11.4.1 第1课时 直线与平面垂直的判定(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第四册同步学习指导(人教B版2019)

　 　 ［误区警示］　 利用面面平行的判定定理证明两个平面平行时，所满足的条件必须是明显或已 经证明成立的，并且要与定理条件保持一致，否则容易导致错误． 〉 /CD1 ４．（２０２４·江西省上饶市期末）设ｍ，ｎ表示不同的直线，α，β表示不同的平面，且ｍ，ｎα．则“α∥β”是 “ｍ∥β且ｎ∥β”的 （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分又不必要条件 XYZ[%\]^ １．六棱柱的表面中，互相平行的面最多有（　 ） Ａ． ２对 Ｂ． ３对 Ｃ． ４对 Ｄ． ５对 ２．下列结论中，错误的是 （　 ） Ａ．平行于同一直线的两个平面平行 Ｂ．平行于同一平面的两个平面平行 Ｃ．平行于同一平面的两直线关系不确定 Ｄ．两平面平行，一平面内的直线必平行于另 一平面 ３．已知ａ，ｂ表示直线，α，β，γ表示平面，下列推 理正确的是 （　 　 ） Ａ．若α与β相交，ａα，ｂβ，则ａ与ｂ一定 相交 Ｂ．若ａα，ｂβ，ａ∥ｂ，则α∥β Ｃ． ａ∥β，ｂ∥β，ａα，ｂαα∥β Ｄ． α∥β，α∩γ ＝ ａ，β∩γ ＝ ｂａ∥ｂ ４．已知ａ和ｂ是异面直线，且ａ平面α，ｂ平 面β，ａ∥β，ｂ∥α，则平面α与β的位置关系 是　 　 　 　 ． ５．如图是长方体被一平面所截 得的几何体，四边形ＥＦＧＨ为 截面，则四边形ＥＦＧＨ的形状 为　 　 　 　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［２０                       ］ ##"' 空间中的垂直关系 １１． ４． １　 直线与平面垂直 第１课时　 直线与平面垂直的判定 !"#$%&'( 学习目标 核心素养 １．了解直线与直线所成的角，会求异面直线所成的角． ２．了解直线与平面垂直的概念，掌握直线与平面垂直的 判定定理． 在发现、推导和应用直线与平面垂直 的判定定理的过程中，发展学生的数 学抽象素养、逻辑推理素养和直观想 象素养． #$$ )*+,%-.+ 知识点１　 直线与直线所成角 　 　 一般地，如果ａ，ｂ是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别 作与ａ，ｂ平行或重合的直线ａ′，ｂ′，则　 　 　 　 所成角的大小，称为异面直 线ａ与ｂ所成角的大小． 　 　 规定空间中两条平行直线所成角的大小为　 　 　 　 ，两条直线所成 的角也称为这两条直线的　 　 　 　 ．特别地，空间中两条直线ｌ，ｍ所成角 的大小为　 　 　 　 　 时，称ｌ与ｍ垂直，记作ｌ⊥ｍ． ［思考１］ ●/012 １．如图，在直三棱柱ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１ 中，Ｄ为Ａ１Ｂ１ 的中点，ＡＢ ＝ ＢＣ ＝ ２， ＢＢ１ ＝ １，ＡＣ ＝ ２槡２，则异面直线ＢＤ与ＡＣ所成角的大小为 （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ３０° Ｂ． ４５° Ｃ． ６０° Ｄ． ９０° 知识点２　 直线与平面垂直的定义 文字语言 图形语言 符号语言 如果直线ｌ与平面α内的　 　 　 　 　 都垂直，就 说直线ｌ与平面α互相垂直，直线ｌ称为平面α 的垂线，平面α称为直线ｌ的垂面，它们唯一的 公共点Ｐ称为垂足 ｌ⊥α ｍα， ｌ⊥ｍ ●/012 ２．直线ｌ⊥平面α，直线ｍα，则ｌ与ｍ不可能 （　 　 ） Ａ．平行　 　 Ｂ．相交 Ｃ．异面　 　 Ｄ．垂直 知识点３　 直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果一条直线与一个 平面内的　 　 　 　 　 垂直，则这条直线与这 个平面垂直 ｌ⊥ｍ， ｌ⊥ｎ， ｍα， ｎα， ｍ∩ｎ        ≠ ｌ⊥α ［思考２］ ●/012 ３．如图，设Ｏ为平行四边形ＡＢＣＤ对角线的交点，Ｐ为平 面ＡＢＣＤ外一点，且有ＰＡ ＝ ＰＣ，ＰＢ ＝ ＰＤ，则ＰＯ与平面 ＡＢＣＤ的关系是　 　 　 　 ． 思考１：空间中两直线 所成角θ 的范围是 什么？ 提示：０ ælçl ９０ æh 思考２：一条直线与一 个平面内两条平行直线 垂直，那么这条直线与 这个平面是什么位置 关系？ 提示： ¶«o8ÇoŸ 6®8</h #$# 3456%789 ●:;<%ðAÇ×ûüP? 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．如图，在正方体ＡＢＣＤ － ＥＦＧＨ中，Ｏ为侧面ＡＤＨＥ 的中心，求： （１）ＢＥ与ＣＧ所成角的大小； （２）ＦＯ与ＢＤ所成角的大小． ［归纳提升］ 〉 /CD1 １．如图，在正四面体Ｏ － ＡＢＣ中，Ｄ是ＯＡ的中点，则异面直 线ＢＤ与ＯＣ所成角的余弦值是 （　 ） Ａ． １２ Ｂ． 槡３ ６ Ｃ． 槡２ ２ Ｄ． 槡３３ ６ ●:;E%Çך›AýÇP&ŸHg&&qPqL ２．下列说法正确的有　 　 　 　 （填序号）． ①垂直于同一条直线的两条直线平行； ②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线 就一定不与这个平面垂直； ③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个 平面垂直； ④若ｌ与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与ｌ垂直． ［归纳提升］ 〉 /CD1 ２．如图所示，定点Ａ和Ｂ都在平面α内，定点Ｐα，ＰＢ⊥α， Ｃ是平面α内异于Ａ和Ｂ的动点，且ＰＣ⊥ＡＣ，则△ＡＢＣ为 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．无法确定 ●:;>%×AýÇPg& ３．如图，Ｐ为△ＡＢＣ所在平面外一点，ＰＡ⊥平 面ＡＢＣ，∠ＡＢＣ ＝ ９０°，ＡＥ⊥ＰＢ于Ｅ，ＡＦ⊥ ＰＣ于Ｆ．求证： （１）ＢＣ⊥平面ＰＡＢ； （２）ＡＥ⊥平面ＰＢＣ； （３）ＰＣ⊥平面ＡＥＦ． 　 　 ［分析］　 本题是证线面垂直问题，要多观察题目中的一些“垂直”关 系，看是否可利用．如看到ＰＡ⊥平面ＡＢＣ，可想到ＰＡ⊥ＡＢ、ＰＡ⊥ＢＣ、ＰＡ⊥ ＡＣ，这些垂直关系我们需要哪个呢？我们需要的是ＰＡ⊥ＢＣ，联系已知，问 题得证． ［归纳提升］ 归纳提升： _.<Ÿ6 1Õ0-$}8a V^¼…†}u （１） v wgˆIlo³l\. <Ÿ61Õ-0Z （２） ‰ 90"Î.:0;-/ 0 （ oiW0 ） Z （３） d ’.:0;½_0V¥  C.<Ÿ61Õ0- F‚ÑÒhTd:0; _l-}0V£Fé -W0I".<Ÿ61 Õ-0h 归纳提升：（１） 2p6 <;Ÿ-gˆt C ‹Ÿ6;Ÿp8</- 1bŸ6Œ¾¡‹Ÿ 6;Ÿp8</pÀš Ÿ6ŒP}^m`V÷ Á¾}Pzf-Vé WI ‰ Ÿ 6 ¡ 8 < þ«h （２） Žggx*t C £¤}8</\¶« Ÿ6h 归纳提升： t56<; ŸV¦5’šŸ6;Ÿ p8</-\š¶«Ÿ 6VÙt566;ŸV áWI²"5^šŸ6 ;Ÿp`^šŸ61® -8<hT\šŸ6» <‘WIO8</W- MXonogx-Bg x½5Äh #$% 〉 /CD1 ３．如图，已知ＰＡ⊥平面ＡＢＣ，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，Ｃ是⊙Ｏ上的任一点．求证： ＰＣ⊥ＢＣ． ●QRST%þÿöq˜ùúlm ４．如图，在三棱柱ＡＢＣ － Ａ１Ｂ１Ｃ１中，ＡＡ１⊥平面ＡＢＣ，ＡＣ ＝ ＢＣ，Ｄ是ＡＢ的中 点，连接ＣＤ．求证：ＣＤ⊥平面ＡＢＢ１Ａ１ ． 　 　 ［错解］　 ∵ ＡＡ１⊥平面ＡＢＣ，ＣＤ平面ＡＢＣ， 　 　 ∴ ＣＤ⊥ＡＡ１ ． 　 　 又ＢＢ１∥ＡＡ１，∴ ＣＤ⊥ＢＢ１， 　 　 又ＡＡ１平面ＡＢＢ１Ａ１，ＢＢ１平面ＡＢＢ１Ａ１， 　 　 ∴ ＣＤ⊥平面ＡＢＢ１Ａ１ ． 　 　 ［错因分析］　 错解中ＡＡ１和ＢＢ１是平面ＡＢＢ１Ａ１内的两条平行直线，不是相交直线，故不满足 直线与平面垂直的判定定理的条件． 　 　 ［正解］　 　 　 ［误区警示］　 用判定定理证明线面垂直时，必须要找全条件，这些条件必须是已知的，或明显 成立的，或已经证明的． 〉 /CD1 ４．直线ｌ与平面α内的无数条直线垂直，则直线ｌ与平面α的关系是 （　 ） Ａ． ｌ和平面α相互平行 Ｂ． ｌ和平面α相互垂直 Ｃ． ｌ在平面α内 Ｄ．不能确定 XYZ[%\]^ １．已知直线ｌ和平面α内的两条直线ｍ，ｎ，则 “ｌ⊥α”是“ｌ⊥ｍ且ｌ⊥ｎ”的 （　 ） Ａ．充要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分不必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 ２．如果一条直线垂直于一个平面内的： ①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条 直径；④正六边形的两条边． 则能保证该直线与平面垂直的序号有（　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ．①③　 　 Ｂ．①②　 　 Ｃ．②④ Ｄ．①④ ３．设Ｐ是直线ｌ外一定点，过点Ｐ且与ｌ成３０° 角的异面直线 （　 　 ） Ａ．有无数条　 Ｂ．有两条 Ｃ．至多有两条　 Ｄ．有一条 ４．如图所示，ＰＡ⊥平面ＡＢＣ，△ＡＢＣ中ＢＣ⊥ＡＣ， 则图中直角三角形的个数有　 　 　 　 个． ５．在正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中，Ｅ，Ｆ分别是 Ａ１Ｂ１，Ｂ１Ｃ１ 的中点，则异面直线ＤＢ１ 与ＥＦ所 成的角的大小为　 　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［２１                          ］ #$& 　 　 又Ｂ１Ｄ１，ＨＤ１平面Ｂ１Ｄ１Ｈ，ＢＦ，ＢＤ平面ＢＤＦ，且Ｂ１Ｄ１∩ ＨＤ１ ＝ Ｄ１，ＤＢ∩ＢＦ ＝ Ｂ，∴平面ＢＤＦ∥平面Ｂ１Ｄ１Ｈ． 对点训练 ３．如图，取ＥＣ的中点Ｐ，ＡＣ的中点Ｑ，连接ＰＱ，ＰＢ，ＢＱ，则ＰＱ∥ＡＥ． 因为ＥＣ ＝ ２ＦＢ ＝ ２，所以ＰＥ ＝ ＢＦ．所以四边形ＢＦＥＰ为平行四 边形，所以ＰＢ∥ＥＦ．又ＡＥ，ＥＦ平面ＡＥＦ，ＰＱ，ＰＢ平面 ＡＥＦ，所以ＰＱ∥平面ＡＥＦ，ＰＢ∥平面ＡＥＦ．又ＰＱ∩ＰＢ ＝ Ｐ， ＰＱ，ＰＢ平面ＰＢＱ，所以平面ＰＢＱ∥平面ＡＥＦ．又ＢＱ平面 ＰＢＱ，所以ＢＱ∥平面ＡＥＦ．故点Ｑ即为所求的点Ｍ，即点Ｍ为 ＡＣ的中点时，ＢＭ∥平面ＡＥＦ． 　 　 例４：∵ Ｅ、Ｆ分别是ＡＡ１和ＢＢ１的中点， ∴ ＥＦ∥ＡＢ，又ＥＦ平面ＡＢＣＤ，ＡＢ平面ＡＢＣＤ， ∴ ＥＦ∥平面ＡＢＣＤ．同理可证ＥＨ∥平面ＡＢＣＤ．又ＥＦ平 面ＥＧ，ＥＨ平面ＥＧ，ＥＦ∩ＥＨ ＝ Ｅ，∴平面ＥＦＧＨ∥平面ＡＢＣＤ． 对点训练 ４． Ａ　 当α∥β时，因为ｍ，ｎα所以ｍ∥β，ｎ∥β，所以“α∥β”是 “ｍ∥β，ｎ∥β”的充分条件． 当ｍ∥β且ｎ∥β时，因为ｍ，ｎα，若ｍ，ｎ是两条相交直线， 则α∥β，若ｍ，ｎ是两条平行直线，则α与β可能相交，即不能 推出α∥β，所以“α∥β”不是“ｍ∥β，ｎ∥β”的必要条件． 课堂检测　 固双基 １． Ｃ　 底面为正六边形的六棱柱，互相平行的面最多． ２． Ａ　 如图正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，ＢＢ１∥平面ＡＤＤ１Ａ１， ＢＢ１∥平面ＤＣＣ１Ｄ１， 而平面ＡＤＤ１Ａ１∩平面ＤＣＣ１Ｄ１ ＝ ＤＤ１ ． ３． Ｄ　 Ａ错误，ａ与ｂ可能平行也可能是异面直线；由平面与平 面平行的判定定理知Ｂ、Ｃ错误；由平面与平面平行的性质定 理知，Ｄ正确． ４．平行　 在ｂ上任取一点Ｏ，则直线ａ与点Ｏ确定一个平面γ． 设γ∩β ＝ ｌ，则ｌβ． ∵ ａ∥β，∴ ａ∥ｌ，∴ ｌ∥α． 又∵ ｂ∥α， ∴根据面面平行的判定定理可得α∥β． ５．平行四边形　 因为平面ＡＢＦＥ∥平面ＣＤＨＧ， 又平面ＥＦＧＨ∩平面ＡＢＦＥ ＝ ＥＦ， 平面ＥＦＧＨ∩平面ＣＤＨＧ ＝ ＨＧ， 所以ＥＦ∥ＨＧ．同理ＥＨ∥ＦＧ， 所以四边形ＥＦＧＨ的形状是平行四边形． １１． ４　 空间中的垂直关系 １１． ４． １　 直线与平面垂直 第１课时　 直线与平面垂直的判定 必备知识　 探新知 知识点１　 ａ′与ｂ′　 ０°　 夹角　 ９０° 对应练习 １． Ｃ　 如图，取Ｂ１Ｃ１的中点Ｅ， 连接ＢＥ，ＤＥ，则ＤＥ∥Ａ１Ｃ１ ． 因为ＡＣ∥Ａ１Ｃ１，所以ＡＣ∥ＤＥ， 所以∠ＢＤＥ（或其补角）即为异面直线 ＢＤ与ＡＣ所成的角． 由已知可得ＢＤ ＝ ＤＥ ＝ ＢＥ 槡＝ ２， 所以∠ＢＤＥ ＝ ６０°， 所以异面直线ＢＤ与ＡＣ所成角的大小为６０°． 故选Ｃ． 知识点２　 任意一条直线　 对应练习 ２． Ａ　 因为直线ｌ⊥平面α，所以ｌ与α相交．又因为ｍα，所以ｌ 与ｍ相交或异面．由直线与平面垂直的定义，可知ｌ⊥ｍ．故ｌ 与ｍ不可能平行． 知识点３　 两条相交直线　 对应练习 ３．垂直　 因为ＰＡ ＝ ＰＣ，所以ＰＯ⊥ＡＣ，又ＰＢ ＝ ＰＤ， 所以ＰＯ⊥ＢＤ． ＡＣ∩ＢＤ ＝ Ｏ，ＡＣ，ＢＤ面ＡＢＣＤ，所以ＰＯ⊥平 面ＡＢＣＤ． 关键能力　 攻重难 　 　 例１：（１）∵ ＣＧ∥ＦＢ， 　 　 ∴ ∠ＥＢＦ或其补角是异面直线ＢＥ与ＣＧ所成的角． 　 　 在Ｒｔ△ＥＦＢ中，ＥＦ ＝ ＦＢ，∴ ∠ＥＢＦ ＝ ４５°， 　 　 ∴ ＢＥ与ＣＧ所成角的大小为４５°． 　 　 （２）连接ＦＨ， 　 　 ∵ ＦＢ∥ ＡＥ，ＦＢ ＝ ＡＥ，ＡＥ∥ ＨＤ，ＡＥ ＝ ＨＤ， 　 　 ∴ ＦＢ ＝ ＨＤ，ＦＢ∥ＨＤ， 　 　 ∴四边形ＦＢＤＨ是平行四边形，∴ ＢＤ∥ＦＨ， 　 　 ∴ ∠ＨＦＯ或其补角是ＦＯ与ＢＤ所成的角，连接ＨＡ，ＡＦ， 　 　 则△ＡＦＨ是等边三角形，又Ｏ是ＡＨ的中点， 　 　 ∴ ∠ＨＦＯ ＝ ３０°， 　 　 ∴ ＦＯ与ＢＤ所成角的大小为３０°． 对点训练 １． Ｂ　 如图，取ＡＣ的中点Ｅ，连接ＤＥ，ＢＥ．因为 Ｄ是ＯＡ的中点，所以ＯＣ∥ＤＥ，所以∠ＢＤＥ （或其补角）为异面直线ＢＤ与ＯＣ所成的角． 设正四面体Ｏ － ＡＢＣ的棱长为２，则ＤＥ ＝ １， ＢＤ ＝ ＢＥ 槡＝ ３，ｃｏｓ∠ＢＤＥ ＝ ３ ＋ １ － ３槡２ ３ ＝槡３６                                                                     ， —２０６— 所以异面直线ＢＤ与ＯＣ所成角的余弦值是槡３６ ．故选Ｂ． 　 　 例２：②　 因为空间内与一条直线同时 垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可 能异面，故①不正确． 　 　 由线面垂直的定义可得，②正确． 　 　 因为这两条直线可能是平行直线，故③ 不正确． 　 　 如图，ｌ与α不垂直，但ａα，ｌ⊥ａ，故④不正确． 对点训练 ２． Ｂ　 ∵ Ａ∈α，Ｃ∈α，ＡＣα， 又∵ ＰＢ⊥α，∴ ＰＢ⊥ＡＣ， 又∵ ＰＣ⊥ＡＣ，ＰＢ∩ＰＣ ＝ Ｂ，∴ ＡＣ⊥平面ＰＢＣ， 又∵ ＢＣ平面ＰＢＣ，∴ ＡＣ⊥ＢＣ， ∴ △ＡＢＣ是直角三角形．故选Ｂ． 　 　 例３：［证明］　 （１）∵ ＰＡ⊥平面ＡＢＣ，ＢＣ平面ＡＢＣ， 　 　 ∴ ＰＡ⊥ＢＣ． ∵ ∠ＡＢＣ ＝ ９０°，∴ ＡＢ⊥ＢＣ． 　 　 又ＡＢ∩ＰＡ ＝ Ａ，∴ ＢＣ⊥平面ＰＡＢ． 　 　 （２）∵ ＢＣ⊥平面ＰＡＢ，ＡＥ平面ＰＡＢ，∴ ＢＣ⊥ＡＥ． 　 　 ∵ ＰＢ⊥ＡＥ，ＢＣ∩ＰＢ ＝ Ｂ，∴ ＡＥ⊥平面ＰＢＣ． 　 　 （３）∵ ＡＥ⊥平面ＰＢＣ，ＰＣ平面ＰＢＣ， 　 　 ∴ ＡＥ⊥ＰＣ． ∵ ＡＦ⊥ＰＣ，ＡＥ∩ＡＦ ＝ Ａ，∴ ＰＣ⊥平面ＡＥＦ． 对点训练 ３．［证明］　 ∵ ＰＡ⊥平面ＡＢＣ，ＢＣ平面ＡＢＣ， ∴ ＰＡ⊥ＢＣ， 又∵ ∠ＡＣＢ为直径所对的圆周角， ∴ ∠ＡＣＢ ＝ π２ ，即ＢＣ⊥ＡＣ， 又ＰＡ∩ＡＣ ＝ Ａ，且ＰＡ平面ＰＡＣ，ＡＣ平面ＰＡＣ， ∴ ＢＣ⊥平面ＰＡＣ． 又∵ ＰＣ平面ＰＡＣ，∴ ＢＣ⊥ＰＣ． 　 　 例４：∵ ＡＡ１⊥平面ＡＢＣ，ＣＤ平面ＡＢＣ，∴ ＣＤ⊥ＡＡ１ ． 　 　 又ＡＣ ＝ ＢＣ，Ｄ是ＡＢ的中点，∴ ＣＤ⊥ＡＢ． 　 　 ∵ ＡＢ平面ＡＢＢ１Ａ１，ＡＡ１平面ＡＢＢ１Ａ１，ＡＢ∩ＡＡ１ ＝ Ａ， 　 　 ∴ ＣＤ⊥平面ＡＢＢ１Ａ１ ． 对点训练 ４． Ｄ　 如下图所示，直线ｌ和平面α相互平行，或直线ｌ和平面α 相互垂直或直线ｌ在平面α内都有可能．故选Ｄ． 课堂检测　 固双基 １． Ｃ　 由直线ｌ和平面α内的两条直线ｍ，ｎ，得充分性：因为“ｌ⊥ α”，所以ｌ必垂直于平面内的所有直线，所以“ｌ⊥ｍ且ｌ⊥ｎ”； 必要性：由“ｌ⊥ｍ且ｌ⊥ｎ”，若ｍ∥ｎ，则ｌ不一定垂直于平面 α．综上可得，“ｌ⊥α”是“ｌ⊥ｍ且ｌ⊥ｎ”的充分不必要条件．故 选Ｃ． ２． Ａ　 三角形的两边，圆的两条直径一定是相交直线，而梯形的 两边，正六边形的两条边不一定相交，所以保证直线与平面垂 直的是①③． ３． Ａ　 我们现在研究的平台是锥空间．如图所示， 过点Ｐ作直线ｌ′∥ｌ，以ｌ′为轴，与ｌ′成３０°角的圆锥面的所有 母线都与ｌ成３０°角． ４． ４　 ∵ ＰＡ⊥平面ＡＢＣ，∴ ＰＡ⊥ＡＢ，ＰＡ⊥ＡＣ，ＰＡ⊥ＢＣ． ∴ △ＰＡＢ、△ＰＡＣ为直角三角形． ∵ ＢＣ⊥ＡＣ，ＰＡ∩ＡＣ ＝Ａ，∴ ＢＣ⊥平面ＰＡＣ． ∴ ＢＣ⊥ＡＣ，ＢＣ⊥ＰＣ． ∴ △ＡＢＣ、△ＰＢＣ为直角三角形． ５． ９０° 　 方法一：如图所示，连接Ａ１Ｃ１，Ｂ１Ｄ１， 并设它们相交于点Ｏ，取ＤＤ１的中点Ｇ， 连接ＯＧ，Ａ１Ｇ，Ｃ１Ｇ，则ＯＧ∥Ｂ１Ｄ，ＥＦ∥Ａ１Ｃ１， ∴ ∠ＧＯＡ１为异面直线ＤＢ１ 与ＥＦ所成的角 或其补角． ∵ ＧＡ１ ＝ ＧＣ１，Ｏ为Ａ１Ｃ１的中点， ∴ ＧＯ⊥Ａ１Ｃ１ ． 故异面直线ＤＢ１与ＥＦ所成角的大小为９０°． 方法二：如图所示，连接Ａ１Ｄ，取Ａ１Ｄ的 中点Ｈ，连接ＨＥ，则ＨＥ瓚 １２ ＤＢ１， ∴ ∠ＨＥＦ为异面直线ＤＢ１ 与ＥＦ所成的 角或其补角． 连接ＨＦ，设ＡＡ１ ＝ ｋ（ｋ ＞ ０）， 则ＥＦ ＝槡２２ ｋ，ＨＥ ＝ Ａ１Ｈ ２ ＋Ａ１Ｅ槡 ２ ＝槡３２ ｋ， 取Ａ１Ｄ１的中点Ｉ，连接ＨＩ，ＩＦ，则ＨＩ⊥ＩＦ，∴ ＨＦ２ ＝ ＨＩ２ ＋ ＩＦ２ ＝ ５ ４ ｋ ２，∴ ＨＦ２ ＝ ＥＦ２ ＋ ＨＥ２，∴ ∠ＨＥＦ ＝ ９０°．故异面直线ＤＢ１ 与 ＥＦ所成角的大小为９０°． 第２课时　 直线与平面垂直的性质 必备知识　 探新知 知识点１　 １．平行　 ａ∥ｂ　 ２．（１）垂直于　 （２）有且只有一条 对应练习 １． Ｃ　 由线面垂直的性质定理可知，当ｂ⊥α，ａ⊥α时，ａ∥ｂ．故 选Ｃ． ２． Ｃ　 ∵ ｌ⊥ＡＢ，ｌ⊥ＡＣ，ＡＢα，ＡＣα，且ＡＢ∩ＡＣ ＝ Ａ， ∴ ｌ⊥α，同理可证ｍ⊥α，∴ ｌ∥ｍ，∴直线ｌ，ｍ的位置关系是平 行．故选Ｃ． 知识点２　 垂线段　 不垂直　 射影　 ∠ＡＣＢ 对应练习 ３． Ａ　 由题意知，在Ｒｔ△ＡＢＯ中，∠ＡＯＢ ＝ ９０°， ＢＯ ＝ １２ ＡＢ，所以∠ＡＢＯ ＝ ６０°． ４． Ｄ　 如图，连接ＡＣ，因为Ａ１Ａ⊥平面ＡＢＣＤ， 所以∠Ａ１ＣＡ为Ａ１Ｃ与平面ＡＢＣＤ所成的角． 设正方体的棱长为ａ，则Ａ１Ｃ 槡＝ ３ ａ．在 Ｒｔ△Ａ１ＡＣ中，ｓｉｎ∠Ａ１ＣＡ ＝ ａ槡３ａ ＝槡３３ ，故选Ｄ                                                                      ． —２０７—