练案12 11.1.2 构成空间几何体的本元素-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第四册同步学习指导(人教B版2019)

练案［１２］ 第十一章　 立体几何初步 １１． １　 ［１１． １． ２　 构成空间几何体的基本元素］ Ａ组·基础自测 一、选择题 １．在空间中，下列说法正确的是 （　 ） Ａ．一个点运动形成直线 Ｂ．直线平行移动形成平面或曲面 Ｃ．曲线的平移一定形成曲面 Ｄ．矩形上各点沿同一方向移动形成长方体 ２．在长方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，棱ＣＤ所在直线 与平面ＡＢＣＤ的位置关系表示正确的是（　 ） Ａ．直线ＣＤ∈平面ＡＢＣＤ Ｂ．直线ＣＤ∥平面ＡＢＣＤ Ｃ．直线ＣＤ平面ＡＢＣＤ Ｄ．直线ＣＤ∩平面ＡＢＣＤ ＝ Ｄ ３．正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中，棱长为２ ｃｍ，则 点Ａ与点Ｃ１的距离为 （　 ） 槡 槡 槡Ａ． ２ ２ ｃｍ　 Ｂ． ２ ５ ｃｍ　 Ｃ． ２ ｃｍ　 Ｄ． ２ ３ ｃｍ ４．（多选题）如图，在正四棱柱（侧面为矩形，底 面为正方形的棱柱）ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｅ，Ｆ 分别是ＡＢ１，ＢＣ１ 的中点，则以下结论中成立 的是 （　 　 ） Ａ． ＥＦ与ＢＢ１垂直 Ｂ． ＥＦ与ＢＤ垂直 Ｃ． ＥＦ与ＣＤ异面 Ｄ． ＥＦ与Ａ１Ｃ１异面 ５．平面α与平面β平行，且ａα，下列四种说 法中 ①ａ与β内的所有直线都平行； ②ａ与β内无数条直线平行； ③ａ与β内的任意一条直线都不垂直； ④ａ与β无公共点． 其中正确的个数是 （　 　 ） Ａ． １　 　 　 Ｂ． ２　 　 Ｃ． ３　 　 　 Ｄ． ４ 二、填空题 ６．在如图所示的长方体ＡＢＣＤ － Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′中，互相平行的平面 共有　 　 　 　 对，与Ａ′Ａ垂 直的平面是　 　 　 　 　 ． ７．如图所示，在长方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中，和 棱Ａ１Ｂ１不相交的棱有　 　 　 　 条． ８．长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成 的异面直线有　 　 　 　 对． 三、解答题 ９．如图所示，在长方体ＡＢＣＤ － Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′中，如果把它的１２条 棱延伸为直线，６个面延伸为 平面，那么在这１２条直线与６ 个平面中，回答下列问题： （１）与直线Ｂ′Ｃ′平行的平面有哪几个？ （２）与直线Ｂ′Ｃ′垂直的平面有哪几个？ （３）与平面ＢＣ′平行的平面有哪几个？ （４）与平面ＢＣ′垂直的直线有哪几条                                                                 ？ —８４１— １０．如图所示，在长方体Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′ － ＡＢＣＤ 中，ＡＢ ＝ ３ ｃｍ， ＢＣ ＝ ２ ｃｍ，ＢＢ′ ＝ １ ｃｍ， 求：（１）点Ａ′到平面Ｂ′ＢＣＣ′ 的距离； （２）直线Ａ′Ｄ′与平面ＡＢＣＤ的距离； （３）平面ＡＢＢ′Ａ′与平面ＣＤＤ′Ｃ′的距离． Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．（多选题）下面说法中（其中Ａ，Ｂ表示点，ａ表 示直线，α表示平面），不正确的有 （　 ） Ａ．因为Ａα，Ｂα，所以ＡＢα Ｂ．因为Ａ∈α，Ｂ∈α，所以ＡＢ∈α Ｃ．因为Ａａ，ａα，所以Ａα Ｄ．因为Ａα，ａα，所以Ａａ ２．（多选题）关于直线与平面，下列说法中正确 的是 （　 　 ） Ａ．若一个平面内的任何直线都与另一个平面 无公共点，则这两个平面平行 Ｂ．过平面外一点有且仅有一个平面和已知平 面平行 Ｃ．过平面外两点不能作平面与已知平面平行 Ｄ．若一条直线和一个平面平行，经过这条直 线的任何平面都与已知平面平行 ３．下列命题中，正确的为 （　 ） Ａ．若直线ａ上有无数个点不在平面α内， 则ａ∥α Ｂ．若ａ∥α，则直线ａ与平面α内任意一条直线 都平行 Ｃ．若ａα，则ａ与α有无数个公共点 Ｄ．若ａα，则ａ与α没有公共点 二、填空题 ４．如图所示，用符号语言表示以下各概念： （１）点Ａ，Ｂ在直线ａ上　 　 　 　 　 ，　 　 　 　 ； （２）直线ａ在平面α内　 　 　 　 　 ； （３）点Ｄ在直线ｂ上，点Ｃ在平面α内　 　 　 　 ， 　 　 　 　 ． ５． Ａ，Ｂ是直线ｌ外两点，过Ａ，Ｂ且与ｌ平行的平 面有　 　 　 　 　 ． 三、解答题 ６．如图所示，在正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中，指 出Ｂ１Ｃ，Ｄ１Ｂ所在直线与正方体各面所在平面 的位置关系． Ｃ组·创新拓展 　 若一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平 面构成一个“正交线面对”．那么在一个正方 体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点 的平面构成的“正交线面对”的个数是（　 　 ）                                                                         Ａ． ４８　 Ｂ． ３６　 Ｃ． ２４　 Ｄ． １８ —９４１— 则菱形的面积为Ｓ菱形ＡＢＣＤ ＝ ２Ｓ△ＡＢＤ ＝ ２ × １２ × １ × １ × ｓｉｎ π ３ ＝ 槡３ ２ ．所以这个菱形的直观图的面积为Ｓ ＝ Ｓ菱形ＡＢＣＤ 槡２ ２ ＝ 槡３ ２ 槡２ ２ ＝槡６８ ． 故选Ｄ． ３． ＢＤ　 在直观图△Ａ′Ｂ′Ｃ′中，过Ｃ′作Ｃ′Ｄ′⊥ Ａ′Ｂ′于Ｄ′， 因为Ａ′Ｂ′ ＝ ２，Ａ′Ｃ′ ＝ Ｂ′Ｃ′ 槡＝ ５，所以 Ａ′Ｄ′ ＝ １，Ｃ′Ｄ′ ＝ Ａ′Ｃ ′２ － Ａ′Ｄ ′槡 ２ ＝ ２， 又∠Ｃ′Ｏ′Ｄ′ ＝ ４５°，所以Ｏ′Ｄ′ ＝ ２，Ｏ′Ａ′ ＝ １，Ｏ′Ｃ′ 槡＝ ２ ２， 所以利用斜二测画法将直观图△Ａ′Ｂ′Ｃ′还原 为原平面图形△ＡＢＣ，如图， ＯＣ 槡＝ ４ ２，ＯＡ ＝ １，ＡＢ ＝ ２，故选项Ｂ正确； 又ＡＣ ＝ ＯＡ２ ＋ ＯＣ槡 ２ 槡＝ ３３，ＢＣ ＝ ＯＢ２ ＋ ＯＣ槡 ２ 槡＝ ４１，故选项Ａ、Ｃ错误； Ｓ△ ＡＢＣ ＝ １ ２ × ＡＢ × ＯＣ ＝ １ ２ 槡 槡× ２ × ４ ２ ＝ ４ ２， 故选项Ｄ正确． ４． ＡＣ　 画出原图形如图所示，△ＡＢＣ为直角三角形，显然，ＡＣ边 最长． ５． 槡４ ２　 由直观图与原图形中与ｘ轴平行或重合的线段长度不 变，且Ｓ原 槡＝ ２ ２Ｓ直观，设ＯＢ上的高为ｈ，则１２ ＯＢ·ｈ 槡＝ ２ ２ × １ ２ × ２Ｏ′Ｂ′．因为ＯＢ ＝ Ｏ′Ｂ′，所以ｈ 槡＝ ４ ２． ６．如图，建立直角坐标系ｘＯｙ，在ｘ轴上取 ＯＡ ＝ Ｏ′Ａ′ ＝ １ ｃｍ；在ｙ轴上取ＯＢ ＝ ２Ｏ′Ｂ′ 槡＝ ２ ２ ｃｍ；在过点Ｂ的ｘ轴的平行线上取 ＢＣ ＝Ｂ′Ｃ′ ＝１ ｃｍ． 顺次连接Ｏ，Ａ，Ｂ，Ｃ各点，即得到了原图形． 由作法可知，四边形ＯＡＢＣ为平行四边 形，ＯＣ ＝ ＯＢ２ ＋ ＢＣ槡 ２ 槡＝ ８ ＋ １ ＝ ３（ｃｍ）， ∴平行四边形ＯＡＢＣ的周长为（３ ＋ １）× ２ ＝ ８（ｃｍ），面积为１ × 槡 槡２ ２ ＝２ ２（ｃｍ２）． Ｃ组　 创新拓展 　 （１）如图，建立平面直角坐标系ｘＯｙ，在ｘ轴上截取ＯＤ ＝Ｏ′Ｄ１ ＝ １，ＯＣ ＝Ｏ′Ｃ１ ＝２， 在过点Ｄ与ｙ轴平行的线上截取ＤＡ ＝ ２Ｄ１Ａ１ ＝ ２．在过点Ａ与 ｘ轴平行的线上截取ＡＢ ＝ Ａ１Ｂ１ ＝ ２．连接ＢＣ，擦去作图过程中 的辅助线，即得到了原四边形． （２）由图可知，原四边形ＡＢＣＤ是直角梯形，上、下底边长度分 别为２，３，直角腰的长度ＡＤ ＝ ２，所以面积Ｓ ＝ ２ ＋ ３２ × ２ ＝ ５． 易得直观图中梯形的高为槡２２ ，因此其面积Ｓ′ ＝ １ ２ ×（２ ＋ ３）× 槡２ ２ ＝ 槡５ ２ ４ ． 练案［１２］ Ａ组　 基础自测 １． Ｂ　 点运动形成的是直线或曲线，故Ａ错；Ｃ中若曲线在一个 平面上，则在该平面上移动时不能形成曲面；Ｄ中没有说明移 动的方向与距离，故不一定成长方体． ２． Ｃ　 棱ＣＤ在平面ＡＢＣＤ内，故ＣＤ平面ＡＢＣＤ． ３． Ｄ　 连接ＡＣ，则ＡＣ 槡＝ ２ ２．又ＣＣ１⊥平面ＡＢＣＤ，∴ ＡＣ２１ ＝ ＡＣ２ ＋ ＣＣ２１ ＝ １２，∴ ＡＣ１ 槡＝ ２ ３． ４． ＡＢＣ　 连接Ａ１Ｂ（图略），因为Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ１，ＢＣ１的中点， 所以ＥＦ是△Ａ１ＢＣ１的中位线， 所以ＥＦ∥Ａ１Ｃ１，故Ａ、Ｂ、Ｃ正确，Ｄ错误． ５． Ｂ　 如图，在长方体中， 平面ＡＢＣＤ∥平面Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′，Ａ′Ｄ′平面 Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′，ＡＢ平面ＡＢＣＤ，Ａ′Ｄ′与ＡＢ不 平行，且Ａ′Ｄ′与ＡＢ垂直，所以①③错． ６． ３　 平面ＡＢＣＤ，平面Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′　 平面ＡＢＣＤ 与平面Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′平行，平面ＡＢＢ′Ａ′与平面ＣＤＤ′Ｃ′平行，平面 ＡＤＤ′Ａ′与平面ＢＣＣ′Ｂ′平行，共３对．与ＡＡ′垂直的平面是平面 ＡＢＣＤ，平面Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′． ７． ７　 不相交包括与Ａ１Ｂ１平行的棱，有３条，与Ａ１Ｂ１ 异面的棱， 有４条． ８． ６　 如图所示，在长方体ＡＣ１中， 与对角线ＡＣ１ 成异面直线的是：Ａ１Ｄ１，ＢＣ，ＢＢ１，ＤＤ１，Ａ１Ｂ１， ＤＣ，所以组成６对异面直线． ９．（１）与直线Ｂ′Ｃ′平行的平面有：平面ＡＤ′，平面ＡＣ． （２）与直线Ｂ′Ｃ′垂直的平面有：平面ＡＢ′，平面ＣＤ′． （３）与平面ＢＣ′平行的平面有：平面ＡＤ′． （４）与平面ＢＣ′垂直的直线有：ＡＢ，ＣＤ，Ａ′Ｂ′，Ｃ′Ｄ′． １０．（１）点Ａ′到平面Ｂ′ＢＣＣ′的距离为Ａ′Ｂ′ ＝ ３ ｃｍ． （２）直线Ａ′Ｄ′与平面ＡＢＣＤ的距离为ＡＡ′ ＝ １ ｃｍ． （３）平面ＡＢＢ′Ａ′与平面ＣＤＤ′Ｃ′的距离为ＡＤ ＝ ２ ｃｍ． Ｂ组　 素养提升 １． ＡＢＣ　 点在平面上，用“∈”表示，不能用“”表示，故Ａ不正 确；ＡＢ在α内，用“”表示，不能用“∈”表示，故Ｂ不正确                                                                       ； —２２９— 由Ａａ，ａα，不能得出Ａα，故Ｃ不正确；由Ａα，ａα，知 Ａａ，故Ｄ正确．故选ＡＢＣ． ２． ＡＢ　 显然Ａ、Ｂ选项正确；对于选项Ｃ，两点所在直线与平面 平行时可以；对于选项Ｄ，经过这条直线的平面与已知平面可 能相交． ３． Ｃ　 Ａ和Ｄ中，ａ与α可相交；Ｂ中ａ与α内的直线可异面；故 Ａ，Ｂ，Ｄ不正确，Ｃ正确． ４．（１）Ａ∈ａ　 Ｂ∈ａ　 （２）ａα　 （３）Ｄ∈ｂ　 Ｃ∈α　 根据点、线、 面位置关系及其表示方法可知：（１）Ａ∈ａ，Ｂ∈ａ，（２）ａα， （３）Ｄ∈ｂ，Ｃ∈α． ５． ０，１或无数　 当直线ＡＢ与ｌ相交时，有０个；当直线ＡＢ与ｌ 异面时，有１个；当直线ＡＢ∥ｌ时，有无数个． ６． Ｂ１Ｃ所在直线与正方体各面所在平面的位置关系是： Ｂ１Ｃ在平面ＢＢ１Ｃ１Ｃ内，Ｂ１Ｃ∥平面ＡＡ１Ｄ１Ｄ，Ｂ１Ｃ与平面 ＡＢＢ１Ａ１、平面ＣＤＤ１Ｃ１、平面ＡＢＣＤ、平面Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１都相交． Ｄ１Ｂ所在直线与正方体各面所在平面都相交． Ｃ组　 创新拓展 　 Ｂ　 ①正方体的每一条棱，都与两个侧面垂直，可得２个“正交线 面对”．正方体共１２条棱，可得“正交线面对”为２ ×１２ ＝２４（个）． ②正方体的每一条面对角线，都与一个对角面垂直，可得１个 “正交线面对”．正方体共１２条面对角线，可得“正交线面对” 为１ × １２ ＝ １２（个）． ③不存在包含正方体的四个顶点的平面与正方体的体对角线 垂直． 综上所述：共有２４ ＋ １２ ＝ ３６（个）． 练案［１３］ Ａ组　 基础自测 １． Ｄ　 多面体最少有４个顶点，４个面． ２． Ｄ　 正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，是特殊的长方体． ３． Ｃ　 斜棱柱的侧棱与底面不垂直，正棱柱是底面为正多边形的 直棱柱，侧棱即为正棱柱的高，故Ａ、Ｂ、Ｄ都错． ４． Ｂ　 设底面边长为ａ ｃｍ，由题意得ａ２ ＋ ａ２ ＋ ２５ ＝ ４３， 解得ａ ＝ ３，所以侧面积为４ａ × ５ ＝ ６０（ｃｍ２）． ５． Ｄ　 将直三棱柱ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１的侧面展开， 如图所示， 当Ａ，Ｄ，Ｅ，Ａ１ 四点共线时，ＡＤ ＋ ＤＥ ＋ ＥＡ１ 取得最小值，则最小值为 （ＡＢ ＋ ＢＣ ＋ ＡＣ）２ ＋ ＡＡ槡 ２１ ＝ ６２ ＋ ３槡 ２ 槡＝ ３ ５． ６．四棱柱（或棱柱）　 由题得，剩余的部分是四棱柱ＡＢＥＡ１ － ＤＣＦＤ１ ． ７．槡１３　 由题意，若以ＢＣ为轴展开，则Ａ，Ｍ两点连成的线段所 在的直角三角形的两直角边的长度分别为２ ｃｍ，３ ｃｍ，故两点 之间的距离是槡１３ ｃｍ．若以ＢＢ１为轴展开，则Ａ，Ｍ两点连成 的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为１ ｃｍ， ４ ｃｍ，故两点之间的距离是槡１７ ｃｍ．故沿正方体表面从点Ａ 到点Ｍ的最短路程是槡１３ ｃｍ． ８． ９２ 　 如图，截面与平面ＡＢＢ１Ａ１ 的交线ＭＮ是三角形ＡＡ１Ｂ的 中位线，所以截面是梯形ＣＤ１ＭＮ， 又ＭＮ 槡＝ ２，ＣＤ１ 槡＝ ２ ２，ＣＮ 槡＝ ５，ＭＤ１ 槡＝ ５， 故梯形的高为５ －槡１２ ＝ 槡３ ２２ ， 则截面的面积为１２ ×（槡 槡２ ＋ ２ ２）× 槡 ３ ２ ２ ＝ ９ ２ ． ９．连接ＡＣ，ＢＤ，因为底面为菱形，则ＡＣ⊥ＢＤ． 由直棱柱知，ＣＣ１⊥ＡＣ，ＤＤ１⊥ＢＤ， 所以ＡＣ２ ＝ ＡＣ２１ － ＣＣ２１ ＝ ２０２ － １２２ ＝ １６２，即ＡＣ ＝ １６，ＢＤ２ ＝ ＢＤ２１ － ＤＤ２１ ＝１５ ２ －１２２ ＝８１，即ＢＤ ＝９． 所以菱形的面积为Ｓ ＝ １２ ＡＣ·ＢＤ ＝ １ ２ × １６ × ９ ＝ ７２（ｃｍ ２）． １０．如图①得ＢＤ′ ＝ ５２槡 槡＋ １ ＝ ２６，由图②得ＢＤ′ 槡 槡＝ １８ ＝ ３ ２， 由图③得ＢＤ′ 槡 槡＝ ２０ ＝ ２ ５， 所以（ＢＤ′）ｍｉｎ 槡＝ ３ ２ ｃｍ． Ｂ组　 素养提升 １． ＣＤ　 可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现Ａ、Ｂ可折成 正四面体，Ｃ、Ｄ不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成 正四面体． ２． Ａ　 先补齐中间一层，只能用模块⑤或①，且如果补①则后续 两块无法补齐，所以只能先用⑤补齐中间一层，然后用①② 补齐． ３． ＢＤ　 若８ ｃｍ为正四棱柱底面正方形的周长，则底面正方形边 长为２ ｃｍ，正四棱柱高为４ ｃｍ，则此正四棱柱体对角线长为 ２２ ＋ ２２ ＋ ４槡 ２ 槡＝ ２ ６ ｃｍ；若４ ｃｍ为正四棱柱底面正方形的周 长，则底面正方形边长为１ ｃｍ，正四棱柱高为８ ｃｍ，则此正四 棱柱体对角线长为１２ ＋ １２ ＋ ８槡 ２ 槡＝ ６６ ｃｍ． ４．槡６　 设长方体长、宽、高为ｘ，ｙ，ｚ， 则ｙｚ 槡＝ ２，ｘｚ 槡＝ ３，ｙｘ 槡＝ ６， 三式相乘得ｘ２ｙ２ ｚ２ ＝ ６，即ｘｙｚ 槡＝ ６， 解得ｘ 槡＝ ３，ｙ 槡＝ ２，ｚ ＝ １， 所以ｘ２ ＋ ｙ２ ＋ ｚ槡 ２ 槡 槡＝ ３ ＋ ２ ＋ １ ＝ ６                                                                       ． —２３０—