练案9 10.3 第1课时 复数的三角形式-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第四册同步学习指导(人教B版2019)

故网+n=2+号=号 所以=2a 由-1≤2≤1，得-1≤2a≤1， 9u)-1+i)(2+i边--3+i=-1-31 i : 解得- a≤ 2)2033-3=2,= 2+i 2+i 5 即的实部的取值范是[一子】 1-a_1-a-bi (2)0=1+1+a+园 周 5-21 (1+a)2+6 -1+i 10.设：=x+yi(x,yeR).由(1)得x<0,J>0. 因为ae[-方引，b0,所以心为纯虚数 由(2)得，x2+y2+2i(x+i)=8+i, C组创新拓展 即x2+y2-2y+2i=8+i (1)因为地-4=(3-2和)i, 由复数相等的定义得， 所以(1+2i)=4+3i, 「x2+y-2y=8, ① 12x=a, ⊙ 所以》-28器2- 由①得x2+(y-1)2=9, 5 5(2+i) x<0,y>0,∴-3≤x<0,.-6≤a<0. 所以z22*1=(2-2++1=3+i B组素养提升 (2)因为：=3+i是关于x的方程x2-m+9=0的一个根， 1ACD对于A,当B-4c=0时，西=考=-2aeR,故正确； 所以(3+i)2-p(3+i)+g=0,即(8-3p+g)+(6-P)i=0, 对于B,当公-4c<0时，则5=-b-i二6+4，与= 又P,9为实数，所以[8-3即+9=0， 16-p=0, 2a 解得P=6, -b+iB+c,则无度R,西R,且≠，放错误：对于 lg=10. 2a 解方程x2-6x+10=0,得x=3±i C,由一元二次方程根与系数的关系可得，+= b ,12 所以实数P=6,g=10,方程的另一个根为x=3-i =台故正确：对于D,(新-P=公二4c,故正确故 练案[9] 选ACD. :A组基础自测 2A因为：得品=产：宁所以 1.D由复数三角形式的特征知，r≥0,0≤0<2π.故选D. 2.C 方法--2(m号+iin号） ,即：--1放选 =2wg+in）} 3B由题意=2 (1-i)(-1-2i) “辐角的主值为鳄，放迹C 5 方法二：复数对应点在第三象限， 严放选R “辐角主值是第三象限角。 :3.D因为2i在复平面内所对应的点在y轴正半轴上，所以易 4.1+2i5因为1-2i是一元二次方程x2-2x+m=0的一个 根，所以(1-2i)2-2(1-2i)+m=0,即-3-4i-2+4i+m 知121=2，g(2=受 =0,解得m=5.则方程为x2-2x+5=0,(x-12=-4,(x- 从而可知2i=2(cs号+in受）】 1)2=(2i)2,x-1=±2i,即x=1-2i或x=1+2i,所以方程的 另一个虚根为1+2. 4.C:=-im1000+ic0s100°=c0s(90°+100）+iin(90°+ 5.±i设z=a+bi(a,beR),因为z+z=4,所以a=2. 100°)，故gz=190 又因为三8，所以44F=8,所以8：4所以6=±2，即5.A(3+4)i=-4+3i=5·(-专+号剖 =22i,放=i 又34i=5(号+制) 6设1=4+bi(a,beR,且b0) )=++i++)+(b ,∴，c0s8= 3 ae)小 -=cos 0, 因为2是实数，b≠0，于是有a2+b=1,即1=1， 5(-血0+a6)=5:[(z+0）+imz+0] -225 (3+4i)i的辐角主值为号+0 六当=-1时智4(-2如)=- 6m号+im 复数z对应的点位于第三象限故选BCD 3.Dr= -文-到m号+m》 ((-1w9血0-号 六辐角的主值8=315°，故选D. 79a1+)=号g(-2)=+i1=2 因i.所以( =1=i, 所以将1+厅所表示的向量逆时针旋转0=，所得向量对 所以：=-1+i=o+im 应的复数为-2 所以复数：的辐角主值为产 81+号：6则1=分呢6=号 5.1 由题意，复数2+i和-3-i的辐角的主值分别为a,B.则tna 1 4 4 1 =2.tan B=3.an(a+B)= tan a +tan B 2+3 1-tan atan B =1 1+9 6.(1)复数a(a>0)对应的复数为a+0·i,在复平面内对应的点在 9.(1)5=5(cos0+isim0). x轴正半轴上，其辐角主值为0. (2)i=ms号+iin号 (2)复数a(a>0)对应的复数为0+a·i,在复平面内对应的点在 (3分+=w号+号 y轴正半销上，其辐角主值为号 (3)复数-a(a>0)对应的复数为-a+0·i,在复平面内对应的 -1子)-号+) 点在x轴负半轴上，其辐角主值为 (4)复数-ai(a>0)对应的复数为0-a·i,在复平面内对应的点 635-=9-)-mim告 在)轴负半轴上，其辐角主值为受 (6)-4+3i=5(-号+)-5(m0+i C组创新拓展 (其中m0=-》 由复数乘法的几何意义得 10.=1+i, (w晋+im）=(m号+in）】 六0=-3+6=1+i-31+i）+6-g-1-i. 又=-1-=2m号+im智）月 8+1 1+i+1 2+i ÷1@l=2,1-i对应的点在第四象限且m0=-1. 所以三 六如辐角的主值为牙。 ow平+i动平 “复数w的三角形式为 u=o要+in} =2[(3m-)+im(3m-)门=-+i,故复数 B组素养提升 的辐角主值为票 上A0=(-可=反om0=9血0= 练案[10] 辐角主值为要。 A组基础自测 1-i=m要+m）=m+m》放Ac的 .c(ms受+m号）x3(e君+im看) 表示是正确的，B,D的表示不正确，故选AC =(受+）+im受+】 2D=m号+n） 3(w受+m） 2 、复数：的模为宁，放A错误 (o是+n） 复数：的辐角主雀0=号 -)+m-】 放可以作为复数：的辐角的是写+2m,ke乙. =(m受+受)=…受+i受，由m受=0，得n -226练案［９］ 第十章　 复数 １０． ３　 ［第１课时　 复数的三角形式］ Ａ组·基础自测 一、选择题 １．设复数ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ ＝ ｒ（ｃｏｓ θ ＋ ｉｓｉｎ θ），其中ａ， ｂ∈Ｒ， ａ２ ＋ ｂ槡 ２ ＝ ｒ，ａｒｇ ｚ ＝ θ，下列说法正确的 是 （　 ） Ａ． ｒ ＞ ０，θ∈［０，２π） Ｂ． ｒ≥０，θ∈（０，２π） Ｃ． ｒ∈Ｒ，θ∈（－ π，π） Ｄ． ｒ≥０，θ∈［０，２π） ２．复数－ ２ ｃｏｓ π５ ＋ ｉｓｉｎ π( )５ 辐角的主值是 （　 ） Ａ． π５ 　 　 　 Ｂ． ４π ５ 　 　 　 Ｃ． ６π ５ 　 　 　 Ｄ． ９π ５ ３．将代数形式的复数ｚ ＝ ２ｉ改写成三角形式为 （　 ） Ａ． ２ ＋ ｃｏｓ π２ ＋ ｉｓｉｎ π ２ Ｂ． ２ ｃｏｓ π２ － ｉｓｉｎ π( )２ Ｃ． ２ ｓｉｎ π２ ＋ ｉｃｏｓ π( )２ Ｄ． ２ ｃｏｓ π２ ＋ ｉｓｉｎ π( )２ ４．复数ｚ ＝ － ｓｉｎ １００° ＋ ｉｃｏｓ １００°的辐角主值是 （　 ） Ａ． ８０°　 　 Ｂ． １００°　 　 Ｃ． １９０°　 　 Ｄ． ２６０° ５．设３ ＋ ４ｉ的辐角主值为θ，则（３ ＋ ４ｉ）·ｉ的辐 角主值是 （　 ） Ａ． π２ ＋ θ Ｂ． π ２ － θ Ｃ． θ － π２ Ｄ． ３π ２ － θ 二、填空题 ６． １ 槡－ １ ＋ ３ｉ 的三角形式为　 　 　 　 　 　 　 （要求 辐角为辐角主值）． ７．将复数 槡１ ＋ ３ｉ所表示的向量绕原点按逆时针 方向旋转θ角（０ ＜ θ ＜ ２π）所得的向量对应的 复数为－ ２，则θ ＝ 　 　 　 　 ． ８．若复数ｚ满足ｚ －１ｚ ＝ １ ２，ａｒｇ ｚ －１( )ｚ ＝ π３，则ｚ ＝ 　 　 　 　 　 ． 三、解答题 ９．把下列复数表示成三角形式． （１）５； （２）ｉ； （３）１２ ＋ 槡３ ２ ｉ； （４） 槡－ １ － ３ｉ； （５）槡３ ３ － ３ｉ； （６）－ ４ ＋ ３ｉ． １０．已知ｚ ＝ １ ＋ ｉ，求复数ω ＝ ｚ ２ － ３ｚ ＋ ６ ｚ ＋ １ 的模和辐 角主值，并写出复数的三角形式                                                                  ． —２４１— Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．（多选题）下列表示复数１ － ｉ的三角形式中， 正确的是 （　 ） 槡Ａ． ２ ｃｏｓ ７π４ ＋ ｉｓｉｎ ７π( )４ 槡Ｂ． ２ ｃｏｓ － π( )４ － ｉｓｉｎ π[ ]４ 槡Ｃ． ２ ｃｏｓ １５π４ ＋ ｉｓｉｎ １５π( )４ 槡Ｄ． ２ ｃｏｓ π４ ＋ ｉｓｉｎ ７π( )４ ２．（多选题）下列关于复数ｚ ＝ － １２ ｃｏｓ π ３ ＋ｉｓｉｎ π( )３ 的 说法正确的有 （　 ） Ａ．复数ｚ的模为－ １２ Ｂ．复数ｚ的辐角主值为４π３ Ｃ．复数ｚ的一个辐角为－ ２π３ Ｄ．复数ｚ对应的点位于第三象限 ３．复数ｓｉｎ ４５° － ｉｃｏｓ ４５°的辐角的主值是（　 ） Ａ． ４５°　 　 Ｂ． １３５°　 　 Ｃ． ２２５°　 　 Ｄ． ３１５° 二、填空题 ４．复数ｚ ＝ － １ ＋ １ ＋ ｉ( )１ － ｉ ２ ０２１ 的辐角主值为　 　 　 　 　 ． ５．已知复数２ ＋ ｉ和－ ３ － ｉ的辐角的主值分别为 α，β，则ｔａｎ（α ＋ β）＝ 　 　 　 　 ． 三、解答题 ６．已知实数ａ ＞ ０，写出下列复数的辐角主值． （１）ａ；（２）ａｉ；（３）－ ａ；（４）－ ａｉ． Ｃ组·创新拓展 　 把复数ｚ１与ｚ２对应的向量→ＯＡ，→ＯＢ分别按逆时 针方向旋转π４和 ５π ３后，与向量 →ＯＭ重合且模相 等，已知ｚ２ 槡＝ － １ － ３ ｉ，求复数ｚ１ 的代数式和 它的辐角主值                                                                         ． —３４１—