10.1.1 复数的概念(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第四册同步学习指导(人教B版2019)

由ＡＢｓｉｎ α ＝ ＢＣ ｓｉｎ １２０°，得ｓｉｎ α ＝ ＡＢｓｉｎ １２０° ＢＣ ＝ １２ ×槡３２ ２８ ＝ 槡３ ３ １４ ． 第十章　 复数 １０． １　 复数及其几何意义 １０． １． １　 复数的概念 必备知识　 探新知 知识点１　 １． Ｎ　 Ｚ　 Ｑ　 Ｒ　 Ｃ　 ２．（１）ｘ２ ＝ － １　 （２）ａ ＋ ｂｉ ａ ＋ ｂｉ　 实部　 虚部　 （３）｛ｚ ｜ ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ，ａ，ｂ∈Ｒ｝ 对应练习 １． Ｃ　 （ 槡１ ＋ ３）ｉ可看作０ ＋（ 槡１ ＋ ３）ｉ ＝ ａ ＋ ｂｉ，ａ，ｂ∈Ｒ，所以实部 ａ ＝ ０，虚部ｂ 槡＝ １ ＋ ３． 知识点２　 ｂ ＝ ０　 ｂ≠０　 ａ ＝ ０　 ａ≠０ 对应练习 ２．（１）× 　 （２）√　 （３）× ［提示］　 （１）当ｂ ＝ ０时，ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ为实数． （３）当ｂ ＝ ０时，ｂｉ ＝ ０为实数． 知识点３　 ａ ＝ ｃ且ｂ ＝ ｄ　 ａ ＝ ０且ｂ ＝ ０　 对应练习 ３． ５　 因为ｍ∈Ｒ，ｚ１ ＝ ｚ２， 所以（２ｍ ＋ ７）＋（ｍ２ － ２）ｉ ＝（ｍ２ － ８）＋（４ｍ ＋ ３）ｉ． 由复数相等的充要条件得 ２ｍ ＋ ７ ＝ ｍ２ － ８， ｍ２ － ２ ＝ ４ｍ ＋ ３{ ， 解得ｍ ＝ ５． 关键能力　 攻重难 　 　 例１：（１）Ｄ　 （２）见解析　 （１）实数集与复数集的交集是实 数集，所以Ａ不正确；任何两个复数都不能比较大小，不正确，当 两个复数是实数时，可以比较大小，所以Ｂ不正确；任何复数的 平方均非负，反例ｉ２ ＝ － １，所以Ｃ不正确；虚数集与实数集的并 集为复数集，所以Ｄ正确． （２）①由于ｘ，ｙ都是复数，故ｘ ＋ ｙｉ不一定是代数形式，因此 不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题． 　 　 ②当ａ ＝ ０时，ａｉ ＝ ０为实数，故②为假命题． 　 　 ③由复数集的分类知，③正确，是真命题． 对点训练 １．③　 ①错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和 非纯虚数． ②错，只有当ｍ，ｎ∈Ｒ时，才能说复数ｚ ＝３ｍ ＋２ｎｉ的实部与虚部分别 为３ｍ，２ｎ． ③正确，复数ｚ ＝ ｘ ＋ ｙｉ（ｘ，ｙ∈Ｒ）为纯虚数的条件是ｘ ＝ ０且 ｙ≠０，只要ｘ≠０，则复数ｚ一定不是纯虚数． ④错，只有当ａ∈Ｒ，且ａ≠ － ３时，（ａ ＋ ３）ｉ才是纯虚数． 　 　 例２：（１）若复数ｚ是实数，则 　 　 ｍ２ － ３ｍ － １８ ＝ ０， ｍ ＋ ３≠０{ ， 　 　 即ｍ ＝ － ３或ｍ ＝ ６， ｍ≠ － ３{ ， 则ｍ ＝ ６． 　 　 （２）若复数ｚ是虚数，则ｍ ２ － ３ｍ － １８≠０， ｍ ＋ ３≠０{ ， 　 　 即ｍ≠ － ３且ｍ≠６， ｍ≠ － ３{ ， 则ｍ≠ － ３且ｍ≠６． 　 　 （３）若复数ｚ是纯虚数，则 ２ｍ２ ＋ ｍ － ３ ＝ ０， ｍ ＋ ３≠０， ｍ２ － ３ｍ － １８≠０ { ， 　 　 即 ｍ ＝ １或ｍ ＝ － ３２ ， ｍ≠ － ３， ｍ≠ － ３且ｍ≠６{ ，则ｍ ＝ １或ｍ ＝ － ３２ ． 对点训练 ２．复数ｍ２ ＋ ｍ － ２ ＋ （ｍ２ － １）ｉ是纯虚数的充要条件是 ｍ２ ＋ ｍ － ２ ＝ ０， ｍ２ － １≠０{ ， 解得ｍ ＝ １或ｍ ＝ － ２，ｍ≠ ± １{ ， 即ｍ ＝ － ２． 故当ｍ ＝ － ２时，ｍ２ ＋ ｍ － ２ ＋（ｍ２ － １）ｉ是纯虚数． 　 　 例３：设ｙ ＝ ｂｉ（ｂ∈Ｒ且ｂ≠０）代入（３ｘ － １０）＋ ｉ ＝ ｙ － ３ｉ， 　 　 整理得（３ｘ － １０）＋ ｉ ＝ ｂｉ － ３ｉ， 　 　 由复数相等的充要条件得３ｘ － １０ ＝ ０， １ ＝ ｂ － ３{ ， 　 　 解得ｘ ＝ １０ ３ ， ｂ ＝ ４{ ，∴ ｘ ＝ １０３ ，ｙ ＝ ４ｉ． 对点训练 ３．由复数相等的条件得方程组ｘ ２ ＋ ｙ２ － ６ ＝ ０，　 ① ｘ － ｙ － ２ ＝ ０，　 　{ ② 由②得ｘ ＝ ｙ ＋ ２， 代入①得ｙ２ ＋ ２ｙ － １ ＝ ０． 解得ｙ１ 槡＝ － １ ＋ ２，ｙ２ 槡＝ － １ － ２． 所以ｘ１ ＝ ｙ１ 槡＋ ２ ＝ １ ＋ ２，ｘ２ ＝ ｙ２ 槡＋ ２ ＝ １ － ２． 即ｘ 槡＝ １ ＋ ２ ｙ 槡{ ＝ － １ ＋ ２　 或ｘ 槡＝ １ － ２，ｙ 槡＝ － １ － ２{ ． 　 　 例４：（４）　 命题（１）和（２）都是错误的，原因是没有ｘ， ｙ∈Ｒ，ａ，ｂ∈Ｒ的限制条件，因此相应结论都是错误的；命题（３） 也是错误的，事实上，当（ｘ２ － ４）＋（ｘ２ ＋ ２ｘ）ｉ是纯虚数时，应有 ｘ２ － ４ ＝ ０， ｘ２ ＋ ２ｘ≠{ ０，所以ｘ ＝ ２；（４）是正确的，因为由３ｘ ＋ ｍｉ ＜ ０可得 ３ｘ ＜ ０， ｍ ＝ ０{ ，即ｘ ＜ ０． 对点训练 ４． Ａ　 两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①是 不正确的；设ｚ１ ＝ ３ ＋ ２ｉ，ｚ２ ＝ ４ ＋ ２ｉ，它们虚部相等，ｚ１≠ｚ２，故② 是错误的；③当ａ ＝ ｂ ＝ ０时，ａ － ｂ ＋（ａ ＋ ｂ）ｉ ＝ ０是实数，故③ 错误．因此选Ａ． 课堂检测　 固双基 １． Ｂ　 若复数是虚数，则ｎ≠０，故选Ｂ． ２． Ａ　 若复数（ａ２ －３ａ ＋２）＋ ｜ａ －１｜ｉ（ａ∈Ｒ）是纯虚数，根据虚数的定 义有｜ａ －１｜≠０， ａ２ －３ａ ＋２ ＝０{ ，得ａ≠１，ａ ＝１或ａ ＝２{ ， ∴ ａ ＝ ２，则复数（ａ２ － ３ａ ＋ ２）＋ ｜ ａ － １ ｜ ｉ（ａ∈Ｒ）不是纯虚数                                                                       ， —１８８— ａ≠２，故选Ａ． ３． Ｄ　 因为ｘ２ ＋ １ ＝ ０，所以ｘ２ ＝ － １，而（± ｉ）２ ＝ － １．故选Ｄ． ４．槡５ － ８ｉ　 复数槡槡５ｉ － ５的虚部为槡５，复数８ｉ２ 槡 槡＋ ２ｉ ＝ － ８ ＋ ２ｉ的 实部为－ ８．故答案为槡５ － ８ｉ． ５． １ 　 因为复数（ｍ２ － １）＋ （ｍ２ － ｍ － ２）ｉ为纯虚数，所以 ｍ２ － １ ＝ ０， ｍ２ － ｍ － ２≠０{ ，解得ｍ ＝ １．故答案为１． １０． １． ２　 复数的几何意义 必备知识　 探新知 知识点１　 １．复平面　 实轴　 虚轴　 实数　 实轴　 虚轴 ２． Ｚ（ａ，ｂ） 对应练习 １．（１）√　 （２）× 　 （３）√ ［提示］　 （２）虚轴上的点除原点外所对应的复数都是纯虚数． （３）ｚ ＝ － １ － ２ｉ对应的点Ｚ（－ １，－ ２），位于第三象限． ２． Ａ　 由复数ｚ ＝（ｍ ＋ ３）＋（ｍ － １）ｉ在复平面内对应的点在第 四象限，得ｍ ＋ ３ ＞ ０， ｍ － １ ＜ ０{ ，解得－ ３ ＜ ｍ ＜ １．故选Ａ． 知识点２　 １．（１）相等　 互为相反数　 共轭　 （２）实轴　 实轴　 ２．模 对应练习 ３． Ｃ　 若ｚ ＝ － １ － ｉ，则ｚ ( )＝ － １ ２ ( )＋ － １槡 ２ 槡＝ ２．故选Ｃ． ４． ５　 因为ｚ１ ＝ ３ ＋ ａｉ，ｚ２ ＝ ｂ ＋ ４ｉ互为共轭复数， 所以ａ ＝ － ４， ｂ ＝ ３{ ， 所以ｚ ＝ － ４ ＋ ３ｉ， 所以｜ ｚ ｜ ＝ （－ ４）２ ＋ ３槡 ２ ＝ ５． 关键能力　 攻重难 　 　 例１：复数ｚ ＝（ａ２ － １）＋（２ａ － １）ｉ在复平面内对应的点是 （ａ２ － １，２ａ － １）． 　 　 （１）若ｚ对应的点在实轴上，则有２ａ － １ ＝ ０，解得ａ ＝ １２ ． 　 　 （２）若ｚ对应的点在第三象限，则有ａ ２ － １ ＜ ０， ２ａ － １ ＜ ０{ ，解得－ １ ＜ ａ ＜ １２ ，即ａ的取值范围为－ １，( )１２ ． 　 　 （３）若ｚ对应的点在直线ｙ ＝ ｘ上，则有２ａ － １ ＝ ａ２ － １，解得 ａ ＝ ０或ａ ＝ ２． 对点训练 １．（１）Ｄ　 （２）Ａ　 （２）ｚ ＝（ｍ ＋ ３）＋（ｍ － １）ｉ对应点的坐标为 （ｍ ＋ ３，ｍ － １），该点在第四象限，所以ｍ ＋ ３ ＞ ０， ｍ － １ ＜ ０{ ，解得－ ３ ＜ ｍ ＜ １．故选Ａ． 　 　 例２：（１）Ｃ　 （２）－ ３ － ２ｉ　 （１）两个复数对应的点分别为 Ａ（１０，７），Ｂ（－ ６，１），则Ｃ（２，４）．故其对应的复数为２ ＋ ４ｉ． 　 　 （２）记Ｏ为复平面的原点， 由题意得→ＯＡ ＝（２，３），→ＯＢ ＝（３，２），→ＯＣ ＝（－ ２，－ ３）． 设→ＯＤ ＝（ｘ，ｙ），则→ＡＤ ＝（ｘ － ２，ｙ － ３），→ＢＣ ＝（－ ５，－ ５）． 由题意知，→ＡＤ ＝→ＢＣ， 所以ｘ － ２ ＝ － ５， ｙ － ３ ＝ － ５{ ，解得ｘ ＝ － ３，ｙ ＝ － ２{ ， 故点Ｄ对应的复数为－ ３ － ２ｉ． 对点训练 ２．（１）Ｃ　 （２）Ｂ　 （１）由题意知→Ｏ′Ａ′ ＝→ＯＡ，∴ →Ｏ′Ａ′对应的复数为 １ ＋ ｉ，而点Ａ′对应的复数为１ ＋（１ ＋ ｉ）＝ ２ ＋ ｉ． （２）∵ Ａ（－ １，２）关于直线ｙ ＝ － ｘ的对称点为Ｂ（－ ２，１）， ∴向量→ＯＢ对应的复数为－ ２ ＋ ｉ． 　 　 例３：（１）Ｄ　 （２）Ｂ　 （１）依题意可设复数ｚ ＝ ａ ＋２ａｉ（ａ∈Ｒ），由 ｜ ｚ 槡｜ ＝ ５得ａ２ ＋４ａ槡 ２ 槡＝ ５， 　 　 解得ａ ＝ ± １，故ｚ ＝ １ ＋ ２ｉ或ｚ ＝ － １ － ２ｉ． 　 　 （２）因为｜ ｚ１ ｜ ＝ ａ２槡＋ ４，｜ ｚ２ 槡 槡｜ ＝ ４ ＋ １ ＝ ５，所以ａ２槡＋ ４ ＜ 槡５．即ａ２ ＋ ４ ＜ ５，所以ａ２ ＜ １．即－ １ ＜ ａ ＜ １． 对点训练 ３．（１）槡２９　 （２）见解析　 （１）∵ ｚ为实数，∴ ａ２ － ａ － ６ ＝ ０． ∴ ａ ＝ － ２或３． ∵ ａ ＝ － ２时，ｚ无意义，∴ ａ ＝ ３． ∴ ｚ１ ＝ ２ － ５ｉ． ∴ ｜ ｚ１ 槡｜ ＝ ２９． （２）因为ｚ１ ＝ ６ ＋ ８ｉ，ｚ２ ＝ － ９ ＋ ｉ，所以｜ ｚ１ ｜ ＝ ６２ ＋ ８槡 ２ ＝ １０， ｜ ｚ２ ｜ ＝ （－ ９）２ ＋ １槡 ２ 槡＝ ８２．因为 槡１０ ＞ ８２，所以｜ ｚ１ ｜ ＞ ｜ ｚ２ ｜ ． 　 　 例４：ｉ － ３ｘ的共轭复数为－ ３ｘ － ｉ，所以ｘ － １ ＋ ｙｉ ＝ － ３ｘ － ｉ， 即ｘ － １ ＝ － ３ｘ， ｙ ＝ － １{ ， 解得ｘ ＝ １ ４ ， ｙ ＝ － １{ ． 对点训练 ４． Ｂ　 因为互为共轭复数的两点关于实轴对称，而点Ａ与点Ｂ关 于实轴对称，所以图中表示ｚ共轭复数的点是Ｂ．故选Ｂ． 课堂检测　 固双基 １． Ｂ　 － 槡３ｉ －( )１２ ＝ １２ 槡－ ３ｉ，其实部为１２ ，故①错；２ｉ － １的虚 部为２，故②错；２ｉ的实部是０，故③正确． ２． Ｃ　 因为ｚ ＝ － １ ＋ ２ｉ，所以ｚ ＝ － １ － ２ｉ，则复数ｚ的共轭复数ｚ 在复平面上对应的点的坐标为（－ １，－ ２），位于第三象限．故 选Ｃ． ３． Ｂ　 ｜ ｚ ｜ ＝ ａ２槡＋ １，因为０ ＜ ａ ＜ ２，所以１ ＜ ａ２ ＋ １ ＜ ５，所以 ｜ ｚ ｜∈（１，槡５）． ４． 槡２　 － ８ － ２ｉ　 ２ １７　 在复平面内，复数－ ３ － ｉ与５ ＋ ｉ对应的 向量分别是→ＯＡ与→ＯＢ，其中Ｏ是原点，所以→ＯＡ ＝（－ ３，－ １）， →ＯＢ ＝（５，１），所以→ＯＡ ＋→ＯＢ对应的复数是２． 又→ＢＡ ＝→ＯＡ －→ＯＢ ＝（－ ８，－ ２）， 所以→ＢＡ对应的复数是－ ８ － ２ｉ，Ａ，Ｂ两点之间的距离为｜→ＢＡ ｜ ＝ 槡２ １７． ５． ４π　 根据题意可知复数ｚ满足２≤ ｜ ｚ ｜≤ 槡２ ２，则由复数模的几 何意义知，ｚ对应的点所构成的图形为半径为２和槡２ ２的两个 同心圆所围成的圆环，则其面积为π［（槡２ ２）２ － ２２］＝ ４π． １０． ２　 复数的运算 １０． ２． １　 复数的加法与减法 必备知识　 探新知 知识点１　 １．（ａ － ｃ）＋（ｂ － ｄ）ｉ　 ２． ｚ２ ＋ ｚ１ 　 ｚ１ ＋（ｚ２ ＋ ｚ３） 对应练习 １．（１）√　 （２）√　 （３）× 　 （４）× ［提示］　 （１）虚部互为相反数或者相等的两个虚数的和或差 为实数． （２）根据复数加法法则可得． （３）复数与复数相加减后结果可以是复数． （４）可以推广到多个复数相加的情形． ２． Ａ　 原式＝（１ － ２）＋（－ １ － １ ＋ ３）ｉ ＝ － １ ＋ ｉ． 知识点２　 １ →． ＯＺ 对应练习 ３． Ｄ　 依题意有→ＣＤ ＝→ＢＡ ＝→ＯＡ －→ＯＢ，而（３ ＋ ｉ）－（－ １ ＋ ３ｉ）＝ ４ － ２ｉ，即→ＣＤ对应的复数为４ － ２ｉ．故选Ｄ． ４． １ － ｉ　 Ｚ１Ｚ → ２ ＝ ＯＺ → ２ － ＯＺ → １ ＝（３ － ４ｉ）－（２ － ３ｉ）＝ １ － ｉ． 关键能力　 攻重难 　 　 例１：（１）－ ２ － ｉ　 （２）槡２　 （１）（２ － ３ｉ）＋（－ ４ ＋ ２ｉ）＝（２ － ４）＋（－ ３ ＋ ２）ｉ ＝ － ２ － ｉ． 　 　 （２）ｚ１ － ｚ２ ＝［（３ｘ － ４ｙ）＋（ｙ － ２ｘ）ｉ］－［（－ ２ｘ ＋ ｙ）＋（ｘ － ３ｙ）ｉ］＝［（３ｘ － ４ｙ）－（－ ２ｘ ＋ ｙ）］＋［（ｙ － ２ｘ）－（ｘ － ３ｙ）］                                                                       ｉ ＝ —１８９— 第十章 　 复数 #$"# 复数及其几何意义 １０． １． １　 复数的概念 !"#$%&'( 学习目标 核心素养 １．了解引进虚数单位ｉ的必要性，了解数系的扩充过程． ２．理解在数系的扩充中由实数集扩充到复数集出现的一 些基本概念． ３．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要 条件． １．通过学习数系的扩充，培养逻辑推 理的素养． ２．借助复数的概念，提升数学抽象的 素养． )*+,%-.+知识点１　 复数的概念 　 　 １．数系的扩充及对应的集合符号表示 　 　 ２．复数的有关概念 　 　 （１）虚数单位：为了使得方程　 　 　 　 　 有解，人们规定ｉ的平方等于－ １，即称ｉ为虚数单位． 　 　 （２）复数的概念及表示：当ａ与ｂ都是实数时，称　 　 　 　 　 为复数．复数一般用小写字母ｚ表 示，即ｚ ＝ 　 　 　 　 　 　 （ａ，ｂ∈Ｒ），其中ａ称为ｚ的　 　 　 　 　 ，ｂ称为ｚ的　 　 　 　 　 　 ，分别记作 Ｒｅ（ｚ）＝ ａ，Ｉｍ（ｚ）＝ ｂ． 　 　 （３）复数集：所有复数组成的集合称为复数集，复数集通常用大写字母Ｃ表示，因此Ｃ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． $%& 　 　 拓展： ÀSz{NV^¼t|}I~Yu 7 （１） €‚ðƒV‚„ðƒ®^&…Õ‚À†Z （２） ®‚À†‡Vgˆ^ÏË(RS]RmV‰b-^ÏJt+, （ KRm gŠ ） H]@OZ （３） „ðƒI"‚À†‡-ðƒVb-RmRS‹ŒPÖZ （４） ‚-À†kd%„-À†Pkd%-ۘh [ /012 １．（１ ＋槡３）ｉ的实部与虚部分别是 （　 　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． １，槡３　 　 　 Ｂ． １ ＋槡３，０ Ｃ． ０，１ ＋槡３　 Ｄ． ０，（１ ＋槡３）ｉ 知识点２　 复数的分类 复数ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ） 实数（　 　 　 　 　 ） 虚数（　 　 　 　 　 ）纯虚数（　 　 　 　 　 ）非纯虚数（　 　 　 　 　{      ） ［思考］ ●/012 ２．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”） （１）若ａ，ｂ为实数，则ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ为虚数． （　 　 ） （２）若ａ为实数，则ｚ ＝ ａ一定不是虚数． （　 　 ） （３）ｂｉ是纯虚数． （　 　 ） 知识点３　 两个复数相等的充要条件 　 　 在复数集Ｃ ＝｛ａ ＋ ｂｉ ｜ ａ，ｂ∈Ｒ｝中，任取两个复数ａ ＋ ｂｉ，ｃ ＋ ｄｉ（ａ，ｂ，ｃ， ｄ∈Ｒ），规定ａ ＋ ｂｉ与ｃ ＋ ｄｉ相等的充要条件是　 　 　 　 　 　 ．特别地，当 ａ，ｂ都是实数时，ａ ＋ ｂｉ ＝ ０ 　 　 　 　 　 　 ． 　 　 提醒： ŽÀ¶Q-xd 7 （１） \.ŽÀ ， K‰P³}FÀ ，̂ ¼PgéêÝÍ-Š‘ ， ík¾ éê¶QoP¶Q ； （２） Pk+À¡ ０ N[Š‘ ，̧ aò—Pk¾À}zÀ‘}’À ． ●/012 ３．复数ｚ１ ＝（２ｍ ＋ ７）＋（ｍ２ － ２）ｉ，ｚ２ ＝（ｍ２ － ８）＋（４ｍ ＋ ３）ｉ，ｍ∈Ｒ，若ｚ１ ＝ ｚ２，则ｍ ＝ 　 　 　 　 ． 思考：复数集、实数集、 虚数集、纯虚数集之间 存在怎样的关系？ 提示： $%' 3456%789 ●:;<%ŽP‘ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（１）下列命题正确的是 （　 　 ） Ａ．实数集与复数集的交集是空集 Ｂ．任何两个复数都不能比较大小 Ｃ．任何复数的平方均非负 Ｄ．虚数集与实数集的并集为复数集 （２）判断下列命题的真假． ①若ｘ，ｙ∈Ｃ，则ｘ ＋ ｙｉ ＝ １ ＋ ２ｉ的充要条件是ｘ ＝ １，ｙ ＝ ２； ②若实数ａ与ａｉ对应，则实数集与纯虚数集一一对应； ③实数集的补集是虚数集． ［归纳提升］ 〉 /CD1 １．给出下列说法：①复数由实数、虚数、纯虚数构成；②若复数ｚ ＝ ３ｍ ＋ ２ｎｉ， 则其实部与虚部分别为３ｍ，２ｎ；③在复数ｚ ＝ ｘ ＋ ｙｉ（ｘ，ｙ∈Ｒ）中，若ｘ≠０，则复 数ｚ一定不是纯虚数；④若ａ∈Ｒ，ａ≠０，则（ａ ＋３）ｉ是纯虚数．其中正确的说 法的序号是　 　 　 　 　 ． ●:;E%ŽP’“HN0v ２．实数ｍ分别为何值时，复数ｚ ＝ ２ｍ ２ ＋ ｍ － ３ ｍ ＋ ３ ＋（ｍ ２ － ３ｍ － １８）ｉ是 （１）实数； （２）虚数； （３）纯虚数． ［归纳提升］ 归纳提升：复数概念的 几个关注点 （１） ŽÀ-ãÀ;? ： T ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ， íb· ａ， ｂ “ Ｒ N ，ａ E} ｚ -F ” ，ｂ E} ｚ -” ， •  C”P} ｂｉ， Ù } ｂ． （２） Pt+ŽÀ¡À -–—<= ， FÀò} ŽÀ ， FÀ]À}Ž À-\Š…Õ”4 ． （３） ˜#™ ： Ž^. š˜"›š˜ ， ít˜ ^.#™¦W ， 1Id iŽš˜œ›“˜™ N ， Wž‹~ ， ÷ ^¼ ， dg ， ÷ŸgŒ -$ÆÇdi ． 归纳提升：利用复数 的分类求参数的方法及 注意事项 （１） «OŽÀ-4“_  ÀNV‡£+ŽÀ ©"4C-ãÀ;? ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ “ Ｒ）， T P}’ú;?V£© "’ú;?VXÿF” ¡”Vƒ_dZ （２） t Cfg‰F ”n”-?!bCˆ -š›VƒåAF”¡ ”-F‚_dZ （３） t~5 CŽÀ ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ È ａ，ｂ “ Ｒ É" ¡À-{tš›} ａ ＝ ０ V• ｂ ¢ ０． $%( 〉 /CD1 ２．设ｍ∈Ｒ，复数ｍ２ ＋ ｍ － ２ ＋（ｍ２ － １）ｉ是纯虚数，其中ｉ是虚数单位，求ｍ 的值． ●:;>%Ž”•P–— ３．已知ｘ是实数，ｙ是纯虚数，且满足（３ｘ － １０）＋ ｉ ＝ ｙ － ３ｉ，求ｘ与ｙ． ［分析］　 因为ｙ是纯虚数，所以可设ｙ ＝ ｂｉ（ｂ∈Ｒ，ｂ≠０）代入等式，把 等式的左、右两边都整理成ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ）的形式后，可利用复数相等的 充要条件得到关于ｘ与ｂ的方程组，求解后得ｘ与ｂ的值． ［归纳提升］ 〉 /CD1 ３．已知ｘ２ ＋ ｙ２ － ６ ＋（ｘ － ｙ － ２）ｉ ＝ ０，求实数ｘ，ｙ的值． 归纳提升：复数相等问题 的解题技巧 （１） £¤}ŽÀ-ãÀ; ?EWIvwF”¡F ”¶QV”¡”¶ Qh$°¥_dh （２） vwŽÀ¶Q-š ›V+ŽÀۘ¨©" FÀۘV"£O$° YZc¦#š›V*N ’ò}ŽÀۘFÀ© -Vmh $%) [ QRST%/Ž”3‘PqL˜™lm ４．给出下列命题：（１）若ｘ ＋ ｙｉ ＝ ０，则ｘ ＝ ｙ ＝ ０；（２）若ａ ＋ ｂｉ ＝ ３ ＋ ８ｉ，则ａ ＝ ３，ｂ ＝ ８；（３）若ｘ为 实数，且（ｘ２ － ４）＋（ｘ２ ＋ ２ｘ）ｉ是纯虚数，则ｘ ＝ ± ２；（４）若ｘ，ｍ∈Ｒ且３ｘ ＋ ｍｉ ＜ ０，则有ｘ ＜ ０． 其中正确命题的序号是　 　 　 　 　 ． 　 　 ［错因分析］　 ａ，ｂ∈Ｒ是复数代数形式定义中的必不可少的条件，忽视了这一条件，就会导致 错误的答案． 　 　 ［正解］　 　 　 ［误区警示］　 复数中的许多结论，都是建立在复数为标准的代数形式这一条件下的，如果没有 这一条件，相应结论不一定能够成立．例如：ａ ＋ ｂｉ ＝ ０ａ ＝ ｂ ＝ ０成立的条件是ａ，ｂ∈Ｒ；ａ ＋ ｂｉ ＝ ｃ ＋ ｄｉａ ＝ ｃ且ｂ ＝ ｄ成立的条件是ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈Ｒ．另外，复数ｚ ＝ ａ ＋ ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ）为纯虚数的条件是ａ ＝ ０，且ｂ≠０，切记不能丢掉“ｂ≠０”这一条件． 〉 /CD1 ４．在下列命题中，正确命题的个数是 （　 ） ①两个复数不能比较大小；②若ｚ１和ｚ２都是虚数，且它们的虚部相等，则ｚ１ ＝ ｚ２；③若ａ，ｂ是两个 相等的实数，则（ａ － ｂ）＋（ａ ＋ ｂ）ｉ是纯虚数． Ａ． ０　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． １　 　 　 　 　 　 　 　 Ｃ． ２　 　 　 　 　 　 　 　 Ｄ． ３ XYZ[%\]^ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．设ｉ是虚数单位，ｍ，ｎ为实数，复数ｚ ＝ ｍ ＋ ｎｉ 为虚数，则 （　 ） Ａ． ｍ ＝ ０ Ｂ． ｎ≠０ Ｃ． ｍ ＝ ０且ｎ≠０ Ｄ． ｍｎ≠０ ２．若复数（ａ２ － ３ａ ＋ ２）＋ ｜ ａ － １ ｜ ｉ（ａ∈Ｒ，ｉ为虚 数单位）不是纯虚数，则 （　 ） Ａ． ａ≠２ Ｂ． ａ≠１ Ｃ． ａ ＝ １ Ｄ． ａ≠１且ａ≠２ ３．在复数集范围内，满足方程ｘ２ ＋ １ ＝ ０的ｘ的取 值是 （　 　 ） Ａ． １　 　 　 Ｂ． － １　 　 　 Ｃ． ｉ　 　 　 Ｄ． ± ｉ ４．（２０２４·山西忻州二中高二月考）已知ｉ是虚 数单位，以复数槡５ｉ －槡５的虚部为实部，以复数 ８ｉ２ ＋槡２ｉ的实部为虚部的复数是　 　 　 　 ． ５．若复数ｚ ＝ ｍ２ － １ ＋（ｍ２ － ｍ － ２）ｉ为纯虚数，则 实数ｍ的值为　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［５                     ］ $%*