11.3.1 平行直线与异面直线(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第四册同步学习指导(人教B版2019)

因为Ｓ侧＝ ６π，设母线长为ｌ，则π（１ ＋ ２）ｌ ＝ ６π， 所以ｌ ＝ ２，所以高ｈ ＝ ｌ２ －（Ｒ － ｒ）槡 ２ 槡＝ ３， 所以Ｖ ＝ １３ π × （１ ２ ＋ １ × ２ ＋ ２２） 槡× ３ ＝ 槡７ ３３ π． １１． ２　 平面的基本事实与推论 必备知识　 探新知 知识点１　 Ａ∈ｌ　 Ａｌ　 Ａ∈α　 Ａα　 ｌα　 ｌα　 对应练习 １． Ａ　 由题图可知平面α，β相交于直线ｍ，直线ｎ在平面α内， 两直线ｍ，ｎ交于点Ａ，所以用符号语言可表示为α∩β ＝ ｍ， ｎα，ｍ∩ｎ ＝ Ａ． 知识点２　 １．有且只有　 两个点　 这个平面内　 ｌα　 公共直 线　 ２．经过一条直线和这条直线外一点　 经过两条相交直线　 经过两条平行直线 对应练习 ２． Ｄ　 根据基本事实３判定点Ｃ和点Ｄ既在平面β内又在平面 γ内，故在β与γ的交线上．故选Ｄ． ３． １或３　 当三条直线共点时可确定三个或一个平面，当三条直 线不共点时可确定一个平面． 关键能力　 攻重难 　 　 例１：（１）点Ｐ∈直线ＡＢ； 　 　 （２）点Ｃ直线ＡＢ；　 　 （３）点Ｍ∈平面ＡＣ； 　 　 （４）点Ａ１平面ＡＣ； 　 　 （５）直线ＡＢ∩直线ＢＣ ＝点Ｂ； 　 　 （６）直线ＡＢ平面ＡＣ； 　 　 （７）平面Ａ１Ｂ∩平面ＡＣ ＝直线ＡＢ． 对点训练 １．（１）ｌα　 （２）Ａ∈ｌ 　 　 例２：方法一：∵ ＡＢ∩α ＝ Ｐ，∴ Ｐ∈ＡＢ，Ｐ∈平面α． 　 　 又ＡＢ平面ＡＢＣ，∴ Ｐ∈平面ＡＢＣ． 　 　 ∴由基本事实３可知： 　 　 点Ｐ在平面ＡＢＣ与平面α的交线上， 　 　 同理可证Ｑ、Ｒ也在平面ＡＢＣ与平面α的交线上． 　 　 ∴ Ｐ、Ｑ、Ｒ三点共线． 　 　 方法二：∵ ＡＰ∩ＡＲ ＝ Ａ， 　 　 ∴直线ＡＰ与直线ＡＲ确定平面ＡＰＲ． 　 　 又∵ ＡＢ∩α ＝ Ｐ，ＡＣ∩α ＝ Ｒ， 　 　 ∴平面ＡＰＲ∩平面α ＝ ＰＲ． 　 　 ∵ Ｂ∈面ＡＰＲ，Ｃ∈面ＡＰＲ，∴ ＢＣ面ＡＰＲ． 　 　 又∵ Ｑ∈面ＡＰＲ，Ｑ∈α， 　 　 ∴ Ｑ∈ＰＲ． ∴ Ｐ、Ｑ、Ｒ三点共线． 对点训练 ２．如图所示，连接Ａ１Ｂ，ＣＤ１ ．显然Ｂ∈平面 Ａ１ＢＣＤ１，Ｄ１∈平面Ａ１ＢＣＤ１ ． ∴ ＢＤ１平 面Ａ１ＢＣＤ１ ． 同理ＢＤ１平面ＡＢＣ１Ｄ１，∴平面ＡＢＣ１Ｄ１ ∩平面Ａ１ＢＣＤ１ ＝ ＢＤ１ ． ∵ Ａ１Ｃ与平面ＡＢＣ１Ｄ１的公共点是Ｑ， ∴ Ｑ∈平面ＡＢＣ１Ｄ１ ． 又∵ Ａ１Ｃ平面Ａ１ＢＣＤ１，∴ Ｑ∈平面Ａ１ＢＣＤ１ ． ∴ Ｑ∈ＢＤ１，即Ｂ，Ｑ，Ｄ１三点共线． 　 　 例３：［证明］　 如图所示．由已知 ａ∥ｂ，所以过ａ，ｂ有且只有一个平面 α．设ａ∩ｌ ＝Ａ，ｂ∩ｌ ＝ Ｂ，∴ Ａ∈α，Ｂ∈α， 且Ａ∈ｌ，Ｂ∈ｌ，∴ ｌα．即过ａ，ｂ，ｌ有且 只有一个平面． 对点训练 ３．（１）Ｄ　 （２）１　 （１）在Ａ图中，分别连接ＰＳ，ＱＲ（图略）， 易证ＰＳ∥ＱＲ， ∴ Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ四点共面； 在Ｂ图中，过Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ可作一正六边形，如图 所示，∴ Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ四点共面； 在Ｃ图中，分别连接ＰＱ，ＲＳ（图略），易证 ＰＱ∥ＲＳ，∴ Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ四点共面； 在Ｄ图中，连接ＰＳ，ＲＱ（图略），易知ＰＳ与ＲＱ 不相交也不平行， ∴ Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ四点不共面．故选Ｄ． （２）①正确，可以用反证法证明：若其中任意三点共线，则四点 必共面； ②不正确，共面不具有传递性； ③不正确，如空间四边形． 　 　 例４：［证明］（１）因为ＢＧＧＣ ＝ ＤＨＨＣ ＝ １２， 所以ＧＨ∥ＢＤ． 因为Ｅ，Ｆ分别为ＡＢ，ＡＤ的中点，所以ＥＦ∥ＢＤ， 所以ＥＦ∥ＧＨ． 所以Ｅ，Ｆ，Ｈ，Ｇ四点共面． （２）因为Ｇ，Ｈ不是ＢＣ，ＣＤ的中点， 所以ＥＦ∥ＧＨ，且ＥＦ≠ＧＨ， 所以ＥＧ与ＦＨ必相交，设交点为Ｍ， 因为ＥＧ平面ＡＢＣ，ＨＦ平面ＡＣＤ，所以Ｍ∈平面ＡＢＣ， 且Ｍ∈平面ＡＣＤ，因为平面ＡＢＣ∩平面ＡＣＤ ＝ ＡＣ， 所以Ｍ∈ＡＣ， 所以ＥＧ与ＨＦ的交点在直线ＡＣ上． 对点训练 ４．［证明］　 ∵ ＣＥ∩Ｄ１Ｆ ＝ Ｇ， ∴ Ｇ∈ＣＥ，Ｇ∈Ｄ１Ｆ． 又∵ Ｄ１Ｆ平面ＡＤＤ１Ａ１，ＣＥ平面ＡＢＣＤ， ∴ Ｇ∈平面ＡＤＤ１Ａ１，Ｇ∈平面ＡＢＣＤ，即Ｇ为平面ＡＤＤ１Ａ１ 和平 面ＡＢＣＤ的公共点． 又平面ＡＤＤ１Ａ１∩平面ＡＢＣＤ ＝ ＡＤ， ∴ Ｇ∈ＡＤ． ∴ ＣＥ，Ｄ１Ｆ，ＤＡ三线共点． 课堂检测　 固双基 １． Ａ　 ∵直线ａ平面α，直线ｂ平面α，Ｍ∈ａ，Ｎ∈ｂ，∴ Ｍ∈平 面α，Ｎ∈平面α． ∵ Ｍ∈ｌ，Ｎ∈ｌ，∴ ｌα．故选Ａ． ２． Ｄ　 经过两条相交直线有且只有一个平面，Ａ错误；经过两条 平行直线有且只有一个平面，Ｂ错误；经过直线与直线外一点 有且只有一个平面，Ｃ错误；过共线的三点，有无数个平面，Ｄ 正确．故选Ｄ． ３． Ｄ　 当四个点共线时，确定无数个平面；当四个点不共线时，若 四点共面，可确定１个平面，若四点不共面，可确定４个平面， 所以空间中四点可确定的平面有１个或４个或无数个                                                                      ． —２０２— ４． Ｃ　 因为α∩β ＝ ｌ，ＡＢ∩ｌ ＝Ｃ，所以Ｃ∈β，Ｃ∈ＡＢ，所以ＡＢ∩β ＝Ｃ． ５．等边三角形或矩形或等腰梯形　 点Ｑ在棱ＤＤ１ 上移动，当点 Ｑ与点Ｄ１重合时截面为等边三角形ＡＢ１Ｄ１，如图（１）所示；当 点Ｑ与点Ｄ重合时，截面为矩形ＡＢ１Ｃ１Ｄ，如图（２）所示；当点 Ｑ不与点Ｄ，Ｄ１ 重合时，截面为等腰梯形ＡＱＲＢ１，如图（３） 所示． １１． ３　 空间中的平行关系 １１． ３． １　 平行直线与异面直线 必备知识　 探新知 知识点１　 １．（１）有且只有一条　 （２）互相平行　 传递性　 ｂ∥ｃ ２．对应平行　 相同 对应练习 １． Ｂ　 因为ＡＢ∥ＰＱ，ＢＣ∥ＱＲ， 所以∠ＰＱＲ与∠ＡＢＣ相等或互补． 因为∠ＡＢＣ ＝ ３０°，所以∠ＰＱＲ ＝ ３０°或１５０°． ２． ３　 因为四边形ＡＢＢ′Ａ′，ＡＤＤ′Ａ′均为长方形，所以ＡＡ′∥ＢＢ′， ＡＡ′∥ＤＤ′．又四边形ＢＣＣ′Ｂ′为长方形，所以ＢＢ′∥ＣＣ′，所以 ＡＡ′∥ＣＣ′．故与ＡＡ′平行的棱共有３条，分别是ＢＢ′，ＣＣ′，ＤＤ′． 知识点２　 １．既不平行也不相交　 ３．不经过交点 对应练习 ３．（１）× 　 （２）× 　 （３）× 　 （４）√ ［提示］　 （１）没有公共点的两条直线是平行直线或异面 直线． （２）若直线ａ和ｂ共面，则由题意可知ａ∥ｂ；若ａ和ｂ不共面， 则由题意可知ａ与ｂ是异面直线． （３）若ａ，ｂ是异面直线，ａ，ｃ是异面直线，那么ｂ，ｃ可以平行， 可以相交，可以异面． （４）由异面直线的概念可知这个说法正确． 知识点３　 不共面　 顶点的４个字母　 相邻顶点间　 不相邻 对应练习 ４． Ｄ　 在△ＡＢＤ中可得ＥＨ∥ＢＤ，ＥＨ ＝ １２ ＢＤ，在△ＣＢＤ中可得 ＦＧ∥ＢＤ，ＦＧ ＝ ２３ ＢＤ，所以ＥＨ，ＦＧ平行且不相等，所以四边形 ＥＦＧＨ是梯形． 关键能力　 攻重难 　 　 例１：平行　 连接ＢＤ，如图， 　 　 ∵ ＡＥＡＢ ＝ ＡＨ ＡＤ，∴ ＥＨ∥ＢＤ， 　 　 又∵ ＣＦＣＢ ＝ ＣＧ ＣＤ，∴ ＦＧ∥ＢＤ，∴ ＥＨ∥ＦＧ． 对点训练 １．因为Ｇ，Ｈ分别为ＦＡ，ＦＤ的中点， 所以ＧＨ∥ＡＤ，ＧＨ ＝ １２ ＡＤ． 又ＢＣ∥ＡＤ，ＢＣ ＝ １２ ＡＤ， 所以ＢＣ∥ＧＨ，ＢＣ ＝ ＧＨ， 所以四边形ＢＣＨＧ是平行四边形． 　 　 例２：［证明］　 在正方形ＡＤＤ１Ａ１中，Ｍ，Ｍ１分别为ＡＤ，Ａ１Ｄ１ 的中点，∴ Ａ１Ｍ１瓛ＡＭ，∴四边形ＡＭＭ１Ａ１是平行四边形， 　 　 ∴ Ａ１Ａ瓛Ｍ１Ｍ．又∵ Ａ１Ａ瓛Ｂ１Ｂ，∴ Ｍ１Ｍ瓛Ｂ１Ｂ， 　 　 ∴四边形ＢＢ１Ｍ１Ｍ为平行四边形，∴ Ｂ１Ｍ１∥ＢＭ． 　 　 同理可得四边形ＣＣ１Ｍ１Ｍ为平行四边形，∴ Ｃ１Ｍ１∥ＣＭ． 　 　 由平面几何知识可知，∠ＢＭＣ和∠Ｂ１Ｍ１Ｃ１都是锐角． 　 　 ∴ ∠ＢＭＣ ＝∠Ｂ１Ｍ１Ｃ１ ． 对点训练 ２．△ＡＤＥ≌△ＢＣＦ　 由题意知，Ｅ，Ｆ分别为原长方形纸片ＡＢＣＤ 中ＡＤ，ＢＣ的中点，ＥＦ与ＤＣ，ＡＢ分别平行且相等，∴四边形 ＥＦＣＤ和四边形ＥＦＢＡ均为平行四边形，∴ ＥＤ瓚ＦＣ，ＥＡ瓚ＦＢ 且方向相同，∴ ∠ＡＥＤ ＝∠ＢＦＣ， ∴ △ＡＤＥ≌△ＢＣＦ． 　 　 例３：（２）（４）　 （１）中ＨＧ∥ＭＮ，（３）中ＧＭ∥ＨＮ且ＧＭ≠ ＨＮ，所以直线ＨＧ与ＭＮ必相交． 对点训练 ３．平行　 异面　 相交　 异面　 （１）在正方体ＡＣ１ 中，因为Ａ１Ｄ１ 瓚ＢＣ，所以四边形Ａ１ＢＣＤ１为平行四边形，所以Ａ１Ｂ∥Ｄ１Ｃ． （２）因为Ｂ∈平面ＢＣＣ１Ｂ１，Ｂ１Ｃ平面ＢＣＣ１Ｂ１，ＢＢ１Ｃ，又Ａ１ 平面ＢＣＣ１Ｂ１，由异面直线的判定可知Ａ１Ｂ与Ｂ１Ｃ异面． （３）因为Ｄ１Ｄ∩Ｄ１Ｃ ＝ Ｄ１，所以直线Ｄ１Ｄ与直线Ｄ１Ｃ相交． （４）由异面直线的判定可知ＡＢ与Ｂ１Ｃ异面． 　 　 例４：６０°或１２０° 　 　 ［解析］　 因为角α，β的两边分别平行， 　 　 所以α，β相等或互补， 　 　 又α ＝ ６０°，所以β ＝ ６０°或１２０°． 对点训练 ４． Ｂ　 ②④是正确的． 课堂检测　 固双基 １． Ｄ　 对于Ａ，若ＧＨ∥ＭＮ，可得Ｇ，Ｈ，Ｍ，Ｎ四点共面，则直线 ＭＧ，ＨＮ共面，这与ＭＧ，ＨＮ异面矛盾，所以Ａ中的两直线不平 行；由异面直线的定义可得Ｂ，Ｃ中的两直线ＧＨ，ＭＮ为异面 直线；对于Ｄ，由Ｎ，Ｈ为中点，可得ＮＨ∥ＭＧ，且ＮＨ ＝ ＭＧ，则 四边形ＭＧＨＮ为平行四边形，故ＧＨ∥ＭＮ．故选Ｄ． ２． Ｂ　 如图，在正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中，ＡＡ１ 与ＢＣ是异面直线，又ＡＡ１∥ＢＢ１，ＡＡ１∥ＤＤ１， 显然ＢＢ１∩ＢＣ ＝ Ｂ，ＤＤ１与ＢＣ是异面直线，故 选Ｂ． ３． Ａ　 把正方体的平面展开图还原到原来的正 方体如图所示， ＡＢ⊥ＥＦ，ＥＦ与ＭＮ是异面直线，ＭＮ⊥ＣＤ，只有①②正确． ４．相交　 直线Ａ１Ｂ与直线外一点Ｅ确定的平面为Ａ１ＢＣＤ１，ＥＦ 平面Ａ１ＢＣＤ１，且两直线不平行，故两直线相交                                                                      ． —２０３— ５．②④　 根据题意，依次分析４条直线：①当Ｐ为Ａ１Ｃ１ 的中点 时，ＤＤ１与ＢＰ相交，不符合题意； ②ＡＣ始终与直线异面，符合题意； ③当Ｐ与点Ｃ１重合时，ＡＤ１与ＢＰ（ＢＣ１）平行，不符合题意； ④Ｂ１Ｃ始终与直线ＢＰ异面，符合题意，故选②④． １１． ３． ２　 直线与平面平行 必备知识　 探新知 知识点１　 有无数个公共点　 ａα　 有且只有一个公共点 ａ∩α ＝ Ａ　 没有公共点　 ａ∥α 对应练习 １． Ｄ　 ∵直线ｍ∥直线ｎ，且ｍ∥平面α，∴当ｎ不在平面α内 时，平面α内存在直线ｍ′∥ｍ，∴ ｎ∥ｍ′．根据线面平行的判定 定理可得ｎ∥平面α．当ｎ在平面α内时，ｎ与ｍ′重合，符合题 意． ∴ ｎ与α的位置关系是ｎ∥α或ｎα，故选Ｄ． 知识点２　 平面内的一条直线平行 对应练习 ２． Ｃ　 矩形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ与ＢＤ交于点Ｏ，所以点Ｏ为ＢＤ 的中点．在△ＰＢＤ中，因为点Ｍ是ＰＢ的中点，所以ＯＭ是 △ＰＢＤ的中位线，ＯＭ∥ＰＤ．所以ＯＭ∥平面ＰＣＤ，且ＯＭ∥平 面ＰＤＡ．因为Ｍ∈ＰＢ，所以ＯＭ与平面ＰＢＡ、平面ＰＢＣ相交． 知识点３　 平行　 平行　 ｌβ，α∩β ＝ ｍ 对应练习 ３． Ｄ　 直线ａ与直线ｂ也可能异面、相交，所以Ａ不正确；直线ｂ 也可能与平面α平行，所以Ｂ不正确；直线ｂ也可能在平面α 内，所以Ｃ不正确；根据直线与平面平行的定义知Ｄ正确． 关键能力　 攻重难 　 　 例１：Ｄ　 Ａ错误，若ｂα，ａ∥ｂ，则ａ∥α或ａα；Ｂ错误，若 ｂα，ｃ∥α，ａ∥ｂ，ａ∥ｃ，则ａ∥α或ａα；Ｃ错误，若满足此条件， 则ａ∥α或ａα或ａ与α相交；Ｄ正确，恰好是定理所具备的不 可缺少的三个条件．故选Ｄ． 对点训练 １． Ａ　 对于①，虽然直线ｌ与平面α内的无数条直线平行，但ｌ可 能在平面α内，所以ｌ不一定平行于α，所以错误；对于②，因 为直线ａ在平面α外，包括两种情况：ａ∥α和ａ与α相交，所 以ａ和α不一定平行，所以错误；对于③，因为直线ａ∥ｂ，ｂ α，只能说明ａ和ｂ无公共点，但ａ可能在平面α内，所以ａ不 一定平行于平面α，所以错误；对于④，因为ａ∥ｂ，ｂα，所以ａ α或ａ∥α，所以ａ与平面α内的无数条直线平行，所以正 确．综上，正确说法的个数为１． 　 　 例２：［证明］　 在三棱台ＤＥＦ － ＡＢＣ中，ＡＢ ＝ ２ＤＥ，Ｇ为ＡＣ 的中点，可得ＤＦ∥ＧＣ，ＤＦ ＝ ＧＣ，所以四边形ＤＦＣＧ为平行四边 形，连接ＣＤ、ＦＧ．设ＣＤ∩ＦＧ ＝ Ｏ，则Ｏ为ＣＤ的中点．又Ｈ为ＢＣ 的中点，所以ＯＨ∥ＢＤ．又ＯＨ平面ＦＧＨ，ＢＤ平面ＦＧＨ，所以 ＢＤ∥平面ＦＧＨ． 对点训练 ２．［证明］　 取ＡＣ的中点Ｍ，连接ＭＯ， ＢＭ，Ｄ１Ｍ． ∵ ＡＡ１∥ＣＣ１且ＡＡ１ ＝ ＣＣ１， ∴四边形ＡＡ１Ｃ１Ｃ为平行四边形， ∴ ＡＣ∥Ａ１Ｃ１且ＡＣ ＝ Ａ１Ｃ１ ． ∵ Ｏ，Ｍ分别为Ａ１Ｃ１，ＡＣ的中点， ∴ ＡＭ∥Ａ１Ｏ，且ＡＭ ＝ Ａ１Ｏ， 则四边形ＡＡ１ＯＭ为平行四边形， ∴ ＯＭ∥ＡＡ１且ＯＭ ＝ ＡＡ１ ． ∵ ＡＡ１∥ＢＢ１且ＡＡ１ ＝ ＢＢ１， ∴ ＯＭ∥ＢＢ１且ＯＭ ＝ ＢＢ１，连接Ｂ１Ｄ１，且交Ａ１Ｃ１于点Ｏ， ∴四边形ＢＢ１ＯＭ为平行四边形，∴ ＢＭ∥ＯＤ１且ＢＭ ＝ ＯＤ１， ∴四边形ＭＢＯＤ１为平行四边形，∴ ＯＢ∥Ｄ１Ｍ， ∵ ＭＤ１平面ＡＣＤ１，ＯＢ平面ＡＣＤ１，∴ ＯＢ∥平面ＡＣＤ１ ． 　 　 例３：［证明］　 如图所示，连接ＡＣ交ＢＤ于点Ｏ，连接ＭＯ． 　 　 ∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， 　 　 ∴ Ｏ是ＡＣ的中点． 　 　 又Ｍ是ＰＣ的中点， 　 　 ∴ ＡＰ∥ＯＭ． 　 　 又ＡＰ平面ＢＭＤ， 　 　 ＯＭ平面ＢＭＤ， 　 　 ∴ ＡＰ∥平面ＢＭＤ． 　 　 又∵ ＡＰ平面ＰＡＨＧ， 　 　 平面ＰＡＨＧ∩平面ＢＭＤ ＝ ＧＨ， 　 　 ∴ ＡＰ∥ＧＨ． 对点训练 ３．［证明］　 因为Ｄ，Ｃ，Ｅ，Ｆ分别是ＡＱ，ＢＱ，ＡＰ，ＢＰ的中点，所以 ＥＦ∥ＡＢ，ＤＣ∥ＡＢ，所以ＥＦ∥ＤＣ． 又ＥＦ平面ＰＣＤ，ＤＣ平面ＰＣＤ，所以ＥＦ∥平面ＰＣＤ． 因为ＥＦ平面ＥＦＱ，平面ＥＦＱ∩平面ＰＣＤ ＝ＧＨ，所以ＥＦ∥ＧＨ． 又ＥＦ∥ＡＢ，所以ＡＢ∥ＧＨ． 　 　 例４：［证明］　 在平面β内任一点Ａ，因为ａ∥β，所以Ａａ． 　 　 设点Ａ与直线ａ确定平面γ，β∩γ ＝ ｃ． 　 　 又ａ∥β，由线面平行的性质定理可得ａ∥ｃ， 　 　 又ａ∥ｂ，所以ｂ∥ｃ，又ｃβ，ｂβ，所以ｂ∥β． 对点训练 ４． Ｄ　 ∵ ｂ∥α，∴ ｂ与α无公共点，从而ｂ与α内任何一条直线 无公共点． 课堂检测　 固双基 １． Ｂ　 如图所示，连接ＢＤ１，ＢＤ，ＡＣ，设ＡＣ∩ＢＤ ＝ Ｏ，则Ｏ是ＢＤ 的中点，连接ＯＥ． ∵在正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｅ为ＤＤ１的中点， ∴ ＯＥ∥ＢＤ１ ． 又ＯＥ平面ＡＣＥ，ＢＤ１平面ＡＣＥ                                                                       ， —２０４— 〉 /CD1 ４．如图，在正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，设Ｅ为ＡＢ的中点，Ｆ为ＡＡ１的中点，且ＣＥ∩Ｄ１Ｆ ＝ Ｇ，求证： ＣＥ，Ｄ１Ｆ，ＤＡ三线共点． XYZ[%\]^ １．如果直线ａ平面α，直线ｂ平面α，Ｍ∈ａ， Ｎ∈ｂ，且Ｍ∈ｌ，Ｎ∈ｌ，那么 （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ｌα Ｂ． ｌα Ｃ． ｌ∩α ＝Ｍ Ｄ． ｌ∩α ＝ Ｎ ２．下列条件不能确定一个平面的是 （　 ） Ａ．两条相交直线 Ｂ．两条平行直线 Ｃ．直线与直线外一点 Ｄ．共线的三点 ３．空间中四点可确定的平面个数有 （　 　 ） Ａ． １个 Ｂ． ３个 Ｃ． ４个 Ｄ． １个或４个或无数个 ４．设平面α与平面β交于直线ｌ，Ａ∈α，Ｂ∈α，且 直线ＡＢ∩ｌ ＝ Ｃ，则直线ＡＢ∩β ＝ 　 　 　 　 ． ５．正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，点Ｑ是棱ＤＤ１上 的动点，则过Ａ，Ｑ，Ｂ１三点的截面的形状可能 为　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１７                   ］ ##"& 空间中的平行关系 １１． ３． １　 平行直线与异面直线 !"#$%&'( 学习目标 核心素养 １．了解空间中两条直线的位置关系． ２．理解空间平行线的传递性，会证等角定理． ３．理解异面直线的概念、画法，了解空间四边形． １．借助两直线平行的判定与性质，提 升逻辑推理的核心素养． ２．通过等角定理的学习，培养直观想 象的核心素养． $+* )*+,%-.+ 知识点１　 平行直线与等角定理 　 　 １．平行直线 　 　 （１）平行公理：过直线外一点　 　 　 　 　 　 直线与已知直线平行． 　 　 （２）平行线的传递性 　 　 文字表述：平行于同一条直线的两条直线　 　 　 　 　 ．这一性质称为 空间平行线的　 　 　 　 　 ． 符号表述：ａ∥ｂ ａ∥{ ｃ　 　 　 　 　 ． 　 　 ２．等角定理 　 　 如果一个角的两边与另一个角的两边分别　 　 　 　 　 ，并且方向　 　 　 　 　 ，那么这两个角相等． ［思考］ ●/012 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．已知ＡＢ∥ＰＱ，ＢＣ∥ＱＲ，若∠ＡＢＣ ＝ ３０°，则∠ＰＱＲ等于 （　 　 ） Ａ． ３０°　 Ｂ． ３０°或１５０° Ｃ． １５０°　 Ｄ．以上结论都不对 ２．如图，ＡＡ′是长方体ＡＢＣＤ － Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′的一条棱，那么长方体中与ＡＡ′平行 的棱共有　 　 　 　 条． 知识点２　 异面直线的判定 　 　 １．异面直线指的是空间中　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 的直线． 　 　 ２．异面直线的画法： 　 　 为了表示异面直线ａ，ｂ不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平 面来衬托，如图所示． 　 　 ３．异面直线的一种判断方法：与一个平面相交于一点的直线与这个平 面内　 　 　 　 　 　 的直线异面． ●/012 ３．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”） （１）没有公共点的两条直线是异面直线． （　 　 ） （２）若空间两条直线ａ和ｂ没有公共点，则ａ与ｂ异面． （　 　 ） （３）若ａ与ｂ是异面直线且ａ与ｃ也是异面直线，则ｂ与ｃ是异面直线． （　 　 ） （４）若ａ，ｂ不同在任何一个平面内，则ａ与ｂ异面． （　 　 ） 思考：空间中如果两个 角的两边分别对应平 行，这两个角具有什么 关系？ 提示： ¶Qo¬Wh $++ 知识点３　 空间四边形 　 　 　 ●/012 ４．如图，已知空间四边形ＡＢＣＤ，Ｅ，Ｈ分别是ＡＢ，ＡＤ的中点，Ｆ，Ｇ分别是ＣＢ，ＣＤ上的 点，且ＣＦＣＢ ＝ ＣＧ ＣＤ ＝ ２ ３，则四边形ＥＦＧＨ的形状是 （　 　 ） Ａ．空间四边形　 　 　 Ｂ．平行四边形　 　 　 　 Ｃ．矩形　 　 　 　 Ｄ．梯形 3456%789 ●:;<%›ïÇ×Pg& １．如图所示，在空间四边形ＡＢＣＤ中，ＡＥＡＢ ＝ ＡＨ ＡＤ， ＣＦ ＣＢ ＝ ＣＧ ＣＤ， 则ＥＨ与ＦＧ的位置关系是　 　 　 　 　 ． ［归纳提升］ 〉 /CD1 １．如图，四边形ＡＢＥＦ和ＡＢＣＤ都是直角梯形，∠ＢＡＤ ＝ ∠ＦＡＢ ＝ ９０°，ＢＣ∥ＡＤ，ＢＣ ＝ １２ ＡＤ，ＢＥ∥ＦＡ，ＢＥ ＝ １ ２ ＦＡ， Ｇ，Ｈ分别为ＦＡ，ＦＤ的中点．证明：四边形ＢＣＨＧ是平 行四边形． 归纳提升：空间两条直 线平行的证明： !gˆu¦5Ä\š Ÿ6®*^.8</• \Ÿ6-b>»0Z 8«OË(+,u³ÿ ^šŸ6V‰15-Ÿ 6ô¡’šŸ68ÇZ D®*^8</O2£ 6üÕN™V~-O :0;-*>6n8Ç Á3;Qh $+! ●:;E%Øٕ?&qHN0v ２．如图，在正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｍ，Ｍ１分别是 棱ＡＤ和Ａ１Ｄ１的中点．求证：∠ＢＭＣ ＝∠Ｂ１Ｍ１Ｃ１ ． 　 　 ［分析］　 先证明四边形ＢＢ１Ｍ１Ｍ为平行四边形，从而证 得Ｂ１Ｍ１∥ＢＭ，同理可得Ｃ１Ｍ１∥ＣＭ，再由等角定理即可证明． ［归纳提升］ 〉 /CD1 ２．将一张长方形的纸片ＡＢＣＤ对折一次，ＥＦ为折痕，再打开竖 直立在桌面上，如图所示，连接ＡＤ，ＢＣ，则△ＡＤＥ与△ＢＣＦ的 关系是　 　 　 　 　 ． ●:;>%ðAÇ×Pgh ３．如图，Ｇ，Ｈ，Ｍ，Ｎ分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示 直线ＧＨ，ＭＮ是异面直线的图形有　 　 　 　 　 ． ［归纳提升］ 〉 /CD1 ３．如图所示，在正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，判断下列直线的位置关系： （１）直线Ａ１Ｂ与直线Ｄ１Ｃ的位置关系是　 　 　 　 ； （２）直线Ａ１Ｂ与直线Ｂ１Ｃ的位置关系是　 　 　 　 ； （３）直线Ｄ１Ｄ与直线Ｄ１Ｃ的位置关系是　 　 　 　 ； （４）直线ＡＢ与直线Ｂ１Ｃ的位置关系是　 　 　 　 ． ●QRST%•?&qqL˜ñò ４．设已知空间两个角α，β 且α，β 的两边分别平行，α ＝ ６０°， 则β ＝ 　 　 　 　 　 　 ． 　 　 ［错解］　 ６０° 　 　 ［错因分析］　 在应用等角定理解题时一定要注意“两组边对应平行 且方向相同”这一条件，在求解本题时容易忽略此条件而出错误答案６０°． 　 　 ［正解］　 归纳提升：利用空间等 角定理证明两角相等的 步骤 （１） 5Ä\.0-\3 452£8Ç ． （２） Žg\.0-\3 -$´ô¶*oÁô ¶#h 归纳提升： Ž\Ÿ6 }d".<Ÿ6Vís Žéê}d¶«n8 Ç ． ít:P¶«Vò P8ÇV—}.<Ÿ 6 ． $!$ 〉 /CD1 ４．下列结论中，正确的结论有 （　 ） ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； ②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等； ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补； ④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． １个 Ｂ． ２个 Ｃ． ３个 Ｄ． ４个 XYZ[%\]^ １． Ｇ，Ｈ，Ｍ，Ｎ分别是直三棱柱的顶点或所在棱的 中点，则在下列图形中ＧＨ∥ＭＮ的是（　 ） ２．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它 和另一直线的位置关系是 （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ．平行或异面 Ｂ．相交或异面 Ｃ．异面 Ｄ．相交 ３．一个正方体纸盒展开后如图 所示，在原正方体纸盒中有如 下结论：①ＡＢ⊥ＥＦ；②ＥＦ与 ＭＮ是异面直线；③ＭＮ∥ＣＤ． 其中，正确结论的序号是 （　 　 ） Ａ．①②　 　 Ｂ．①③ Ｃ．②③　 　 Ｄ．①②③ ４．正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｅ，Ｆ分别是线段 Ｃ１Ｄ，ＢＣ的中点，则直线Ａ１Ｂ与直线ＥＦ的位 置关系是　 　 　 　 ． ５．在正方体ＡＢＣＤ － Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 中，点Ｐ为Ａ１Ｃ１ 上的动点，则下列直线中，始终与直线ＢＰ异面 的是　 　 　 　 ． ①ＤＤ１；②ＡＣ；③ＡＤ１；④Ｂ１Ｃ 请同学们认真完成练案［１８                               ］ １１． ３． ２　 直线与平面平行 !"#$%&'( 学习目标 核心素养 １．掌握直线与平面的三种位置关系． ２．学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系． ３．掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利 用两个定理解决空间中的平行关系问题． １．通过空间直线与平面位置关系的学 习，培养直观想象的数学核心素养． ２．借助直线与平面平行的判定与性质 的学习，提升数学抽象、逻辑推理的 数学核心素养． $!#