10.3 第2课时 复数三角形式的乘除法(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第四册同步学习指导(人教B版2019)

对点训练 1.B 复数： $$z = \left( a + i \right) ^ { 2 } = a ^ { 2 } - 1 + 2 a i$$ 的辐角为 $$\frac { 3 \pi } { 2 } ，$$ 则 对应的点 $$2 \left( - \frac { 1 } { 2 } - \frac { \sqrt 3 } { 2 } i \right) ， \therefore r = 2 ， \cos \theta = - \frac { 1 } { 2 } ， \sin \theta = - \frac { \sqrt 3 } { 2 } ， \therefore$$ 0可以取 $$\left( a ^ { 2 } - 1 ， 2 a \right)$$ )在y轴负半轴上， $$\left\{ \begin{array}{l} a ^ { 2 } - 1 = 0 ， \\ 2 a < 0 ， \end{array} \right. \therefore a = - 1 ，$$ $$\frac { 4 \pi } { 3 } \cdots \cdots$$ 所求复数的三角形式为 $$2 \left( \cos \frac { 4 \pi } { 3 } + i \sin \frac { 4 \pi } { 3 } \right)$$ 例 2：(1) 由 r≥0 知 $$x _ { 1 }$$ 不是三角形式 课堂检测固双基 $$\left( 2 \right) z _ { 2 }$$ cosθ 与is inθ之间为减号， 不是三角形式. $$\left( 3 \right) z _ { 3 }$$ 中正、余弦位置不对，不是三角形式. $$1 . B z = \sqrt 3 \left( - \frac { \sqrt 3 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } i \right) = - \frac { 3 } { 2 } + \frac { \sqrt 3 } { 2 } i .$$ $$\left( 4 \right) z _ { 4 }$$ 中角不同，不是三角形式. $$2 . D \because z = \sin 5 0 ^ { \circ } - i \cos 5 0 ^ { \circ }$$ 对点训练 2.(1)不是 (2)不是(3)不是 (4)是 (5)不是 (6)是 $$= \cos \left( 9 0 ^ { \circ } - 5 0 ^ { \circ } \right) - i \sin \left( 9 0 ^ { \circ } - 5 0 ^ { \circ } \right) = \cos 4 0 ^ { \circ } - i \sin 4 0 ^ { \circ }$$ $$= \cos \left( 3 6 0 ^ { \circ } - 4 0 ^ { \circ } \right) + i \sin \left( 3 6 0 ^ { \circ } - 4 0 ^ { \circ } \right)$$ 例 $$3 ： \left( 1 \right) r = \sqrt { \left( 2 \sqrt 3 \right) ^ { 2 } + \left( 2 \right) ^ { 2 } } = 4 ，$$ ，所以 $$\cos \theta = \frac { \sqrt 3 } { 2 } ，$$ 对应的 $$= \cos 3 2 0 ^ { \circ } + i \sin 3 2 0 ^ { \circ } ，$$ 点在第一象限，所以 $$a _ { a } g \left( 2 \sqrt 3 + 2 i \right) = \frac { \pi } { 6 } ，$$ ∴ 复数 的辐角主值为 $$3 2 0 ^ { \circ } ，$$ $$2 \sqrt 3 + 2 i = 4 \left( \cos \frac { \pi } { 6 } + i \sin \frac { \pi } { 6 } \right) .$$ 3.D由复数 z 的模为 2， ，辐角为 $$\frac { 2 \pi } { 3 } ，$$ $$\left( 2 \right) r = \sqrt { 1 ^ { 2 } + \left( - 1 \right) ^ { 2 } } = \sqrt 2 ，$$ 所以 $$\cos \theta = \frac { \sqrt 2 } { 2 } ，$$ 可得： $$z = 2 \left( \cos \frac { 2 \pi } { 3 } + i \sin \frac { 2 \pi } { 3 } \right) = - 1 + \sqrt 3 i ，$$ 所以 $$1 \frac { z } { i } = \frac { - 1 + \sqrt 3 i } { i } =$$ 对应的点在第四象限，所以 $$m g \left( 1 - i \right) = \frac { 7 \pi } { 4 } ，$$ $$\frac { \left( - 1 + \sqrt 3 i \right) i } { - 1 } = \sqrt 3 + i .$$ 所以 $$1 - i = \sqrt 2 \left( \cos \frac { 7 \pi } { 4 } + i \sin \frac { 7 \pi } { 4 } \right) .$$ $$4 . \frac { 5 } { 3 } \pi$$ 因为 $$1 - \sqrt 3 i = 2 \left( \frac { 1 } { 2 } - \frac { \sqrt 3 } { 2 } i \right) = 2 \left( \cos \frac { 5 } { 3 } \pi + i \sin \frac { 5 } { 3 } \pi \right) ，$$ 对点训练 3.(1)由 $$a = - 1 ， b = \sqrt 3 ，$$ 知点 $$Z _ { 1 } \left( - 1 ， \sqrt 3 \right)$$ 在第二象限，故辐角为 所以 $$1 - \sqrt { 3 i }$$ 的辐角主值为 $$\frac { 5 } { 3 } \pi .$$ 第二象限的角. $$r = \sqrt { \left( - 1 \right) ^ { 2 } + \left( \sqrt 3 \right) ^ { 2 } } = 2 ，$$ 第 第2课时复数三角形式的乘除法 $$\cos \theta = - \frac { 1 } { 2 } ， 则 \left[ 1 \right] a z _ { 1 } z _ { 1 } = \frac { 2 \pi } { 3 } .$$ 必备知识探新知 因此复数 $$z _ { 1 } = - 1 + \sqrt 3 i$$ 的三角形式为 $$z _ { 1 } =$$ = 知识点1 $$1 1 . r _ { 1 } r _ { 2 } \left[ \cos \left( \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } \right) + i \sin \left( \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } \right) \right] z _ { 1 } z _ { 2 }$$ 的模 $$2 \left( \cos \frac { 2 \pi } { 3 } + i \sin \frac { 2 \pi } { 3 } \right) .$$ $$z _ { 2 }$$ 的辐角与 $$z _ { 2 }$$ 的辐角之和 2 $$2 . \theta _ { 2 } r _ { 2 }$$ $$3 . r ^ { n } \left[ \cos \left( n \theta \right) +$$ isin(nθ)] ]模的n次方复数辐角的 n 倍 (2)由 a=0，b=-4<0， 知 $$r = \sqrt { 0 ^ { 2 } + \left( - 4 \right) ^ { 2 } } = 4 ， 则 g _ { E } z _ { 2 } = \frac { 3 \pi } { 2 } ，$$ 对应练习 因此复数 $$z _ { 2 } = - 4 i$$ 的三角形式为 $$1 . C \frac { 1 } { 2 } \left( \cos 3 0 ^ { \circ } + i \sin 3 0 ^ { \circ } \right) \times 2 \left( \cos { 6 0 ^ { \circ } } + i \sin { 6 0 ^ { \circ } } \right) \times 3 \left( \cos 4 5 ^ { \circ }$$ $$z _ { 2 } = 4 \left( \cos \frac { 3 \pi } { 2 } + i \sin \frac { 3 \pi } { 2 } \right) .$$ $$+ i \sin 4 5 ^ { \circ } \right) = \frac { 1 } { 2 } \times 2 \times 3 \left[ \cos \left( 3 0 ^ { \circ } + 6 0 ^ { \circ } + 4 5 ^ { \circ } \right) + i \sin \left( 3 0 ^ { \circ } + 6 0 ^ { \circ }$$ 例 4：(1)9(cosπ+isinπ)=-9. $$\left( 2 \right) 6 \left( \cos \frac { 4 \pi } { 3 } + i \sin \frac { 4 \pi } { 3 } \right) = 6 \left( - \frac { 1 } { 2 } - \frac { \sqrt 3 } { 2 } i \right) = - 3 - 3 \sqrt 3 i .$$ +45) =3(cos 135 $$\left. { + 4 5 ^ { \circ } } \right) = 3 \left( \cos 1 3 5 ^ { \circ } + i \sin 1 3 5 ^ { \circ } \right) = 3 \left( - \frac { \sqrt 2 } { 2 } + \frac { \sqrt 2 } { 2 } i \right)$$ 对点训练 $$= - \frac { 3 \sqrt 2 } { 2 } + \frac { 3 \sqrt 2 } { 2 } i .$$ $$4 . 1 - i z = \sqrt 2 \left( \cos \frac { \pi } { 4 } - i \sin \frac { \pi } { 4 } \right) = \sqrt 2 \times \cos \frac { \pi } { 4 } - i \sqrt 2 x \sin \frac { \pi } { 4 } = 1 - i .$$ 知识点 只点2 $$2 \frac { r _ { 1 } } { r _ { 2 } } \left[ \cos \left( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \right) + i \sin \left( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \right) \right]$$ 除以减去 例 5：C $$\frac { \pi } { 2 } < \theta < \pi ，$$ 所以 cosθ<0. 对应练习 $$z = \tan \theta + i = \frac { \sin \theta } { \cos \theta } + i = \frac { 1 } { \cos \theta } \left( \sin \theta + i \cos \theta \right)$$ $$\left\{ 2 ， \frac { 3 \left( \cos 2 7 0 ^ { \circ } + \tan 2 7 0 ^ { \circ } \right) } { \frac { 1 } { 3 } \left[ \cos \left( - 9 0 ^ { \circ } \right) + \tan \left( - 9 0 ^ { \circ } \right) \right] } = 9 \left( \cos \left( 2 7 0 ^ { \circ } + 9 0 ^ { \circ } \right)$$ $$= - \frac { 1 } { \cos \theta } \left( - \sin \theta - i \cos \theta \right)$$ $$i \sin \left( 2 7 0 ^ { \circ } + 9 0 ^ { \circ } \right) \right] = 9 \left( \cos 3 6 0 ^ { \circ } + i \sin 3 6 0 ^ { \circ } \right) = 9 .$$ $$= - \frac { 1 } { \cos \theta } \left[ \cos \left( \frac { 3 \pi } { 2 } - \theta \right) + i \sin \left( \frac { 3 \pi } { 2 } - \theta \right) \right] ，$$ 关健能力攻重难 例 $$1 ： \left( 1 \right) 2 \left( \cos \frac { 2 \pi } { 3 } + i \sin \frac { 2 \pi } { 3 } \right) \times \sqrt 3 \left( \cos \frac { 5 \pi } { 6 } + i \sin \frac { 5 \pi } { 6 } \right)$$ 所以复数 $$z = \tan \theta + i \left( \frac { \pi } { 2 } < \theta < \pi \right)$$ 的三角形式是 $$= 2 \sqrt 3 \left( \cos \frac { 3 \pi } { 2 } + i \sin \frac { 3 \pi } { 2 } \right) = - 2 \sqrt 3 i .$$ $$z = - \frac { 1 } { \cos \theta } \left[ \cos \left( \frac { 3 \pi } { 2 } - \theta \right) + i \sin \left( \frac { 3 \pi } { 2 } - \theta \right) \right]$$ $$\left( 2 \right) 2 \left( \cos 5 ^ { \circ } + i \sin 5 ^ { \circ } \right) \times 4 \left( \cos 3 0 ^ { \circ } + i \sin 3 0 ^ { \circ } \right) \times$$ 对点训练 $${ 3 0 ^ { \circ } } \right) \times$$ $$\frac { 1 } { 2 } \left( \cos 2 5 ^ { \circ } + i \sin 2 5 ^ { \circ } \right) = 8 \left( \cos 3 5 ^ { \circ } + i \sin 3 5 ^ { \circ } \right) \times \frac { 1 } { 2 } \left( \cos 2 5 ^ { \circ } + i \sin 2 5 ^ { \circ } \right)$$ $$5 . 2 \left( \cos \frac { 4 \pi } { 3 } + i \sin \frac { 4 \pi } { 3 } \right) \because - 2 \left( \cos \frac { \pi } { 3 } + i \sin \frac { \pi } { 3 } \right) = - 1 - \sqrt 3 i = \left\{ \begin{array}{l} 2 \pi ， \\ \end{array} \right. 则 \cos \left( x + 1 \right)$$ $$= 4 \left( \cos 6 0 ^ { \circ } + i \sin 6 0 ^ { \circ } \right) = 2 + 2 \sqrt 3 i .$$ -192一 对点训练 1.(1)2i(2)见解析 =2m4+im）=-2+2i [解析](1)方法一：(3+i)(cos60°+isin60°) 例4：=1+os0+in0=1+(2s号-+2i·血号 =2(cos30°+isin30°)(cos60°+isin60°)） =2(c0s90°+isin90°)=2i. 05 号-2aw(s号+im受) 方法二：(5+i(m0+im0)=(5+i(}+到 <0<2m心号<号<w号<0 2s{m号+）-2ms2(-m号-恤） (2)32=2(eos150°-isinl50°）=2[cos(-150°）+ isin(-150°)]， -2号引一(+号）++受小 5=8×2[cos(240°-150°）+isin(240°-150°)] r-2m号：受<号<m…<m+号<2, =16(c0s90°+isin90°）=16i. 例2：m石+m)m号+】 +号 =2(cm话+im）=2-号+-5+i 故复数：的模是-2ms号，辐角主值是+受 对点训练 对点训练 2.(1)2i÷[2(ms30°+iain30)] 4:=2号-2im号号=2m（m号-in2） =2(m90+im90）÷[2(m30+m30r =-2aw2(-w号+in2） =4(cms60°+isin60)=2+23i. -2ms号{m(-2）+in(a-2小 (2)7+[2(as120°+iin120] r=-2m号m<0<2号<号<m =-i*2@m120+in120 0<m- =(os20+sn20P)+[2(s120+in120)】 放复数：的模是-2号，辐角主值为元一号 =2[c0s(270°-120°）+isin(270°-120°)] 课堂检测固双基 =2(c0s150°+isin150°)--5+i 1.D4(cos60°+isin60°）×3(ew150°+isin150°)= 例3：欲求∠20以.可计第号 12[c0s(60°+150°)+isin(60°+150°)]=12(c0s210°+ 立.1+2.1+2)(7-5团=1+国 m210)=12(-受-）-65-6微选D 7+3i(7+3i)(7-3) 4 20(s君+iain君)×(m号+im）=r(君+号）+ =2(号+in） in(君+）=s号+im受=i故选C ∠z,0以=号时 0Z11 0Z2 3.B.2÷2(c0860°+isin60)=2(co80°+isin0°)÷2(cos60° +isin60°)=cos(0°-60°）+isin(0°-60°)=ms(-60°）+ 由余弦定理，设10Z,1=k,10Z31=2(k>0),则1Z,Z212= 及+(2k)2-2h·2k·c号=3N,1Z乙，名1=5k,而+ 油(-0)=子身放选B (3k)2=(2)2,△02，Z为有一角为60的直角三角形 4.C 因为3-=2，m长+im长）其对应向量绕原 6 对点训练 点0按顺时针方向旋转号后，所得向量对应的复数为 2m(5-)+in(5-】-3-属故选c 与=(-1+不i)(-号+智(m+)--不+i原武=（号-）+imn(号-】 2m(++）n(学+弩+】 =2=g+m）-5+i -193XYZ[%\]^ １．复数ｚ ＝槡３ ｃｏｓ ５π６ ＋ ｉｓｉｎ ５π( )６ 化为代数形式为 （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ａ． － ３２ － 槡３ ２ ｉ Ｂ． － ３ ２ ＋ 槡３ ２ ｉ Ｃ． －槡３２ － ３ ２ ｉ Ｄ． － 槡３ ２ ＋ ３ ２ ｉ ２．复数ｚ ＝ ｓｉｎ ５０° － ｉｃｏｓ ５０°的辐角主值是（　 ） Ａ． ５０°　 　 Ｂ． ２２０°　 　 Ｃ． ３１０°　 　 Ｄ． ３２０° ３．若复数ｚ ＝ ｒ（ｃｏｓ θ ＋ ｉｓｉｎ θ）（ｒ ＞ ０，θ∈Ｒ），则把 这种形式称为复数ｚ的三角形式，其中ｒ为复 数ｚ的模，θ为复数ｚ的辐角．若一个复数ｚ的 模为２，辐角为２π３ ，则 ｚ ｉ ＝ （　 ） Ａ． １ ＋槡３ｉ Ｂ． １ －槡３ｉ Ｃ．槡３ － ｉ Ｄ．槡３ ＋ ｉ ４．复数１ －槡３ｉ的辐角主值是　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［９                 ］ 第２课时　 复数三角形式的乘除法 !"#$%&'( 学习目标 核心素养 １．掌握复数的三角形式的乘、除及乘方运算． ２．掌握复数的代数形式与三角形式的运算特点． １．借助复数的三角形式，培养数学抽 象的核心素养． ２．通过复数三角形式的运算，培养数 学运算的核心素养． )*+,%-.+ 知识点１　 复数三角形式的乘法 　 　 １．设复数ｚ１ ＝ ｒ１（ｃｏｓ θ１ ＋ ｉｓｉｎ θ１），ｚ２ ＝ ｒ２（ｃｏｓ θ２ ＋ ｉｓｉｎ θ２），则ｚ１ ｚ２ ＝ ｒ１（ｃｏｓ θ１ ＋ ｉｓｉｎ θ１）× ｒ２（ｃｏｓ θ２ ＋ ｉｓｉｎ θ２）＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ，即由两个复数ｚ１，ｚ２的三角形式可得ｚ１ ｚ２的三角形式： ｚ１的模乘以ｚ２的模等于　 　 　 　 　 ，　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 是ｚ１ ｚ２的辐角． 　 　 ２．几何意义：设ｚ１，ｚ２对应的向量分别为ＯＺ→ １，ＯＺ→ ２，将ＯＺ→ １绕原点旋转　 　 　 　 　 ，再将ＯＺ→ １的模 变为原来的　 　 　 　 　 倍，如果所得向量为→ＯＺ，则→ＯＺ对应的复数即为ｚ１ ｚ２ ． 　 　 ３．［ｒ（ｃｏｓ θ ＋ ｉｓｉｎθ）］ｎ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ，ｎ∈Ｎ ＋，即复数ｎ次幂的模等于　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ，辐角等于　 　 　 　 　 　 　 ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●/012 １． １２（ｃｏｓ ３０° ＋ ｉｓｉｎ ３０°）× ２（ｃｏｓ ６０° ＋ ｉｓｉｎ ６０°）× ３（ｃｏｓ ４５° ＋ ｉｓｉｎ ４５°）＝ （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ａ． ３槡２２ ＋ ３槡２ ２ ｉ Ｂ． ３槡２ ２ － ３槡２ ２ ｉ Ｃ． － ３槡２２ ＋ ３槡２ ２ ｉ Ｄ． － ３槡２ ２ － ３槡２ ２ ｉ $') 知识点２　 复数三角形式的除法 　 　 设复数ｚ１ ＝ ｒ１（ｃｏｓ θ１ ＋ ｉｓｉｎ θ１），ｚ２ ＝ ｒ２（ｃｏｓ θ２ ＋ ｉｓｉｎ θ２），则ｚ１ｚ２ ＝ ｒ１（ｃｏｓ θ１ ＋ ｉｓｉｎ θ１） ｒ２（ｃｏｓ θ２ ＋ ｉｓｉｎ θ２）＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ，即由两个复数ｚ１，ｚ２（ｚ２≠０）的三角形式可得ｚ１ｚ２的三角形式：ｚ１的模　 　 　 　 　 　 ｚ２的 模等于ｚ１ｚ２的模，ｚ１的辐角　 　 　 　 　 　 ｚ２的辐角是 ｚ１ ｚ２ 的辐角． ●/012 ２． ３（ｃｏｓ ２７０° ＋ ｉｓｉｎ ２７０°）１ ３［ｃｏｓ（－ ９０°）＋ ｉｓｉｎ（－ ９０°）］ 的结果是 （　 ） Ａ． － ９ Ｂ． ９ Ｃ． － １ Ｄ． １ 3456%789 ●:;<%Ž>?@©Pª¤¦§ １．计算： （１）２ ｃｏｓ ２π３ ＋ ｉｓｉｎ ２π( )３ ×槡３ ｃｏｓ ５π６ ＋ ｉｓｉｎ ５π( )６ ； （２）２（ｃｏｓ ５° ＋ ｉｓｉｎ ５°）×４（ｃｏｓ ３０° ＋ ｉｓｉｎ ３０°）× １２（ｃｏｓ ２５° ＋ ｉｓｉｎ ２５°）． 　 　 ［分析］　 按照复数三角形式的乘法法则进行． ［归纳提升］ 〉 /CD1 １．（１）计算：（槡３ ＋ ｉ）（ｃｏｓ ６０° ＋ ｉｓｉｎ ６０°）＝ 　 　 　 　 　 　 ． （２）已知ｚ１ ＝ ８（ｃｏｓ ２４０° ＋ ｉｓｉｎ ２４０°），ｚ２ ＝ ２（ｃｏｓ １５０° － ｉｓｉｎ １５０°），求ｚ１ ｚ２ 的代数形式． 归纳提升： Ÿß«OŽ À:0;?-֍Rm YÆÇRmV¦\. ŽÀ¶ÖV1X-å‰ }v¶ÖVà0¶¾ ． $'* ●:;E%Ž>?@©P«¤¦§ ２．计算：８ ｃｏｓ ７π６ ＋ ｉｓｉｎ ７π( )６ [ (÷ ４ ｃｏｓ π３ ＋ ｉｓｉｎ π ) ]３ ． 　 　 ［分析］　 根据复数三角形式的除法法则进行． ［归纳提升］ 〉 /CD1 ２．（１）计算： [２ｉ ÷ １２（ｃｏｓ ３０° ＋ ｉｓｉｎ ３０° ]） ． （２）计算：ｉ３ ÷ １２（ｃｏｓ １２０° ＋ ｉｓｉｎ １２０°[ ]）． ●:;>%Žª¤r «¤PžJŸ ３．若ＯＺ→ １与ＯＺ→ ２分别表示复数ｚ１ ＝ １ ＋ ２槡３ ｉ，ｚ２ ＝ ７ ＋槡３ｉ，求∠Ｚ２ＯＺ１并判断△ＯＺ１Ｚ２的形状． ［归纳提升］ 归纳提升： Ÿß«OŽ À:0;?-­Rm YÆÇRmV¦\. ŽÀ¶­V1X-å‰ }v¶­Và0¶¿ ． 归纳提升： ŽÀ¶Ön ¶­F,„—}ŽÀ1 2£-´Ì-î¨]ï ðVî¨-0O¡$ ´VF%p`^ŽÀ- à0-zn’¡Š‘ ． $'+ 〉 /CD1 ３．设复数ｚ１，ｚ２对应的向量分别为ＯＺ→ １，ＯＺ→ ２，Ｏ为坐标原点，且ｚ１ ＝ － １ ＋槡３ｉ，若把ＯＺ→ １绕原点逆时针 旋转４π３ ，把ＯＺ → ２绕原点顺时针旋转３π４ ，所得两向量恰好重合，求复数ｚ２ ． ●QRST%=º?»e½P¾¿mÀ ４．求复数ｚ ＝ １ ＋ ｃｏｓ θ ＋ ｉｓｉｎ θ（π ＜ θ ＜ ２π）的模与辐角主值． ［错解］　 ｚ ＝ １ ＋ ｃｏｓ θ ＋ ｉｓｉｎ θ 　 　 ＝ １ ＋ ２ｃｏｓ２ θ２( )－ １ ＋ ２ｉｓｉｎ θ２ ｃｏｓ θ２ 　 　 ＝ ２ｃｏｓ θ２ ｃｏｓ θ２ ＋ ｉｓｉｎ θ( )２ 　 　 ∴复数ｚ的模为２ｃｏｓ θ２，辐角主值为 θ ２ ． 　 　 ［错因分析］　 从形式上看，２ｃｏｓ θ２ ｃｏｓ θ( ２ ＋ ｉｓｉｎ θ )２ 似乎就是三角形式，不少同学认为ｒ ＝ ２ｃｏｓ θ２，ａｒｇ ｚ ＝ θ ２ ． 　 　 错误之处在于他们没有考虑角θ的范围，因此一定要用“模非负，角相同，余弦前，加号连”来判 断是否为三角形式． 　 　 ［正解］　 〉 /CD1 ４．求复数ｚ ＝ １ ＋ ｃｏｓ θ － ｉｓｉｎ θ（π ＜ θ ＜ ２π）的模与辐角主值． $'! XYZ[%\]^ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１． ４（ｃｏｓ ６０° ＋ ｉｓｉｎ ６０°）× ３（ｃｏｓ １５０° ＋ ｉｓｉｎ １５０°） ＝ （　 ） Ａ． ６槡３ ＋ ６ｉ Ｂ． ６槡３ － ６ｉ Ｃ． － ６槡３ ＋ ６ｉ Ｄ． － ６槡３ － ６ｉ ２． ｃｏｓ π６ ＋ ｉｓｉｎ π( )６ × ｃｏｓ π３ ＋ ｉｓｉｎ π( )３ ＝ （　 ） Ａ． １ Ｂ． － １ Ｃ． ｉ Ｄ． － ｉ ３． ２ ÷ ２（ｃｏｓ ６０° ＋ ｉｓｉｎ ６０°）＝ （　 ） Ａ． １２ ＋ 槡３ ２ ｉ Ｂ． １ ２ － 槡３ ２ ｉ Ｃ．槡３２ ＋ １ ２ ｉ Ｄ． 槡３ ２ － １ ２ ｉ ４．把复数３ －槡３ｉ对应向量绕原点Ｏ按顺时针方 向旋转２π３ ，所得向量对应的复数为 （　 ） Ａ． ２槡３ Ｂ． － ２槡３ｉ Ｃ． － ３ －槡３ｉ Ｄ． ３ －槡３ｉ ５．计算１２ ｃｏｓ ７π３ ＋ ｉｓｉｎ ７π( )３ [ (÷ ６ ｃｏｓ ３π２ ＋ ｉｓｉｎ ３π ) ]２ ＝ 　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１０                         ］ 章末知识梳理 +,w€ —复数的概念及几何意义— —复数的概念— —复数的分类 —复数相等 —复数的几何意义— —复数与复平面内的点一一对应 —复数的向量表示 —复数的运算— —复数的加法法则— —（ａ ＋ ｂｉ）＋（ｃ ＋ ｄｉ）＝（ａ ＋ ｃ）＋（ｂ ＋ ｄ）ｉ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈Ｒ） —复数加法的几何意义 —复数的减法法则— —（ａ ＋ ｂｉ）－（ｃ ＋ ｄｉ）＝（ａ － ｃ）＋（ｂ － ｄ）ｉ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈Ｒ） —复数减法的几何意义 —复数的乘法法则—（ａ ＋ ｂｉ）（ｃ ＋ ｄｉ）＝（ａｃ － ｂｄ）＋（ａｄ ＋ ｂｃ）ｉ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈Ｒ） —复数的除法法则—ａ ＋ ｂｉｃ ＋ ｄｉ ＝ ａｃ ＋ ｂｄ ｃ２ ＋ ｄ２ ＋ ｂｃ － ａｄ ｃ２ ＋ ｄ２ ｉ（ｃ ＋ ｄｉ≠０，ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈Ｒ） —复数的三角形式及运算— —复数的三角形式：ｚ ＝ ｒ（ｃｏｓ θ ＋ ｉｓｉｎ θ） —复数三角形式的乘除法— —ｚ１ ｚ２ ＝ ｒ１ ｒ２［ｃｏｓ（θ１ ＋ θ２）＋ ｉｓｉｎ（θ１ ＋ θ２）］ —ｚｎ ＝ ｒｎ［ｃｏｓ（ｎθ）＋ ｉｓｉｎ（ｎθ）］ —ｚ１ｚ２ ＝ ｒ１ ｒ２ ［ｃｏｓ（θ１ － θ２）＋ ｉｓｉｎ（θ１ － θ２）］ $($