练案2 9.1.1 第2课时 正弦定理的应用-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第四册同步学习指导(人教B版2019)

ｓｉｎ Ａ ｓｉｎ Ｂ ＝ ａ ｂ ＝ １ 槡３ ，所以ｓｉｎ Ｂ 槡＝ ３ｓｉｎ Ａ ＝ ｓｉｎ ２Ａ． 所以ｃｏｓ Ａ ＝槡３２ ，因为Ａ为△ＡＢＣ的内角， 所以Ａ ＝ ３０°． ５． １３１４ 　 ∵ ｂ ＝ ７ａ·ｓｉｎ Ｂ， ∴ ｓｉｎ Ｂ ＝ ７ｓｉｎ Ａ·ｓｉｎ Ｂ， ∴ ２π３ ＜ Ａ ＜ π或０ ＜ Ａ ＜ π ３ ， ∵ Ｂ ＝ π３且三角形内角和为１８０°， ∴ ０ ＜ Ａ ＜ π３ ，ｃｏｓ Ａ ＝ １ － ｓｉｎ ２槡 Ａ ＝ 槡４ ３７ ． ∴ ０ ＜ Ａ ＜ π２ ，∴ ｃｏｓ Ａ ＝ 槡 ４ ３ ７ ， ∴ ｓｉｎ Ｃ ＝ ｓｉｎ （Ａ ＋ Ｂ） ＝ ｓｉｎ Ａ·ｃｏｓ Ｂ ＋ ｃｏｓＡ·ｓｉｎ Ｂ ＝ １７ × １ ２ ＋ 槡４ ３ ７ × 槡３ ２ ＝ １３ １４ ． ６．（１）方法一：（辅助角公式） 由ｓｉｎ Ａ 槡＋ ３ ｃｏｓ Ａ ＝ ２ 可得１２ ｓｉｎ Ａ ＋槡 ３ ２ ｃｏｓ Ａ ＝ １，即 ｓｉｎ Ａ ＋ π( )３ ＝ １，由于Ａ∈（０，π）Ａ ＋ π３ ∈ π３ ，４π( )３ ，故Ａ ＋ π ３ ＝ π ２ ，解得Ａ ＝ π ６ 方法二：（同角三角函数的基本关系） 由ｓｉｎ Ａ 槡＋ ３ｃｏｓ Ａ ＝ ２，又ｓｉｎ２Ａ ＋ ｃｏｓ２Ａ ＝ １，消去ｓｉｎ Ａ得到： ４ ｃｏｓ２Ａ 槡－ ４ ３ｃｏｓ Ａ ＋ ３ ＝ ０ ２ｃｏｓ Ａ 槡( )－ ３ ２ ＝ ０，解得ｃｏｓ Ａ ＝ 槡３ ２ ，又Ａ∈（０，π），故Ａ ＝ π ６ （２）由题设条件和正弦定理槡２ｂｓｉｎ Ｃ ＝ ｃｓｉｎ ２Ｂ槡２ｓｉｎ Ｂｓｉｎ Ｃ ＝ ２ｓｉｎ Ｃｓｉｎ Ｂ ｃｏｓ Ｂ， 又Ｂ，Ｃ∈（０，π），则ｓｉｎ Ｂｓｉｎ Ｃ≠０，进而ｃｏｓ Ｂ ＝槡２２ ，得到Ｂ ＝ π ４ ，于是Ｃ ＝ π － Ａ － Ｂ ＝ ７π １２， ｓｉｎ Ｃ ＝ ｓｉｎ（π － Ａ － Ｂ）＝ ｓｉｎ（Ａ ＋ Ｂ）＝ ｓｉｎ Ａ ｃｏｓ Ｂ ＋ ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ａ ＝槡槡２ ＋ ６４ ， 由正弦定理可得， ａｓｉｎ Ａ ＝ ｂ ｓｉｎ Ｂ ＝ ｃ ｓｉｎ Ｃ，即 ２ ｓｉｎ π６ ＝ ｂ ｓｉｎ π４ ＝ ｃ ｓｉｎ ７π１２ ，解得ｂ 槡＝２ ２，ｃ 槡槡＝ ６ ＋ ２， 故△ＡＢＣ的周长为 槡 槡２ ＋ ６ ＋ ３ ２ Ｃ组　 创新拓展 　 （１）由题意ｂ － ａ ＝ ２ａｃｏｓ Ｃ， 可得ｓｉｎ Ｂ － ｓｉｎ Ａ ＝ ２ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｃ， 所以ｓｉｎ（Ａ ＋ Ｃ）－ ｓｉｎ Ａ ＝ ２ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｃ， 即ｃｏｓ Ａｓｉｎ Ｃ － ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｃ ＝ ｓｉｎ Ａ， 所以ｓｉｎ（Ｃ －Ａ）＝ｓｉｎ Ａ，由于Ａ，Ｃ为三角形内角，－π ＜Ｃ － Ａ ＜π， ０ ＜Ａ ＜π，所以Ｃ －Ａ ＝Ａ或Ｃ －Ａ ＋Ａ ＝π（舍），即Ｃ ＝２Ａ． （２）因为ａ ＝ ３，ｓｉｎ Ａ ＝ １３ ，由（１）知Ｃ ＝ ２Ａ， 故０ ＜ Ａ ＜ π２ ，则ｃｏｓ Ａ ＝ 槡 ２ ２ ３ ， 由正弦定理得ａｓｉｎ Ａ ＝ ｃ ｓｉｎ Ｃ， 所以３ｓｉｎ Ａ ＝ ｃ ２ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ａ， 所以ｃ ＝ ６ｃｏｓ Ａ ＝ ６ × 槡２ ２３ 槡＝ ４ ２， 而ｓｉｎ Ｂ ＝ ｓｉｎ（Ａ ＋ Ｃ）＝ ｓｉｎ（Ａ ＋ ２Ａ） ＝ ｓｉｎ Ａｃｏｓ ２Ａ ＋ ｃｏｓ Ａｓｉｎ ２Ａ ＝ ３ｓｉｎ Ａ － ４ｓｉｎ３Ａ ＝ ３ × １３ － ４ × １ ２７ ＝ ２３２７， 所以Ｓ△ＡＢＣ ＝ １２ 槡× ３ × ４ ２ × ２３ ２７ ＝ 槡４６ ２ ９ ． 练案［２］ Ａ组　 基础自测 １． Ａ　 设内角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别为ａ，ｂ，ｃ，∵ ｓｉｎ Ａ ＞ ｓｉｎ Ｂ， ∴ ２Ｒｓｉｎ Ａ ＞ ２Ｒｓｉｎ Ｂ（Ｒ为△ＡＢＣ外接圆的半径），即ａ ＞ ｂ，故 Ａ ＞ Ｂ． ２． Ｄ　 由３ｂ 槡＝ ２ ３ａｓｉｎ Ｂ，得ｂｓｉｎ Ｂ ＝ 槡 ２ ３ａ ３ ，根据正弦定理，得 ｂ ｓｉｎ Ｂ ＝ ａｓｉｎ Ａ，所以 ａ ｓｉｎ Ａ ＝ 槡２ ３ａ ３ ，即ｓｉｎ Ａ ＝槡 ３ ２ ．又角Ａ是锐角，所以 Ａ ＝ ６０°．又ｃｏｓ Ｂ ＝ ｃｏｓ Ｃ，且Ｂ，Ｃ都为三角形的内角，所以Ｂ ＝ Ｃ．故△ＡＢＣ为等边三角形，故选Ｄ． ３． Ｄ 　 由正弦定理得２ｓｉｎ ２Ｂ － ｓｉｎ２Ａ ｓｉｎ２Ａ ＝ ２ｂ ２ － ａ２ ａ２ ＝ ２ｂ ２ ａ２ － １ ＝ ２·３２( )ａ ２ ａ２ － １ ＝ ７２ ． ４． Ｄ　 根据→ＡＢ２ ＝ ２→ＢＡ·→ＣＡ得到：ｃ２ ＝ ２ｂｃｃｏｓ Ａ， 由正弦定理ｂｓｉｎ Ｂ ＝ ｃ ｓｉｎ Ｃ ＝ ２Ｒ， 可得ｓｉｎ２Ｃ ＝ ２ｓｉｎ Ｂｓｉｎ Ｃｃｏｓ Ａ， 又Ｃ为三角形的内角，得到ｓｉｎ Ｃ≠０， 可得ｓｉｎ Ｃ ＝ ２ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ａ， 又ｓｉｎ Ｃ ＝ ｓｉｎ π －（Ａ ＋ Ｂ[ ]） ＝ ｓｉｎ（Ａ ＋ Ｂ）， 所以ｓｉｎ（Ａ ＋ Ｂ）＝ ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｂ ＋ ｃｏｓ Ａｓｉｎ Ｂ ＝ ２ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ａ，即 ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｂ － ｃｏｓ Ａｓｉｎ Ｂ ＝ ０， 所以ｓｉｎ（Ａ － Ｂ）＝ ０，且Ａ和Ｂ都为三角形的内角，所以Ａ ＝ Ｂ， 则△ＡＢＣ的形状为等腰三角形． ５． ＢＣ　 对于Ａ，因为Ａ ＝ ４５°，Ｃ ＝ ７０°，所以Ｂ ＝ ６５°，只有一解； 对于Ｂ，因为ｓｉｎ Ｃ ＝ ｃｓｉｎ Ｂｂ ＝ 槡 ８ ３ １５ ＜ １，且ｓｉｎ Ｃ ＞ ｓｉｎ Ｂ，所以有 两解； 对于Ｃ，因为ｓｉｎ Ｂ ＝ ｂｓｉｎ Ａａ ＝ 槡 ４ ２ ７ ＜ １，且ｓｉｎ Ｂ ＞ ｓｉｎ Ａ，所以有 两解； 对于Ｄ，因为ｓｉｎ Ｂ ＝ ｂｓｉｎ Ａａ ＝ ５ｓｉｎ ８０° ７ ＜ １，但ｓｉｎ Ｂ ＜ ｓｉｎ Ａ，所以 有一解                                                                      ． —２１６— ６． 槡２ ３ ｃｍ　 ∵ ＢＣｓｉｎ Ａ ＝ ２Ｒ， ∴ ＢＣ ＝ ２Ｒｓｉｎ Ａ 槡＝ ４ｓｉｎ ６０° ＝ ２ ３（ｃｍ）． ７． １ ８．直角三角形 ９．方法一：∵ ａｃｏｓ π２ －( )Ａ ＝ ｂｃｏｓ π２ －( )Ｂ ， ∴ ａｓｉｎ Ａ ＝ ｂｓｉｎ Ｂ． 由正弦定理，可得ａ·ａ２Ｒ ＝ ｂ· ｂ ２Ｒ， ∴ ａ２ ＝ ｂ２，∴ ａ ＝ ｂ， ∴ △ＡＢＣ为等腰三角形． 方法二：∵ ａｃｏｓ π２ －( )Ａ ＝ ｂｃｏｓ π２ －( )Ｂ ， ∴ ａｓｉｎ Ａ ＝ ｂｓｉｎ Ｂ． 由正弦定理，可得２Ｒｓｉｎ２Ａ ＝ ２Ｒｓｉｎ２Ｂ， 又∵ Ａ，Ｂ∈（０，π），∴ ｓｉｎ Ａ ＝ ｓｉｎ Ｂ， ∴ Ａ ＝ Ｂ（Ａ ＋ Ｂ ＝ π不合题意，舍去）． 故△ＡＢＣ为等腰三角形． １０．由ａｓｉｎ Ａ ＝ ｃ ｓｉｎ Ｃ ＝ 槡３ ｓｉｎ π３ ＝ ２，得ａ ＝ ２ｓｉｎ Ａ，ｃ ＝ ２ｓｉｎ Ｃ， ∴ ２ａ ＋ ｃ ＝ ４ｓｉｎ Ａ ＋ ２ｓｉｎ Ｃ ＝ ４ｓｉｎ Ａ ＋ ２ｓｉｎ ２３ π －( )Ａ ＝ ５ｓｉｎ Ａ 槡＋ ３ｃｏｓ Ａ 槡＝ ２ ７ｓｉｎ （Ａ ＋ φ），其中ｔａｎ φ ＝槡３５ ． ∵ ０ ＜ Ａ ＜ ２３ π，０ ＜ φ ＜ π ２ ， ∴ ２ａ ＋ ｃ的最大值是槡２ ７． Ｂ组　 素养提升 １． ＡＢＤ　 若Ａ ＜Ｂ，则ａ ＜ ｂ，根据正弦定理知２Ｒｓｉｎ Ａ ＜２Ｒｓｉｎ Ｂ， ∴ ｓｉｎ Ａ ＜ ｓｉｎ Ｂ． ∴选项Ａ正确； 若ｓｉｎ Ａ ＜ ｓｉｎ Ｂ， ∴ ａ２Ｒ ＜ ｂ ２Ｒ， ∴ ａ ＜ ｂ，则Ａ ＜ Ｂ，∴选项Ｂ正确； 若Ａ ＞ Ｂ，设Ａ ＝ π３ ，Ｂ ＝ π ６ ， ∴ １ｔａｎ ２Ａ ＜ ０， １ ｔａｎ ２Ｂ ＞ ０， ∴选项Ｃ错误； 若Ａ ＜ Ｂ，则０ ＜ ｓｉｎ Ａ ＜ ｓｉｎ Ｂ，ｓｉｎ２Ａ ＜ ｓｉｎ２Ｂ， ∴ － ｓｉｎ２Ａ ＞ － ｓｉｎ２Ｂ，∴ １ － ｓｉｎ２Ａ ＞ １ － ｓｉｎ２Ｂ， ∴ ｃｏｓ２Ａ ＞ ｃｏｓ２Ｂ，∴选项Ｄ正确．故选ＡＢＤ． ２． ＢＤ　 因为Ａ ＋ Ｂ ＝ π － Ｃ，所以ｓｉｎ Ｃ ＝ ｓｉｎ （π － Ｃ）＝ ｓｉｎ （Ａ ＋ Ｂ）＝ ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｂ ＋ ｃｏｓ Ａｓｉｎ Ｂ．又ｓｉｎ Ｃ ＋ ｓｉｎ （Ａ －Ｂ）＝３ｓｉｎ ２Ｂ，所 以２ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｂ ＝６ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ｂ，即２ｃｏｓ Ｂ（ｓｉｎ Ａ － ３ｓｉｎ Ｂ）＝ ０，解得 ｃｏｓ Ｂ ＝ ０或ｓｉｎ Ａ ＝ ３ｓｉｎ Ｂ． 当ｃｏｓ Ｂ ＝ ０时，因为Ｂ∈（０，π），所以Ｂ ＝ π２ ． 又Ｃ ＝ π３ ，所以Ａ ＝ π ６ ，则ｓｉｎ Ａ ＝ １ ２ ，ｓｉｎ Ｂ ＝ １， 所以由正弦定理得ａｂ ＝ ｓｉｎ Ａ ｓｉｎ Ｂ ＝ １ ２ ． 当ｓｉｎ Ａ ＝ ３ｓｉｎ Ｂ时，由正弦定理得ａ ＝ ３ｂ，所以ａｂ ＝ ３．综上所 述，ａｂ ＝ ３或 １ ２ ．故选ＢＤ． ３． Ｃ　 根据正弦定理ＡＢｓｉｎ Ｃ ＝ ＢＣ ｓｉｎ Ａ，得ｓｉｎ Ａ ＝ ａ ２ ． 因为满足条件的三角形有两个，且Ｃ ＝ ６０°， 所以ＢＣ ＞ ＡＢ，即ａ 槡＞ ３，６０° ＜ Ａ ＜ １２０°，槡３２ ＜ ｓｉｎ Ａ ＝ ａ ２ ＜ １， 故ａ的取值范围是（槡３，２）． ４．直角三角形　 由已知得ｓｉｎ２Ａ － ｓｉｎ２Ｂ ＝ ｓｉｎ２Ｃ，根据正弦定理知 ｓｉｎ Ａ ＝ ａ２Ｒ，ｓｉｎ Ｂ ＝ ｂ ２Ｒ，ｓｉｎ Ｃ ＝ ｃ ２Ｒ， 所以ａ２( )Ｒ ２ － ｂ２( )Ｒ ２ ＝ ｃ２( )Ｒ ２ ， 即ａ２ － ｂ２ ＝ ｃ２，故ｂ２ ＋ ｃ２ ＝ ａ２ ． 所以△ＡＢＣ是直角三角形． ５． π１２ 　 因为角Ａ是三角形的内角，所以Ａ∈（０，π），又因为ｓｉｎ Ａ ＋ ｃｏｓ Ａ ＝ ０，所以有ｔａｎ Ａ ＝ － １．所以Ａ ＝ ３π４ ．由正弦定理可 知， ａｓｉｎ Ａ ＝ ｃ ｓｉｎ Ｃ ２ 槡２ ２ ＝ 槡２ｓｉｎ Ｃｓｉｎ Ｃ ＝ １ ２ ．因为Ａ ＝ ３π ４ ，所以 Ｃ∈ ０，π( )４ ，因此Ｃ ＝ π６ ．由三角形内角和定理可知，Ｂ ＝ π － Ａ － Ｃ ＝ π１２ ． ６．（１）由槡３ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ｂ ＋ ｃｏｓ２Ｂ ＝槡３２ ｓｉｎ ２Ｂ ＋ ｃｏｓ ２Ｂ ＋１ ２ ＝１，得槡 ３ ２ ｓｉｎ ２Ｂ ＋ １２ ｃｏｓ ２Ｂ ＝ １ ２ ，化简得ｓｉｎ ２Ｂ ＋ π( )６ ＝ １２ ． ∵ Ｂ∈（０，π），∴ ２Ｂ ＋ π６ ∈ π ６ ， １３π( )６ ， ∴ ２Ｂ ＋ π６ ＝ ５π ６ ，∴ Ｂ ＝ π ３ ． （２）由正弦定理得ａｓｉｎ Ａ ＝ ｂ ｓｉｎ Ｂ ＝ ｃ ｓｉｎ Ｃ ＝ 槡３ ｓｉｎ π３ ＝ ２， 则ａ ＝ ２ｓｉｎ Ａ，ｃ ＝ ２ｓｉｎ Ｃ． ∴ ａ － １２ ｃ ＝ ２ｓｉｎ Ａ － ｓｉｎ Ｃ ＝ ２ｓｉｎ Ａ － ｓｉｎ ２π ３ －( )Ａ ＝ ２ｓｉｎ Ａ － ｓｉｎ ２π３·ｃｏｓ Ａ ＋ ｃｏｓ ２π ３ ｓｉｎ Ａ ＝ ３ ２ ｓｉｎ Ａ － 槡３ ２ ｃｏｓ Ａ 槡＝ ３ｓｉｎ Ａ － π( )６ ． ∵ ｂ≤ａ，∴ π３ ≤Ａ ＜ ２π ３ ，∴ π ６ ≤Ａ － π ６ ＜ π ２ ． 则１２ ≤ｓｉｎ Ａ － π( )６ ＜ １， ∴ ａ － １２ ｃ 槡＝ ３ｓｉｎ Ａ － π( )６ ∈ 槡３２ ，槡[ )３ ， 即ａ － １２ ｃ的取值范围是槡 ３ ２ ，槡[ )３ ． Ｃ组　 创新拓展 　 Ａ　 在△ＡＢＣ中由正弦定理可知： ＢＣ ＡＣ ＝ ｓｉｎ∠ＢＡＣ ｓｉｎ∠ＡＢＣ ＝ ｓｉｎ ３６°ｓｉｎ ７２° ＝ ｓｉｎ ３６° ２ｓｉｎ ３６°ｃｏｓ ３６° ＝ １ ２ｃｏｓ ３６° ＝ 槡５ －１ ２ ，                                                                      所以 —２１７— ｃｏｓ ３６° ＝ １ 槡５ －１ ＝槡５ ＋１４ ，由诱导公式ｓｉｎ ５４° ＝ ｓｉｎ ９０° －３６( )° ＝ ｃｏｓ ３６°，所以ｓｉｎ ５４° ＝槡５ ＋ １４ ． 练案［３］ Ａ组　 基础自测 １． Ａ　 设△ＡＢＣ中，角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边分别为ａ、ｂ、ｃ，则ａ ＝ ３，ｃ ＝ 槡１３，∠Ｃ ＝ １２０°，由余弦定理，得１３ ＝ ９ ＋ ｂ２ ＋ ３ｂ，解得ｂ ＝ １， 即ＡＣ ＝ １． ２． Ｂ　 ∵ ｃ２ ＜ ａ２ ＋ ｂ２，∴ ∠Ｃ为锐角． ∵ ａ ＜ ｂ ＜ ｃ，∴ ∠Ｃ为最大角，∴ △ＡＢＣ为锐角三角形． ３． Ｃ　 由余弦定理得ａ２ ＝ ｂ２ ＋ ｃ２ － ２ｂｃｃｏｓ Ａ ＝ ２ｂ２ － ２ｂ２ ｃｏｓ Ａ，所以 ２ｂ２（１ － ｓｉｎ Ａ）＝ ２ｂ２（１ － ｃｏｓ Ａ），所以ｓｉｎ Ａ ＝ ｃｏｓ Ａ，即ｔａｎ Ａ ＝ １，又０ ＜ Ａ ＜ π，所以Ａ ＝ π４ ． ４． Ｃ　 因为Ｓ ＝ １４ ａ ２ ＋ ｂ２ － ｃ( )２ ， 所以１２ ａｂｓｉｎ Ｃ ＝ １ ４ （ａ ２ ＋ ｂ２ － ｃ２）， 由余弦定理可得１２ ａｂｓｉｎ Ｃ ＝ １ ２ ａｂｃｏｓ Ｃ， 即ｓｉｎ Ｃ ＝ ｃｏｓ Ｃ，又Ｃ∈ ０，( )π ，所以Ｃ ＝ π４ ， 由２ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ｃ ＝ ｓｉｎ Ａ得２ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ｃ ＝ ｓｉｎ Ｂ ＋( )Ｃ ＝ ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ｃ ＋ｃｏｓ Ｂｓｉｎ Ｃ， 整理得ｓｉｎ Ｂ －( )Ｃ ＝ ０，又因为－ π ＜ Ｂ － Ｃ ＜ π，所以Ｂ ＝ Ｃ ＝ π ４ ，所以Ａ ＝ π ２ ，所以△ＡＢＣ是等腰直角三角形． ５． Ｂ　 由正弦定理得：２ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｂ － ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｃ ＝ ｓｉｎ Ｃｃｏｓ Ａ ＋ ｓｉｎ Ａ － ｓｉｎ Ｂ，所以２ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｂ ＝ ｓｉｎ（Ａ ＋ Ｃ）＋ ｓｉｎ Ａ － ｓｉｎ Ｂ ＝ ｓｉｎ Ａ， 又由０ ＜ Ａ ＜ π，可得ｓｉｎ Ａ ＞ ０，则有ｃｏｓ Ｂ ＝ １２ ．又０ ＜ Ｂ ＜ π，则 ｓｉｎ Ｂ ＝槡３２ ． 由余弦定理得：ｃｏｓ Ｂ ＝ ａ ２ ＋ ｃ２ － ｂ２ ２ａｃ ＝ １ ２ ， 所以ａ２ ＋ ｃ２ ＝ ａｃ ＋ ４≥２ａｃ，所以ａｃ≤４（当且仅当ａ ＝ ｃ ＝ ２时等 号成立）， 则Ｓ△ＡＢＣ ＝ １２ ａｃｓｉｎ Ｂ≤ １ ２ × ４ × 槡３ ２ 槡＝ ３． ６． ７　 因为３ｓｉｎ Ｃ ＝ ８ｓｉｎ Ａ，故３ｃ ＝ ８ａ， 又１２ ａｃｓｉｎ Ｂ ＝槡 ３ ４ ａｃ 槡＝ ６ ３， 即ａｃ ＝ ２４，故ｃ ＝ ８，ａ ＝ ３． 由余弦定理可得ｂ２ ＝ ａ２ ＋ ｃ２ － ２ａｃｃｏｓ Ｂ ＝ ９ ＋ ６４ － ２４ ＝ ４９，故ｂ ＝ ７． ７． 槡３ ２　 由余弦定理得ＡＣ２ ＝ ＢＣ２ ＋ ＡＢ２ － ２ＢＣ·ＡＢｃｏｓ Ｂ，又因为 Ｂ ＝ ４５°，ＡＣ 槡＝ １０，ＡＢ ＝ ２，所以（槡１０）２ ＝ ＢＣ２ ＋ ２２ － ２ × ＢＣ × ２ × ｃｏｓ ４５°， 整理，得ＢＣ２ 槡－ ２ ２ＢＣ － ６ ＝ ０， 所以（ＢＣ 槡－ ３ ２）（ＢＣ 槡＋ ２）＝ ０， 解得ＢＣ 槡＝ ３ ２或ＢＣ 槡＝ － ２（舍去）， 所以ＢＣ边的长为槡３ ２． ８． π３ 　 １２π　 因为ｃｏｓ ２Ｃ ＝ ｓｉｎ２Ａ ＋ ｃｏｓ２Ｂ － ｓｉｎ Ａｓｉｎ Ｃ， 可得１ － ｓｉｎ２Ｃ ＝ ｓｉｎ２Ａ ＋ １ － ｓｉｎ２Ｂ － ｓｉｎ Ａｓｉｎ Ｃ， 即ｓｉｎ２Ａ ＋ ｓｉｎ２Ｃ － ｓｉｎ２Ｂ ＝ ｓｉｎ Ａｓｉｎ Ｃ， 由正弦定理可得ａｃ ＝ ａ２ ＋ ｃ２ － ｂ２， 可得ｃｏｓ Ｂ ＝ ａ ２ ＋ ｃ２ － ｂ２ ２ａｃ ＝ １ ２ ，又因为Ｂ∈（０，π），可得Ｂ ＝ π ３ ， 所以△ＡＢＣ外接圆的半径Ｒ ＝ ｂ２ｓｉｎ Ｂ 槡＝ ２ ３， 所以△ＡＢＣ外接圆的面积为πＲ２ ＝ １２π． ９．（１）由ｎ ＝ ｃｏｓ π２ －( )Ｂ ，ｃｏｓ（π －Ａ( )）得，ｎ ＝（ｓｉｎ Ｂ，－ ｃｏｓ Ａ）， 又ｍ⊥ｎ，所以ａｓｉｎ Ｂ 槡－ ３ｂｃｏｓ Ａ ＝ ０． 由正弦定理得ｓｉｎ Ａｓｉｎ Ｂ 槡－ ３ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ａ ＝ ０，又ｓｉｎ Ｂ≠０，所以 ｓｉｎ Ａ 槡－ ３ｃｏｓ Ａ ＝ ０，即ｔａｎ Ａ 槡＝ ３． 又Ａ为△ＡＢＣ的内角，所以Ａ ＝ π３ ． （２）由Ｓ△ＡＢＣ ＝ １２ ｂｃｓｉｎ Ａ得槡 ３ ３ ２ ＝ １ ２ ｂ × ３ × 槡３ ２ ， 解得ｂ ＝ ２． 又根据余弦定理得ａ２ ＝ ｂ２ ＋ ｃ２ － ２ｂｃｃｏｓ Ａ ＝ ２２ ＋ ３２ － ２ × ２ × ３ × １２ ＝ ７． 所以ａ 槡＝ ７． １０．（１）由２ｂｃｏｓ Ｂ ＝ ａｃｏｓ Ｃ ＋ ｃｃｏｓ Ａ及正弦定理，得２ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ｂ ＝ ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｃ ＋ ｓｉｎ Ｃｃｏｓ Ａ ＝ ｓｉｎ Ａ ＋( )Ｃ ＝ ｓｉｎ Ｂ， 因为０ ＜ Ｂ ＜ π，ｓｉｎ Ｂ≠０，所以ｃｏｓ Ｂ ＝ １２ ， 因为０ ＜ Ｂ ＜ π，所以Ｂ ＝ π３ ． （２）由（１）知，Ｂ ＝ π３ ．由余弦定理ｂ ２ ＝ ａ２ ＋ ｃ２ － ２ａｃｃｏｓ Ｂ，ｂ ＝８， 得６４ ＝ ａ２ ＋ ｃ２ － ａｃ≥２ａｃ － ａｃ ＝ ａｃ，即ａｃ≤６４． 当且仅当ａ ＝ ｃ ＝ ８时，等号成立． 所以当ａ ＝ ｃ ＝ ８时，ａｃ取得最大值为６４． Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ ａｃｓｉｎ Ｂ≤ １ ２ × ６４ × 槡３ ２ 槡＝ １６ ３． 所以△ＡＢＣ的面积的最大值为槡１６ ３． Ｂ组　 素养提升 １． ＡＢＤ　 设ｂ ＋ ｃ ＝ ４ｋ，ｃ ＋ ａ ＝ ５ｋ，ａ ＋ ｂ ＝ ６ｋ（ｋ ＞ ０），则ａ ＝ ７２ ｋ， ｂ ＝ ５２ ｋ，ｃ ＝ ３ ２ ｋ，故ａｂｃ ＝ ７５３，即Ａ正确；又ｃｏｓ Ａ ＝ ｂ２ ＋ ｃ２ － ａ２ ２ｂｃ ＝ ２５ ４ ｋ ２ ＋ ９４ ｋ ２ － ４９４ ｋ ２ ２ × ５２ ｋ × ３ ２ ｋ ＝ － １２ ， 故→ＡＣ·→ＡＢ ＝ ｂｃｃｏｓ Ａ ＜ ０，Ｂ正确； 由正弦定理，得ｓｉｎ Ａｓｉｎ Ｂｓｉｎ Ｃ ＝ ａｂｃ ＝ ７５３，Ｃ 错误； 若ｂ ＋ ｃ ＝ ８，则ｋ ＝ ２，故ｂ ＝ ５，ｃ ＝ ３，Ａ ＝ １２０°， 所以Ｓ△ＡＢＣ ＝ １２ ｂｃｓｉｎ Ａ ＝ 槡 １５ ３ ４ ，Ｄ正确．故选ＡＢＤ． ２． ＡＢＣ　 由Ａ ＞ Ｂ，可得ａ ＞ ｂ， 利用正弦定理可得ｓｉｎ Ａ ＞ ｓｉｎ Ｂ，Ａ正确                                                                      ； —２１８— 练案［２］ 第九章　 解三角形 ９． １　 ９． １． １　 ［第２课时　 正弦定理的应用］ Ａ组·基础自测 一、选择题 １．在△ＡＢＣ中，若ｓｉｎ Ａ ＞ ｓｉｎ Ｂ，则Ａ与Ｂ的大小 关系为 （　 ） Ａ． Ａ ＞ Ｂ Ｂ． Ａ ＜ Ｂ Ｃ． Ａ≥Ｂ Ｄ． Ａ，Ｂ的大小关系不确定 ２．在△ＡＢＣ中，已知３ｂ 槡＝２ ３ａｓｉｎ Ｂ，且ｃｏｓ Ｂ ＝ｃｏｓ Ｃ， 角Ａ是锐角，则△ＡＢＣ的形状是 （　 ） Ａ．直角三角形 Ｂ．等腰三角形 Ｃ．等腰直角三角形 Ｄ．等边三角形 ３．在△ＡＢＣ中，内角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别是ａ，ｂ，ｃ． 若３ａ ＝２ｂ，则２ｓｉｎ ２Ｂ － ｓｉｎ２Ａ ｓｉｎ２Ａ 的值为 （　 ） Ａ． － １９ Ｂ． １ ３ Ｃ． １ Ｄ． ７ ２ ４．已知△ＡＢＣ满足→ＡＢ２ ＝ ２ →ＢＡ·→ＣＡ，则△ＡＢＣ的 形状为 （　 ） Ａ．直角三角形 Ｂ．等边三角形 Ｃ．等腰直角三角形 Ｄ．等腰三角形 ５．（多选题）（２０２４·烟台高一检测）在△ＡＢＣ中，根 据下列条件解三角形，其中有两解的是（　 ） Ａ． ｂ ＝ １０，Ａ ＝ ４５°，Ｃ ＝ ７０° Ｂ． ｂ ＝ ４５，ｃ ＝ ４８，Ｂ ＝ ６０° Ｃ． ａ ＝ １４，ｂ ＝ １６，Ａ ＝ ４５° Ｄ． ａ ＝ ７，ｂ ＝ ５，Ａ ＝ ８０° 二、填空题 ６．已知△ＡＢＣ外接圆半径是２ ｃｍ，∠Ａ ＝ ６０°，则 ＢＣ边长为　 　 　 　 ． ７．在△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别为ａ，ｂ， ｃ，Ａ ＝ ２π３ ，ｂ ＝ ４，ａ ＝ ５，则满足条件的三角形有 　 　 　 　 个． ８．在△ＡＢＣ中，ｌｇ（ｓｉｎ Ａ ＋ ｓｉｎ Ｃ）＝ ２ｌｇｓｉｎ Ｂ － ｌｇ（ｓｉｎ Ｃ － ｓｉｎ Ａ），则此三角形的形状是　 　 　 ． 三、解答题 ９．在△ＡＢＣ中，已知ａｃｏｓ π２ －( )Ａ ＝ ｂｃｏｓ π２ －( )Ｂ ， 试判断△ＡＢＣ的形状                                                                  ． —７２１— １０．在△ＡＢＣ中，内角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别为ａ， ｂ，ｃ，若ｂ 槡＝ ３，Ｂ ＝ π３，求２ａ ＋ ｃ的最大值． Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．（多选题）在△ＡＢＣ中，给出下列四个结论，其 中正确的是 （　 ） Ａ．若Ａ ＜ Ｂ，则ｓｉｎ Ａ ＜ ｓｉｎ Ｂ Ｂ．若ｓｉｎ Ａ ＜ ｓｉｎ Ｂ，则Ａ ＜ Ｂ Ｃ．若Ａ ＞ Ｂ，则１ｔａｎ ２Ａ ＞ １ ｔａｎ ２Ｂ Ｄ．若Ａ ＜ Ｂ，则ｃｏｓ２Ａ ＞ ｃｏｓ２ Ｂ ２．（多选题）在△ＡＢＣ中，内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分 别为ａ，ｂ，ｃ． ｓｉｎ Ｃ ＋ ｓｉｎ （Ａ － Ｂ）＝ ３ｓｉｎ ２Ｂ，Ｃ ＝ π ３，则 ａ ｂ ＝ （　 ） Ａ． １３ Ｂ． １ ２ Ｃ． ２ Ｄ． ３ ３．若满足Ｃ ＝ ６０°，ＡＢ 槡＝ ３，ＢＣ ＝ ａ的三角形有两 个，则ａ的取值范围是 （　 ） Ａ．（１，槡２） Ｂ．（槡２，槡３） Ｃ．（槡３，２） Ｄ．（１，２） 二、填空题 ４．在△ＡＢＣ中，若（ｓｉｎ Ａ ＋ ｓｉｎ Ｂ）（ｓｉｎ Ａ － ｓｉｎ Ｂ） ＝ ｓｉｎ２Ｃ，则△ＡＢＣ的形状是　 　 　 　 　 ． ５．在△ＡＢＣ中，ａ ＝ ２，ｃ ＝槡２，ｓｉｎ Ａ ＋ ｃｏｓ Ａ ＝ ０，则 角Ｂ的大小为　 　 　 　 　 ． 三、解答题 ６．在△ＡＢＣ中，内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别是ａ，ｂ， ｃ，且满足槡３ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ｂ ＋ ｃｏｓ２ Ｂ ＝ １． （１）求角Ｂ的值； （２）若ｂ ＝槡３且ｂ≤ａ，求ａ － １２ ｃ的取值范围． Ｃ组·创新拓展 　 德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里 有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分 割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可 以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两 种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角 形被认为是最美的三角形，它是两底角为７２° 的等腰三角形（另一种是两底角为３６°的等腰 三角形），例如，五角星由五个黄金三角形与一 个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金 △ＡＢＣ中ＢＣＡＣ ＝ 槡５ － １ ２ ．根据这些信息，可得 ｓｉｎ ５４° ＝ （　 ） Ａ． １ ＋槡５４ Ｂ． ３ ＋槡５ ８ Ｃ． ４ ＋槡５８ Ｄ． １ － ２槡５                                                                         ４ —８２１—