10.2.1 复数的加法与减法(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第四册同步学习指导(人教B版2019)

ａ≠２，故选Ａ． ３． Ｄ　 因为ｘ２ ＋ １ ＝ ０，所以ｘ２ ＝ － １，而（± ｉ）２ ＝ － １．故选Ｄ． ４．槡５ － ８ｉ　 复数槡槡５ｉ － ５的虚部为槡５，复数８ｉ２ 槡 槡＋ ２ｉ ＝ － ８ ＋ ２ｉ的 实部为－ ８．故答案为槡５ － ８ｉ． ５． １ 　 因为复数（ｍ２ － １）＋ （ｍ２ － ｍ － ２）ｉ为纯虚数，所以 ｍ２ － １ ＝ ０， ｍ２ － ｍ － ２≠０{ ，解得ｍ ＝ １．故答案为１． １０． １． ２　 复数的几何意义 必备知识　 探新知 知识点１　 １．复平面　 实轴　 虚轴　 实数　 实轴　 虚轴 ２． Ｚ（ａ，ｂ） 对应练习 １．（１）√　 （２）× 　 （３）√ ［提示］　 （２）虚轴上的点除原点外所对应的复数都是纯虚数． （３）ｚ ＝ － １ － ２ｉ对应的点Ｚ（－ １，－ ２），位于第三象限． ２． Ａ　 由复数ｚ ＝（ｍ ＋ ３）＋（ｍ － １）ｉ在复平面内对应的点在第 四象限，得ｍ ＋ ３ ＞ ０， ｍ － １ ＜ ０{ ，解得－ ３ ＜ ｍ ＜ １．故选Ａ． 知识点２　 １．（１）相等　 互为相反数　 共轭　 （２）实轴　 实轴　 ２．模 对应练习 ３． Ｃ　 若ｚ ＝ － １ － ｉ，则ｚ ( )＝ － １ ２ ( )＋ － １槡 ２ 槡＝ ２．故选Ｃ． ４． ５　 因为ｚ１ ＝ ３ ＋ ａｉ，ｚ２ ＝ ｂ ＋ ４ｉ互为共轭复数， 所以ａ ＝ － ４， ｂ ＝ ３{ ， 所以ｚ ＝ － ４ ＋ ３ｉ， 所以｜ ｚ ｜ ＝ （－ ４）２ ＋ ３槡 ２ ＝ ５． 关键能力　 攻重难 　 　 例１：复数ｚ ＝（ａ２ － １）＋（２ａ － １）ｉ在复平面内对应的点是 （ａ２ － １，２ａ － １）． 　 　 （１）若ｚ对应的点在实轴上，则有２ａ － １ ＝ ０，解得ａ ＝ １２ ． 　 　 （２）若ｚ对应的点在第三象限，则有ａ ２ － １ ＜ ０， ２ａ － １ ＜ ０{ ，解得－ １ ＜ ａ ＜ １２ ，即ａ的取值范围为－ １，( )１２ ． 　 　 （３）若ｚ对应的点在直线ｙ ＝ ｘ上，则有２ａ － １ ＝ ａ２ － １，解得 ａ ＝ ０或ａ ＝ ２． 对点训练 １．（１）Ｄ　 （２）Ａ　 （２）ｚ ＝（ｍ ＋ ３）＋（ｍ － １）ｉ对应点的坐标为 （ｍ ＋ ３，ｍ － １），该点在第四象限，所以ｍ ＋ ３ ＞ ０， ｍ － １ ＜ ０{ ，解得－ ３ ＜ ｍ ＜ １．故选Ａ． 　 　 例２：（１）Ｃ　 （２）－ ３ － ２ｉ　 （１）两个复数对应的点分别为 Ａ（１０，７），Ｂ（－ ６，１），则Ｃ（２，４）．故其对应的复数为２ ＋ ４ｉ． 　 　 （２）记Ｏ为复平面的原点， 由题意得→ＯＡ ＝（２，３），→ＯＢ ＝（３，２），→ＯＣ ＝（－ ２，－ ３）． 设→ＯＤ ＝（ｘ，ｙ），则→ＡＤ ＝（ｘ － ２，ｙ － ３），→ＢＣ ＝（－ ５，－ ５）． 由题意知，→ＡＤ ＝→ＢＣ， 所以ｘ － ２ ＝ － ５， ｙ － ３ ＝ － ５{ ，解得ｘ ＝ － ３，ｙ ＝ － ２{ ， 故点Ｄ对应的复数为－ ３ － ２ｉ． 对点训练 ２．（１）Ｃ　 （２）Ｂ　 （１）由题意知→Ｏ′Ａ′ ＝→ＯＡ，∴ →Ｏ′Ａ′对应的复数为 １ ＋ ｉ，而点Ａ′对应的复数为１ ＋（１ ＋ ｉ）＝ ２ ＋ ｉ． （２）∵ Ａ（－ １，２）关于直线ｙ ＝ － ｘ的对称点为Ｂ（－ ２，１）， ∴向量→ＯＢ对应的复数为－ ２ ＋ ｉ． 　 　 例３：（１）Ｄ　 （２）Ｂ　 （１）依题意可设复数ｚ ＝ ａ ＋２ａｉ（ａ∈Ｒ），由 ｜ ｚ 槡｜ ＝ ５得ａ２ ＋４ａ槡 ２ 槡＝ ５， 　 　 解得ａ ＝ ± １，故ｚ ＝ １ ＋ ２ｉ或ｚ ＝ － １ － ２ｉ． 　 　 （２）因为｜ ｚ１ ｜ ＝ ａ２槡＋ ４，｜ ｚ２ 槡 槡｜ ＝ ４ ＋ １ ＝ ５，所以ａ２槡＋ ４ ＜ 槡５．即ａ２ ＋ ４ ＜ ５，所以ａ２ ＜ １．即－ １ ＜ ａ ＜ １． 对点训练 ３．（１）槡２９　 （２）见解析　 （１）∵ ｚ为实数，∴ ａ２ － ａ － ６ ＝ ０． ∴ ａ ＝ － ２或３． ∵ ａ ＝ － ２时，ｚ无意义，∴ ａ ＝ ３． ∴ ｚ１ ＝ ２ － ５ｉ． ∴ ｜ ｚ１ 槡｜ ＝ ２９． （２）因为ｚ１ ＝ ６ ＋ ８ｉ，ｚ２ ＝ － ９ ＋ ｉ，所以｜ ｚ１ ｜ ＝ ６２ ＋ ８槡 ２ ＝ １０， ｜ ｚ２ ｜ ＝ （－ ９）２ ＋ １槡 ２ 槡＝ ８２．因为 槡１０ ＞ ８２，所以｜ ｚ１ ｜ ＞ ｜ ｚ２ ｜ ． 　 　 例４：ｉ － ３ｘ的共轭复数为－ ３ｘ － ｉ，所以ｘ － １ ＋ ｙｉ ＝ － ３ｘ － ｉ， 即ｘ － １ ＝ － ３ｘ， ｙ ＝ － １{ ， 解得ｘ ＝ １ ４ ， ｙ ＝ － １{ ． 对点训练 ４． Ｂ　 因为互为共轭复数的两点关于实轴对称，而点Ａ与点Ｂ关 于实轴对称，所以图中表示ｚ共轭复数的点是Ｂ．故选Ｂ． 课堂检测　 固双基 １． Ｂ　 － 槡３ｉ －( )１２ ＝ １２ 槡－ ３ｉ，其实部为１２ ，故①错；２ｉ － １的虚 部为２，故②错；２ｉ的实部是０，故③正确． ２． Ｃ　 因为ｚ ＝ － １ ＋ ２ｉ，所以ｚ ＝ － １ － ２ｉ，则复数ｚ的共轭复数ｚ 在复平面上对应的点的坐标为（－ １，－ ２），位于第三象限．故 选Ｃ． ３． Ｂ　 ｜ ｚ ｜ ＝ ａ２槡＋ １，因为０ ＜ ａ ＜ ２，所以１ ＜ ａ２ ＋ １ ＜ ５，所以 ｜ ｚ ｜∈（１，槡５）． ４． 槡２　 － ８ － ２ｉ　 ２ １７　 在复平面内，复数－ ３ － ｉ与５ ＋ ｉ对应的 向量分别是→ＯＡ与→ＯＢ，其中Ｏ是原点，所以→ＯＡ ＝（－ ３，－ １）， →ＯＢ ＝（５，１），所以→ＯＡ ＋→ＯＢ对应的复数是２． 又→ＢＡ ＝→ＯＡ －→ＯＢ ＝（－ ８，－ ２）， 所以→ＢＡ对应的复数是－ ８ － ２ｉ，Ａ，Ｂ两点之间的距离为｜→ＢＡ ｜ ＝ 槡２ １７． ５． ４π　 根据题意可知复数ｚ满足２≤ ｜ ｚ ｜≤ 槡２ ２，则由复数模的几 何意义知，ｚ对应的点所构成的图形为半径为２和槡２ ２的两个 同心圆所围成的圆环，则其面积为π［（槡２ ２）２ － ２２］＝ ４π． １０． ２　 复数的运算 １０． ２． １　 复数的加法与减法 必备知识　 探新知 知识点１　 １．（ａ － ｃ）＋（ｂ － ｄ）ｉ　 ２． ｚ２ ＋ ｚ１ 　 ｚ１ ＋（ｚ２ ＋ ｚ３） 对应练习 １．（１）√　 （２）√　 （３）× 　 （４）× ［提示］　 （１）虚部互为相反数或者相等的两个虚数的和或差 为实数． （２）根据复数加法法则可得． （３）复数与复数相加减后结果可以是复数． （４）可以推广到多个复数相加的情形． ２． Ａ　 原式＝（１ － ２）＋（－ １ － １ ＋ ３）ｉ ＝ － １ ＋ ｉ． 知识点２　 １ →． ＯＺ 对应练习 ３． Ｄ　 依题意有→ＣＤ ＝→ＢＡ ＝→ＯＡ －→ＯＢ，而（３ ＋ ｉ）－（－ １ ＋ ３ｉ）＝ ４ － ２ｉ，即→ＣＤ对应的复数为４ － ２ｉ．故选Ｄ． ４． １ － ｉ　 Ｚ１Ｚ → ２ ＝ ＯＺ → ２ － ＯＺ → １ ＝（３ － ４ｉ）－（２ － ３ｉ）＝ １ － ｉ． 关键能力　 攻重难 　 　 例１：（１）－ ２ － ｉ　 （２）槡２　 （１）（２ － ３ｉ）＋（－ ４ ＋ ２ｉ）＝（２ － ４）＋（－ ３ ＋ ２）ｉ ＝ － ２ － ｉ． 　 　 （２）ｚ１ － ｚ２ ＝［（３ｘ － ４ｙ）＋（ｙ － ２ｘ）ｉ］－［（－ ２ｘ ＋ ｙ）＋（ｘ － ３ｙ）ｉ］＝［（３ｘ － ４ｙ）－（－ ２ｘ ＋ ｙ）］＋［（ｙ － ２ｘ）－（ｘ － ３ｙ）］                                                                       ｉ ＝ —１８９— （５ｘ － ５ｙ）＋（－ ３ｘ ＋ ４ｙ）ｉ ＝ ５ － ３ｉ，所以５ｘ － ５ｙ ＝ ５， － ３ｘ ＋ ４ｙ ＝ － ３{ ，解得ｘ ＝ １，ｙ ＝ ０， 　 　 所以ｚ１ ＝ ３ － ２ｉ，ｚ２ ＝ － ２ ＋ ｉ，则ｚ１ ＋ ｚ２ ＝ １ － ｉ， 　 　 所以｜ ｚ１ ＋ ｚ２ 槡｜ ＝ ２． 对点训练 １．（１）Ｃ　 （２）见解析　 （３）见解析 （１）由２ ＋ ａ ＝ ０， ｂ ＋ １ ＝ ０{ ，得ａ ＝ － ２，ｂ ＝ － １{ ． ∴ ａ ＋ ｂｉ ＝ － ２ － ｉ． ∴复数ｚ表示的点位于复平面内的第三象限． （２）方法一：设ｚ ＝ ｘ ＋ ｙｉ（ｘ，ｙ∈Ｒ），因为ｚ ＋１ －３ｉ ＝５ －２ｉ，所以ｘ ＋ ｙｉ ＋（１ －３ｉ）＝５ －２ｉ，即ｘ ＋１ ＝５且ｙ －３ ＝ －２，解得ｘ ＝４，ｙ ＝１，所 以ｚ ＝４ ＋ ｉ． 方法二：因为ｚ ＋ １ － ３ｉ ＝ ５ － ２ｉ，所以ｚ ＝（５ － ２ｉ）－（１ － ３ｉ）＝ ４ ＋ ｉ． （３）设ｚ ＝ ｘ ＋ ｙｉ（ｘ，ｙ∈Ｒ），则｜ ｚ ｜ ＝ ｘ２ ＋ ｙ槡 ２ ． 又｜ ｚ ｜ ＋ ｚ ＝ １ ＋ ３ｉ，所以ｘ２ ＋ ｙ槡 ２ ＋ ｘ ＋ ｙｉ ＝ １ ＋ ３ｉ，由复数相等 得 ｘ２ ＋ ｙ槡 ２ ＋ ｘ ＝ １， ｙ ＝ ３{ ， 解得ｘ ＝ － ４，ｙ ＝ ３{ ， 所以ｚ ＝ － ４ ＋ ３ｉ． 　 　 例２：（１）→ＡＯ ＝ －→ＯＡ，∴ →ＡＯ所表示的复数为－ ３ － ２ｉ． 　 　 ∵ →ＢＣ ＝→ＡＯ，∴ →ＢＣ所表示的复数为－ ３ － ２ｉ． 　 　 （２）→ＣＡ ＝→ＯＡ －→ＯＣ． 　 　 ∴→ＣＡ所表示的复数为（３ ＋２ｉ）－（－２ ＋４ｉ）＝５ －２ｉ． 　 　 （３）对角线→ＯＢ ＝→ＯＡ ＋ →ＯＣ，它所对应的复数ｚ ＝（３ ＋ ２ｉ）＋ （－ ２ ＋ ４ｉ）＝ １ ＋ ６ｉ，｜→ＯＢ ｜ ＝ １２ ＋ ６槡 ２ 槡＝ ３７． 对点训练 ２．（１）→ＡＢ对应的复数为ｚＢ － ｚＡ ＝（２ ＋ ｉ）－ １ ＝ １ ＋ ｉ →． ＢＣ对应的复 数为ｚＣ － ｚＢ ＝（－ １ ＋ ２ｉ）－（２ ＋ ｉ）＝ － ３ ＋ ｉ →． ＡＣ对应的复数为 ｚＣ － ｚＡ ＝（－ １ ＋ ２ｉ）－ １ ＝ － ２ ＋ ２ｉ． （２）由（１）知｜→ＡＢ ｜ ＝ １２ ＋１槡 ２ 槡＝ ２，｜→  ＢＣ ｜ ＝ （－３）２ ＋１槡 ２ 槡＝ １０， ｜→ＡＣ ｜ ＝ （－ ２）２ ＋ ２槡 ２ 槡＝ ２ ２，所以｜→ＡＢ ｜ ２ ＋ ｜→ＡＣ ｜ ２ ＝ ｜→ＢＣ ｜ ２， 所以△ＡＢＣ为直角三角形． （３）Ｓ△ＡＢＣ ＝ １２ ｜ →ＡＢ ｜·｜→ＡＣ ｜ ＝ １２ 槡 槡× ２ × ２ ２ ＝ ２． 　 　 例３：（１）Ｂ　 （２）见解析　 （１）因为ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），则ｚ － ｉ ＝ ａ ＋（ｂ － １）ｉ，ｚ ＋ ２ － ｉ ＝（ａ ＋ ２）＋（ｂ － １）ｉ， 　 　 由｜ ｚ － ｉ ｜ ＝ ｜ ｚ ＋ ２ － ｉ ｜ 可得 ａ２ ＋（ｂ － １）槡 ２ ＝ （ａ ＋ ２）２ ＋（ｂ － １）槡 ２，解 得ａ ＝ － １，则ｚ ＝ － １ ＋ ｂｉ，所以ｚ 槡－ ３ ＋ ３ｉ ＝ － ４ ＋（ｂ 槡＋ ３）ｉ， 　 　 因此，｜ ｚ 槡－ ３ ＋ ３ｉ ｜ ＝ （－ ４）２ ＋（ｂ 槡＋ ３）槡 ２≥４，当且仅当ｂ 槡＝ － ３时，等号成立，故｜ ｚ 槡－ ３ ＋ ３ｉ ｜的最小值为４． 　 　 （２）设Ｍ （ 槡－ ３，－ １），如图所示，则｜ →ＯＭ ｜ ＝ （ 槡－ ３）２ ＋（－ １）槡 ２ ＝ ２． 　 　 所以｜ ｚ ｜ ｍａｘ ＝ ２ ＋ １ ＝ ３，｜ ｚ ｜ ｍｉｎ ＝ ２ － １ ＝ １． 对点训练 ３．因为｜ ｚ ｜ ＝ １且ｚ∈Ｃ，作图如图： 所以｜ ｚ －２ －２ｉ ｜的几何意义为单位圆上的点 Ｍ到复平面上的点Ｐ（２，２）的距离，所以 ｜ ｚ －２ －２ｉ ｜的最小值为｜ＯＰ 槡｜ － １ ＝ ２ ２ － １． 　 　 例４：Ｂ　 根据复数加（减）法的几何意 义，知以→ＯＡ，→ＯＢ为邻边所作的平行四边形的 对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形ＯＡＢ为直角三 角形． 对点训练 ４． Ａ　 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数 ｚ的对应点Ｐ到△ＡＢＣ的顶点Ａ、Ｂ、Ｃ距离相等，∴ Ｐ为△ＡＢＣ 的外心． 课堂检测　 固双基 １． Ｄ　 ｚ ＝ ４ ＋ ｉ ＋（３ ＋ ２ｉ）＝ ７ ＋ ３ｉ． ２． Ａ　 由复数的运算法则可得ｚ１ － ｚ２ ＝（３ ＋ ｉ）－（２ － ｉ）＝ １ ＋ ２ｉ， 其在复平面内对应的点为（１，２），所以ｚ１ － ｚ２在复平面内对应 的点位于第一象限，故选Ａ． ３． Ａ　 依题意，得ｘ ＋ １ ＝ ２， １ － ｙ ＝ ０{ ，所以ｘ ＝ １，ｙ ＝ １{ ，所以ｘｙ ＝ １． ４．（４，－ ２）　 ∵ →ＡＣ ＝→ＢＣ －→ＢＡ， ∴ →ＡＣ对应的复数为（３ － ｉ）－（１ ＋ ２ｉ）＝ ２ － ３ｉ． 设Ｃ（ｘ，ｙ），则（ｘ ＋ ｙｉ）－（２ ＋ ｉ）＝ ２ － ３ｉ， ∴ ｘ ＋ ｙｉ ＝（２ ＋ ｉ）＋（２ － ３ｉ）＝ ４ － ２ｉ， ∴ ｘ ＝ ４，ｙ ＝ － ２． ∴点Ｃ在复平面内的坐标为（４，－ ２）． ５． － １ － ７ｉ 　 由复数加、减法的几何意义可得→ＤＡ ＝ １２ （ →ＣＡ － →ＢＤ），其对应的复数为１２ （－ ６ － ８ｉ ＋ ４ － ６ｉ）＝ － １ － ７ｉ． １０． ２． ２　 复数的乘法与除法 必备知识　 探新知 知识点１　 １．（ａｃ － ｂｄ）＋（ａｄ ＋ ｂｃ）ｉ　 ２． ｚ２ ｚ１ 　 ｚ１（ｚ２ ｚ３） ｚ１ ｚ２ ＋ ｚ１ ｚ３ 　 ３． ｚ ｍ ＋ ｎ 　 ｚｍｎ 　 ４． ｉ　 － １　 － ｉ　 １ 对应练习 １． Ｄ　 由题意，ｚ ＝ ３ ＋ ４ｉ，则ｚ·ｚ ＝ ｜ ｚ ｜ ２ ＝（ ３２ ＋ ４槡 ２）２ ＝ ２５． ２． Ａ　 由ｚ ＝ ５ ＋ ｉｚ ＝ ５ － ｉ，ｚ ＋ ｚ ＝ １０，则ｉ（ｚ ＋ ｚ）＝ １０ｉ，故选Ａ． ３． Ａ　 ｚ ＝（１ － ｉ）（１ － ２ｉ）＝ １ － ２ － ３ｉ ＝ － １ － ３ｉ，则ｚ的虚部为 － ３．故选Ａ． 知识点２　 １． ｚ１ｚ２ 　 ｚ１ ÷ ｚ２ 　 ２．倒数　 分母实数化　 ３． ａ － ｂｉ ａ２ ＋ ｂ２ ４． ａ ＋ ｂｉｃ ＋ ｄｉ　 ａｃ ＋ ｂｄ ｃ２ ＋ ｄ２ ＋ ｂｃ － ａｄ ｃ２ ＋ ｄ２ ｉ 对应练习 ４． Ｂ　 因为复数ｚ１在复平面内对应的点为（２，３），所以ｚ１ ＝ ２ ＋ ３ｉ，则ｚ１ｚ２ ＝ ２ ＋ ３ｉ － ２ ＋ ｉ ＝ （２ ＋ ３ｉ）（－ ２ － ｉ） （－ ２ ＋ ｉ）（－ ２ － ｉ）＝ －１ －８ｉ ５ ＝ － １ ５ － ８ ５ ｉ， 所以复数ｚ１ｚ２的虚部为－ ８ ５ ．故选Ｂ． ５． Ｄ　 ∵ ｚ ＝２ ＋ ｉ３ － ｉ ＝ （２ ＋ ｉ）（３ ＋ ｉ） （３ － ｉ）（３ ＋ ｉ）＝ ５ ＋５ｉ １０ ＝ １ ２ ＋ １ ２ ｉ，∴ ｚ ＝ １ ２ － １ ２ ｉ． ∴复数ｚ在复平面内对应的点位于第四象限．故选Ｄ． 知识点３　 （１）两个不相等的实数根　 两个相等的实数根　 互为共 轭的虚数根　 （２）－ ｂａ 　 ｃ ａ 对应练习 ６． Ｂ　 实系数方程虚根成对，所以槡１ － ２ｉ也是方程ｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝０的 一个根， 由根与系数的关系得，－ ｂ ＝（ 槡１ ＋ ２ ｉ）＋（ 槡１ － ２ ｉ）＝ ２，所以 ｂ ＝ －２，ｃ ＝（ 槡１ ＋ ２ｉ）（ 槡１ － ２ｉ）＝１ ＋２ ＝３． 所以ｂ ＝ －２，ｃ ＝３．故选Ｂ． 关键能力　 攻重难 　 　 例１：（１）Ｄ　 （２）Ｄ　 （３）Ｂ　 （１）由题意可得ｚ２ ＝（１ ＋ ｉ）２ ＝ ２ｉ， 则ｚ２ －２ｚ ＝２ｉ －２（１ ＋ ｉ）＝ －２．故｜ ｚ２ －２ｚ ｜ ＝ ｜ －２ ｜ ＝２．故选Ｄ． 　 　 （２）（２ ＋２ｉ）（１ －２ｉ）＝２ ＋４ －４ｉ ＋２ｉ ＝６ －２ｉ．故选Ｄ． 　 　 （３）ｚ ＝（１ － ｉ）（ａ ＋ ｉ）＝（ａ ＋１）＋（１ － ａ）ｉ，因为对应的点在第 二象限，所以ａ ＋１ ＜０， １ － ａ ＞０{ ，解得ａ ＜ －１，故选Ｂ                                                                       ． —１９０— XYZ[%\]^ １．给出下列三个命题：① － 槡３ｉ － １( )２ 的实部是 － １２；②２ｉ － １的虚部是２ｉ；③２ｉ的实部是０．其 中真命题的个数为 （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． ０ Ｂ． １ Ｃ． ２ Ｄ． ３ ２．设复数ｚ ＝ －１ ＋２ｉ（ｉ为虚数单位），则复数ｚ的共 轭复数ｚ在复平面上对应的点位于 （　 　 ） Ａ．第一象限　 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限　 Ｄ．第四象限 ３．已知０ ＜ ａ ＜ ２，复数ｚ ＝ ａ ＋ ｉ（ｉ是虚数单位）， 则｜ ｚ ｜的取值范围是 （　 　 ） Ａ．（１，槡３）　 　 Ｂ．（１，槡５） Ｃ．（１，３）　 　 Ｄ．（１，５） ４．在复平面内，复数－ ３ － ｉ与５ ＋ ｉ对应的向量 分别是→ＯＡ与→ＯＢ，其中Ｏ是原点，则向量→ＯＡ ＋ →ＯＢ对应的复数为　 　 　 　 ，→ＢＡ对应的复数为 　 　 　 　 ，Ａ，Ｂ两点之间的距离为　 　 　 　 ． ５．已知复数ｚ满足２≤ ｜ ｚ ｜≤２槡２，则在复平面中ｚ 对应的点所构成的图形的面积为　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［６                     ］ #$"% 复数的运算 １０． ２． １　 复数的加法与减法 !"#$%&'( 学习目标 核心素养 １．掌握复数代数形式的加、减运算法则，并会简单 应用． ２．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． １．通过复数代数形式的加、减运算的几何意 义，培养直观想象的素养． ２．借助复数代数形式的加、减运算，提升数学 运算的素养． )*+,%-.+ 知识点１　 复数代数形式的加、减法 　 　 １．加法、减法法则 　 　 （１）设ｚ１ ＝ ａ ＋ ｂｉ，ｚ２ ＝ ｃ ＋ ｄｉ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈Ｒ），则ｚ１ ＋ ｚ２ ＝（ａ ＋ ｃ）＋（ｂ ＋ ｄ）ｉ，ｚ１ － ｚ２ ＝ 　 　 　 　 　 ． 　 　 （２）两个共轭复数的和一定是实数． 　 　 ２．加法运算律 　 　 设ｚ１，ｚ２，ｚ３∈Ｃ，有（１）ｚ１ ＋ ｚ２ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 ， 　 　 （２）（ｚ１ ＋ ｚ２）＋ ｚ３ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 ． 　 　 提醒：１． ŽÀ-¾¿*g ， \ŽÀ¶¾¿ ， }F”¡F”¶¾¿ ， ”¡”¶¾¿ ， ŽÀ -¾¿WöÀÿ$.ŽÀ¶¾¿-q; ； 7 ２． \.ŽÀ-] （ ª ） }ŽÀ ， ó\.À-] （ ª ） P^g}À ． $&% [ /012 １．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”） （１）两个虚数的和或差可能是实数． （　 　 ） （２）在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得 虚部． （　 　 ） （３）复数与复数相加减后结果只能是实数． （　 　 ） （４）复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形． （　 　 ） ２．复数（１ － ｉ）－（２ ＋ ｉ）＋ ３ｉ等于 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． － １ ＋ ｉ Ｂ． １ － ｉ　 　 Ｃ． ｉ　 　 　 Ｄ． － ｉ 知识点２　 复数加、减法的几何意义 １．若复数ｚ１，ｚ２对应的向量分别为ＯＺ→ １，ＯＺ→ ２ ． 复数加法的 几何意义 复数ｚ１ ＋ ｚ２ 是以ＯＺ→ １，ＯＺ→ ２为邻 边的平行四边形的对角线　 　 　 　 　 　 所对应的复数 复数减法的 几何意义 复数ｚ１ － ｚ２ 是从向量ＯＺ→ ２的终 点指向向量ＯＺ→ １的终点的向量 Ｚ２Ｚ → １所对应的复数 ２． ｜ ｜ ｚ１ ｜ － ｜ ｚ２ ｜ ｜≤ ｜ ｚ１ ＋ ｚ２ ｜≤ ｜ ｚ１ ｜ ＋ ｜ ｚ２ ｜； ｜ ｜ ｚ１ ｜ － ｜ ｚ２ ｜ ｜≤ ｜ ｚ１ － ｚ２ ｜≤ ｜ ｚ１ ｜ ＋ ｜ ｚ２ ｜ ． ［思考］ ●/012 ３．在平行四边形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ与ＢＤ相交于点Ｏ，若向量→ＯＡ，→ＯＢ对 应的复数分别是３ ＋ ｉ，－ １ ＋ ３ｉ，则→ＣＤ对应的复数是 （　 　 ） Ａ． ２ ＋ ４ｉ　 　 Ｂ． － ２ ＋ ４ｉ Ｃ． － ４ ＋ ２ｉ　 　 Ｄ． ４ － ２ｉ ４．已知向量ＯＺ→ １对应的复数为２ － ３ｉ，向量ＯＺ→ ２对应的复数为３ － ４ｉ，则向量 Ｚ１Ｚ → ２对应的复数为　 　 　 　 ． 思考：你是怎样理解复 数加、减法的几何意 义的？ 提示： È １ ÉvwŽÀ¾ -/WCˆM ， \. ŽÀ2£´Ì-]12 £-ŽÀ—}’\.Ž À-] ． È ２ É_\.ŽÀ2£ ´Ì-] ， W‰O8Ç Á3;Yo:0; Y ． $&& 3456%789 ●:;<%ŽP£¤r ¥¤¦§ １．（１）计算：（２ － ３ｉ）＋（－ ４ ＋ ２ｉ）＝ 　 　 　 　 　 ． （２）已知ｚ１ ＝（３ｘ － ４ｙ）＋（ｙ － ２ｘ）ｉ，ｚ２ ＝（－ ２ｘ ＋ ｙ）＋（ｘ －３ｙ）ｉ，ｘ，ｙ 为实数，若ｚ１ － ｚ２ ＝５ －３ｉ，则｜ ｚ１ ＋ ｚ２ ｜ ＝ 　 　 　 　 　 ． 　 　 ［分析］　 直接运用复数的加减运算法则进行计算． ［归纳提升］ 〉 /CD1 １．（１）设ｚ１ ＝ ２ ＋ ｂｉ，ｚ２ ＝ ａ ＋ ｉ，ａ，ｂ∈Ｒ当ｚ１ ＋ ｚ２ ＝ ０时，复数ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ所表 示的点位于复平面内的 （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 （２）已知复数ｚ满足ｚ ＋ １ － ３ｉ ＝ ５ － ２ｉ，求ｚ． （３）已知复数ｚ满足｜ ｚ ｜ ＋ ｚ ＝ １ ＋ ３ｉ，求ｚ． ●:;E%Ž£¤r ¥¤¦§PžJŸ ２．如图，平行四边形ＯＡＢＣ的顶点Ｏ，Ａ，Ｃ对应复数分别为０，３ ＋ ２ｉ， － ２ ＋ ４ｉ，试求： 　 　 （１）→ＡＯ所表示的复数，→ＢＣ所表示的复数； 　 　 （２）对角线→ＣＡ所表示的复数； 　 　 （３）对角线→ＯＢ所表示的复数及→ＯＢ的长度． 　 　 ［分析］　 要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量 的始点和终点，或者用向量的相等直接给出所求的结论． ［归纳提升］ 归纳提升：复数加、减运 算的法则 È １ ɎÀ¾n¿R mF,—}+F”¡F ”¶¾¿V”¡” ¶¾¿Ý÷45I"å ‰-F”¡”V¸a tCfýcFŽÀ-F ”¡” ． È ２ ɎÀ-RmWI “N$b?-Rmȓ ÂpA¥*“bÉuT bÃÄVÃÄŁZT pÃÄVWIØÆÿÇ HÃÆÇlm ． 归纳提升：运用复数加、 减运算的几何意义应注 意的问题 ´Ì¾n¿Rm- 8ÇÁ3;Y]:0 ;Y}ŽÀ¾n¿ /WCˆ-Hw ． « O¾‹‡È¶ßŒ] ¿‹3´e¿ÀŒ- ~0 ， ®:0;/W_ Xy:.´Ìèi2£ -ŽÀ ．  C´Ì →ＡＢ 2 £-ŽÀ} ｚＢ － ｚＡ （̧ 02£-ŽÀ¿É&0 2£-ŽÀ ）． $&' 〉 /CD1 ２．在复平面内，Ａ，Ｂ，Ｃ三点对应的复数分别为１，２ ＋ ｉ，－ １ ＋ ２ｉ． （１）求→ＡＢ，→ＢＣ，→ＡＣ对应的复数； （２）判断△ＡＢＣ的形状； （３）求△ＡＢＣ的面积． ●:;>%Ž Pdef: ３．（１）（２０２４·盘锦高一检测）已知ｉ是虚数单位，复数ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ， ａ∈Ｒ，ｂ∈Ｒ，且｜ ｚ － ｉ ｜ ＝ ｜ ｚ ＋ ２ － ｉ ｜，则｜ ｚ － ３ ＋槡３ｉ ｜的最小值为 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 Ａ． ５ Ｂ． ４　 　 　 　 　 Ｃ． ３　 　 　 　 　 Ｄ． ２ 　 　 （２）若复数ｚ满足｜ ｚ ＋槡３ ＋ ｉ ｜≤１，求｜ ｚ ｜的最大值和最小值． ［归纳提升］ 归纳提升：两个复数差 的模的几何意义 （１）｜ ｚ － ｚ０ ｜ÓԎÀ ｚ， ｚ０-2£0ÝÍ-r s ， ®£ON ， tÊË2 ‚Ä/Ö"\ŽÀª- ;? ． （２）｜ ｚ － ｚ０ ｜ ＝ ｒ ÓÔI ｚ０2£-0"àÌ，ｒ " áâ-à ． （３） xèŽÀv-Ђ ۘIè0-ÍÎÛ ˜ ， ÏWØ\0Írs >?-ŽÀÓÐ;?Ñ ûÆÇ4œŽ ， ]÷ G¯ / W $  Æ Ç _d ． $&( 〉 /CD1 ３．若本例（２）条件改为已知｜ ｚ ｜ ＝ １且ｚ∈Ｃ，求｜ ｚ － ２ － ２ｉ ｜（ｉ为虚数单位）的最小值． ●QRST% ４． Ａ，Ｂ分别是复数ｚ１，ｚ２在复平面内对应的点，Ｏ是原点，若｜ ｚ１ ＋ ｚ２ ｜ ＝ ｜ ｚ１ － ｚ２ ｜，则三角形ＡＯＢ 一定是 （　 ） Ａ．等腰三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．等边三角形 Ｄ．等腰直角三角形 　 　 ［错解］　 Ａ 　 　 ［错因分析］　 向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依 据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注 意向量→ＡＢ对应的复数是ｚＢ － ｚＡ（终点对应的复数减去起点对应的复数）． 　 　 ［正解］　 〉 /CD1 ４．△ＡＢＣ的三个顶点所对应的复数分别为ｚ１，ｚ２，ｚ３，复数ｚ满足｜ ｚ － ｚ１ ｜ ＝ ｜ ｚ － ｚ２ ｜ ＝ ｜ ｚ － ｚ３ ｜，则ｚ对应的点 是△ＡＢＣ的 （　 ） Ａ．外心 Ｂ．内心 Ｃ．重心 Ｄ．垂心 XYZ[%\]^ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．若ｚ － ３ － ２ｉ ＝ ４ ＋ ｉ，则ｚ等于 （　 ） Ａ． １ ＋ ｉ Ｂ． １ ＋ ３ｉ Ｃ． ７ － ３ｉ Ｄ． ７ ＋ ３ｉ ２．若复数ｚ１ ＝ ３ ＋ ｉ，ｚ２ ＝ ２ － ｉ，则ｚ１ － ｚ２在复平面 内对应的点位于 （　 　 ） Ａ．第一象限　 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限　 Ｄ．第四象限 ３．若实数ｘ，ｙ满足（ｘ ＋ ｉ）＋（１ － ｙｉ）＝ ２，则ｘｙ的 值为 （　 　 ） Ａ． １　 Ｂ． ２ Ｃ． － ２　 Ｄ． － １ ４．复平面内有Ａ，Ｂ，Ｃ三点，点Ａ对应的复数是 ２ ＋ ｉ，向量→ＢＡ对应的复数是１ ＋ ２ｉ，向量→ＢＣ对应 的复数是３ － ｉ，则点Ｃ在复平面内的坐标为 　 　 　 　 ． ５．若在复平面上的ＡＢＣＤ中，→ＡＣ对应的复数为 ６ ＋ ８ｉ，→ＢＤ对应的复数为－ ４ ＋ ６ｉ，则→ＤＡ对应的 复数是　 　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［７                   ］ $&)