第9章 解三角形 章末知识梳理(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第四册同步学习指导(人教B版2019)

　 　 所以∠ＣＡＢ ＝ ３０°， 　 　 所以护航舰航行的方位角为７５°． 对点训练 ３．（１）在△ＢＣＰ中，ｔａｎ∠ＰＢＣ ＝ ＰＣＢＣＢＣ ＝ ２． 在△ＡＢＣ中，由题意得∠ＣＢＡ ＝ １２０°，所以∠ＢＣＡ ＝ ４５°， 由正弦定理得： ＢＣｓｉｎ∠ＢＡＣ ＝ ＡＢ ｓｉｎ∠ＢＣＡ ２ ｓｉｎ １５° ＝ ＡＢ ｓｉｎ ４５°，所以 ＡＢ ＝２（槡３ ＋１），所以船的航行速度是每小时６（槡３ ＋ １）千米． （２）在△ＢＣＤ中，由余弦定理得：ＣＤ 槡＝ ６， 由正弦定理得： ＣＤｓｉｎ∠ＤＢＣ ＝ ＣＢ ｓｉｎ∠ＣＤＢ ｓｉｎ∠ＣＤＢ ＝槡２２ ，∠ＣＤＢ ＜ １２０°，所以∠ＣＤＢ ＝ ４５°， 所以山顶位于Ｄ处南偏东４５°方向上． 　 　 例４：如图，令∠ＡＣＤ ＝ α，∠ＣＤＢ ＝ β， 在△ＣＢＤ中，由余弦定理得 　 　 ｃｏｓ β ＝ ＢＤ ２ ＋ ＣＤ２ － ＣＢ２ ２ＢＤ·ＣＤ 　 　 ＝ ２０ ２ ＋ ２１２ － ３１２ ２ × ２０ × ２１ ＝ － １ ７ ， 　 　 ∴ ｓｉｎ β ＝ 槡４ ３７ ．又ｓｉｎ α ＝ ｓｉｎ （β －６０°）＝ ｓｉｎ βｃｏｓ ６０° － ｓｉｎ ６０°ｃｏｓ β 　 　 ＝ 槡４ ３７ × １ ２ ＋ 槡３ ２ × １ ７ ＝ 槡５ ３ １４ ， 　 　 在△ＡＣＤ中， ２１ｓｉｎ ６０° ＝ ＡＤ ｓｉｎ α ，∴ ＡＤ ＝２１ ×ｓｉｎ αｓｉｎ ６０° ＝１５（ｋｍ）． 　 　 答：这个人再走１５ ｋｍ就可以到达Ａ城． 对点训练 ４． １００ ｎ ｍｉｌｅ或２００ ｎ ｍｉｌｅ 如图，设基地位于Ｏ处，由题意知∠ＢＡＯ ＝ ３０°，ＢＯ ＝ １００，ＯＡ ＝ 槡１００ ３，则在△ＡＢＯ中，由余弦定理，得ＢＯ２ ＝ ＢＡ２ ＋ ＡＯ２ － ２ＢＡ· ＡＯｃｏｓ∠ＢＡＯ，即ＢＡ２ － ３００ＢＡ ＋ ２０ ０００ ＝ ０， 解得ＢＡ ＝ １００或ＢＡ ＝ ２００， 即渔船Ｂ与救护船Ａ的距离是１００ ｎ ｍｉｌｅ或２００ ｎ ｍｉｌｅ． 课堂检测　 固双基 １． Ｃ　 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ｔａｎ α ＝ ＢＣＡＣ， 则ＢＣ ＝ ＡＣ·ｔａｎ α ＝ ７ｔａｎ α（米），故选Ｃ． ２． Ｄ　 由题得，在△ＱＳＡ中，因为∠ＱＳＡ ＝ ４５°，ＳＱ ＝ ２０，∠ＳＱＡ ＝ ９０°，所以ＳＡ 槡＝ ２０ ２，ＱＡ ＝ ２０． 在△ＱＳＢ中，因为ＱＢ ＝ ＱＡ ＋ ＡＢ ＝ １４０，ＳＱ ＝ ２０，∠ＳＱＢ ＝ ９０°， 所以ＳＢ 槡＝ １００ ２． 在△ＳＡＢ中，因为ＳＡ 槡＝ ２０ ２，ＡＢ ＝ １２０，ＳＢ 槡＝ １００ ２，由余弦定 理可得ｃｏｓ∠ＡＳＢ ＝（槡２０ ２） ２ ＋（ 槡１００ ２）２ －１２０２ 槡 槡２ ×２０ ２ ×１００ ２ ＝ ４５ ． 故选Ｄ． ３． Ｂ　 设台风中心移动ｔ ｈ，城市Ｂ处在危险区，则（２０ｔ）２ ＋ ４０２ － ２ × ２０ ｔ × ４０ × ｃｏｓ ４５°≤９００，解得槡２ － １２ ≤ｔ≤槡２ ＋ １ ２ ，所以Ｂ 城市处在危险区的时间为１ ｈ． ４． １． ２　 如图，设该高一学生最初的位 置为Ａ，骑行２千米后的位置为Ｂ， 塔的位置为Ｃ，过点Ａ作ＡＤ⊥ＢＣ 交ＢＣ的延长线于点Ｄ． 由题意可知，∠ＢＡＣ ＝ ６０° － ３０° ＝ ３０°，∠ＡＢＤ ＝ ９０° － ６０° ＝ ３０°，ＡＢ ＝ ２，∴ ＡＣ ＝ ＢＣ，且∠ＡＣＢ ＝ １２０°， ∴ ＡＣ２ ＋ ＢＣ２ － ２ＡＣ·ＢＣ·ｃｏｓ∠ＡＣＢ ＝ ＡＢ２， 即２ＢＣ２ ＋ ＢＣ２ ＝ ＡＢ２ ＝ ４，解得ＢＣ ＝ 槡２ ３３ ≈１． ２． 故此时这名学生与塔的距离大约为１．２千米． ５． 槡４０ ３３ 　 如图所示，由题意，得∠ＡＢＣ ＝ ４５° － ３０° ＝ １５°，∠ＤＡＣ ＝ ６０° －３０° ＝３０°． ∴ ∠ＢＡＣ ＝１５０°，∠ＡＣＢ ＝１５°， ∴ ＡＣ ＝ ＡＢ ＝ ４０ ｍ，∠ＡＤＣ ＝ １２０°， ∠ＡＣＤ ＝ ３０°． 在△ＡＣＤ中，由正弦定理，得ＣＤ ＝ ｓｉｎ∠ＣＡＤ ｓｉｎ∠ＡＤＣ × ＡＣ ＝ ｓｉｎ ３０°ｓｉｎ １２０° × ４０ ＝ 槡４０ ３３ （ｍ）． 故转播塔的高度为槡４０ ３３ ｍ． 章末知识梳理 　 　 例１：（１）Ａ　 （２）Ｂ 　 （１）在△ＡＢＣ中，Ａ ＝ π４ ，ＡＢ 槡＝ ２， ＡＣ ＝ ４，根据余弦定理：ＢＣ ＝ 槡( )２ ２ ＋ ４２ 槡－ ２ × ２ × ４ ×槡２槡 ２ ＝ 槡１０．设ＢＣ边上的高为ｈ，则Ｓ ＝ １２ ｂｃｓｉｎ Ａ ＝ １ ２ ａｈ，即 １ ２ × ４ × 槡２ ×槡２２ ＝ １ ２ 槡× １０ｈ，解得ｈ ＝ 槡 ２ １０ ５ ． 　 　 （２）Ｓ△ＡＢＣ ＝ １２ ｂｃｓｉｎ Ａ ＝ ４ｓｉｎ Ａ ＝ ２， 　 　 所以ｓｉｎ Ａ ＝ １２ ，因为Ａ∈（０，π）， 　 　 所以Ａ ＝ π６或Ａ ＝ ５π ６ ，所以２Ａ ＝ π ３或２Ａ ＝ ５π ３ ， 　 　 所以ｓｉｎ ２Ａ ＝槡３２或ｓｉｎ ２Ａ ＝ －槡 ３ ２ ． 对点训练 １．（１）Ｂ　 （２）７５°　 （３）Ｄ　 （１）在△ＡＢＣ中，Ａ ＝ ７５°，Ｂ ＝ ４５°， ∴ Ｃ ＝ １８０° － Ａ － Ｂ ＝ ６０°．设△ＡＢＣ的外接圆半径为Ｒ，则由正 弦定理可得２Ｒ ＝ ｃｓｉｎ Ｃ，解得Ｒ ＝ １，故△ＡＢＣ的外接圆面积 Ｓ ＝ πＲ２ ＝ π．故选Ｂ． （２）∵ ｂ ＝ 槡４ ３３ ，ｃ 槡＝ ２ ２，Ｃ ＝ ６０°，∴由正弦定理 ｂ ｓｉｎ Ｂ ＝ ｃ ｓｉｎ Ｃ得 ｓｉｎ Ｂ ＝ ｂｓｉｎ Ｃｃ ＝ 槡４ ３ ３ × 槡３ ２ 槡２ ２ ＝槡２２                                                                       ． —１８６— ∵ ｂ ＜ ｃ，∴ Ｂ ＜ Ｃ，∴ Ｂ ＝ ４５°， ∴ Ａ ＝ １８０° －（Ｂ ＋ Ｃ）＝ １８０° － １０５° ＝ ７５°． （３）在△ＡＢＣ中，ａ ＝ ４，ｂ 槡＝ ４ ３，Ａ ＝ ３０°， 由正弦定理ａｓｉｎ Ａ ＝ ｂ ｓｉｎ Ｂ得 ４ ｓｉｎ ３０° ＝ 槡４ ３ ｓｉｎ Ｂ，解得ｓｉｎ Ｂ ＝槡 ３ ２ ． 因为ｂ ＞ ａ，由大边对大角可得Ｂ ＞ Ａ，∴ Ｂ ＝ ６０°或１２０°，故 选Ｄ． 　 　 例２：Ｂ　 ∵ ２ｂｃｏｓ Ｃ － ２ｃｃｏｓ Ｂ ＝ ａ， 　 　 ∴ ２ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ｃ － ２ｓｉｎ Ｃｃｏｓ Ｂ ＝ ｓｉｎ Ａ ＝ ｓｉｎ （Ｂ ＋ Ｃ）， 　 　 即ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ｃ ＝ ３ｃｏｓ Ｂｓｉｎ Ｃ，∴ ｔａｎ Ｂ ＝ ３ｔａｎ Ｃ，又Ｂ ＝ ２Ｃ， 　 　 ∴ ２ｔａｎ Ｃ １ － ｔａｎ２Ｃ ＝ ３ｔａｎ Ｃ，得ｔａｎ Ｃ ＝槡３３ ，Ｃ ＝ π ６ ，Ｂ ＝ ２Ｃ ＝ π ３ ， 　 　 Ａ ＝ π２ ，故△ＡＢＣ为直角三角形． 对点训练 ２．（１）Ａ　 （２）直角三角形　 （１）在△ＡＢＣ中，ｂ ＝ １，ａｃｏｓ Ｂ ＝ １ － ｃｏｓ Ａ，所以ａｃｏｓ Ｂ ＝ ｂ － ｂｃｏｓ Ａ． 由正弦定理得ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｂ ＝ ｓｉｎ Ｂ － ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ａ． 所以ｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｂ ＋ ｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ａ ＝ ｓｉｎ Ｂ． 所以ｓｉｎ （π － Ｃ）＝ ｓｉｎ Ｂ，即ｓｉｎ Ｃ ＝ ｓｉｎ Ｂ， 因为Ｂ，Ｃ为△ＡＢＣ的内角，所以Ｂ ＝ Ｃ． 所以△ＡＢＣ为等腰三角形．故选Ａ． （２）∵ ｓｉｎ２ Ａ２ ＝ ｃ － ｂ ２ｃ ＝ １ － ｃｏｓ Ａ ２ ， 即ｃｏｓ Ａ ＝ ｂｃ ，由余弦定理可得， ｂ ｃ ＝ ｂ２ ＋ ｃ２ － ａ２ ２ｂｃ ． ∴ ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ｃ２，∴三角形ＡＢＣ是直角三角形． 　 　 例３：（１）由余弦定理有ａ２ ＋ ｂ２ － ｃ２ ＝ ２ａｂｃｏｓ Ｃ，对比已知 ａ２ ＋ ｂ２ － ｃ２ 槡＝ ２ａｂ，可得ｃｏｓ Ｃ ＝ ａ ２ ＋ ｂ２ － ｃ２ ２ａｂ ＝ 槡２ａｂ ２ａｂ ＝ 槡２ ２ ， 　 　 因为Ｃ∈ ０，( )π ，所以ｓｉｎ Ｃ ＞ ０， 　 　 从而ｓｉｎ Ｃ ＝ １ － ｃｏｓ２槡 Ｃ ＝ １ － 槡２( )２槡 ２ ＝槡２２ ， 　 　 又因为ｓｉｎ Ｃ 槡＝ ２ｃｏｓ Ｂ，即ｃｏｓ Ｂ ＝ １２ ，注意到Ｂ∈ ０，( )π ， 　 　 所以Ｂ ＝ π３ ． 　 　 （２）由（１）可得Ｂ ＝ π３ ，ｃｏｓ Ｃ ＝槡 ２ ２ ，Ｃ∈ ０，( )π ，从而Ｃ ＝ π ４ ， Ａ ＝ π － π３ － π ４ ＝ ５π １２，而ｓｉｎ Ａ ＝ ｓｉｎ ５π １２ ＝ ｓｉｎ π ４ ＋ π( )６ ＝槡２２ ×槡３２ ＋槡２２ × １ ２ ＝ 槡槡６ ＋ ２ ４ ， 　 　 由正弦定理有ａ ｓｉｎ ５π１２ ＝ ｂ ｓｉｎ π３ ＝ ｃ ｓｉｎ π４ ， 　 　 从而ａ ＝槡槡６ ＋ ２４ ·槡２ｃ ＝槡 ３ ＋ １ ２ ｃ，ｂ ＝槡 ３ ２·槡２ｃ ＝槡 ６ ２ ｃ， 　 　 由三角形面积公式可知，△ＡＢＣ的面积可表示为 　 　 Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ ａｂｓｉｎ Ｃ ＝ １ ２·槡 ３ ＋ １ ２ ｃ·槡 ６ ２ ｃ·槡 ２ ２ ＝ 槡３ ＋ ３ ８ ｃ ２， 　 　 由已知△ＡＢＣ的面积为 槡３ ＋ ３，可得槡３ ＋ ３８ ｃ ２ 槡＝ ３ ＋ ３， 　 　 所以ｃ 槡＝ ２ ２． 对点训练 ３．（１）因为ｓｉｎ Ｃｓｉｎ （Ａ － Ｂ）＝ ｓｉｎ Ｂｓｉｎ （Ｃ － Ａ）， 所以ｓｉｎ Ｃｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｂ － ｓｉｎ Ｃｓｉｎ Ｂｃｏｓ Ａ ＝ ｓｉｎ Ｂｓｉｎ Ｃｃｏｓ Ａ － ｓｉｎ Ｂｓｉｎ Ａｃｏｓ Ｃ，所以ａｃ·ａ ２ ＋ ｃ２ － ｂ２ ２ａｃ － ２ｂｃ· ｂ２ ＋ ｃ２ － ａ２ ２ｂｃ ＝ － ａｂ·ａ ２ ＋ ｂ２ － ｃ２ ２ａｂ ，即 ａ２ ＋ ｃ２ － ｂ２ ２ － （ｂ ２ ＋ ｃ２ － ａ２ ） ＝ － ａ ２ ＋ ｂ２ － ｃ２ ２ ，所以２ａ ２ ＝ ｂ２ ＋ ｃ２ ． （２）因为ａ ＝ ５，ｃｏｓ Ａ ＝ ２５３１，由（１）得ｂ ２ ＋ ｃ２ ＝ ５０， 由余弦定理可得ａ２ ＝ ｂ２ ＋ ｃ２ － ２ｂｃｃｏｓ Ａ， 则５０ － ５０３１ ｂｃ ＝ ２５，所以ｂｃ ＝ ３１ ２ ，故（ｂ ＋ ｃ） ２ ＝ ｂ２ ＋ ｃ２ ＋ ２ｂｃ ＝ ５０ ＋ ３１ ＝ ８１，所以ｂ ＋ ｃ ＝ ９，所以△ＡＢＣ的周长为ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＝ １４． 　 　 例４：设经过ｘ小时后，甲船和乙船分别 到达Ｃ，Ｄ两点，如图，则ＡＣ ＝ ８ｘ，ＡＤ ＝ ＡＢ － ＢＤ ＝ ２０ － １０ｘ，∴ ＣＤ２ ＝ ＡＣ２ ＋ ＡＤ２ － ２ＡＣ·ＡＤ ·ｃｏｓ ６０° 　 　 ＝（８ｘ）２ ＋（２０ － １０ｘ）２ － ２ × ８ｘ ×（２０ － １０ｘ） × １２ ＝ ２４４ｘ ２ － ５６０ｘ ＋ ４００ ＝ ２４４ ｘ － ７０( )６１ ２ ＋ ４ ８００６１ ． 　 　 ∵当ＣＤ２取得最小值时，ＣＤ取得最小值， 　 　 ∴当ｘ ＝ ７０６１时，ＣＤ取得最小值，即经过 ７０ ６１小时后，甲、乙两 船相距最近． 对点训练 ４．（１）依题意，得∠ＢＡＣ ＝ １２０°，ＡＢ ＝ １２海里，ＡＣ ＝ １０ × ２ ＝ ２０（海里），∠ＢＣＡ ＝ α． 在△ＡＢＣ中，由余弦定理，得ＢＣ２ ＝ ＡＢ２ ＋ ＡＣ２ － ２ＡＢ × ＡＣ × ｃｏｓ∠ＢＡＣ ＝ １２２ ＋ ２０２ － ２ × １２ × ２０ × ｃｏｓ １２０° ＝ ７８４，解得 ＢＣ ＝ ２８海里． 所以渔船甲的速度为２８２ ＝ １４（海里／时）． （２）在△ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ １２海里，∠ＢＡＣ ＝ １２０°，ＢＣ ＝ ２８海里， ∠ＢＣＡ ＝ α                                                                      ， —１８７— 由ＡＢｓｉｎ α ＝ ＢＣ ｓｉｎ １２０°，得ｓｉｎ α ＝ ＡＢｓｉｎ １２０° ＢＣ ＝ １２ ×槡３２ ２８ ＝ 槡３ ３ １４ ． 第十章　 复数 １０． １　 复数及其几何意义 １０． １． １　 复数的概念 必备知识　 探新知 知识点１　 １． Ｎ　 Ｚ　 Ｑ　 Ｒ　 Ｃ　 ２．（１）ｘ２ ＝ － １　 （２）ａ ＋ ｂｉ ａ ＋ ｂｉ　 实部　 虚部　 （３）｛ｚ ｜ ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ，ａ，ｂ∈Ｒ｝ 对应练习 １． Ｃ　 （ 槡１ ＋ ３）ｉ可看作０ ＋（ 槡１ ＋ ３）ｉ ＝ ａ ＋ ｂｉ，ａ，ｂ∈Ｒ，所以实部 ａ ＝ ０，虚部ｂ 槡＝ １ ＋ ３． 知识点２　 ｂ ＝ ０　 ｂ≠０　 ａ ＝ ０　 ａ≠０ 对应练习 ２．（１）× 　 （２）√　 （３）× ［提示］　 （１）当ｂ ＝ ０时，ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ为实数． （３）当ｂ ＝ ０时，ｂｉ ＝ ０为实数． 知识点３　 ａ ＝ ｃ且ｂ ＝ ｄ　 ａ ＝ ０且ｂ ＝ ０　 对应练习 ３． ５　 因为ｍ∈Ｒ，ｚ１ ＝ ｚ２， 所以（２ｍ ＋ ７）＋（ｍ２ － ２）ｉ ＝（ｍ２ － ８）＋（４ｍ ＋ ３）ｉ． 由复数相等的充要条件得 ２ｍ ＋ ７ ＝ ｍ２ － ８， ｍ２ － ２ ＝ ４ｍ ＋ ３{ ， 解得ｍ ＝ ５． 关键能力　 攻重难 　 　 例１：（１）Ｄ　 （２）见解析　 （１）实数集与复数集的交集是实 数集，所以Ａ不正确；任何两个复数都不能比较大小，不正确，当 两个复数是实数时，可以比较大小，所以Ｂ不正确；任何复数的 平方均非负，反例ｉ２ ＝ － １，所以Ｃ不正确；虚数集与实数集的并 集为复数集，所以Ｄ正确． （２）①由于ｘ，ｙ都是复数，故ｘ ＋ ｙｉ不一定是代数形式，因此 不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题． 　 　 ②当ａ ＝ ０时，ａｉ ＝ ０为实数，故②为假命题． 　 　 ③由复数集的分类知，③正确，是真命题． 对点训练 １．③　 ①错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和 非纯虚数． ②错，只有当ｍ，ｎ∈Ｒ时，才能说复数ｚ ＝３ｍ ＋２ｎｉ的实部与虚部分别 为３ｍ，２ｎ． ③正确，复数ｚ ＝ ｘ ＋ ｙｉ（ｘ，ｙ∈Ｒ）为纯虚数的条件是ｘ ＝ ０且 ｙ≠０，只要ｘ≠０，则复数ｚ一定不是纯虚数． ④错，只有当ａ∈Ｒ，且ａ≠ － ３时，（ａ ＋ ３）ｉ才是纯虚数． 　 　 例２：（１）若复数ｚ是实数，则 　 　 ｍ２ － ３ｍ － １８ ＝ ０， ｍ ＋ ３≠０{ ， 　 　 即ｍ ＝ － ３或ｍ ＝ ６， ｍ≠ － ３{ ， 则ｍ ＝ ６． 　 　 （２）若复数ｚ是虚数，则ｍ ２ － ３ｍ － １８≠０， ｍ ＋ ３≠０{ ， 　 　 即ｍ≠ － ３且ｍ≠６， ｍ≠ － ３{ ， 则ｍ≠ － ３且ｍ≠６． 　 　 （３）若复数ｚ是纯虚数，则 ２ｍ２ ＋ ｍ － ３ ＝ ０， ｍ ＋ ３≠０， ｍ２ － ３ｍ － １８≠０ { ， 　 　 即 ｍ ＝ １或ｍ ＝ － ３２ ， ｍ≠ － ３， ｍ≠ － ３且ｍ≠６{ ，则ｍ ＝ １或ｍ ＝ － ３２ ． 对点训练 ２．复数ｍ２ ＋ ｍ － ２ ＋ （ｍ２ － １）ｉ是纯虚数的充要条件是 ｍ２ ＋ ｍ － ２ ＝ ０， ｍ２ － １≠０{ ， 解得ｍ ＝ １或ｍ ＝ － ２，ｍ≠ ± １{ ， 即ｍ ＝ － ２． 故当ｍ ＝ － ２时，ｍ２ ＋ ｍ － ２ ＋（ｍ２ － １）ｉ是纯虚数． 　 　 例３：设ｙ ＝ ｂｉ（ｂ∈Ｒ且ｂ≠０）代入（３ｘ － １０）＋ ｉ ＝ ｙ － ３ｉ， 　 　 整理得（３ｘ － １０）＋ ｉ ＝ ｂｉ － ３ｉ， 　 　 由复数相等的充要条件得３ｘ － １０ ＝ ０， １ ＝ ｂ － ３{ ， 　 　 解得ｘ ＝ １０ ３ ， ｂ ＝ ４{ ，∴ ｘ ＝ １０３ ，ｙ ＝ ４ｉ． 对点训练 ３．由复数相等的条件得方程组ｘ ２ ＋ ｙ２ － ６ ＝ ０，　 ① ｘ － ｙ － ２ ＝ ０，　 　{ ② 由②得ｘ ＝ ｙ ＋ ２， 代入①得ｙ２ ＋ ２ｙ － １ ＝ ０． 解得ｙ１ 槡＝ － １ ＋ ２，ｙ２ 槡＝ － １ － ２． 所以ｘ１ ＝ ｙ１ 槡＋ ２ ＝ １ ＋ ２，ｘ２ ＝ ｙ２ 槡＋ ２ ＝ １ － ２． 即ｘ 槡＝ １ ＋ ２ ｙ 槡{ ＝ － １ ＋ ２　 或ｘ 槡＝ １ － ２，ｙ 槡＝ － １ － ２{ ． 　 　 例４：（４）　 命题（１）和（２）都是错误的，原因是没有ｘ， ｙ∈Ｒ，ａ，ｂ∈Ｒ的限制条件，因此相应结论都是错误的；命题（３） 也是错误的，事实上，当（ｘ２ － ４）＋（ｘ２ ＋ ２ｘ）ｉ是纯虚数时，应有 ｘ２ － ４ ＝ ０， ｘ２ ＋ ２ｘ≠{ ０，所以ｘ ＝ ２；（４）是正确的，因为由３ｘ ＋ ｍｉ ＜ ０可得 ３ｘ ＜ ０， ｍ ＝ ０{ ，即ｘ ＜ ０． 对点训练 ４． Ａ　 两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①是 不正确的；设ｚ１ ＝ ３ ＋ ２ｉ，ｚ２ ＝ ４ ＋ ２ｉ，它们虚部相等，ｚ１≠ｚ２，故② 是错误的；③当ａ ＝ ｂ ＝ ０时，ａ － ｂ ＋（ａ ＋ ｂ）ｉ ＝ ０是实数，故③ 错误．因此选Ａ． 课堂检测　 固双基 １． Ｂ　 若复数是虚数，则ｎ≠０，故选Ｂ． ２． Ａ　 若复数（ａ２ －３ａ ＋２）＋ ｜ａ －１｜ｉ（ａ∈Ｒ）是纯虚数，根据虚数的定 义有｜ａ －１｜≠０， ａ２ －３ａ ＋２ ＝０{ ，得ａ≠１，ａ ＝１或ａ ＝２{ ， ∴ ａ ＝ ２，则复数（ａ２ － ３ａ ＋ ２）＋ ｜ ａ － １ ｜ ｉ（ａ∈Ｒ）不是纯虚数                                                                       ， —１８８— 在距离墙面２０ ｃｍ处，其发射的光线 可以近似的看作由一个点Ｓ发出，光 线投影在墙面上的屏幕ＡＢ上，已知 ＡＢ的高度为１２０ ｃｍ，光线上界ＳＡ的 俯角为４５°，则投影仪的垂直视角的 余弦值ｃｏｓ∠ＡＳＢ ＝ （　 ） Ａ．槡２１０ Ｂ． 槡 ７ ２ １０ Ｃ． ３５ Ｄ． ４ ５ ３．台风中心从Ａ地以２０ ｋｍ ／ ｈ的速度向东北方 向移动，离台风中心３０ ｋｍ内的地区为危险 区，城市Ｂ在Ａ的正东４０ ｋｍ处，Ｂ城市处于 危险区内的时间为 （　 ） Ａ． ０． ５ ｈ　 　 Ｂ． １ ｈ Ｃ． １． ５ ｈ　 　 Ｄ． ２ ｈ ４．（２０２４·上海浦东新区高一期中）某高一学生骑 车行驶，开始看见塔在南偏东３０°方向，沿南偏 东６０°的方向骑行２千米后，看见塔在正西方 向，则此时这名学生与塔的距离大约为 　 　 　 　 千米．（结果保留两位有效数字） ５．某地电信局信号转播塔建在 一山坡上，如图所示，施工人 员欲在山坡上Ａ，Ｂ两点处测 量与地面垂直的塔ＣＤ的高， 由Ａ，Ｂ两地测得塔顶Ｃ的仰角分别为６０°和４５°， 又知ＡＢ的长为４０ ｍ，斜坡与水平面成３０°角，则 该转播塔的高度为　 　 　 　 　 ｍ． 请同学们认真完成练案［４                           ］ 章末知识梳理 +,w€ 解三角形— —正弦定理— —ａｓｉｎ Ａ ＝ ｂ ｓｉｎ Ｂ ＝ ｃ ｓｉｎ Ｃ ＝ ２Ｒ—变形 —正弦定理的应用——已知两角和任一边，解三角形—已知两边及其中一边的对角，解三角形 —余弦定理— — ａ２ ＝ ｂ２ ＋ ｃ２ － ２ｂｃｃｏｓ Ａ ｂ２ ＝ ａ２ ＋ ｃ２ － ２ａｃｃｏｓ Ｂ ｃ２ ＝ ａ２ ＋ ｂ２ － ２ａｂｃｏｓ Ｃ —变形 —余弦定理的应用——已知三边，求三角—已知两边及其夹角，求其他的边和角 —正弦定理与余弦定理的应用—实际应用 ‚ƒ+,„… 　 　 １．正弦定理及其变形、应用 　 　 （１）正弦定理：在△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ的对 边分别为ａ，ｂ，ｃ，则ａｓｉｎ Ａ ＝ ｂ ｓｉｎ Ｂ ＝ ｃ ｓｉｎ Ｃ ＝ ２Ｒ（Ｒ 为△ＡＢＣ外接圆半径）． 　 　 （２）三角形面积公式： ①Ｓ ＝ １２ ａｈａ ＝ １ ２ ｂｈｂ ＝ １ ２ ｃｈｃ； 　 　 ②Ｓ ＝ １２ ａｂｓｉｎ Ｃ ＝ １ ２ ｂｃｓｉｎ Ａ ＝ １ ２ ａｃｓｉｎ Ｂ； 　 　 ③ Ｓ ＝ ｐ（ｐ － ａ）（ｐ － ｂ）（ｐ － ｃ槡 ），其中ｐ ＝ １ ２（ａ ＋ ｂ ＋ ｃ）． 　 　 （３）常用变形： 　 　 ①ａ ＝ ２Ｒｓｉｎ Ａ，ｂ ＝ ２Ｒｓｉｎ Ｂ，ｃ ＝ ２Ｒｓｉｎ Ｃ； 　 　 ②ｓｉｎ Ａ ＝ ａ２Ｒ，ｓｉｎ Ｂ ＝ ｂ ２Ｒ，ｓｉｎ Ｃ ＝ ｃ ２Ｒ； 　 　 ③ｓｉｎ Ａｓｉｎ Ｂｓｉｎ Ｃ ＝ ａｂｃ． 　 　 （４）利用正弦定理主要解决两类解三角形 问题：一类是已知两角和任一边，                求其他两边和 $#! 一角；另一类是已知两边和其中一边的对角，求 另一边的对角，进而求出其他的边和角． 　 　 （５）解题时，要注意“三角形内角和为 １８０°”，“在一个三角形中，大边对大角”等平面 几何性质的运用． 　 　 ２．余弦定理及推论 　 　 （１）余弦定理 　 　 三角形任何一边的平方，等于其他两边的平 方和减去这两边与它们夹角余弦的积的２倍，即 　 　 ａ２ ＝ ｂ２ ＋ ｃ２ － ２ｂｃｃｏｓ Ａ； 　 　 ｂ２ ＝ ａ２ ＋ ｃ２ － ２ａｃｃｏｓ Ｂ； 　 　 ｃ２ ＝ ａ２ ＋ ｂ２ － ２ａｂｃｏｓ Ｃ． 　 　 （２）余弦定理的推论 　 　 ｃｏｓ Ａ ＝ ｂ ２ ＋ ｃ２ － ａ２ ２ｂｃ ；ｃｏｓ Ｂ ＝ ａ２ ＋ ｃ２ － ｂ２ ２ａｃ ； 　 　 ｃｏｓ Ｃ ＝ ａ ２ ＋ ｂ２ － ｃ２ ２ａｂ ． 　 　 （３）利用余弦定理主要解决两类三角形问 题：一类是已知三边求任意一角；另一类是已知 两边和任一角，求其余的边与角． 　 　 （４）要注意结合图形解决问题，挖掘题目中 的隐含条件，如圆内接四边形中的性质，通过三 边之间的关系，发现三角形的特点． 　 　 ３．正、余弦定理的实际应用 　 　 （１）应用正弦定理、余弦定理解三角形的问 题，通常都是根据题意，从实际问题中抽象出一 个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到 所要求的量，从而得到实际问题的解． 　 　 （２）解题时应认真读题，未给出图形的，要 画出示意图，结合图形去选择正弦定理、余弦定 理，使解题过程简捷．另外，对于实际问题的解， 要注意题目中给出的精确度，合理地取近似值                          ． †C‡ˆ‰Š ●‡:<%‹vor sp&qL>?@ 　 　 利用正弦定理和余弦定理求解三角形中的边、角等基本量是历年高考 命题的重点，从高考的形式和内容上看，有以下几种考查形式：（１）求三角 形的内角或角的三角函数值；（２）求三角形的边长；（３）求三角形的面积． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（１）在△ＡＢＣ中，Ａ ＝ π４，ＡＢ ＝槡２，ＡＣ ＝ ４，则ＢＣ边上的高为（　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ａ． ２槡１０５ Ｂ． ２槡２ Ｃ． ３ Ｄ． ２槡３ （２）△ＡＢＣ的角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别为ａ，ｂ，ｃ，已知ｂ ＝ ４，ｃ ＝ ２， △ＡＢＣ的面积为２，则ｓｉｎ ２Ａ ＝ （　 ） Ａ．槡３２ Ｂ．槡 ３ ２或－ 槡３ ２ Ｃ． １２ Ｄ． １ ２或－ １ ２ ［归纳提升］ 〉 /CD1 １．（１）在△ＡＢＣ中，ｃ ＝槡３，Ａ ＝ ７５°，Ｂ ＝ ４５°，则△ＡＢＣ的外接圆面积为 （　 ） Ａ． π４ Ｂ． π Ｃ． ２π Ｄ． ４π 　 （２）在△ＡＢＣ中，ｂ ＝ ４槡３３ ，ｃ ＝ ２槡２，Ｃ ＝ ６０°，那么Ａ ＝ 　 　 　 　 ． （３）已知△ＡＢＣ中，ａ ＝ ４，ｂ ＝ ４槡３，Ａ ＝ ３０°，则Ｂ等于 （　 ） Ａ． ３０° Ｂ． ３０°或１５０° Ｃ． ６０° Ｄ． ６０°或１２０° 归纳提升：解三角形的 一般方法 （１） LM\0]^3 ， KLM Ａ，Ｂ ] ｃ， ˆ Ａ ＋ Ｂ ＋ Ｃ ＝ ç _ Ｃ， ˆz{ gx_ ａ，ｂ． （２） LM\3]’\3 -ë0 ， KLM ａ，ｂ ] Ｃ， £Oì{gx_ ｃ， ƒ£Oz{gx_ [\312-0 ， ]÷ «O Ａ ＋ Ｂ ＋ Ｃ ＝ ç ， _ `^0 ． （３） LM\3]i*^ 3-20 ， KLM ａ，ｂ ] Ａ， £Oz{gx _ Ｂ， ˆ Ａ ＋ Ｂ ＋ Ｃ ＝ ç _ Ｃ， ƒˆz{gxo ì{gx_ ｃ， t C dWkb$úqr ． ò Wˆ ａ２ ＝ ｂ２ ＋ ｃ２ － ２ｂｃｃｏｓ Ａ _l ｃ， ƒåA z{gxoì{gx_ `|-0 ． （４） LM:3 ａ，ｂ，ｃ W £Oì{gx_ Ａ，Ｂ， Ｃ． $%$ ●‡:E%gh>?@P@i 　 　 利用正、余弦定理判断三角形的形状，常用的方法有两种： 　 　 （１）利用正、余弦定理把已知条件转化为边的关系，通过化简，判断三 角形的形状；（２）利用正、余弦定理把已知条件转化为角的关系，通过恒等 变形，得出三角形内角的关系，从而判断三角形的形状． ２．在△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，若２ｂｃｏｓ Ｃ － ２ｃｃｏｓ Ｂ ＝ ａ，且Ｂ ＝ ２Ｃ，则△ＡＢＣ的形状是 （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ．等腰直角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．等腰三角形 Ｄ．等边三角形 ［归纳提升］ 〉 /CD1 ２．（１）已知△ＡＢＣ的内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，若ｂ ＝ １，ａｃｏｓ Ｂ ＝ １ － ｃｏｓ Ａ，则△ＡＢＣ的形状为 （　 ） Ａ．等腰三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．等腰直角三角形 Ｄ．等腰三角形或直角三角形 （２）在△ＡＢＣ中，ｓｉｎ２ Ａ２ ＝ ｃ － ｂ ２ｃ （ａ，ｂ，ｃ分别为角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边），则 △ＡＢＣ的形状为　 　 　 　 ． ●‡:>%op&qMsp&qPtu0v 　 　 正弦定理和余弦定理的综合应用是高考命题的重点，从高考内容和形 式上看，有以下几种考查形式：（１）综合应用两个定理求解三角形中的边 长或角的函数值；（２）综合应用两个定理求解三角形的面积、中线长度等． ３．（２０２４·新课标全国Ⅰ卷）记△ＡＢＣ的内角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边分别为 ａ，ｂ，ｃ，已知ｓｉｎ Ｃ ＝槡２ｃｏｓ Ｂ，ａ２ ＋ ｂ２ － ｃ２ ＝槡２ａｂ． （１）求Ｂ； （２）若△ＡＢＣ的面积为３ ＋槡３，求ｃ． ［归纳提升］ 归纳提升： ®Ž:0 ;-;–NV^¼+L Mš›*-30RS« Oz{gxoì{gx ¨©"0-RSo3- RSVƒ«O:0(Q Ö)oãÀ?-(QÖ ;ÈK¸?4dn^$ QÉ_dV CQ?\ 3->¸?Pt_`V tabcF>¸?Vd Yebf`^úqr- Wk ． 归纳提升： (˜Jt² g#z{gxn\0] -z{>?nì{gx ®d:0;*-UA£ OVi*Ax£Oz{ gxÆÇ30¬©VI è«Oì{gxhl$ °}di-RjVk­ ²g#lmkn]¨© YZVop*q˜ ． $%# 〉 /CD1 ３．记△ＡＢＣ的内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，已知ｓｉｎ Ｃｓｉｎ （Ａ － Ｂ） ＝ ｓｉｎ Ｂｓｉｎ （Ｃ － Ａ）． （１）证明：２ａ２ ＝ ｂ２ ＋ ｃ２； （２）若ａ ＝ ５，ｃｏｓ Ａ ＝ ２５３１，求△ＡＢＣ的周长． ●‡:n%or sp&qPŒ0v 　 　 正、余弦定理在实际生活中有着广泛的应用，如航海中的距离问题、追 及问题的求解． 　 　 高山、河流的距离、高度、角度的测量问题等，也都可利用正、余弦定理 解决． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　４．甲船在Ａ处，乙船在甲船正南方向距甲船２０海里的Ｂ处，乙船以 每小时１０海里的速度向正北方向行驶，同时甲船以每小时８海里 的速度由Ａ处向南偏西６０°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两 船相距最近？ ［归纳提升］ 〉 /CD1 ４．（２０２４·西安铁一中期末）如图，渔船甲位于岛屿Ａ 的南偏西６０°方向的Ｂ处，且与岛屿Ａ相距１２海里， 渔船乙以１０海里／时的速度从岛屿Ａ出发沿正北方 向航行，若渔船甲同时从Ｂ处出发沿北偏东α的方 向追赶渔船乙，刚好用２小时追上． （１）求渔船甲的速度； （２）求ｓｉｎ α的值． 请同学们认真完成考案（一） 归纳提升： (˜}¡r s¶R-d:0;Û ˜V«OÞ°¡tOn NÍ-RSVîïA@ -d:0;-Àuvw ½_d¶þۘ ． ˜™* xè-NÍÐ rs Ð\-ЂۘVWy S×À]PQ?-MX ½d% ． $%%