练案8 10.2.2 复数的乘法与除法-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第四册同步学习指导(人教B版2019)

练案［８］ 第十章　 复数 １０． ２　 ［１０． ２． ２　 复数的乘法与除法］ Ａ组·基础自测 一、选择题 １．设复数ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ（ａ、ｂ∈Ｒ），若ｚ１ ＋ ｉ ＝ ２ － ｉ成 立，则点Ｐ（ａ，ｂ）在 （　 ） Ａ．第一象限　 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限　 Ｄ．第四象限 ２．（２０２４·新课标全国Ⅰ卷）若ｚｚ － １ ＝ １ ＋ ｉ，则ｚ ＝ （　 　 ） Ａ． － １ － ｉ Ｂ． － １ ＋ ｉ Ｃ． １ － ｉ Ｄ． １ ＋ ｉ ３．设ｚ ＝ １ ＋ ｉ（ｉ是虚数单位），则２ｚ ＋ ｚ ２等于 （　 ） Ａ． － １ ＋ ｉ Ｂ． － １ － ｉ Ｃ． １ ＋ ｉ Ｄ． １ － ｉ ４．已知ｘ１，ｘ２是方程ｘ２ ＋ ２ｘ ＋ ２ ＝ ０在复数范围 内的两个根，则｜ ｘ１ － ｘ２ ｜｜ ｘ１ ｜ ＝ （　 　 ） 槡 槡Ａ． ２ Ｂ． ３ Ｃ． ２ Ｄ． ３ ５．（多选题）（２０２４·沈阳高一检测）已知复数 ｚ ＝ － １０ｉ２ ＋ ｉ，则下列说法正确的是 （　 　 ） Ａ．复数ｚ在复平面内对应的点在第四象限 Ｂ．复数ｚ的虚部为－ ４ Ｃ．复数ｚ的共轭复数ｚ ＝ ２ － ４ｉ Ｄ．复数ｚ的模｜ ｚ 槡｜ ＝ ２ ５ 二、填空题 ６．已知ｉ是虚数单位，复数ｚ满足ｚ·（ 槡１ ＋ ３ｉ）＝ １，则｜ ｚ ｜ ＝ 　 　 　 　 ． ７．设ｉ是虚数单位，珋ｚ是复数ｚ的共轭复数，若ｚ ＝ ２ｉ３ １ ＋ ｉ，则珋ｚ ＝ 　 　 　 　 ． ８．已知１ ＋ ２ｉ是方程ｘ２ － ｍｘ ＋ ２ｎ ＝ ０（ｍ，ｎ∈Ｒ） 的一个根，则ｍ ＋ ｎ ＝ 　 　 　 　 ． 三、解答题 ９．计算： （１）（－ １ ＋ ｉ）（２ ＋ ｉ） ｉ３ ； （２）（１ ＋ ２ｉ） ２ ＋ ３（１ － ｉ） ２ ＋ ｉ ； （３）１ ＋ ｉ( )１ － ｉ ６ ＋槡２ ＋槡３ｉ 槡３ －槡２ｉ                                                                ． —０４１— １０．设存在复数ｚ同时满足下列条件： （１）复数ｚ在复平面内对应点位于第二象限； （２）ｚ·ｚ ＋ ２ｉｚ ＝ ８ ＋ ａｉ（ａ∈Ｒ）． 试求ａ的取值范围． Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．（多选题）对于实系数一元二次方程ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０，在复数范围内的解是ｘ１，ｘ２，下列结论中 正确的是 （　 ） Ａ．若ｂ２ － ４ａｃ ＝ ０，则ｘ１，ｘ２∈Ｒ且ｘ１ ＝ ｘ２ Ｂ．若ｂ２ － ４ａｃ ＜ ０，则ｘ１Ｒ，ｘ２Ｒ且ｘ１ ＝ ｘ２ Ｃ．一定有ｘ１ ＋ ｘ２ ＝ － ｂａ，ｘ１ｘ２ ＝ ｃ ａ Ｄ．一定有（ｘ１ － ｘ２）２ ＝ ｜ ｂ ２ － ４ａｃ ｜ ａ２ ２．（２０２３·全国高考真题）已知ｚ ＝ １ － ｉ２ ＋ ２ｉ，则ｚ － 珋ｚ ＝ （　 ） Ａ． － ｉ Ｂ． ｉ Ｃ． ０ Ｄ． １ ３．复数ｚ满足１ － ｉｚ ＝ － １ ＋ ２ｉ，则｜ ｚ ｜ ＝ （　 ） Ａ． ２５ Ｂ． 槡１０ ５ Ｃ．槡１０２５ 槡Ｄ． １０ 二、填空题 ４．一元二次方程ｘ２ － ２ｘ ＋ ｍ ＝ ０的一个虚根为 １ － ２ｉ，则另一个虚根为　 　 　 　 ，实数 ｍ ＝ 　 　 　 　 ． ５．设ｚ的共轭复数是ｚ，若ｚ ＋ ｚ ＝ ４，ｚ·ｚ ＝ ８，则复 数ｚｚ ＝ 　 　 　 　 ． 三、解答题 ６．已知ｚ１是虚数，ｚ２ ＝ ｚ１ ＋ １ｚ１是实数，且－１≤ｚ２≤１． （１）求｜ ｚ１ ｜的值以及ｚ１的实部的取值范围； （２）若ω ＝ １ － ｚ１１ ＋ ｚ１，求证：ω为纯虚数． Ｃ组·创新拓展 　 已知复数ｗ满足ｗ － ４ ＝（３ － ２ｗ）ｉ（ｉ为虚数单 位），ｚ ＝ ５ｗ ＋ ｜ｗ － ２ ｜ ． （１）求ｚ； （２）若（１）中的ｚ是关于ｘ的方程ｘ２ － ｐｘ ＋ ｑ ＝０ 的一个根，求实数ｐ，ｑ的值及方程的另一个根                                                                         ． —１４１— 10.(1)5,+和-马1是以0元和0Z为 所以点D对应的复数为5. 两邻边的平行四边形的两条对角线 (2)因为B·B武=1B1IBC1cosB. 的长。 如图所示，由1：1=121=1，{+2|= 所以cosB= B.B成 3-2 2 BIBC5x√ō0 万，知四边形为正方形， ∴另一条对角线的长-21=，2 所以siB=Z,2 10 (2)a1-5=(5+3i)-(4+i)=(5- 所以S=1 sin B=5×V0×72=7,所以平行四边 4)+(3-1)i=1+2i 10 如图所示，Z,Z即为-2所对应的 形ABCD的面积为7. 向量。 C组创新拓展 根据复数减法的几何意义：复数- B设：=x+i(x,yeR),则I: 是连接向量0Z,0Z的终点，并指 0 21+1:+21+1:+2i1表示点Z(x 向被减的向量乙，Z,所对应的复数 y)到△ABC三顶点A(-2,0),B B组素养提升 (2,0),C(0,-2)的距离之和.依 1.BD设：=x+yi(x,yeR),则x+i+√？+y=2+i. 题意结合对称性可知△ABC的费 3 马点P位于虚轴的负半轴上，且 {+7=2解得子=子 ∠APB=120°，则∠PA0=∠PB0=30 y=1, y=1, z的虚部为. 此时P1+13l+1-心3×2+2-2m30)=25+2 2.B:1z+2-2il=1,∴x在以(-2,2)为圆心，半径为1的圆 练案[8] 上而1：-2-25是该圆上的点到点(2,2)的距离，故最小值A组基础自测 为3.故选B 3.C对应的复数为(3+4i)-(4+i)=(3-4)+(4-1)i=.A“中=2-i.=(2-i)1+i)=3+i,a=3,6=1, -1+3i. 点P(a,b)在第一象限. 设点D对应的复数为：.则DC对应的复数为(3-5)-一 由平行网边形法则知A=D心， 2c因为后：出1+日1+i所以：1+1-i ,-1+3i=(3-5i)-8, 故选C =6-5别-(-1+3=(3+)+(-5-3i=4-81故.02+2=子+1+i=1-i+2i1+ 2 应选C 422+1如图所示，因为：1=1，所以：所对应点的轨迹可看4.A方程+2x+2=0在复数范围内的两个根为x 作是半径为1，圆心为原点的圆.而：对应坐标系中的点为 -2±i4+8=-1±i,不妨设=-1+i,名=-1-，所 2 (2,-2).所以：-1的最大值可以看成点(2，-2)到圆上的 点的最大距离，则1：-的最大值为2,2+1， 以=2 5即=2册9侣昌=-2-，放复数：在复平面 内对应的点在第三象限，故A错误：所以复数：的虚部为-4 故B正确：复数：的共轭复数：=-2+4i,故C错误：复数：的 2.-2 模1x=√(-2)+(-4)下=25，故D正确. 5.-i由题意0P。=00+0P 6.号~复数：满是：…(1+)=l 而00对应的复数是-1， (1+)(1-)=1-5i,化为4：=1-3i,即：= 4 0P。=0币对应的复数是1-i, 所以0P。对应的复数为-1+(1-i)=-i 所以P。点对应的复数为-i. 6.(1)因为向量B对应的复数为1+2i,向量C对应的复数为7.-1+i:= -2i(1-i) 3-i,所以向量AC对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i. +i(1+i)(1-)=-1-i,所以=-1+i 又0元=0i+AC, 89 将x=1+2i代人方程x2-m+2n=0,有(1+2i)2-m(1 所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3)=4-2i +2i)+2n=0, 因为A亿=B配 即(-3-m+2n)+(4-2m)i=0. 所以向量A⑦对应的复数为3-i,即A⑦=(3，-1) 由复数相等的充要条件， 设D(x,y）,则AD=(x-2,y-1)=(3,-1), 5 所解6 得3m2m=0解得 =2 4-2m=0. y=0. lm=2. -224 故m+n=2+号-号 所以=2a 由-1≤3≤1，得-1≤2a≤1， 9.(1)-1+i0(2+拉=-3i-1-3i -i 解得- （2+2+31-山.-3++3-31=2i2i- 2+i 2+i 2+i 5 即的实部的取值范围是[-了引 1-11-a-bi a+-[+mf+i (2)w=i1+,1+a+园 万-2 5- (1+a)2+b -1+i 10.设：=x+yi(x,y∈R).由(1)得x<0,y>0, 因为ae[-子引，b≠0，所以u为纯虚数 由(2)得，x2+y2+2i(x+i)=8+i, C组创新拓展 即x2+1-2y+2xi=8+ui. (1)因为w-4=(3-2c)i. 出复数相等的定义得， 所以n(1+2i)=4+3i, 「x2+y2-2y-8, ① 2x=, ② 所以赞-得二器=2- 由①得x2+(y-1)2=9, 5 5(2+i) x<0,y>0,∴-3≤x<0,.-6≤a<0. 所以：2之+i1=(2-2+5*1=3+i B组素养提升 (2)因为：=3+i是关于x的方程x2-m+9=0的一个根， LAC①对于A,当公-4c=0时，=名=-2aeR,放正确： 所以(3+i)产-p(3+i)+q=0,即(8-3p+g)+(6-p)i=0 对于B,当-4c<0时.则=b-iB+4匹与= 又P,9为实数，所以8-那+9=0， 16-p=0, 2a 解得P=6, -b+iB+4c,则x,ER,R,且≠，故错误：对于 1g=10. 2a 解方程x2-6x+10=0,得x=3±i C,由一元二次方程根与系数的关系可得x,+,2=一 b ,1 所以实数P=6,9=10,方程的另一个根为x=3-i =后放正确：对于D,(-护=1公，放正确 : 练案[9] a :A组基础自测 选ACD. 24因为：=号=0=子宁所以 1.D由复数三角形式的特征知，≥0,0≤8<2m.故选D. 2.C 方法一”-2(cos号+iin号） 之，即：--i放选入 1-i (1-i)(-1-2i) 3B由题意=1+2(-1+2(-1-2可 “辐角的主值为，故选C 号.期=+( 5 方法二：复数对应点在第三象限， 故选B “辐角主值是第三象限角。 3.D因为21在复平面内所对应的点在y轴正半轴上，所以易 4.1+2i5因为1-2i是一元二次方程x2-2x+m=0的一个 知2i1=2,g(2)=受 根，所以(1-2i)2-2(1-2i)+m=0,即-3-4i-2+4i+m =0,解得m=5.则方程为x2-2x+5=0,(x-1)2=-4,(x- 从而可知2i=2(m号+im受）】 1)2=(2i)2,x-1=±2i,即x=1-2i或x=1+2i,所以方程的 4.C:=-sin100°+ieos100°=cos(90°+100)+isin(90°+ 另一个虚根为1+2. 5.±i设：=a+i(a,beR),因为：+：=4，所以a=2 100°)，故argz=190. 又因为：：8，所以4+公=8，所以公4所以6=±2，即五A(3+4)i=-4+3i=5(-号+ :=2士21，故号=士 又3+4=5（+ 6.设1=a+bi(a,bER,且b≠0). c0s0=3 因为3足实数，b≠0，于是有a2+b=1,即11=1， 5(-sin0+ims0)=5·[s(5+0）+isim(受+0l -225