练案13 11.1.3 多面体与棱柱-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第四册同步学习指导(人教B版2019)

由Ａａ，ａα，不能得出Ａα，故Ｃ不正确；由Ａα，ａα，知 Ａａ，故Ｄ正确．故选ＡＢＣ． ２． ＡＢ　 显然Ａ、Ｂ选项正确；对于选项Ｃ，两点所在直线与平面 平行时可以；对于选项Ｄ，经过这条直线的平面与已知平面可 能相交． ３． Ｃ　 Ａ和Ｄ中，ａ与α可相交；Ｂ中ａ与α内的直线可异面；故 Ａ，Ｂ，Ｄ不正确，Ｃ正确． ４．（１）Ａ∈ａ　 Ｂ∈ａ　 （２）ａα　 （３）Ｄ∈ｂ　 Ｃ∈α　 根据点、线、 面位置关系及其表示方法可知：（１）Ａ∈ａ，Ｂ∈ａ，（２）ａα， （３）Ｄ∈ｂ，Ｃ∈α． ５． ０，１或无数　 当直线ＡＢ与ｌ相交时，有０个；当直线ＡＢ与ｌ 异面时，有１个；当直线ＡＢ∥ｌ时，有无数个． ６． Ｂ１Ｃ所在直线与正方体各面所在平面的位置关系是： Ｂ１Ｃ在平面ＢＢ１Ｃ１Ｃ内，Ｂ１Ｃ∥平面ＡＡ１Ｄ１Ｄ，Ｂ１Ｃ与平面 ＡＢＢ１Ａ１、平面ＣＤＤ１Ｃ１、平面ＡＢＣＤ、平面Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１都相交． Ｄ１Ｂ所在直线与正方体各面所在平面都相交． Ｃ组　 创新拓展 　 Ｂ　 ①正方体的每一条棱，都与两个侧面垂直，可得２个“正交线 面对”．正方体共１２条棱，可得“正交线面对”为２ ×１２ ＝２４（个）． ②正方体的每一条面对角线，都与一个对角面垂直，可得１个 “正交线面对”．正方体共１２条面对角线，可得“正交线面对” 为１ × １２ ＝ １２（个）． ③不存在包含正方体的四个顶点的平面与正方体的体对角线 垂直． 综上所述：共有２４ ＋ １２ ＝ ３６（个）． 练案［１３］ Ａ组　 基础自测 １． Ｄ　 多面体最少有４个顶点，４个面． ２． Ｄ　 正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，是特殊的长方体． ３． Ｃ　 斜棱柱的侧棱与底面不垂直，正棱柱是底面为正多边形的 直棱柱，侧棱即为正棱柱的高，故Ａ、Ｂ、Ｄ都错． ４． Ｂ　 设底面边长为ａ ｃｍ，由题意得ａ２ ＋ ａ２ ＋ ２５ ＝ ４３， 解得ａ ＝ ３，所以侧面积为４ａ × ５ ＝ ６０（ｃｍ２）． ５． Ｄ　 将直三棱柱ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１的侧面展开， 如图所示， 当Ａ，Ｄ，Ｅ，Ａ１ 四点共线时，ＡＤ ＋ ＤＥ ＋ ＥＡ１ 取得最小值，则最小值为 （ＡＢ ＋ ＢＣ ＋ ＡＣ）２ ＋ ＡＡ槡 ２１ ＝ ６２ ＋ ３槡 ２ 槡＝ ３ ５． ６．四棱柱（或棱柱）　 由题得，剩余的部分是四棱柱ＡＢＥＡ１ － ＤＣＦＤ１ ． ７．槡１３　 由题意，若以ＢＣ为轴展开，则Ａ，Ｍ两点连成的线段所 在的直角三角形的两直角边的长度分别为２ ｃｍ，３ ｃｍ，故两点 之间的距离是槡１３ ｃｍ．若以ＢＢ１为轴展开，则Ａ，Ｍ两点连成 的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为１ ｃｍ， ４ ｃｍ，故两点之间的距离是槡１７ ｃｍ．故沿正方体表面从点Ａ 到点Ｍ的最短路程是槡１３ ｃｍ． ８． ９２ 　 如图，截面与平面ＡＢＢ１Ａ１ 的交线ＭＮ是三角形ＡＡ１Ｂ的 中位线，所以截面是梯形ＣＤ１ＭＮ， 又ＭＮ 槡＝ ２，ＣＤ１ 槡＝ ２ ２，ＣＮ 槡＝ ５，ＭＤ１ 槡＝ ５， 故梯形的高为５ －槡１２ ＝ 槡３ ２２ ， 则截面的面积为１２ ×（槡 槡２ ＋ ２ ２）× 槡 ３ ２ ２ ＝ ９ ２ ． ９．连接ＡＣ，ＢＤ，因为底面为菱形，则ＡＣ⊥ＢＤ． 由直棱柱知，ＣＣ１⊥ＡＣ，ＤＤ１⊥ＢＤ， 所以ＡＣ２ ＝ ＡＣ２１ － ＣＣ２１ ＝ ２０２ － １２２ ＝ １６２，即ＡＣ ＝ １６，ＢＤ２ ＝ ＢＤ２１ － ＤＤ２１ ＝１５ ２ －１２２ ＝８１，即ＢＤ ＝９． 所以菱形的面积为Ｓ ＝ １２ ＡＣ·ＢＤ ＝ １ ２ × １６ × ９ ＝ ７２（ｃｍ ２）． １０．如图①得ＢＤ′ ＝ ５２槡 槡＋ １ ＝ ２６，由图②得ＢＤ′ 槡 槡＝ １８ ＝ ３ ２， 由图③得ＢＤ′ 槡 槡＝ ２０ ＝ ２ ５， 所以（ＢＤ′）ｍｉｎ 槡＝ ３ ２ ｃｍ． Ｂ组　 素养提升 １． ＣＤ　 可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现Ａ、Ｂ可折成 正四面体，Ｃ、Ｄ不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成 正四面体． ２． Ａ　 先补齐中间一层，只能用模块⑤或①，且如果补①则后续 两块无法补齐，所以只能先用⑤补齐中间一层，然后用①② 补齐． ３． ＢＤ　 若８ ｃｍ为正四棱柱底面正方形的周长，则底面正方形边 长为２ ｃｍ，正四棱柱高为４ ｃｍ，则此正四棱柱体对角线长为 ２２ ＋ ２２ ＋ ４槡 ２ 槡＝ ２ ６ ｃｍ；若４ ｃｍ为正四棱柱底面正方形的周 长，则底面正方形边长为１ ｃｍ，正四棱柱高为８ ｃｍ，则此正四 棱柱体对角线长为１２ ＋ １２ ＋ ８槡 ２ 槡＝ ６６ ｃｍ． ４．槡６　 设长方体长、宽、高为ｘ，ｙ，ｚ， 则ｙｚ 槡＝ ２，ｘｚ 槡＝ ３，ｙｘ 槡＝ ６， 三式相乘得ｘ２ｙ２ ｚ２ ＝ ６，即ｘｙｚ 槡＝ ６， 解得ｘ 槡＝ ３，ｙ 槡＝ ２，ｚ ＝ １， 所以ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ ｚ槡 ２ 槡 槡＝ ３ ＋ ２ ＋ １ ＝ ６                                                                       ． —２３０— ５．槡１０　 将三棱柱沿ＡＡ１展开如图所示，则线段 ＡＤ１ 即为最短路线，即ＡＤ１ ＝ ＡＤ２ ＋ＤＤ槡 ２１ 槡＝ １０． ６．如图，设底面对角线ＡＣ ＝ ａ，ＢＤ ＝ ｂ，交点 为Ｏ，体对角线Ａ１Ｃ ＝ １５，Ｂ１Ｄ ＝ ９， ∴ ａ２ ＋ ５２ ＝ １５２，ｂ２ ＋ ５２ ＝ ９２， ∴ ａ２ ＝ ２００，ｂ２ ＝ ５６． ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴ ＡＢ２ ＝ ＡＣ( )２ ２ ＋ ＢＤ( )２ ２ ＝ ａ ２ ＋ ｂ２ ４ ＝ ２００ ＋ ５６ ４ ＝ ６４， ∴ ＡＢ ＝ ８． ∴直四棱柱的侧面积Ｓ侧＝ ４ × ８ × ５ ＝ １６０． Ｓ表＝ Ｓ侧＋ Ｓ四边形ＡＢＣＤ ＋ Ｓ四边形Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ ＝ １６０ ＋２ × １ ２ ＢＤ·ＡＣ ＝ １６０ ＋ 槡４０ ７． Ｃ组　 创新拓展 　 ９０　 ６０　 因为某凸三十二面体，１２个面是五边形，２０个面是 六边形，则该三十二面体的棱数为１２ × ５ ＋ ２０ × ６２ ＝ ９０； 因为顶点数Ｖ、棱数Ｅ、面数Ｆ之间总满足数量关系Ｖ ＋ Ｆ － Ｅ ＝ ２，设顶点的个数为ｘ，则ｘ ＋ ３２ － ９０ ＝ ２，解得ｘ ＝ ６０． 练案［１４］ Ａ组　 基础自测 １． Ｃ　 棱台的各侧棱延长后必交于一点，故选Ｃ． ２． Ｃ　 如图所示，在三棱台ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１中，分别连接Ａ１Ｂ，Ａ１Ｃ， ＢＣ１，则将三棱台分成３个三棱锥，即三棱锥Ａ － Ａ１ＢＣ，Ｂ１ － Ａ１ＢＣ１，Ｃ － Ａ１ＢＣ１ ． ３． ＡＢＣ　 由题意可知，每个侧面均为等边三角形，因为每个侧面 的顶角为６０°，故三棱锥、四棱锥、五棱锥都有可能．若是六棱 锥，因为６ × ６０° ＝ ３６０°，所以顶点会在底面上，因此这个棱锥 一定不是六棱锥． ４． Ｂ　 设正三棱锥的高为ｈ，底面正三角形的边长为ａ，则斜高为 槡２ ３ ３ ｈ，由条件知ｈ ２ ＋ 槡３ ６( )ａ ２ ＝ 槡２ ３ ３( )ｈ ２ ，所以ｈ ＝ ａ２ ，所以Ｓ侧＝ １ ２ ｃ·ｈ′ ＝ １ ２ ×３ａ × 槡２ ３ ３ × ａ ２ ＝ 槡３ ２ ａ ２，Ｓ底＝槡３４ ａ ２，所以Ｓ侧＝２Ｓ底． ５． Ａ　 如图所示， 正四棱锥Ｐ － ＡＢＣＤ的下底边长为二丈，即ＡＢ ＝ ２０尺，高三 丈，即ＰＯ ＝ ３０尺；截去一段后，得正四棱台ＡＢＣＤ － Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′， 且上底边长为Ａ′ Ｂ′ ＝ ６尺，所以３０ － ＯＯ′３０ ＝ １ ２ × ６ １ ２ × ２０ ，解得 ＯＯ′ ＝２１，所以该正四棱台的高是２１尺，截去的正四棱锥的高 是９尺． ６． ４　 ４　 画出正方体ＡＢＣＤ － ＥＦＧＨ，如图所示，根据正方体的几 何性质可知，在四棱锥Ｈ － ＡＢＣＤ中，△ＨＡＤ，△ＨＡＢ，△ＨＢＣ， △ＨＣＤ都是直角三角形，共４个．在四面体Ｈ － ＡＢＤ中， △ＨＡＤ，△ＨＡＢ，△ＨＢＤ，△ＡＢＤ都是直角三角形，共４个． ７．槡６３　 棱台上、下两个底面是相似多边形，面积之比是相似 比的平方，故上、下底面对应边之比为槡６３． ８．①④　 ①正确．②不正确，四棱锥的底面是正方形，它的侧棱 可以相等，也可以不等．③不正确，五棱锥除了五条侧棱外，还 有五条底边，故共１０条棱．④正确． ９．（１）如图，折起后的几何体是三棱锥． （２）由题意知这个几何体共有４个面，其中△ＤＥＦ为等腰三 角形，△ＰＥＦ为等腰直角三角形，△ＤＰＥ和△ＤＰＦ均为直角 三角形．所以Ｓ△ＰＥＦ ＝ １２ ａ ２，Ｓ△ＤＰＦ ＝ Ｓ△ＤＰＥ ＝ １２ × ２ａ × ａ ＝ ａ ２， Ｓ△ＤＥＦ ＝ Ｓ正方形ＡＢＣＤ － Ｓ△ＰＥＦ － Ｓ△ＤＰＦ － Ｓ△ＤＰＥ ＝（２ａ）２ － １２ ａ ２ － ａ２ － ａ２ ＝ ３２ ａ ２ ． １０．如图所示，设Ｏ１，Ｏ分别是正三棱台上、下底面的中心，连接 Ｏ１Ｏ，则Ｏ１Ｏ ＝ ３２ ｃｍ． 连接Ａ１Ｏ１并延长交Ｂ１Ｃ１ 于点Ｄ１，连接ＡＯ并延长交ＢＣ于 点Ｄ，连接ＤＤ１，过Ｄ１作Ｄ１Ｅ⊥ＡＤ于点Ｅ． 在Ｒｔ△Ｄ１ＥＤ中，Ｄ１Ｅ ＝ Ｏ１Ｏ ＝ ３２ ｃｍ，ＤＥ ＝ ＤＯ － ＯＥ ＝ ＤＯ － Ｄ１Ｏ１ ＝ １ ３ × 槡３ ２ × （６ － ３） ＝ 槡 ３ ２ （ｃｍ），所以ＤＤ１ ＝ Ｄ１Ｅ ２ ＋ ＤＥ槡 ２ ＝ ( )３２ ２ ＋ 槡３( )２槡 ２ 槡＝ ３（ｃｍ），所以Ｓ                                                                       正三棱台侧 —２３１— 练案［１３］ 第十一章　 立体几何初步 １１． １　 ［１１． １． ３　 多面体与棱柱］ Ａ组·基础自测 一、选择题 １．下列关于多面体的说法正确的是 （　 ） Ａ．有多个面的几何体称多面体 Ｂ．多面体最少有３个面 Ｃ．多面体最少有３个顶点 Ｄ．多面体是由若干个平面多边形所围成的几 何体 ２．设集合Ｍ ＝｛正四棱柱｝，Ｎ ＝｛长方体｝，Ｐ ＝ ｛直四棱柱｝，Ｑ ＝｛正方体｝．这些集合之间的 关系是 （　 ） Ａ． ＱＭＮＰ Ｂ． ＱＮＭＰ Ｃ． ＰＭＮＱ Ｄ． ＰＮＭＱ ３．下列说法正确的是 （　 ） Ａ．斜棱柱的侧棱垂直于底面 Ｂ．正棱柱的高可以与侧棱不相等 Ｃ．六个面都是矩形的六面体是长方体 Ｄ．底面是正多边形的棱柱为正棱柱 ４．已知正四棱柱的侧棱长为５ ｃｍ，它的体对角线 长为槡４３ ｃｍ，则这个正四棱柱的侧面积为 （　 　 ） 槡Ａ． １５ ２ ｃｍ２ Ｂ． ６０ ｃｍ２ Ｃ． ７８ ｃｍ２ 槡Ｄ． ６０ ２ ｃｍ２ ５．如图，在直三棱柱ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１ 中，ＡＢ ＝ ＢＣ ＝ ＡＣ ＝ ２，ＡＡ１ ＝ ３，Ｄ，Ｅ 分别是棱ＢＢ１，ＣＣ１ 上的动点，则 ＡＤ ＋ＤＥ ＋ＥＡ１的最小值是（　 　 ） 槡 槡Ａ． １３　 　 Ｂ． ５　 　 Ｃ． ７　 　 Ｄ． ３ ５ 二、填空题 ６．如图，正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 被平面ＢＣＦＥ 截去三棱柱ＢＢ１Ｅ － ＣＣ１Ｆ，则剩余的几何体的 名称为　 　 　 　 ． ７．如图，Ｍ是棱长为２ ｃｍ的正方体 ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的棱ＣＣ１的中 点，沿正方体表面从点Ａ到点Ｍ 的最短路程是　 　 　 　 ｃｍ． ８．棱长为２的正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｍ是棱 ＡＡ１的中点，过Ｃ，Ｍ，Ｄ１作正方体的截面，则截面 的面积是　 　 　 　 ． 三、解答题 ９．如图，在底面是菱形的直棱柱ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中，棱柱的高为１２ ｃｍ，体对角线ＡＣ１ ＝ ２０ ｃｍ， ＢＤ１ ＝ １５ ｃｍ，求底面菱形的面积．                                                                 —０５１— １０．如图所示，在长方体Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′ － ＡＢＣＤ中， ＡＢ ＝ ３ ｃｍ，ＢＣ ＝ ２ ｃｍ，ＢＢ′ ＝ １ ｃｍ，把长方体 侧面展开，求ＢＤ′的最短距离． Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．（多选题）如图所示，不是正四面体（各棱长都 相等的四面体）的展开图的是 （　 　 ） ２．如图，模块① －⑤均由４个棱长为１的小正方 体构成，模块⑥由１５个棱长为１的小正方体 构成．现从模块① －⑤中选出三个放到模块⑥ 上，使得模块⑥成为一个棱长为３的大正方 体，则下列选择方案中，能够完成任务的为 （　 ） Ａ．模块①②⑤ Ｂ．模块①③⑤ Ｃ．模块②④⑤ Ｄ．模块③④⑤ ３．（多选题）用一张长、宽分别为８ ｃｍ和４ ｃｍ的 矩形硬纸折成正四棱柱的侧面，则此正四棱柱 的体对角线长可以为 （　 　 ） 槡 槡Ａ． ６ ｃｍ Ｂ． ２ ６ ｃｍ 槡Ｃ． ３２ ｃｍ Ｄ． ６６ ｃｍ 二、填空题 ４．一个长方体共顶点的三个面的面积分别是槡２，槡３， 槡６，则这个长方体的体对角线长是　 　 　 　 ． ５．如图所示，在所有棱长均为１ 的三棱柱上，有一只蚂蚁从点 Ａ出发，围着三棱柱的侧面爬 行一周到达点Ａ１，则爬行的最 短路程为　 　 　 　 ． 三、解答题 ６．现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角 线长为９和１５，高是５，求该直四棱柱的侧面 积、表面积． Ｃ组·创新拓展 　 莱昂哈德·欧拉，瑞士数学家和物理学家，近 代数学先驱之一，他的研究论著几乎涉及所有 数学分支，有许多公式、定理、解法、函数、方 程、常数等是以欧拉名字命名的．欧拉发现，不 论什么形状的凸多面体，其顶点数Ｖ、棱数Ｅ、 面数Ｆ之间总满足数量关系Ｖ ＋ Ｆ － Ｅ ＝ ２，此 式称为欧拉公式．已知某凸三十二面体，１２个 面是五边形，２０个面是六边形，则该三十二面 体的棱数为　 　 　 　 　 ，顶点的个数 为　 　 　 　                                                                         ． —１５１—