练案7 10.2.1 复数的加法与减法-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第四册同步学习指导(人教B版2019)

练案［７］ 第十章　 复数 １０． ２　 ［１０． ２． １　 复数的加法与减法］ Ａ组·基础自测 一、选择题 １．［（ａ － ｂ）－（ａ ＋ ｂ）ｉ］－［（ａ ＋ ｂ）－（ａ － ｂ）ｉ］ 等于 （　 ） Ａ． － ２ｂ － ２ｂｉ　 　 　 　 　 Ｂ． － ２ｂ ＋ ２ｂｉ Ｃ． － ２ａ － ２ｂｉ Ｄ． － ２ａ － ２ａｉ ２．已知复数ｚ ＝ ａ ＋ ｉ（ａ∈Ｒ），若ｚ ＋ ｚ ＝ ４，则复数 ｚ的共轭复数ｚ ＝ （　 　 ） Ａ． ２ ＋ ｉ　 　 Ｂ． ２ － ｉ Ｃ． － ２ ＋ ｉ　 　 Ｄ． － ２ － ｉ ３．（多选题）对任意复数ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），ｉ为 虚数单位，则下列结论中正确的是 （　 　 ） Ａ． ｚ － ｚ ＝ ２ａ　 Ｂ． ｜ ｚ ｜ ＝ ｜ ｚ ｜ Ｃ． ｚ ＋ ｚ ＝ ２ａ　 Ｄ． ｚ ＋ ｚ ＝ ２ｂｉ ４．在复平面内，Ｏ是原点，→ＯＡ，→ＯＣ，→ＡＢ表示的复数 分别为－ ２ ＋ ｉ，３ ＋ ２ｉ，１ ＋ ５ｉ，则→ＢＣ表示的复数 为 （　 　 ） Ａ． ２ ＋ ８ｉ Ｂ． － ６ － ６ｉ Ｃ． ４ － ４ｉ Ｄ． － ４ ＋ ２ｉ ５． ｚ∈Ｃ，若｜ ｚ ｜ － ｚ ＝ １ ＋ ２ｉ，则ｚ ＝ （　 　 ） Ａ． ３２ － ２ｉ Ｂ． ３ ２ ＋ ２ｉ Ｃ． ２ ＋ ２ｉ Ｄ． ２ － ２ｉ 二、填空题 ６．计算｜（３ － ｉ）＋ （－ １ ＋ ２ｉ）－ （－ １ － ３ｉ）｜ ＝ 　 　 　 ． ７．已知｜ ｚ 槡｜ ＝ ５，且ｚ － ２ ＋ ４ｉ为纯虚数，则复数 ｚ ＝ 　 　 　 　 ． ８．已知ｚ１ ＝（３ｘ ＋ ｙ）＋（ｙ － ４ｘ）ｉ（ｘ，ｙ∈Ｒ），ｚ２ ＝ （４ｙ － ２ｘ）－（５ｘ ＋ ３ｙ）ｉ（ｘ，ｙ∈Ｒ）．设ｚ ＝ ｚ１ － ｚ２，且ｚ ＝ １３ － ２ｉ，则ｚ１ ＝ 　 　 　 　 ，ｚ２ ＝ 　 　 　 　 　 ． 三、解答题 ９．设ｍ∈Ｒ，复数ｚ１ ＝ ｍ ２ ＋ ｍ ｍ ＋ ２ ＋（ｍ － １５）ｉ，ｚ２ ＝ － ２ ＋ ｍ（ｍ － ３）ｉ，若ｚ１ ＋ ｚ２ 是虚数，求ｍ的取 值范围                                                                  ． —８３１— １０．（１）若ｚ１，ｚ２∈Ｃ，｜ ｚ１ ｜ ＝ ｜ ｚ２ ｜ ＝ １，且｜ ｚ１ ＋ ｚ２ ｜ ＝ 槡２，求｜ ｚ１ － ｚ２ ｜ ． （２）设向量ＯＺ→ １及ＯＺ→ ２在复平面内分别与复数 ｚ１ ＝５ ＋３ｉ及复数ｚ２ ＝４ ＋ ｉ对应，试计算ｚ１ － ｚ２， 并在复平面内表示出来． Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．（多选题）设复数ｚ满足ｚ ＋ ｜ ｚ ｜ ＝ ２ ＋ ｉ，那么 （　 ） Ａ． ｚ的虚部为ｉ Ｂ． ｚ的虚部为１ Ｃ． ｚ ＝ － ３４ － ｉ Ｄ． ｚ ＝ ３ ４ ＋ ｉ ２．若ｚ∈Ｃ且｜ ｚ ＋ ２ － ２ｉ ｜ ＝ １，则｜ ｚ － ２ － ２ｉ ｜的最 小值是 （　 　 ） Ａ． ２ Ｂ． ３ Ｃ． ４ Ｄ． ５ ３．ＡＢＣＤ中，点Ａ、Ｂ、Ｃ分别对应复数４ ＋ ｉ、３ ＋ ４ｉ、３ － ５ｉ，则点Ｄ对应的复数是 （　 ） Ａ． ２ － ３ｉ Ｂ． ４ ＋ ８ｉ Ｃ． ４ － ８ｉ Ｄ． １ ＋ ４ｉ 二、填空题 ４．已知ｚ１ ＝ ２ － ２ｉ，且｜ ｚ ｜ ＝ １，则｜ ｚ － ｚ１ ｜的最大值 为　 　 　 　 　 ． ５．在复平面内，向量→ＯＰ对应的复数为１ － ｉ，将→ＯＰ 向左平移一个单位得到向量→ＯＰ，则点Ｐ０ 对应 的复数为　 　 　 　 ． 三、解答题 ６．已知复平面内平行四边形ＡＢＣＤ，Ａ点对应的 复数为２ ＋ ｉ，向量→ＢＡ对应的复数为１ ＋ ２ｉ，向量 →ＢＣ对应的复数为３ － ｉ，求： （１）点Ｃ，Ｄ对应的复数； （２）平行四边形ＡＢＣＤ的面积． Ｃ组·创新拓展 　 费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马提 出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求 作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之 和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已 知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马 点，当△ＡＢＣ的三个内角均小于１２０°时，则使 得∠ＡＰＢ ＝∠ＢＰＣ ＝∠ＣＰＡ ＝ １２０°的点Ｐ即为 费马点．根据以上材料，若ｚ∈Ｃ，则｜ ｚ － ２ ｜ ＋ ｜ ｚ ＋ ２ ｜ ＋ ｜ ｚ ＋ ２ｉ ｜的最小值为 （　 　 ） Ａ． ２槡３ － ２ Ｂ． ２槡３ ＋ ２ Ｃ．槡３ － １ Ｄ．槡３                                                                         ＋ １ —９３１— 25<5</26..y+2i1<lx-il<11-5il. :C组创新拓展 9.(1)由m2-2m-15>0,得知m<-3或m>5时.：的对应点(1)z1=√(x-2)+(x+2)下=√2x+8≥22. 在x轴上方， 当且仅当x=0时，复数：的模最小，为22 (2)由(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+5=0,得知： (2)当复数z的模最小时，Z(-2,2). m:3:④或m=3+画时. 又点么位于函数y=-mx+n的图像上，所以2m+n=2 4 4 又mn>0 :的对应点在直线x+y+5=0上 10.(1)由已知得0A,0B,0C所对应的复数分别为1+4i,-3i,2, 所以+=（++）++六2+， m n 于是0=(1,4)，0B=(0,-3),0元=(2,0)，因此0+0i= 当且仅当n2=2m2时等号成立. (1.1).4元=0d-0=(1.-4). 又2m+n=2, 故O+0心对应的复数为1+i,AC对应的复数为1-4i. 所以m=2-2,n=22-2 (2)由已知得点A,B,C的坐标分别为(1,4)，(0，-3)，(2,0)，则 4C的中点为（子2小，由平行四边形的性质知B0的中点也是 所以片+女的最小值为子+厄 m 此时m=2-2n=22-2 (子2若设D6,测 练案[7] A组基础自测 有 -3+0=2 解得故D(3,7 l%=7, :1.A原式=[(a-b)-(a+b)]+[-(a+b)+(a-b)]i= 2 -2b-2i B组素养提升 2.B因为z=a+i,所以z+z=2a=4,得a=2 1.BCD设第四个顶点对应的复数为z,则z+1+2i=-2+i+0: 所以复数z的共轭复数：=2-i故选B 或-2+i=1+2i+0或z+0=1+2i-2+i,所以z=-3-i3.BC因为z=a+bi(a.beR),所以a=a-bi, 或=3+i或=-1+3i,故选BCD. 故：-z=(a+bi)-(a-bi)=2bi,所以A错误； 2.ACDx=a+i的共轭复数为：=a-i,所以A错误：lzI= 1:=√a+心，=√+(-b)=√+6.所以B正确： √a+1≥1，所以B正确：当a=0时，z是纯虚数，所以C错 z+z=(a+bi)+(a-bi)=2a,所以C正确，D错误 误：在复平面内，2对应的点为(a,1),因为纵坐标y=1,所以4.CB配=(0元-Oi)-AB=3+2i+2-i-1-5i=4-4i 不可能在第三象限，所以D错误，故选AC①D. 5.B设z=a+bi,a,beR,则lzl-z=a+6-a+bi=1+2i, 3.D设2=x+yi(x,yeR), 由条件得 (x-1)2+(y-2)2=20, 微公+还-al故之故：号+塑 x2+y2=41. lb=2. b=2, 1 x= 6.51(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)1=1(2+i)-(-1 所以5， 或 3i)1=13+4il=32+4=5. [y=4 32 y=5 7.2±i设复数=x+i(xyeR), 所以5+4，号 则：-2+4i=(x-2)+(y+4)i rx-2=0. 4石+i设复数：=a+(a,beR),则 32=5.=1越=2. 由题意知{y+4≠0，， Ly=-1 「a=√+B-3,所以 =6 ,.x=2±i lb=-4. 8.5-9i-8-7ia=-=[(3x+y)+(y-4x)i]-[(4y Lb=-4, 2x)-(5x+3y)i] 所=名+ =(5x-3y)+(x+4y)i=13-2i, 5号因为=4+3i,与=2a-3i(aeR).所以0Z=(4,3), 所以红-3=13解得2， x+4y=-2, y=-1. 0元=(2a,-3).因为0Z10元所以8a=9.即a=号 所以51=5-9i,3=-8-7i 6.因为0Z对应的复数为-3+4i,0Z对应的复数为2a+i, 9因为=十+(m-15)i,=-2+m(m-3)i,所以+ 所以0Z=(-3,4),07=(2a,1) 因为0Z与0Z共线，所以存在实数k使0Z,=k0Z,即(2a,1)= 与-（授-2小m-15)+mm-3)1i2 m+2 k(-3,4)=(-3张4k). (m2-2m-15)i 因为a1+2是虚数，所以m2-2m-15≠0且m≠-2，所以 所以/2=-3张 k=4' m≠5且m≠-3且m≠-2， 所以 1=4k, 3 即a的值为-8 所以m的取值范围是(-∞，-3)U(-3,-2)U(-2,5)U d=- (5,+∞). -223 10.(1):+21和：1-21是以0Z和0Z2为 所以点D对应的复数为5， 两邻边的平行四边形的两条对角线 (2)因为B·BC=1B1 BCIeos B, 的长 3-2 2 如图所示，由l1=21=1,场1+21= 所以cosB=B·B底 1Bi1BCi5×o1o 反，知四边形为正方形， “另一条对角线的长1-21=2 所以mB=72 10 (2)1-=(5+3i)-(4+i)=(5- 4)+(3-1)i=1+2i 所以S=风成加8=5×而×治=7所以平行图边 如图所示，乙2乙即为1-与所对应的 形ABCD的面积为7. 向量 C组创新拓展 根据复数减法的几何意义：复数- B设：=x+i(x,yeR),则1： 是连接向量0Z,0Z的终点，并指 21+1z+21+1:+2i表示点Z(x, 向被减的向量Z,乙，所对应的复数 y)到△ABC三顶点A(-2,0),B B组素养提升 (2,0),C(0.-2)的距离之和.依 1.BD设：=x+i(x,yeR),则x+i+√+y=2+i, 题意结合对称性可知△ABC的费 3 马点P位于虚轴的负半轴上，且 ÷+公+了=2解得 ∠APB=120°，则∠PA0=∠PB0=30 y=1, y=1, 六z的虚部为1 此时1B+P81+1心202+(2-2m30)=25+2 2.B1z+2-2il=1,z在以(-2,2)为圆心，半径为1的圆 练案[8] 上.而1：-2-2是该圆上的点到点(2,2)的距离，故最小值A组 为3.故选B. 基础自测 3C对应的复数为(3+4)-(4+i)=(3-4)+(4-1)i=1.A“+=2-i.=(2-i)(1+i)=3+i,a=3,b=1, -1+3i, 点P(a,b)在第一象限. 设点D对应的复数为：，D心对应的复数为3-5i)-z 由平行四边形法则知4店=D心， 2c周为后：出1+1+i所以1+片1-i .-1+3i=(3-5i)-, 故选C :=6-5列--1+30）=(3+1)+(-5-3i=4-81故3.c2+= 2 :+(1+i)2=1-i+2i=1+i 应选C 42万+1如图所示，因为：1=1，所以：所对应点的轨迹可看4A方程之+2x+2=0在复数范围内的两个根为x: 作是半径为1，圆心为原点的圆，面对应坐标系中的点为 -2±i4+8。-1±i,不妨设=-1+i,=-1-i,所 2 (2,-2),所以1：-1的最大值可以看成点(2，-2)到圆上的 点的最大距离，则z-1的最大值为22+1. -厄 5D9-侣昌-2-东放复数：在复平面 内对应的点在第三象限，故A错误：所以复数x的虚部为-4 故B正确：复数：的共轭复数：=-2+4i,故C错误：复数：的 2.-2 模1l=/(-2)+(-4)=25,故D正确 5.-i由题意0P=00+0,P, 6. 。:复数：满足：·(1+)=1， 而00。对成的复数是-1， 0P=0对应的复数是1-i, ∴1+(1-i)=1-,化为4=1-，即=- 所以0P。对应的复数为-1+(1-i)=-i 所以P。点对应的复数为一i 6(1)因为向量B对应的复数为1+2i,向量B配对应的复数为7.-1+i:= 2 -2i(1-i) +(1+)(1-D =-1-i,所以x=-1+i 3-i,所以向量AC对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i. 又OC=OA+AC 9 将x=1+2i代人方程x2-mx+2n=0,有(1+2i)2-m(1 所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-21 +2i)+2n=0 因为A⑦=B武， 即(-3-m+2n)+(4-2m)i=0. 所以向量4对应的复数为3-i,即A⑦=(3，-1) 由复数相等的充要条件， 设D(xy),则AD=(x-2,y-1)=(3,-1), 所以儿8 得3-m2n=0,解得 y=0. L4-2m=0. m=2 -224