练案1 9.1.1 第I课时 正弦定理-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第四册同步学习指导(人教B版2019)

书 练案［１］ 第九章　 解三角形 ９． １　 ９． １． １　 ［第１课时　 正弦定理］ Ａ组·基础自测 一、选择题 １．（２０２４·潍坊高一检测）在△ＡＢＣ中，其内角 Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，已知ｃ 槡＝ ３， Ａ ＝ ３０°，Ｂ ＝ １５°，则边长ａ ＝ （　 ） Ａ．槡３２ Ｂ．槡３ Ｃ．槡 ６ ２ Ｄ．槡６ ２．在△ＡＢＣ中，ａ ＝ ３，ｂ ＝ ５，ｓｉｎ Ａ ＝ １３，则ｓｉｎ Ｂ ＝ （　 ） Ａ． １５ 　 　 　 Ｂ． ５ ９ Ｃ． 槡５ ３ Ｄ． １ ３．已知△ＡＢＣ的面积为３２，且ｂ ＝ ２，ｃ ＝槡３，则 ｓｉｎ Ａ ＝ （　 ） Ａ．槡３２ Ｂ． １ ２ Ｃ． 槡３ ４ Ｄ．槡３ ４．在△ＡＢＣ中，ａ ＝ ３槡２，ｃ ＝ ３，Ａ ＝ ４５°，则△ＡＢＣ 的最大内角等于 （ ） Ａ． １０５° Ｂ． １２０° Ｃ． １２５° Ｄ． １５０° ５．（多选题）（２０２４·营口高二检测）在△ＡＢＣ 中，内角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别为ａ，ｂ，ｃ．若ａ ＝ ２　槡２，ｂ ＝ 　槡６，ｃｏｓ Ａ ＝ １３，则 （ＡＣ ） Ａ．△ＡＢＣ外接圆的半径为３２ Ｂ．△ＡＢＣ外接圆的半径为３ Ｃ． ｃ ＝ 　槡６ Ｄ． ｃ ＝ ２槡２ 二、填空题 ６．在△ＡＢＣ中，ＡＢ ＝槡６，∠Ａ ＝ ７５°，∠Ｂ ＝ ４５°，则 ＡＣ ＝ 　 　 　 ． ７．在△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ， 若ａ ＝ １，ｂ ＝槡３，Ａ ＋ Ｃ ＝ ２Ｂ，则ｓｉｎ Ａ ＝ 　 　 　 ． ８．在△ＡＢＣ中，Ａ ＝ ２π３ ，ａ ＝槡３ｃ，则 ｂ ｃ ＝ 　 　 　 ． 三、解答题 ９．在△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ， Ｂ ＝ ３０°，ｂ ＝槡２，ｃ ＝ ２，求Ａ，Ｃ，ａ． １０．在△ＡＢＣ中，若ａ ＝ ２，Ｃ ＝ π４，ｃｏｓ Ｂ ２ ＝ ２槡５ ５ ，求 △ＡＢＣ的面积                                                                  Ｓ． —５２１— Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．（多选题）在△ＡＢＣ中，内角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边 分别为ａ，ｂ，ｃ．根据下列条件解三角形，其中无 解的是 （　 ） Ａ． ａ ＝７，ｂ ＝３，Ｂ ＝３０° Ｂ． ｂ ＝６，ｃ 槡＝５ ２，Ｂ ＝４５° Ｃ． ａ ＝１５，ｂ ＝１０，Ｂ ＝１２０° Ｄ． ｂ ＝６，ｃ 槡＝６ ３，Ｃ ＝６０° ２．（多选题）在△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别 为ａ，ｂ，ｃ，则下列等式中一定成立的是（　 ） Ａ． ａｓｉｎ Ａ ＝ ｂｓｉｎ Ｂ Ｂ． ｂｓｉｎ Ｃ ＝ ｃｓｉｎ Ｂ Ｃ． ａｂｓｉｎ Ｃ ＝ ｂｃｓｉｎ Ｂ Ｄ． ａｓｉｎ Ｃ ＝ ｃｓｉｎ Ａ ３．在△ＡＢＣ中，ａ，ｂ，ｃ分别是角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边， 若ｓｉｎ Ｂｂ ＝ ｃｏｓ Ａ ａ ，则Ａ的值为 （　 ） Ａ． π６ Ｂ． π ４ Ｃ． π ３ Ｄ． ３π ４ 二、填空题 ４．在△ＡＢＣ中，若Ｂ ＝ ２Ａ，ａｂ ＝ １槡３，则Ａ ＝ 　 　 　 ． ５．在△ＡＢＣ中，ａ，ｂ，ｃ分别为角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边，且 ｂ ＝７ａ ｓｉｎ Ｂ，若Ｂ ＝ π３，则ｓｉｎ Ｃ ＝ 　 　 　 ． 三、解答题 ６．（２０２４·新课标全国Ⅱ卷）记△ＡＢＣ的内角Ａ， Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，已知ｓｉｎ Ａ 槡＋ ３ｃｏｓ Ａ ＝ ２． （１）求Ａ． （２）若ａ ＝ ２，槡２ ｂｓｉｎ Ｃ ＝ ｃｓｉｎ２Ｂ，求△ＡＢＣ的 周长． Ｃ组·创新拓展 　 在△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ， 已知ｂ － ａ ＝ ２ａｃｏｓ Ｃ． （１）证明：Ｃ ＝ ２Ａ； （２）若ａ ＝ ３，ｓｉｎ Ａ ＝ １３，求△ＡＢＣ的面积                                                                         ． —６２１— ［练案部分］ 练案［１］ Ａ组　 基础自测 １． Ｃ　 因为Ｃ ＝ １８０° － ３０° － １５° ＝ １３５°，所以ｓｉｎ Ｃ ＝ ｓｉｎ １３５° ＝ 槡２ ２ ，由正弦定理得：ａ ＝ ｃｓｉｎ Ａ ｓｉｎ Ｃ ＝ 槡３ × １２ 槡２ ２ ＝槡６２ ． ２． Ｂ　 由ａｓｉｎ Ａ ＝ ｂ ｓｉｎ Ｂ，知 ３ １ ３ ＝ ５ｓｉｎ Ｂ，即ｓｉｎ Ｂ ＝ ５ ９ ，选Ｂ． ３． Ａ　 由已知，得３２ ＝ １ ２ 槡× ２ × ３ × ｓｉｎ Ａ， ∴ ｓｉｎ Ａ ＝槡３２ ． ４． Ａ　 在△ＡＢＣ中，ａ 槡＝ ３ ２，ｃ ＝ ３，Ａ ＝ ４５°， ∴由正弦定理得ａｓｉｎ Ａ ＝ ｃ ｓｉｎ Ｃ． 即槡３ ２ 槡２ ２ ＝ ３ｓｉｎ Ｃ，得ｓｉｎ Ｃ ＝ １ ２ ， ∵ ａ 槡＝ ３ ２ ＞ ｃ ＝ ３， ∴ Ａ ＞ Ｃ，即０° ＜ Ｃ ＜ ９０°， ∴ Ｃ ＝ ３０°，∴ Ｂ ＝ １８０° － Ａ － Ｃ ＝ １０５°， ∴ △ＡＢＣ的最大内角为Ｂ ＝ １０５°． ５． ＡＣ 　 因为ｃｏｓ Ａ ＝ １３ ，Ａ 为三角形内角，所以ｓｉｎ Ａ ＝ 　 １ － ｃｏｓ２槡 Ａ ＝ ２ 　槡２ ３ ．设△ＡＢＣ外接圆的半径为Ｒ， 则２Ｒ ＝ ａｓｉｎ Ａ ＝ ３，所以△ＡＢＣ外接圆的半径为 ３ ２ ．由 ｂ ｓｉｎ Ｂ ＝ 　槡６ ｓｉｎ Ｂ ＝ ３，得ｓｉｎ Ｂ ＝ 　槡６ ３ ． 因为ａ ＞ ｂ，所以ｃｏｓ Ｂ ＝ 　 １ － ｓｉｎ２槡 Ｂ ＝ 　槡３ ３ ． 因为ｃｏｓ Ｃ ＝ － ｃｏｓ（Ａ ＋ Ｂ）， 所以ｃｏｓ Ｃ ＝ ２ 　槡２ ３ × 　槡６ ３ － １ ３ × 　槡３ ３ ＝ 　槡３ ３ ， 所以Ｂ ＝ Ｃ，则ｃ ＝ ｂ ＝ 　槡６． ６． ２　 在△ＡＢＣ中，∠Ａ ＝ ７５°，∠Ｂ ＝ ４５°， 所以∠Ｃ ＝ ６０°， 由正弦定理知ＡＣｓｉｎ Ｂ ＝ ＡＢ ｓｉｎ Ｃ， 所以ＡＣ ＝ ＡＢｓｉｎ Ｂｓｉｎ Ｃ ＝槡 ６ × ｓｉｎ ４５° ｓｉｎ ６０° ＝ ２． ７． １２ 　 因为Ａ ＋ Ｂ ＋ Ｃ ＝ １８０°， 且Ａ ＋ Ｃ ＝ ２Ｂ，所以Ｂ ＝ ６０°， 由正弦定理得ｓｉｎ Ａ ＝ ａｓｉｎ Ｂｂ ＝ １ × ｓｉｎ ６０° 槡３ ＝ １２ ． ８． １　 由ａｃ ＝ ｓｉｎ Ａ ｓｉｎ Ｃ，得ｓｉｎ Ｃ ＝ １ ２ ，所以Ｃ ＝ Ｂ ＝ π ６ ，所以 ｂ ｃ ＝ ｓｉｎ Ｂ ｓｉｎ Ｃ ＝ １． ９．由正弦定理得，ｓｉｎ Ｃ ＝ ｃｓｉｎ Ｂｂ ＝ ２ｓｉｎ ３０° 槡２ ＝槡２２ ，∵ ｃ ＞ ｂ，０° ＜ Ｃ ＜ １８０°， ∴ Ｃ ＝ ４５°或１３５°． 当Ｃ ＝ ４５°时，Ａ ＝ １０５°， ∴ ａ ＝ ｂｓｉｎ Ａｓｉｎ Ｂ ＝ 槡２ｓｉｎ １０５° ｓｉｎ ３０° 槡＝ ３ ＋ １． 当Ｃ ＝ １３５°时，Ａ ＝ １５°， ∴ ａ ＝ ｂｓｉｎ Ａｓｉｎ Ｂ ＝ 槡２ｓｉｎ １５° ｓｉｎ ３０° 槡＝ ３ － １． １０． ∵ ｃｏｓ Ｂ２ ＝ 槡２ ５ ５ ， ∴ ｃｏｓ Ｂ ＝ ２ｃｏｓ２ Ｂ２ － １ ＝ ３ ５ ． ∴ ｓｉｎ Ｂ ＝ ４５ ． ∵ Ｃ ＝ π ４ ， ∴ ｓｉｎ Ａ ＝ ｓｉｎ （Ｂ ＋ Ｃ） ＝ ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ｃ ＋ ｃｏｓ Ｂｓｉｎ Ｃ ＝ 槡７ ２１０ ． ∵ ａｓｉｎ Ａ ＝ ｃ ｓｉｎ Ｃ， ∴ ｃ ＝ ａｓｉｎ Ｃｓｉｎ Ａ ＝ ２ 槡７ ２ １０ ×槡２２ ＝ １０ ７ ． ∴ Ｓ ＝ １２ ａｃｓｉｎ Ｂ ＝ １ ２ × ２ × １０ ７ × ４ ５ ＝ ８ ７ ． Ｂ组　 素养提升 １． ＡＣ　 对于选项Ａ，由正弦定理，得 ｓｉｎ Ａ ＝ ａｂ ｓｉｎ Ｂ ＝ ７ ３ × ｓｉｎ ３０° ＝ ７ ６ ＞ １， 所以此三角形无解，满足题意； 对于选项Ｂ，由正弦定理，得ｓｉｎ Ｃ ＝ ｃｂ ｓｉｎ Ｂ ＝ 槡 ５ ２ ６ × ｓｉｎ ４５° ＝ ５ ６ ＜ １，且ｃ ＞ ｂ，故此三角形有两个解； 对于选项Ｃ，由正弦定理，得ｓｉｎ Ａ ＝ ａｂ ｓｉｎ Ｂ ＝ １５ １０ × ｓｉｎ １２０° ＝ 槡３ ３ ４ ＞ １，所以此三角形无解，满足题意； 对于选项Ｄ，由正弦定理，得ｓｉｎ Ｂ ＝ ｂｃ ｓｉｎ Ｃ ＝ ６ 槡６ ３ × ｓｉｎ ６０° ＝ １ ２ ＜ １，且ｃ ＞ ｂ，所以Ｂ ＜ Ｃ，故Ｂ ＝ ３０°，此时三角形有且只有 一解．故选ＡＣ． ２． ＢＤ　 由正弦定理可知，Ｂ、Ｄ正确． ３． Ｂ　 根据正弦定理，得ｓｉｎ Ａａ ＝ ｓｉｎ Ｂ ｂ ．由已知得 ｓｉｎ Ｂ ｂ ＝ ｃｏｓ Ａ ａ ， ∴ ｓｉｎ Ａａ ＝ ｃｏｓ Ａ ａ ，∴ ｓｉｎ Ａ ＝ ｃｏｓ Ａ，∴ ｔａｎ Ａ ＝ １． 又０ ＜ Ａ ＜ π，∴ Ａ ＝ π４ ． ４． ３０°　 由正弦定理ａｓｉｎ Ａ ＝ ｂ ｓｉｎ Ｂ知                                                                   ， —２１５— ｓｉｎ Ａ ｓｉｎ Ｂ ＝ ａ ｂ ＝ １ 槡３ ，所以ｓｉｎ Ｂ 槡＝ ３ｓｉｎ Ａ ＝ ｓｉｎ ２Ａ． 所以ｃｏｓ Ａ ＝槡３２ ，因为Ａ为△ＡＢＣ的内角， 所以Ａ ＝ ３０°． ５． １３１４ 　 ∵ ｂ ＝ ７ａ·ｓｉｎ Ｂ， ∴ ｓｉｎ Ｂ ＝ ７ｓｉｎ Ａ·ｓｉｎ Ｂ， ∴ ２π３ ＜ Ａ ＜ π或０ ＜ Ａ ＜ π ３ ， ∵ Ｂ ＝ π３且三角形内角和为１８０°， ∴ ０ ＜ Ａ ＜ π３ ，ｃｏｓ Ａ ＝ １ － ｓｉｎ ２槡 Ａ ＝ 槡４ ３７ ． ∴ ０ ＜ Ａ ＜ π２ ，∴ ｃｏｓ Ａ ＝ 槡 ４ ３ ７ ， ∴ ｓｉｎ Ｃ ＝ ｓｉｎ （Ａ ＋ Ｂ） ＝ ｓｉｎ Ａ·ｃｏｓ Ｂ ＋ ｃｏｓＡ·ｓｉｎ Ｂ ＝ １７ × １ ２ ＋ 槡４ ３ ７ × 槡３ ２ ＝ １３ １４ ． ６．（１）方法一：（辅助角公式） 由ｓｉｎ Ａ 槡＋ ３ ｃｏｓ Ａ ＝ ２ 可得１２ ｓｉｎ Ａ ＋槡 ３ ２ ｃｏｓ Ａ ＝ １，即 ｓｉｎ Ａ ＋ π( )３ ＝ １，由于Ａ∈（０，π）Ａ ＋ π３ ∈ π３ ，４π( )３ ，故Ａ ＋ π ３ ＝ π ２ ，解得Ａ ＝ π ６ 方法二：（同角三角函数的基本关系） 由ｓｉｎ Ａ 槡＋ ３ｃｏｓ Ａ ＝ ２，又ｓｉｎ２Ａ ＋ ｃｏｓ２Ａ ＝ １，消去ｓｉｎ Ａ得到： ４ ｃｏｓ２Ａ 槡－ ４ ３ｃｏｓ Ａ ＋ ３ ＝ ０ ２ｃｏｓ Ａ 槡( )－ ３ ２ ＝ ０，解得ｃｏｓ Ａ ＝ 槡３ ２ ，又Ａ∈（０，π），故Ａ ＝ π ６ （２）由题设条件和正弦定理槡２ｂｓｉｎ Ｃ ＝ ｃｓｉｎ ２Ｂ槡２ｓｉｎ Ｂｓｉｎ Ｃ ＝ ２ｓｉｎ Ｃｓｉｎ Ｂ ｃｏｓ Ｂ， 又Ｂ，Ｃ∈（０，π），则ｓｉｎ Ｂｓｉｎ Ｃ≠０，进而ｃｏｓ Ｂ ＝槡２２ ，得到Ｂ ＝ π ４ ，于是Ｃ ＝ π － Ａ － Ｂ ＝ ７π １２， ｓｉｎ Ｃ ＝ ｓｉｎ（π － Ａ － Ｂ）＝ ｓｉｎ（Ａ ＋ Ｂ）＝ ｓｉｎ Ａ ｃｏｓ Ｂ ＋ ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ａ ＝槡槡２ ＋ ６４ ， 由正弦定理可得， ａｓｉｎ Ａ ＝ ｂ ｓｉｎ Ｂ ＝ ｃ ｓｉｎ Ｃ，即 ２ ｓｉｎ π６ ＝ ｂ ｓｉｎ π４ ＝ ｃ ｓｉｎ ７π１２ ，解得ｂ 槡＝２ ２，ｃ 槡槡＝ ６ ＋ ２， 故△ＡＢＣ的周长为 槡 槡２ ＋ ６ ＋ ３ ２ Ｃ组　 创新拓展 　 （１）由题意ｂ － ａ ＝ ２ａｃｏｓ Ｃ， 可得ｓｉｎ Ｂ － ｓｉｎ Ａ ＝ ２ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｃ， 所以ｓｉｎ（Ａ ＋ Ｃ）－ ｓｉｎ Ａ ＝ ２ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｃ， 即ｃｏｓ Ａｓｉｎ Ｃ － ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｃ ＝ ｓｉｎ Ａ， 所以ｓｉｎ（Ｃ －Ａ）＝ｓｉｎ Ａ，由于Ａ，Ｃ为三角形内角，－π ＜Ｃ － Ａ ＜π， ０ ＜Ａ ＜π，所以Ｃ －Ａ ＝Ａ或Ｃ －Ａ ＋Ａ ＝π（舍），即Ｃ ＝２Ａ． （２）因为ａ ＝ ３，ｓｉｎ Ａ ＝ １３ ，由（１）知Ｃ ＝ ２Ａ， 故０ ＜ Ａ ＜ π２ ，则ｃｏｓ Ａ ＝ 槡 ２ ２ ３ ， 由正弦定理得ａｓｉｎ Ａ ＝ ｃ ｓｉｎ Ｃ， 所以３ｓｉｎ Ａ ＝ ｃ ２ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ａ， 所以ｃ ＝ ６ｃｏｓ Ａ ＝ ６ × 槡２ ２３ 槡＝ ４ ２， 而ｓｉｎ Ｂ ＝ ｓｉｎ（Ａ ＋ Ｃ）＝ ｓｉｎ（Ａ ＋ ２Ａ） ＝ ｓｉｎ Ａｃｏｓ ２Ａ ＋ ｃｏｓ Ａｓｉｎ ２Ａ ＝ ３ｓｉｎ Ａ － ４ｓｉｎ３Ａ ＝ ３ × １３ － ４ × １ ２７ ＝ ２３２７， 所以Ｓ△ＡＢＣ ＝ １２ 槡× ３ × ４ ２ × ２３ ２７ ＝ 槡４６ ２ ９ ． 练案［２］ Ａ组　 基础自测 １． Ａ　 设内角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别为ａ，ｂ，ｃ，∵ ｓｉｎ Ａ ＞ ｓｉｎ Ｂ， ∴ ２Ｒｓｉｎ Ａ ＞ ２Ｒｓｉｎ Ｂ（Ｒ为△ＡＢＣ外接圆的半径），即ａ ＞ ｂ，故 Ａ ＞ Ｂ． ２． Ｄ　 由３ｂ 槡＝ ２ ３ａｓｉｎ Ｂ，得ｂｓｉｎ Ｂ ＝ 槡 ２ ３ａ ３ ，根据正弦定理，得 ｂ ｓｉｎ Ｂ ＝ ａｓｉｎ Ａ，所以 ａ ｓｉｎ Ａ ＝ 槡２ ３ａ ３ ，即ｓｉｎ Ａ ＝槡 ３ ２ ．又角Ａ是锐角，所以 Ａ ＝ ６０°．又ｃｏｓ Ｂ ＝ ｃｏｓ Ｃ，且Ｂ，Ｃ都为三角形的内角，所以Ｂ ＝ Ｃ．故△ＡＢＣ为等边三角形，故选Ｄ． ３． Ｄ 　 由正弦定理得２ｓｉｎ ２Ｂ － ｓｉｎ２Ａ ｓｉｎ２Ａ ＝ ２ｂ ２ － ａ２ ａ２ ＝ ２ｂ ２ ａ２ － １ ＝ ２·３２( )ａ ２ ａ２ － １ ＝ ７２ ． ４． Ｄ　 根据→ＡＢ２ ＝ ２→ＢＡ·→ＣＡ得到：ｃ２ ＝ ２ｂｃｃｏｓ Ａ， 由正弦定理ｂｓｉｎ Ｂ ＝ ｃ ｓｉｎ Ｃ ＝ ２Ｒ， 可得ｓｉｎ２Ｃ ＝ ２ｓｉｎ Ｂｓｉｎ Ｃｃｏｓ Ａ， 又Ｃ为三角形的内角，得到ｓｉｎ Ｃ≠０， 可得ｓｉｎ Ｃ ＝ ２ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ａ， 又ｓｉｎ Ｃ ＝ ｓｉｎ π －（Ａ ＋ Ｂ[ ]） ＝ ｓｉｎ（Ａ ＋ Ｂ）， 所以ｓｉｎ（Ａ ＋ Ｂ）＝ ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｂ ＋ ｃｏｓ Ａｓｉｎ Ｂ ＝ ２ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ａ，即 ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｂ － ｃｏｓ Ａｓｉｎ Ｂ ＝ ０， 所以ｓｉｎ（Ａ － Ｂ）＝ ０，且Ａ和Ｂ都为三角形的内角，所以Ａ ＝ Ｂ， 则△ＡＢＣ的形状为等腰三角形． ５． ＢＣ　 对于Ａ，因为Ａ ＝ ４５°，Ｃ ＝ ７０°，所以Ｂ ＝ ６５°，只有一解； 对于Ｂ，因为ｓｉｎ Ｃ ＝ ｃｓｉｎ Ｂｂ ＝ 槡 ８ ３ １５ ＜ １，且ｓｉｎ Ｃ ＞ ｓｉｎ Ｂ，所以有 两解； 对于Ｃ，因为ｓｉｎ Ｂ ＝ ｂｓｉｎ Ａａ ＝ 槡 ４ ２ ７ ＜ １，且ｓｉｎ Ｂ ＞ ｓｉｎ Ａ，所以有 两解； 对于Ｄ，因为ｓｉｎ Ｂ ＝ ｂｓｉｎ Ａａ ＝ ５ｓｉｎ ８０° ７ ＜ １，但ｓｉｎ Ｂ ＜ ｓｉｎ Ａ，所以 有一解                                                                      ． —２１６—