10.3 第1课时 复数的三角形式(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第四册同步学习指导(人教B版2019)

, #$"& 复数的三角形式及其运算 第 # 课时　 复数的三角形式 !"#$%&'( 学习目标 核心素养 １．了解复数的三角形式，了解复数的代数形式及三角形 式之间的关系． ２．会进行复数的代数形式与三角形式的转化，了解辐角． １．借助复数的三角形式，培养数学抽 象的核心素养． ２．通过复数代数形式与三角形式的转 化，培养数学运算的核心素养． )*+,%-.+ 知识点１　 复数的三角形式 　 　 一般地，如果非零复数ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ）在复平面内对应点Ｚ（ａ，ｂ），且ｒ为向量→ＯＺ的模，θ是 以ｘ轴正半轴为始边、射线ＯＺ为终边的一个角，则ｒ ＝ ｜ ｚ ｜ ＝ ａ２ ＋ ｂ槡 ２，ａ ＝ ｒｃｏｓ θ，ｂ ＝ ｒｓｉｎ θ，从而ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ ＝ 　 　 　 　 　 　 ，上式的右边称为非零复数ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ）的三角形式（对应地，ａ ＋ ｂｉ称 为复数的代数形式），其中的θ称为ｚ的　 　 　 　 　 ． ●/012 １．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”） （１）复数的辐角是唯一的． （　 　 ） （２）ｚ ＝ ｃｏｓ θ － ｉｓｉｎ θ是复数的三角形式． （　 　 ） （３）ｚ ＝ － ２（ｃｏｓ θ ＋ ｉｓｉｎ θ）是复数的三角形式． （　 　 ） （４）复数ｚ ＝ ｃｏｓ π ＋ ｉｓｉｎ π的模是１，π是ｚ的辐角． （　 　 ） ２．复数ｚ ＝ １ ＋ ｉ的三角形式为ｚ ＝ 　 　 　 　 　 　 ． 知识点２　 辐角与辐角主值 　 　 （１）任何一个非零复数ｚ的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角都相差　 　 　 　 的整数倍， 即辐角为θ ＋ ２ｋπ（ｋ∈Ｚ）． 　 　 （２）在［０，２π）内的辐角称为ｚ的辐角主值，记作　 　 　 　 　 ． 　 　 提醒：̂ ¼®ŽÀ:0;?*-à0VHFé-J‚V’‰ÓÐ?õ%Vá%pRmVó:0 ;?à0P^gFJ‚h $'% ●/012 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　３．复数ｚ ＝ ｃｏｓ π４ ＋ ｉｓｉｎ π ４的辐角主值是 （　 ） Ａ． ３π４ Ｂ． π ４ Ｃ． － ３π ４ Ｄ． － π ４ ４．复数ｚ ＝ － ｓｉｎ ５π１８ ＋ ｉｃｏｓ ５π １８的辐角主值为 （　 ） Ａ． ５π１８ Ｂ． １６π ９ Ｃ． ２π ９ Ｄ． ７π ９ 3456%789 ●:;<%ŽPº?»e １．求下列复数的模和辐角主值． （１）－ １ ＋ ｉ；（２）槡３ － ｉ． ［归纳提升］ 〉 /CD1 １．若复数ｚ ＝（ａ ＋ ｉ）２的辐角是３π２ ，则实数ａ的值是 （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． １ Ｂ． － １ Ｃ． －槡２ Ｄ． －槡３ ●:;E%ŽP>?@©Pgh ２．判断下列复数是否为三角形式． （１）ｚ１ ＝ － ２（ｃｏｓ θ ＋ ｉｓｉｎ θ）； （２）ｚ２ ＝ ｃｏｓ θ － ｉｓｉｎ θ； （３）ｚ３ ＝ － ｓｉｎ θ ＋ ｉｃｏｓ θ； （４）ｚ４ ＝ ｃｏｓ ６０° ＋ ｉｓｉｎ ３０°． ［归纳提升］ 归纳提升： @Apâ ０， ２ ç ） -à0-‚¬" à0J‚V­ ０ |ã. ŽÀb•äb^.à0 J‚V^¼OŽÀ ｚ 2£-0 Ｚ（ａ，ｂ） fg 01®-åæVƒˆ ｔａｎ θ ＝ ｂａ fg®â０， ２ ç ） /-0 θ V¦" ａｒｇ ｚ． 归纳提升： :0;? ｚ ＝ ｒ（ｃｏｓ ç ＋ ｉｓｉｎ ç ） V st-š› ： ! ｒ è ０． 8çé÷^êVWFB C‚ ． D ｃｏｓ ç ®éV ｓｉｎ ç® ÷ ． ë¾ Ä ì ßVWõ 6 "uv § ’n0¶*nì{én ¾ÄìVaÁ.š›í ^PW ． $'& 〉 /CD1 ２．判断下列复数是否为三角形式． （１）３ ｃｏｓ １１π３ ＋ ｉｓｉｎ １１π( )６ ；（２）２ － ｃｏｓ π３ ＋ ｉｓｉｎ π( )３ ； （３）ｓｉｎ π３ － ｉｃｏｓ π ３；（４）ｃｏｓ － π( )３ ＋ ｉｓｉｎ － π( )３ ； （５）－ ３ ｃｏｓ ２π３ ＋ ｉｓｉｎ ２π( )３ ；（６）５ ｃｏｓ ７π３ ＋ ｉｓｉｎ ７π( )３ ． ●:;>%ŽP¨@©`¹>?@© ３．将下列复数代数式化成三角形式： （１）２槡３ ＋ ２ｉ；（２）１ － ｉ． 　 　 ［分析］　 先求复数的模，再根据复数所在象限确定复数的辐角主值， 然后写出复数的三角形式． ［归纳提升］ 〉 /CD1 ３．把下列复数表示成三角形式： （１）ｚ１ ＝ － １ ＋槡３ｉ； （２）ｚ２ ＝ － ４ｉ． 归纳提升：将复数的代 数形式转化为三角形式 的步骤： È １ Ɂ_ŽÀ-vZ È ２ É%gà01®- åæZ È ３ Évwå æ _ l à0Z È ４ É_XŽÀ-:0 ;? ． $'' ●:;n%¼ŽP>?@©`¹¨@© ４．将下列复数表示成代数形式： （１）９（ｃｏｓ π ＋ ｉｓｉｎ π）； （２）６ ｃｏｓ ４π３ ＋ ｉｓｉｎ ４π( )３ ． 　 　 ［分析］　 将复数的三角形式化为代数形式，只需要将其中蕴含的三 角函数值求出数值即可． ［归纳提升］ 〉 /CD1 ４．将复数ｚ ＝槡[２ ｃｏｓ － π( )４ ＋ ｉｓｉｎ － π( ) ]４ 化为代数形式为　 　 　 　 　 ． ●QRST%UV Mº?»eab ５．复数ｚ ＝ ｔａｎ θ ＋ ｉ π２ ＜ θ ＜( )π 的三角形式是 （　 ） Ａ． １ｃｏｓ θ （ｓｉｎ θ ＋ ｉｃｏｓ θ） Ｂ． １ｃｏｓ θ （ｃｏｓ θ ＋ ｉｓｉｎ θ） Ｃ． － １ｃｏｓ θ ｃｏｓ ３π２ －( )θ ＋ ｉｓｉｎ ３π２ －( )[ ]θ Ｄ． － １ｃｏｓ θ ｃｏｓ ３π２ ＋( )θ ＋ ｉｓｉｎ ３π２ ＋( )[ ]θ 　 　 ［错解］　 Ａ 　 　 ［错因分析］　 ｚ ＝ ｔａｎ θ ＋ ｉ ＝ ｓｉｎ θｃｏｓ θ ＋ ｉ ＝ １ ｃｏｓ θ （ｓｉｎ θ ＋ ｉｃｏｓ θ），故选Ａ． 这种做法的错误之处在于忽视了π２ ＜ θ ＜ π这一条件，此时 １ ｃｏｓ θ ＜ ０，并不 是三角形式中的模． 　 　 ［正解］　 〉 /CD1 ５．把复数－ ２ ｃｏｓ π３ ＋ ｉｓｉｎ π( )３ 表示成三角形式的结果是　 　 　 　 　 ． 归纳提升： +ŽÀ-:0 ;?©"ŽÀãÀ;? -$}uŽÀ:0; ? ｚ ＝ ｒ（ｃｏｓ Ａ ＋ ｉｓｉｎ Ａ）， ãÀ;?" ｚ ＝ ｘ ＋ ｙｉ， 2 £F”QpF”V” Qp”V¦ ｘ ＝ ｒｃｏｓ Ａ， ｙ ＝ ｒｓｉｎ Ａ． $'( XYZ[%\]^ １．复数ｚ ＝槡３ ｃｏｓ ５π６ ＋ ｉｓｉｎ ５π( )６ 化为代数形式为 （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ａ． － ３２ － 槡３ ２ ｉ Ｂ． － ３ ２ ＋ 槡３ ２ ｉ Ｃ． －槡３２ － ３ ２ ｉ Ｄ． － 槡３ ２ ＋ ３ ２ ｉ ２．复数ｚ ＝ ｓｉｎ ５０° － ｉｃｏｓ ５０°的辐角主值是（　 ） Ａ． ５０°　 　 Ｂ． ２２０°　 　 Ｃ． ３１０°　 　 Ｄ． ３２０° ３．若复数ｚ ＝ ｒ（ｃｏｓ θ ＋ ｉｓｉｎ θ）（ｒ ＞ ０，θ∈Ｒ），则把 这种形式称为复数ｚ的三角形式，其中ｒ为复 数ｚ的模，θ为复数ｚ的辐角．若一个复数ｚ的 模为２，辐角为２π３ ，则 ｚ ｉ ＝ （　 ） Ａ． １ ＋槡３ｉ Ｂ． １ －槡３ｉ Ｃ．槡３ － ｉ Ｄ．槡３ ＋ ｉ ４．复数１ －槡３ｉ的辐角主值是　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［９                 ］ 第２课时　 复数三角形式的乘除法 !"#$%&'( 学习目标 核心素养 １．掌握复数的三角形式的乘、除及乘方运算． ２．掌握复数的代数形式与三角形式的运算特点． １．借助复数的三角形式，培养数学抽 象的核心素养． ２．通过复数三角形式的运算，培养数 学运算的核心素养． )*+,%-.+ 知识点１　 复数三角形式的乘法 　 　 １．设复数ｚ１ ＝ ｒ１（ｃｏｓ θ１ ＋ ｉｓｉｎ θ１），ｚ２ ＝ ｒ２（ｃｏｓ θ２ ＋ ｉｓｉｎ θ２），则ｚ１ ｚ２ ＝ ｒ１（ｃｏｓ θ１ ＋ ｉｓｉｎ θ１）× ｒ２（ｃｏｓ θ２ ＋ ｉｓｉｎ θ２）＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ，即由两个复数ｚ１，ｚ２的三角形式可得ｚ１ ｚ２的三角形式： ｚ１的模乘以ｚ２的模等于　 　 　 　 　 ，　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 是ｚ１ ｚ２的辐角． 　 　 ２．几何意义：设ｚ１，ｚ２对应的向量分别为ＯＺ→ １，ＯＺ→ ２，将ＯＺ→ １绕原点旋转　 　 　 　 　 ，再将ＯＺ→ １的模 变为原来的　 　 　 　 　 倍，如果所得向量为→ＯＺ，则→ＯＺ对应的复数即为ｚ１ ｚ２ ． 　 　 ３．［ｒ（ｃｏｓ θ ＋ ｉｓｉｎθ）］ｎ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ，ｎ∈Ｎ ＋，即复数ｎ次幂的模等于　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ，辐角等于　 　 　 　 　 　 　 ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　●/012 １． １２（ｃｏｓ ３０° ＋ ｉｓｉｎ ３０°）× ２（ｃｏｓ ６０° ＋ ｉｓｉｎ ６０°）× ３（ｃｏｓ ４５° ＋ ｉｓｉｎ ４５°）＝ （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ａ． ３槡２２ ＋ ３槡２ ２ ｉ Ｂ． ３槡２ ２ － ３槡２ ２ ｉ Ｃ． － ３槡２２ ＋ ３槡２ ２ ｉ Ｄ． － ３槡２ ２ － ３槡２ ２ ｉ $') 对点训练 1.(1)1-3i(2)21(1)::在复平面内对应的点的坐标为 解得-√F-6=0或广+了+6=0（无解）， Ly=0 [x=0 (1,-1),.x=1-i,∴.z·(:+1)=(1-i)(2-i)=1-3i. (2)因为1+i)(1-i)=1+b+(1-b)i=a. 即V尽-3)(F+2)=0,解得{任±3， ly=0. ly=0. 又a.b∈R,所以1+b=a且1-b=0, 得a=2.b=1. 故x=3或：=-3. 对点训练 例2：(D2A-得，器-亨：-i设：a+abeR, 故选D. :=-1l,a+i=-√a2+6 (2).“x(2-i)=11+7i. 六：-售7没295酒3+放选A {8三。合解得化8数：的实部不大于0 (2-i)(2+i) 5 b=0」 课堂检测固双基 对点训练 1.D由题意，设z=-1+i(b>0),则1=√/个+6=5，解得 20B2A0D0:=得9=.-1+点，a 2 6:2.即：=-1+2，所以▣2 =√(-1)+2=5.故选B -2i-2i(1+i) -1+2i (2)油(：-2)i=,得i-2i=,=1-)(1+5 ! 1221方+号放选n 5 山，=1-沙=一21a2,=+2,2C因为复数}==1+所以 2 故B正确，A,C,D错误.故选ACD 例3：”++2+小=0， 1+i2 1-i =四==-1，故选C 1+2++…+2=(+产+护+)+（的++7+）3.C由题意得：=(-1-i)=1-i故选C +…+(@+2@+2m+24)=0. 2(1+i) 对点训练 42因为2=+行=1+i,所以1+i=a+i,所以a 3.(1)D(2)0(1)由复数：满足：(1+i)=2+2= =1,b=1,所以a+b=2 0-2=-2=-2-i.可得：=品5号设26R且60.所以5i即a+ 1+i 3 “一子+宁，所以复数：的实廊为- 6i(3-4)=46+3bi,所以g=4北所以a=氵 12=3b. (2=-1- 2)=-i °10.3 复数的三角形式及其运算 20+:m=(-i)8+(-i)列 =(-i)4·(-i)+(-i)"·(-i)3 第1课时复数的三角形式 =-i+i=0. 必备知识探新知 例4：(1)因为1+i是方程x+x+c=0的根， 所以(1+i)2+b(1+i)+e=0,即(b+c）+(2+b)i=0, 知识点1r(eos0+isin0)辐角 所以660每得22 对应练习 I1.(1)×(2)×(3)×(4)V 12+b=0. 故b的值为-2，c的值为2 2子曲到=a.…0方 又因为1+i对 (2)由(1)知方程可化为x2-2x+2=0. 把x=1-i代人方程左边得x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i) 应的点位于第一象限， +2=0,显然方程成立，所以x=1-i也是方程的根 对点调练 所以g1+i)=开所以：=@牙+isin牙) 4.(1)C(2)±22(1)复数3-2i是关于x的方程2x2-mx 知识点2(1)2m(2)ag: +n=0的一个根，则复数3+2i也是关于x的方程2x2-m+ 对应练习 n=0的-个根3-2i+3+2i=受，(3-2i)(3+2)=2 3.B由镉角主值的定义，知复数：=c0s平+iim牙的循角主值 ∴.m=12,n=26.故选C 是牙故选B (2)设是方程的实数根，代入方程并整理得（后+似。+2）+ (2x+k)i=0. 4.D=-血设+im设=m(受+调)+in(受+ 由复数相等的充要条件得居+，+2=0。 12xm+k=0, 一)+号，故复数：的辐角主值为号放选 解得=2，。或-石. 关键能力攻重难 k=-22,k=22. 例1：(1)1-1+i1=2 所以k的值为-2,2或2v2. 点(-1,1)在第二象限，又tan0=-1, 例5：设x=x+i(x,y后R) 所以g(-1+)=平 则由条件得x2-y2+2i-√量+y-6=0. 由复数相等的充要条件得 (2)15-i1=2,点（瓦，-1）在第四象限，又m0=- 3 ∫x2-y2-√+3y2-6=0. 2y=0, 所以rg(,5-i)=知 6 -191 对点训练 1.B复数：=(a+i)产=心-1+2i的辐角为则：对应的点 2--到2.m0=-0=可以取 d一1在，辅负半轴上0：a- 号所求复数的三角形式为2(m号+in智) 例2：(1)由≥0知，不是三角形式 课堂检测固双基 (2):中cos0与isin0之间为诚号，不是三角形式. (3):,中正、余弦位置不对，不是三角形式 (4):4中角不同，不是三角形式 2.Da=sin50°-ieus50 对点训练 2.(1)不是(2)不是(3)不是(4)是(5)不是(6)是 =c0s(90°-50°）-isin(90°-50°）=es40°-isin40° 例3：(1)r=V2,3)+(2=4,所以ms8=号，对应的 =c0s(360°-40°)+i5in(360°-40°) 2 =c0s320°+isin320°， 点在第一象限，所以a%(25+2)=石， .复数：的辐角主值为320， 所以25+2i=4(看+idin君） 3.D由复数：的模为2，额角为号 (2)r=个+(-1了=2，所以os0=兰， 2 可得：=2(m+m）-1+.所以片=1+。 对应的点在第四象限，所以g(1-i)=四 4 (-1+ii=原+i -1 所以1-i=m要+n) 4. 对点训练 国为1-=2宁-别=2(+im 3.(1)由a=-1,b=3,知点Z,(-1,3)在第二象限，故辐角为 所以1-厅的辐角主值为号 第二象限的角. r=√(-1)2+(3)2=2 第2课时复数三角形式的乘除法 又m0=方，所以a哪9 必备知识探新知 因此复数=-1+3i的三角形式为=知识点11.r[cos(0+4)+isim(a+a)]的模 2m晋+m} 的辐角与与的辐角之和2.0,53.[cos(0）+ isin(ne)] 模的n次方复数镉角的n倍 (2)由a=0,b=-4<0,知r=V0+(-4=4,g=7 对应练习 因此复数马=一4i的三角形式为 1.C (+isin 30)(iin =4(m受+n》 +in45)=7×2x3[am(30+60°+45)+iain(30°+60 例4：(1)9(cosm+isin）=-9. (2)6(号+m）=6(---3-3 +45)1=3(s135°+in135)=3(-号+ 对点训练 33 2 41-i=m年-m）=万×m吾-i2x血开=1-i知识点2[(a-,)+in(8-)】除以减去 例5：C因为于<0<m,所以es0<0, 对应练习 2.B 3(0s270°+isin270°) =m9+i把8id由9+ias创 =9[0s(270°+90°)+ 3{cos(-90)+isim(-90°)刀 =1 cos 0 (sin 0-icos 0) isin(270°+90°)]=9(cs360°+isin360）=9. 关键能力攻重难 s(程-小+n(程-小 例1：(12(m+im）x(mg+m) 所以复数：=an日+i(受<0<)的三角形式是 =2(m2+iwn）=-2 dm侵-+m程- (2)2(cs5+iin5）×4(s3+isin30r）× 对点训练 2(ous25°+in25)=8(cm35°+iain359）×7(ms25+in25) 5.2(m智+ian）-2(m号+in号）=-1-5i= =4(es60°+isin60)=2+23i -192