练案5 10.1.1 复数的概念-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第四册同步学习指导(人教B版2019)

练案［５］ 第十章　 复数 １０． １　 ［１０． １． １　 复数的概念］ Ａ组·基础自测 一、选择题 １．如果复数ｚ ＝ ａ２ ＋ ａ － ２ ＋（ａ２ － ３ａ ＋ ２）ｉ为纯虚 数，那么实数ａ的值为 （　 ） Ａ． － ２　 　 　 Ｂ． １ Ｃ． ２　 　 　 Ｄ． １或－ ２ ２．设ａ － ２ ＋（２ａ ＋ １）ｉ的实部与虚部相等，其中ａ 为实数，则ａ ＝ （　 ） Ａ． － ３ Ｂ． － ２ Ｃ． ２ Ｄ． ３ ３．设ａ，ｂ∈Ｒ，ｉ是虚数单位，则“ａｂ ＝ ０”是“复数 ａ － ｂｉ为纯虚数”的 （　 ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 ４．以槡－ ５ ＋ ２ｉ的虚部为实部，以槡５ｉ ＋ ２ｉ２ 的实部 为虚部的新复数是 （　 ） 槡槡Ａ． ２ － ２ｉ Ｂ． － ５ ＋ ５ｉ 槡槡Ｃ． ２ ＋ ｉ Ｄ． ５ ＋ ５ｉ ５．（多选题）（２０２４·青岛高一检测）已知复数ｚ１ ＝ｍ ＋（４ － ｍ２）ｉ（ｍ∈Ｒ），ｚ２ ＝ ｃｏｓ θ ＋（λ ＋ ２ｓｉｎ θ）ｉ λ∈Ｒ，θ∈ π６， ２π[ ]( )３ ，且ｚ１ ＝ ｚ２，则λ的值可以是 （　 　 ） Ａ． ２　 　 　 Ｂ． ２３ Ｃ． ９４ Ｄ． １ 二、填空题 ６．已知ａ是实数，ｉ是虚数单位，若ｚ ＝ ａ２ － １ ＋（ａ ＋ １）ｉ是纯虚数，则ａ ＝ 　 　 　 　 ． ７．若复数ｚ ＝ ａ２ － ３ ＋ ２ａｉ的实部与虚部互为相反 数，则实数ａ的值为　 　 　 　 ． ８．如果（ｍ２ － １）＋（ｍ２ － ２ｍ）ｉ ＞ １，则实数ｍ的 值为　 　 　 ． 三、解答题 ９．分别求满足下列条件的实数ｘ，ｙ的值． （１）２ｘ － １ ＋（ｙ ＋ １）ｉ ＝ ｘ － ｙ ＋（－ ｘ － ｙ）ｉ； （２）ｘ ２ － ｘ － ６ ｘ ＋ １ ＋（ｘ ２ － ２ｘ － ３）ｉ ＝ ０． １０．设复数ｚ ＝ ｌｇ（ｍ ＋ ４）＋（ｍ２ ＋ ３ｍ ＋ ２）ｉ，当ｍ 为何实数时， （１）ｚ是实数？ （２）ｚ是纯虚数                                                                  ？ —４３１— Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．（多选题）有下列四个命题，其中正确的是（　 ） ①方程２ｘ － ５ ＝ ０在自然数集Ｎ中无解； ②方程２ｘ２ ＋ ９ｘ － ５ ＝ ０在整数集Ｚ中有一解， 在有理数集Ｑ中有两解； ③ｘ ＝ ｉ是方程ｘ２ ＋ １ ＝ ０在复数集Ｃ中的一 个解； ④ｘ４ ＝ １在Ｒ中有两解，在复数集Ｃ中也有 两解． Ａ．① Ｂ．② Ｃ．③ Ｄ．④ ２．（多选题）已知ｉ为虚数单位，则下列结论错误 的是 （　 ） Ａ．复数ａ ＋ ｂｉ不是纯虚数 Ｂ．若ｘ ＝ １，则复数ｚ ＝ （ｘ２ － １）＋（ｘ ＋ １）ｉ是 纯虚数 Ｃ．若（ｘ２ － ４）＋（ｘ２ ＋ ３ｘ ＋ ２）ｉ是纯虚数，则实 数ｘ ＝ ± ２ Ｄ．若复数ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ，则当且仅当ｂ≠０时，ｚ为 虚数 ３．若复数ｚ１ ＝ ｓｉｎ ２θ ＋ ｉｃｏｓ θ，ｚ２ ＝ ｃｏｓ θ 槡＋ ｉ ３ｓｉｎ θ （θ∈Ｒ），ｚ１ ＝ ｚ２，则θ等于 （　 　 ） Ａ． ｋπ（ｋ∈Ｚ）　 　 　 Ｂ． ２ｋπ ＋ π３（ｋ∈Ｚ） Ｃ． ２ｋπ ± π６（ｋ∈Ｚ） Ｄ． ２ｋπ ＋ π６（ｋ∈Ｚ） 二、填空题 ４．已知Ｍ ＝｛２，ｍ２ － ２ｍ ＋（ｍ２ ＋ ｍ － ２）ｉ｝，Ｎ ＝ ｛－ １，２，４ｉ｝．若Ｍ∪Ｎ ＝ Ｎ，则实数ｍ的值 为　 　 　 　 ． ５．已知ｚ１ ＝ － ４ａ ＋ １ ＋（２ａ２ ＋ ３ａ）ｉ，ｚ２ ＝ ２ａ ＋（ａ２ ＋ ａ）ｉ，其中ａ∈Ｒ，若ｚ１ ＞ ｚ２，则ａ的取值集合 为　 　 　 ． 三、解答题 ６．设ｚ ＝ ｌｏｇ １２（ｍ － １）＋ ｉｌｏｇ２（５ － ｍ）（ｍ∈Ｒ）． （１）若ｚ是虚数，求ｍ的取值范围； （２）若ｚ是纯虚数，求ｍ的值． Ｃ组·创新拓展 　 定义：复数ｂ ＋ ａｉ是ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ）的转置复 数．已知ａ，ｂ∈Ｒ，ｉ是虚数单位，若ａ ＋２ｉ ＝１ － ｂｉ，则 复数ｚ ＝ａ ＋ｂｉ的转置复数是　 　 　 　                                                                         ． —５３１— 在△ＡＣＤ中，由余弦定理得 ＣＤ２ ＝ ＡＣ２ ＋ ＡＤ２ － ２ × ＡＣ × ＡＤ × ｃｏｓ ３０°， 因为ＡＣ 槡＝ １２ ３，ＡＤ ＝ ２４，所以ＣＤ ＝ １２，故Ｂ正确； 由正弦定理得ＣＤｓｉｎ ３０° ＝ ＡＣ ｓｉｎ∠ＣＤＡ ， 所以ｓｉｎ∠ＣＤＡ ＝槡３２ ，故∠ＣＤＡ ＝ ６０°或者∠ＣＤＡ ＝ １２０°， 因为ＡＤ ＞ ＡＣ，故∠ＣＤＡ为锐角，所以∠ＣＤＡ ＝ ６０°，故Ｃ不正 确，Ｄ正确． ４． π１２ 　 １５　 由题意得，∠ＣＰＤ ＝∠ＥＤＰ －∠ＤＣＰ ＝ ２θ － θ ＝ θ， 所以ＰＤ ＝ ＣＤ ＝ ３０， 又∠ＤＰＥ ＝∠ＡＥＰ －∠ＥＤＰ ＝ ４θ － ２θ ＝ ２θ， 所以ＰＥ ＝ ＤＥ 槡＝ １０ ３， 在△ＰＤＥ中， ｃｏｓ ２θ ＝ ＰＤ ２ ＋ ＤＥ２ － ＰＥ２ ２ＰＤ·ＤＥ ＝ ３０ ２ ＋（ 槡１０ ３）２ －（ 槡１０ ３）２ 槡２ × ３０ × １０ ３ ＝槡３２ ， 所以２θ ＝ π６ ，所以θ ＝ π １２，４θ ＝ π ３ ， 因为ｓｉｎ ４θ ＝ ＰＡＰＥ， 所以ＰＡ ＝ ＰＥ·ｓｉｎ ４θ 槡＝ １０ ３ ×槡３２ ＝ １５． ５． １５０　 如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中， ＢＣ ＝１００，∠ＣＡＢ ＝４５°， ∴ ＡＣ 槡＝１００ ２． 在△ＡＭＣ中， ∠ＣＡＭ ＝ ７５°， ∠ＡＣＭ ＝ ６０°， ∴ ∠ＡＭＣ ＝ ４５°． 由正弦定理知ＡＭｓｉｎ ６０° ＝ 槡１００ ２ ｓｉｎ ４５°，∴ ＡＭ 槡＝ １００ ３． 在Ｒｔ△ＡＭＮ中，∠ＮＡＭ ＝ ６０°， ∴ ＭＮ ＝ ＡＭ· 槡ｓｉｎ ６０° ＝ １００ ３ ×槡３２ ＝ １５０（ｍ）． ６．（１）依据题意知，在△ＤＢＣ中，∠ＢＣＤ ＝ ３０°，∠ＤＢＣ ＝ １８０° － ４５° ＝ １３５°，ＣＤ ＝ ６ ０００ × １６０ ＝ １００（ｍ），∠ＢＤＣ ＝ ４５° － ３０° ＝ １５°，由正弦定理，得 ＣＤｓｉｎ∠ＤＢＣ ＝ ＢＣ ｓｉｎ∠ＢＤＣ ， ∴ ＢＣ ＝ ＣＤ·ｓｉｎ∠ＢＤＣｓｉｎ∠ＤＢＣ ＝ １００ × ｓｉｎ １５° ｓｉｎ １３５° ＝ １００ ×槡槡６ － ２４ 槡２ ２ ＝ ５０（槡槡６ － ２） 槡２ ＝５０（槡３ －１）（ｍ）， 在Ｒｔ△ＡＢＥ中，ｔａｎ α ＝ ＡＢＢＥ， ∵ ＡＢ为定长，当ＢＥ的长最小时，α取最大值６０°， 这时ＢＥ⊥ＣＤ，当ＢＥ⊥ＣＤ时，在Ｒｔ△ＢＥＣ中，ＥＣ ＝ ＢＣ· ｃｏｓ∠ＢＣＥ ＝ ５０（槡３ － １）×槡３２ ＝ ２５（ 槡３ － ３）（ｍ）， 设该人沿南偏西６０°的方向走到仰角α最大时，走了ｔ ｍｉｎ，则 ｔ ＝ ＥＣ６ ０００ ×６０ ＝ ２５（ 槡３ － ３） ６ ０００ ×６０ ＝ 槡３ － ３ ４ （ｍｉｎ）． （２）由（１）知当α取得最大值６０°时，ＢＥ⊥ＣＤ，在Ｒｔ△ＢＥＣ中， ＢＥ ＝ ＢＣ·ｓｉｎ∠ＢＣＤ，所以ＡＢ ＝ ＢＥ·ｔａｎ ６０° ＝ ＢＣ·ｓｉｎ∠ＢＣＤ ·ｔａｎ ６０° ＝５０（槡３ －１）× １２ 槡× ３ ＝２５（ 槡３ － ３）（ｍ），即所求塔高 为２５（ 槡３ － ３）ｍ． Ｃ组　 创新拓展 槡　 １５ ５　 会　 ＡＢ 槡＝ ４０ ２，ＡＣ 槡＝ １０ １３，∠ＢＡＣ ＝ θ，ｓｉｎ θ ＝槡２６２６ ， 因为０° ＜ θ ＜ ９０°， 则ｃｏｓ θ ＝ １ － ｓｉｎ２槡 θ ＝ 槡５ ２６２６ ， 由余弦定理可得ＢＣ ＝ ＡＢ２ ＋ＡＣ２ －２ＡＢ·ＡＣｃｏｓ槡 θ 槡＝１０ ５， 所以，船行驶的速度为ｖ ＝ 槡１０ ５２ ３ 槡＝ １５ ５（海里／小时）； 如图所示，设直线ＡＥ与ＢＣ的延长线相交于点Ｑ，在△ＡＢＣ 中，由余弦定理可得 ｃｏｓ∠ＡＢＣ ＝ ＡＢ ２ ＋ ＢＣ２ － ＡＣ２ ２ＡＢ·ＢＣ ＝ 槡 ３ １０ １０ ． 所以，ｓｉｎ∠ＡＢＣ ＝ １ － ｃｏｓ２∠槡 ＡＢＣ ＝槡１０１０ ， ｓｉｎ∠ＡＱＢ ＝ ｓｉｎ ４５° －∠( )ＡＢＣ ＝槡２２ ｃｏｓ∠ＡＢＣ － ｓｉｎ∠( )ＡＢＣ ＝槡 ５ ５ ， 在△ＡＢＱ 中，由正弦定理可得ＡＱ ＝ ＡＢｓｉｎ∠ＡＢＣｓｉｎ∠ＡＱＢ ＝ 槡４０ ２ ×槡１０１０ 槡５ ５ ＝ ４０，因为ＡＥ ＝ ５５ ＞ ４０ ＝ ＡＱ，所以点Ｑ位于点Ａ 和点Ｅ之间，且ＱＥ ＝ ＡＥ － ＡＱ ＝ １５，过点Ｅ作ＥＰ⊥ＢＣ，则线段 ＥＰ的长即为点Ｅ到直线ＢＣ的距离， 在Ｒｔ△ＱＰＥ中，ＰＥ ＝ ＱＥｓｉｎ∠ＰＱＥ ＝ ＱＥ ｓｉｎ∠ＡＱＣ ＝ １５ ×槡５５ ＝ 槡３ ５ ＜７，所以船会进入警戒水域． 练案［５］ Ａ组　 基础自测 １． Ａ　 由题意知： ａ ２ ＋ ａ － ２ ＝ ０ ａ２ － ３ａ ＋ ２≠{ ０解得ａ ＝ － ２，故选Ａ                                                                       ． —２２１— ２． Ａ　 由题意知ａ － ２ ＝ ２ａ ＋ １，解得ａ ＝ － ３．故选Ａ． ３． Ｂ　 ∵ ａ － ｂｉ为纯虚数，则ａ ＝ ０，ｂ≠０，故选Ｂ． ４． Ａ　 设所求新复数为ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ ∈Ｒ）． 　 复数槡－ ５ ＋ ２ｉ的 虚部为２，槡５ ｉ ＋ ２ｉ２ 槡＝ ５ ｉ ＋ ２ ×（－ １） 槡＝ － ２ ＋ ５ ｉ，其实部为 － ２，则所求的ｚ ＝ ２ － ２ｉ． ５． ＡＣ　 因为ｚ１ ＝ｍ ＋（４ －ｍ２）ｉ（ｍ∈Ｒ），ｚ２ ＝ ｃｏｓ θ ＋（λ ＋２ｓｉｎ θ）ｉ，且 ｚ１ ＝ ｚ２，所以 ｍ ＝ ｃｏｓ θ ４ － ｍ２ ＝ λ ＋ ２ｓｉｎ{ θ， 则λ ＝ ４ － ｃｏｓ２θ － ２ｓｉｎ θ ＝ ｓｉｎ２θ － ２ｓｉｎ θ ＋ ３ ＝（ｓｉｎ θ － １）２ ＋ ２， 因为θ∈ π６ ， ２π[ ]３ ，所以ｓｉｎ θ∈ １２ ，[ ]１ ，则λ∈ ２，[ ]９４ ． ６． １　 ∵ ｚ ＝ ａ２ － １ ＋（ａ ＋ １）ｉ是纯虚数， ∴ ａ２ － １ ＝ ０ ａ ＋ １≠{ ０ ，解得ａ ＝ １． 故答案为１． ７． １或－ ３　 由条件知ａ２ － ３ ＋ ２ａ ＝ ０，解得ａ ＝ １或ａ ＝ － ３． ８． ２　 由题意得ｍ ２ － ２ｍ ＝ ０， ｍ２ － １ ＞ １{ ，解得ｍ ＝ ２． ９．（１）∵ ｘ，ｙ∈Ｒ， ∴由复数相等的定义得２ｘ － １ ＝ ｘ － ｙ， ｙ ＋ １ ＝ － ｘ － ｙ{ ， 解得ｘ ＝ ３， ｙ ＝ － ２{ ． （２）∵ ｘ∈Ｒ， ∴由复数相等的定义得 ｘ２ － ｘ － ６ ｘ ＋ １ ＝ ０， ｘ２ － ２ｘ － ３ ＝ ０ { ， 即ｘ ＝ ３或ｘ ＝ － ２，且ｘ≠ － １， ｘ ＝ ３或ｘ ＝ － １{ ， ∴ ｘ ＝ ３． １０．（１）要使复数ｚ为实数，需满足ｍ ＋ ４ ＞ ０， ｍ２ ＋ ３ｍ ＋ ２ ＝ ０{ ． 解得ｍ ＝ － ２或－ １，即当ｍ ＝ － ２或－ １时，ｚ是实数． （２）要使复数ｚ为纯虚数，需满足ｍ ＋ ４ ＝ １， ｍ２ ＋ ３ｍ ＋ ２≠０{ ， 解得ｍ ＝ － ３，即当ｍ ＝ － ３时，ｚ是纯虚数． Ｂ组　 素养提升 １． ＡＢＣ　 经逐一检验知①②③正确，④中方程ｘ４ ＝ １在Ｃ中有４ 解，错误，故选ＡＢＣ． ２． ＡＣＤ　 当ａ ＝ ０，ｂ≠０，ｂ∈Ｒ时，复数ａ ＋ ｂｉ是纯虚数，Ａ错误； 当ｘ ＝ １时，复数ｚ ＝ ２ｉ是纯虚数，Ｂ正确；（ｘ２ － ４） ＋（ｘ２ ＋ ３ｘ ＋ ２）ｉ是纯虚数，则ｘ ２ － ４ ＝ ０， ｘ２ ＋ ３ｘ ＋ ２≠０{ ，即ｘ ＝ ２，Ｃ错误；复数ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ，ａ，ｂ未注明为实数，Ｄ错误．故选ＡＣＤ． ３． Ｄ　 由复数相等的定义可知， ｓｉｎ ２θ ＝ ｃｏｓ θ， ｃｏｓ θ 槡＝ ３ｓｉｎ θ{ ． 所以ｃｏｓ θ ＝槡３２ ，ｓｉｎ θ ＝ １ ２ ． 所以θ ＝ π６ ＋ ２ｋπ，ｋ∈Ｚ． ４． １或２　 ∵ Ｍ∪Ｎ ＝ Ｎ，∴ ＭＮ， ∴ ｍ２ － ２ｍ ＋（ｍ２ ＋ ｍ － ２）ｉ ＝ － １或ｍ２ － ２ｍ ＋（ｍ２ ＋ ｍ － ２）ｉ ＝ ４ｉ． 由复数相等的充要条件，得 ｍ２ － ２ｍ ＝ － １， ｍ２ ＋ ｍ{ － ２ ＝ ０ 或ｍ ２ － ２ｍ ＝ ０， ｍ２ ＋ ｍ － ２ ＝ ４{ ， 解得ｍ ＝ １或ｍ ＝ ２．故实数ｍ的值是１或２． ５．｛０｝　 由ｚ１ ＞ ｚ２，可得 ２ａ２ ＋ ３ａ ＝ ０， ａ２ ＋ ａ ＝ ０， － ４ａ ＋ １ ＞ ２ａ{ ，解得ａ ＝ ０，故ａ的取值集 合为｛０｝． ６．（１）因为ｚ是虚数，故其虚部ｌｏｇ２ （５ － ｍ）≠０，ｍ应满足的条件 是 ｍ － １ ＞ ０， ５ － ｍ ＞ ０， ５ － ｍ≠１ { ，解得１ ＜ ｍ ＜ ５，且ｍ≠４． （２）因为ｚ是纯虚数，故其实部ｌｏｇ １ ２ （ｍ － １）＝ ０，虚部ｌｏｇ２（５ － ｍ）≠０， ｍ应满足的条件是 ｍ － １ ＝ １， ５ － ｍ ＞ ０， ５ － ｍ≠１ { ，解得ｍ ＝ ２． Ｃ组　 创新拓展 　 － ２ ＋ ｉ　 由ａ ＋ ２ｉ ＝ １ － ｂｉ，得ａ ＝ １，ｂ ＝ － ２，所以复数ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ ＝ １ － ２ｉ，故复数ｚ ＝ １ － ２ｉ的转置复数是－ ２ ＋ ｉ． 练案［６］ Ａ组　 基础自测 １． Ｃ　 ∵复数ｚ在复平面上对应的点为（１，－ １）， ∴ ｚ ＝ １ － ｉ． ∴ ｚ ＋ ｉ ＝ １ － ｉ ＋ ｉ ＝ １， ∴ ｚ ＋ ｉ是实数． 故选Ｃ． ２． Ｂ　 在复平面内对应于复数ａ － ｂｉ，－ ａ － ｂｉ的两个点为（ａ，－ ｂ）和 （－ ａ，－ ｂ）关于虚轴对称． ３． Ｂ　 由｜ ｚ ｜ ２ － ３ ｜ ｚ ｜ ＋ ２ ＝ ０，得（｜ ｚ ｜ － １）·（｜ ｚ ｜ － ２）＝ ０，所以｜ ｚ ｜ ＝ １或｜ ｚ ｜ ＝ ２．由复数模的几何意义知，ｚ对应点的轨迹是两 个圆． ４． Ｄ　 设ｚ２ ＝ ｘ ＋ ｙｉ（ｘ，ｙ∈Ｒ）， 由条件得（ｘ － １） ２ ＋（ｙ － ２）２ ＝ ２０， ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ ４１{ ． 所以ｘ ＝ ５ ｙ{ ＝ ４，或 ｘ ＝ １５ ， ｙ ＝ ３２５ { ． 所以ｚ２ ＝ ５ ＋ ４ｉ或１５ ＋ ３２ ５ ｉ． ５． Ａ　 ∵ ｚ ＝ ５ａ ＋（６ － ａ２）ｉ对应的点在第二象限， ∴ ５ａ ＜ ０ ６ － ａ２{ ＞ ０，解得槡－ ６ ＜ ａ ＜ ０．故选Ａ． ６． － ２ ＋ ３ｉ　 ∵ ｚ１ ＝ ２ － ３ｉ，∴ ｚ１对应的点为（２，－ ３），关于原点的 对称点为（－ ２，３）． ∴ ｚ２ ＝ － ２ ＋ ３ｉ． ７． － １ － ５ｉ　 因为→ＡＢ，→ＡＣ对应的复数分别为－ １ ＋ ２ｉ，－ ２ － ３ｉ，所 以→ＡＢ ＝（－ １，２），→ＡＣ ＝（－ ２，－ ３）．又→ＢＣ ＝→ＡＣ －→ＡＢ ＝（－ ２， － ３）－（－ １，２）＝（－ １，－ ５），所以→ＢＣ对应的复数为－ １ － ５ｉ． ８． ｜ ｙ ＋ ２ｉ ｜ ＜ ｜ ｘ － ｙｉ ｜ ＜ ｜ １ － ５ｉ ｜ 　 由３ － ４ｉ ＝ ｘ ＋ ｙｉ（ｘ，ｙ∈Ｒ），得 ｘ ＝ ３，ｙ ＝ － ４．而｜１ － ５ｉ ｜ ＝ １ ＋ ５槡 ２ 槡＝ ２６，｜ ｘ － ｙｉ ｜ ＝ ｜ ３ ＋ ４ｉ ｜ ＝ ３２ ＋ ４槡 ２ ＝ ５，｜ ｙ ＋ ２ｉ ｜ ＝ ｜ － ４ ＋ ２ｉ ｜ ＝ （－ ４）２ ＋ ２槡 ２ 槡＝ ２ ５                                                                      ． —２２２—