                                  ？ —２５１— １０．一个正三棱台的上、下底面边长分别为３ ｃｍ， ６ ｃｍ，它的高是３２ ｃｍ，求这个正三棱台的侧 面积及表面积． Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．（多选题）下列关于棱台的四种叙述，不正确 的有 （　 ） Ａ．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之 间的部分是棱台 Ｂ．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的 多面体是棱台 Ｃ．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯 形的六面体是棱台 Ｄ．两个互相平行的面是正方形，其余各面都 是四边形的几何体不一定是棱台 ２．（２０２４·河北省衡水市期中）正四棱锥的底面边 长为ａ，侧棱长为ｌ，则ｌａ的取值范围为（　 ） Ａ． １２，＋( )∞ Ｂ． 槡２２ ，＋( )∞ Ｃ．（１，＋ ∞） Ｄ．（２，＋ ∞） ３．（多选题）若四面体ＡＢＣＤ的三组对棱分别相 等，即ＡＢ ＝ ＣＤ，ＡＣ ＝ ＢＤ，ＡＤ ＝ ＢＣ，则下列说法 正确的是 （　 　 ） Ａ．四面体ＡＢＣＤ每个面的面积相等 Ｂ．四面体ＡＢＣＤ每组对棱相互垂直 Ｃ．连接四面体ＡＢＣＤ每组对棱中点的线段相 互垂直平分 Ｄ．从四面体ＡＢＣＤ每个顶点出发的三条棱的 长都可以作为一个三角形的三边长 二、填空题 ４．一个正四棱锥的侧棱长为１０，底面边长为 槡６ ２，该四棱锥截去一个小四棱锥后得到一个 正四棱台，正四棱台的侧棱长为５，则正四棱 台的高为　 　 　 　 ． ５．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一 个三棱柱．这个四棱锥的底面为正方形，且底 面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边 长与各侧棱长也相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱 的高分别为ｈ１，ｈ２，ｈ，则ｈ１ｈ２ｈ ＝ 　 　 　 　 ． 三、解答题 ６．如图所示，在侧棱长为槡２ ３的正三棱锥Ｖ － ＡＢＣ中，∠ＡＶＢ ＝∠ＢＶＣ ＝∠ＣＶＡ ＝ ４０°，过点Ａ 作截面ＡＥＦ分别交ＶＢ，ＶＣ于点Ｅ，Ｆ，求截面 △ＡＥＦ周长的最小值． Ｃ组·创新拓展 　 （２０２４·青岛高一检测）已知正三棱锥Ｐ － ＡＢＣ， 底面边长为３，高为１，四边形ＥＦＧＨ为正三棱锥 Ｐ －ＡＢＣ的一个截面，若截面为平行四边形，则四 边形ＥＦＧＨ面积的最大值为 （　 　 ） Ａ．槡２２ Ｂ．槡 ３ ２ Ｃ． ３２ Ｄ． 槡３                                                                         ４ —３５１— ５．槡１０　 将三棱柱沿ＡＡ１展开如图所示，则线段 ＡＤ１ 即为最短路线，即ＡＤ１ ＝ ＡＤ２ ＋ＤＤ槡 ２１ 槡＝ １０． ６．如图，设底面对角线ＡＣ ＝ ａ，ＢＤ ＝ ｂ，交点 为Ｏ，体对角线Ａ１Ｃ ＝ １５，Ｂ１Ｄ ＝ ９， ∴ ａ２ ＋ ５２ ＝ １５２，ｂ２ ＋ ５２ ＝ ９２， ∴ ａ２ ＝ ２００，ｂ２ ＝ ５６． ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴ ＡＢ２ ＝ ＡＣ( )２ ２ ＋ ＢＤ( )２ ２ ＝ ａ ２ ＋ ｂ２ ４ ＝ ２００ ＋ ５６ ４ ＝ ６４， ∴ ＡＢ ＝ ８． ∴直四棱柱的侧面积Ｓ侧＝ ４ × ８ × ５ ＝ １６０． Ｓ表＝ Ｓ侧＋ Ｓ四边形ＡＢＣＤ ＋ Ｓ四边形Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ ＝ １６０ ＋２ × １ ２ ＢＤ·ＡＣ ＝ １６０ ＋ 槡４０ ７． Ｃ组　 创新拓展 　 ９０　 ６０　 因为某凸三十二面体，１２个面是五边形，２０个面是 六边形，则该三十二面体的棱数为１２ × ５ ＋ ２０ × ６２ ＝ ９０； 因为顶点数Ｖ、棱数Ｅ、面数Ｆ之间总满足数量关系Ｖ ＋ Ｆ － Ｅ ＝ ２，设顶点的个数为ｘ，则ｘ ＋ ３２ － ９０ ＝ ２，解得ｘ ＝ ６０． 练案［１４］ Ａ组　 基础自测 １． Ｃ　 棱台的各侧棱延长后必交于一点，故选Ｃ． ２． Ｃ　 如图所示，在三棱台ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１中，分别连接Ａ１Ｂ，Ａ１Ｃ， ＢＣ１，则将三棱台分成３个三棱锥，即三棱锥Ａ － Ａ１ＢＣ，Ｂ１ － Ａ１ＢＣ１，Ｃ － Ａ１ＢＣ１ ． ３． ＡＢＣ　 由题意可知，每个侧面均为等边三角形，因为每个侧面 的顶角为６０°，故三棱锥、四棱锥、五棱锥都有可能．若是六棱 锥，因为６ × ６０° ＝ ３６０°，所以顶点会在底面上，因此这个棱锥 一定不是六棱锥． ４． Ｂ　 设正三棱锥的高为ｈ，底面正三角形的边长为ａ，则斜高为 槡２ ３ ３ ｈ，由条件知ｈ ２ ＋ 槡３ ６( )ａ ２ ＝ 槡２ ３ ３( )ｈ ２ ，所以ｈ ＝ ａ２ ，所以Ｓ侧＝ １ ２ ｃ·ｈ′ ＝ １ ２ ×３ａ × 槡２ ３ ３ × ａ ２ ＝ 槡３ ２ ａ ２，Ｓ底＝槡３４ ａ ２，所以Ｓ侧＝２Ｓ底． ５． Ａ　 如图所示， 正四棱锥Ｐ － ＡＢＣＤ的下底边长为二丈，即ＡＢ ＝ ２０尺，高三 丈，即ＰＯ ＝ ３０尺；截去一段后，得正四棱台ＡＢＣＤ － Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′， 且上底边长为Ａ′ Ｂ′ ＝ ６尺，所以３０ － ＯＯ′３０ ＝ １ ２ × ６ １ ２ × ２０ ，解得 ＯＯ′ ＝２１，所以该正四棱台的高是２１尺，截去的正四棱锥的高 是９尺． ６． ４　 ４　 画出正方体ＡＢＣＤ － ＥＦＧＨ，如图所示，根据正方体的几 何性质可知，在四棱锥Ｈ － ＡＢＣＤ中，△ＨＡＤ，△ＨＡＢ，△ＨＢＣ， △ＨＣＤ都是直角三角形，共４个．在四面体Ｈ － ＡＢＤ中， △ＨＡＤ，△ＨＡＢ，△ＨＢＤ，△ＡＢＤ都是直角三角形，共４个． ７．槡６３　 棱台上、下两个底面是相似多边形，面积之比是相似 比的平方，故上、下底面对应边之比为槡６３． ８．①④　 ①正确．②不正确，四棱锥的底面是正方形，它的侧棱 可以相等，也可以不等．③不正确，五棱锥除了五条侧棱外，还 有五条底边，故共１０条棱．④正确． ９．（１）如图，折起后的几何体是三棱锥． （２）由题意知这个几何体共有４个面，其中△ＤＥＦ为等腰三 角形，△ＰＥＦ为等腰直角三角形，△ＤＰＥ和△ＤＰＦ均为直角 三角形．所以Ｓ△ＰＥＦ ＝ １２ ａ ２，Ｓ△ＤＰＦ ＝ Ｓ△ＤＰＥ ＝ １２ × ２ａ × ａ ＝ ａ ２， Ｓ△ＤＥＦ ＝ Ｓ正方形ＡＢＣＤ － Ｓ△ＰＥＦ － Ｓ△ＤＰＦ － Ｓ△ＤＰＥ ＝（２ａ）２ － １２ ａ ２ － ａ２ － ａ２ ＝ ３２ ａ ２ ． １０．如图所示，设Ｏ１，Ｏ分别是正三棱台上、下底面的中心，连接 Ｏ１Ｏ，则Ｏ１Ｏ ＝ ３２ ｃｍ． 连接Ａ１Ｏ１并延长交Ｂ１Ｃ１ 于点Ｄ１，连接ＡＯ并延长交ＢＣ于 点Ｄ，连接ＤＤ１，过Ｄ１作Ｄ１Ｅ⊥ＡＤ于点Ｅ． 在Ｒｔ△Ｄ１ＥＤ中，Ｄ１Ｅ ＝ Ｏ１Ｏ ＝ ３２ ｃｍ，ＤＥ ＝ ＤＯ － ＯＥ ＝ ＤＯ － Ｄ１Ｏ１ ＝ １ ３ × 槡３ ２ × （６ － ３） ＝ 槡 ３ ２ （ｃｍ），所以ＤＤ１ ＝ Ｄ１Ｅ ２ ＋ ＤＥ槡 ２ ＝ ( )３２ ２ ＋ 槡３( )２槡 ２ 槡＝ ３（ｃｍ），所以Ｓ                                                                       正三棱台侧 —２３１— ＝ ３ × １２ ×（６ ＋ ３） 槡× ３ ＝ 槡 ２７ ３ ２ （ｃｍ ２）， Ｓ正三棱台表＝ Ｓ正三棱台侧＋ Ｓ△ＡＢＣ ＋ Ｓ△Ａ１Ｂ１Ｃ１ ＝ 槡２７ ３ ２ ＋ 槡３ ４ × ６ ２ ＋槡３４ × ３２ ＝ 槡９９ ３４ （ｃｍ ２）． 故这个正三棱台的侧面积为槡２７ ３２ ｃｍ ２，表面积为槡９９ ３４ ｃｍ ２ ． Ｂ组　 素养提升 １． ＡＢＣ　 根据棱台的结构特征，Ａ项中的平面不一定平行于底 面，故Ａ错；Ｂ项，Ｃ项可用如图所示的反例检验，故Ｂ，Ｃ不正 确；当两个互相平行的正方形全等时，不是棱台，Ｄ正确．故 选ＡＢＣ． ２． Ｂ　 考虑极端情况，当顶点在底面上时，槡２ａ ＝ ２ｌ，则ｌａ ＝槡 ２ ２ ， 此时ｌａ的值最小，所以 ｌ ａ ＞ 槡２ ２ ． ３． ＡＣＤ　 由题意可知四面体ＡＢＣＤ为长方体的面对角线组成的 三棱锥，如图所示， 由四面体的对棱相等可知四面体的各个面全等，它们的面积 相等，则Ａ正确；当四面体棱长都相等时，四面体的每组对棱 互相垂直，则Ｂ错误；由长方体的性质可知四面体的对棱中点 连线必经过长方体的中心，由对称性知连接四面体ＡＢＣＤ每 组对棱中点的线段相互垂直平分，则Ｃ正确；由ＡＣ ＝ ＢＤ，ＡＢ ＝ ＣＤ，ＡＤ ＝ ＢＣ，可得从四面体任意顶点出发的三条棱的长都 等于△ＡＢＤ的三边长，则Ｄ正确． ４． ４　 根据题意，正四棱台是由原正四棱锥过侧棱的中点且与底 面平行的平面截得的，如图所示： 对原正四棱锥，ＢＤ 槡＝ ２ＢＣ ＝ １２， 故其高ＰＯ ＝ ＰＢ２ － １２( )ＢＤ槡 ２ 槡＝ １００ － ３６ ＝ ８， 又△ＰＯ１Ｂ１∽△ＰＯＢ，其相似比为１２ ， 故正四棱台的高ｈ ＝ １２ ＰＯ ＝ ４． ５．槡３２２　 如图所示，设正三棱锥Ｐ － ＡＢＥ的各棱长为ａ，则 正四棱锥Ｐ － ＡＢＣＤ的各棱长也为ａ，于是 ｈ１ ＝ ａ ２ － 槡２ ２( )ａ槡 ２ ＝槡２２ ａ，ｈ２ ＝ ａ ２ － 槡３ ２ ａ ×( )２３槡 ２ ＝槡６３ ａ ＝ ｈ，故ｈ１ｈ２ｈ 槡＝ ３２２． ６．将三棱锥Ｖ － ＡＢＣ沿侧棱ＶＡ剪开，将其侧面展开图平铺在一 个平面上，如图所示， 则△ＡＥＦ的周长＝ ＡＥ ＋ ＥＦ ＋ ＦＡ１ ． 因为ＡＥ ＋ ＥＦ ＋ ＦＡ１≥ＡＡ１， 所以线段ＡＡ１（即Ａ，Ｅ，Ｆ，Ａ１ 四点共线时）的长即所求△ＡＥＦ 周长的最小值． 作ＶＤ⊥ＡＡ１，垂足为点Ｄ． 由ＶＡ ＝ ＶＡ１，知Ｄ为ＡＡ１的中点． 由已知∠ＡＶＢ ＝∠ＢＶＣ ＝∠ＣＶＡ１ ＝ ４０°， 得∠ＡＶＤ ＝ ６０°． 在Ｒｔ△ＡＶＤ中， ＡＤ ＝ ＶＡ· 槡ｓｉｎ ６０° ＝ ２ ３ ×槡３２ ＝ ３， 即ＡＡ１ ＝ ２ＡＤ ＝ ６． 所以截面△ＡＥＦ周长的最小值是６． Ｃ组　 创新拓展 　 Ｃ　 设侧棱长为ａ，由底面边长为３，高为１，得 ａ２ －（槡３）槡 ２ ＝ １，可求得ａ ＝ ２， 如图，设ＡＥＡＰ ＝ λ，则 ＦＧ ＰＣ ＝ ＢＦ ＢＰ ＝ ＡＥ ＡＰ ＝ ＥＨ ＰＣ ＝ λ，且 ＥＦ ＡＢ ＝ ＧＨ ＡＢ ＝ １ － λ， 于是ＥＨ ＝２λ，ＥＦ ＝３（１ －λ）， 所以Ｓ四边形ＥＦＧＨ ＝ ＥＨ·ＥＦ ＝ ２λ·３（１ － λ）＝ ６λ（１ － λ）≤６· λ ＋ １ － λ( )２ ２ ＝ ３２ ， 当且仅当λ ＝ １ － λ即λ ＝ １２时取等号． 故四边形ＥＦＧＨ面积的最大值为３２                                                                       ． —２３２—