精品解析：四川省成都市田家炳中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

成都田家炳中学高二2025年春3月月考数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列为等差数列，，则的公差为（ ） A. 2 B. 6 C. 1 D. 14 2. 已知是定义在上的可导函数，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知等比数列的前项和为，若公比，，则（ ） A. 49 B. 56 C. 63 D. 112 4. 若，则等于（ ） A. 2 B. 0 C. -2 D. -4 5. 已知数列满足，若，则的前2024项和为（ ） A. B. C. D. 6. 曲线在 处的切线与直线垂直，则的值为（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 4 7. 已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（ ）． A. B. C. D. 8. 已知数列的首项，且满足，则中最小的一项是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是（ ） A. B. C. D. 11. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排的形状，把数分成许多类，如图1，图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，如图2，图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数为数列，正方形数为数列，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在等差数列中，，则________． 13. 已知点在函数的图象上，则到直线的距离的最小值为______． 14. 习近平总书记在党的二十大报告中提出：坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系，发展素质教育，促进教育公平，加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化.某师范大学学生会为贯彻党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生赴乡村支教.原计划第一批派遣20名学生，以后每批都比上一批增加5人.由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列.按新数列的各项依次派遣支教学生.记为派遣70批学生后支教学生的总数，则的值为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标． 16. 已知数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 17. 如图所示，在三棱锥S－ABC中，SC⊥平面ABC，SC＝3，AC⊥BC，CE＝2EB＝2，，CD＝ED． （1）求证：DE⊥平面SCD； （2）求二面角的余弦值； （3）求点A到平面SCD的距离． 18. 已知公差不为0的等差数列{ }的前n项和为，且成等比数列，数列满足 （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为 Tn，若对一切恒成立，求实数m的取值范围． 19. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，短轴长为4. （1）求E的标准方程； （2）过点的直线交E于P，Q两点，若以为直径的圆过E的右焦点，求直线的方程； （3）两条不同的直线，的交点为E的左焦点，直线，分别交E于点A，B和点C，D，点G，H分别是线段和的中点，，的斜率分别为，，且，求面积的最大值（O为坐标原点）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都田家炳中学高二2025年春3月月考数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列为等差数列，，则的公差为（ ） A. 2 B. 6 C. 1 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式的变形即可得解. 【详解】根据题意，因为等差数列中，， 所以公差. 故选：B． 2. 已知是定义在上的可导函数，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义计算可得结果. 【详解】由导数的定义，. 故选：C. 3. 已知等比数列的前项和为，若公比，，则（ ） A. 49 B. 56 C. 63 D. 112 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式推导出与公比的关系，再结合已知条件求出的值. 【详解】∵，∴. 故选：B. 4. 若，则等于（ ） A. 2 B. 0 C. -2 D. -4 【答案】D 【解析】 【分析】先求导，算出，然后即可求出 【详解】因为，所以 所以，得 所以，所以 故选：D 【点睛】本题考查的是导数的计算，较简单. 5. 已知数列满足，若，则的前2024项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由数列的递推式推得，从而得到，再由裂项相消法求和即可． 【详解】因为， 当时； 当时，， 两式相减可得， 所以，经检验当时也成立， 所以，所以， 设的前项和为， 则 ． 故选：B． 6. 曲线在 处的切线与直线垂直，则的值为（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导函数，依题意，即可求出参数的值； 【详解】解：令，则， 依题意，即，解得； 故选：B 7. 已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差中项与等差数列前项和得出，，即可代入已知得出答案. 【详解】由等差数列的性质可得： ，， 则，即， ， 故选：C. 8. 已知数列的首项，且满足，则中最小的一项是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的定义和通项公式进行求解即可. 【详解】由， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列， 即， 所以有，显然当时，， 因此中最小的一项是， 故选：B 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用题设等式进行等比数列的基本量运算，求得，代入公式即可一一判断. 【详解】依题，，解得故A错误，B正确； 则，，故C错误，D正确. 故选：BD. 10. 已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】直接利用“巧值点”的定义，一一验算即可. 【详解】对于A：∵，∴，令，即，解得：x=0或x=2，故有“巧值点”. 对于B：∵，∴，令，即，无解，故没有“巧值点”. 对于C：∵，∴，令，即，由和 的图像可知， 二者图像有一个交点，故有一个根，故有“巧值点”. 对于D：∵，∴，令，即，可得，无解，故没有“巧值点”. 故选：AC 【点睛】数学中的新定义题目解题策略： (1)仔细阅读，理解新定义的内涵； (2)根据新定义，对对应知识进行再迁移. 11. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排的形状，把数分成许多类，如图1，图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，如图2，图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数为数列，正方形数为数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用观察归纳法，结合等差数列前n项和公式求出，再逐项判断即得. 【详解】依题意，，，AD正确； ，，B错误； ，，C正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在等差数列中，，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质计算即得. 【详解】在等差数列中，，解得， 所以. 故答案为：6 13. 已知点在函数的图象上，则到直线的距离的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】求导，设的坐标，根据平行关系得到切线斜率，进而得到，利用点到直线距离公式求出答案. 【详解】由，可得， 又点在曲线上，设， 则过点和平行的切线的斜率为3， 令，则， ， 点与直线的最小距离为． 故答案为：． 14. 习近平总书记在党的二十大报告中提出：坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系，发展素质教育，促进教育公平，加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化.某师范大学学生会为贯彻党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生赴乡村支教.原计划第一批派遣20名学生，以后每批都比上一批增加5人.由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列.按新数列的各项依次派遣支教学生.记为派遣70批学生后支教学生的总数，则的值为__________. 【答案】390 【解析】 【分析】由题可得，然后根据条件可得数列的前70项含有前6项和64个3，进而得解. 【详解】数列满足， ， 在任意相邻两项与之间插入个3， 其中之间插入2个之间插入4个之间插入8个之间插入16个， 之间插入32个之间插入64个. 又， 数列的前71项含有前6项和65个3， 故. 故答案为：390. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标． 【答案】（1） （2），切点为 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）根据导数的几何意义求出切线方程，再将原点代入即可求解. 【小问1详解】 由，得， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 设切点为，由（1）得， 所以切线方程为， 因为切线经过原点， 所以， 所以，． 则， 所以所求的切线方程为，切点为． 16. 已知数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，再结合等比数列的定义，即可求出结果； （2）由（1）可知，再利用错位相减法，即可求出结果. 【小问1详解】 解：因为，当时，，解得 当时，， 所以， 即. 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列. 故. 【小问2详解】 解：由（1）知，则， 所以① ②， ①-②得 . 所以数列的前项和 17. 如图所示，在三棱锥S－ABC中，SC⊥平面ABC，SC＝3，AC⊥BC，CE＝2EB＝2，，CD＝ED． （1）求证：DE⊥平面SCD； （2）求二面角的余弦值； （3）求点A到平面SCD的距离． 【答案】（1） 如图所示，以为原点建立空间直角坐标系， 因为CD＝ED，所以点在线段的中垂线上， 则， 则， 所以，， 即，， 又平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明，，即可得证； （2）分别求出两个平面的法向量，再利用向量法求解即可； （3）利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得即为平面的一个法向量， ， 设平面的法向量， 则有，令，则，所以， 则二面角为锐二面角， 则， 所以二面角的余弦值为； 【小问3详解】 由（2）得，为平面的一个法向量， 则点A到平面SCD的距离为． 18. 已知公差不为0的等差数列{ }的前n项和为，且成等比数列，数列满足 （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为 Tn，若对一切恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用等比数列的基本性质及等差数列的通项公式求出首项和公差,进而求出数列的通项公式; (2)利用裂项相消法求和，求得，然后作差法判断的单调性，以及结合，求得，然后根据恒成立建立不等式组，从而得解. 【小问1详解】 设等差数列{ }的公差为， 由题意知： 解方程组得，所以， 即 【小问2详解】 ， ， 单调递增，， 又 若使得对一切恒成立，则，解得， ∴实数m的取值范围是． 19. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，短轴长为4. （1）求E的标准方程； （2）过点的直线交E于P，Q两点，若以为直径的圆过E的右焦点，求直线的方程； （3）两条不同的直线，的交点为E的左焦点，直线，分别交E于点A，B和点C，D，点G，H分别是线段和的中点，，的斜率分别为，，且，求面积的最大值（O为坐标原点）. 【答案】（1） （2）或. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据离心率与短轴长，结合的关系式，建立方程组，可得答案； （2）分直线斜率是否存在进行分析，设出直线方程，联立方程，利用韦达定理与圆的性质，可得答案； （3）设出直线方程，联立方程，利用韦达定理，结合三角形面积公式，可得答案. 【小问1详解】 由题意得，，所以. 因为短轴长为4，所以，解得，所以， 所以E的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，. 当直线的斜率不存在时，则，， 此时以为直径的圆的圆心为，半径为，而， 则以为直径的圆不经过点，不符合题意，因此直线的斜率必存在. 设直线的方程为，，， 联立，消去y得，， ，且，. 因为以为直径的圆经过点，所以. 所以，即， 所以， 整理得， 即， 化简得，即， 即直线的方程为或. 【小问3详解】 由（1）知，，则直线的方程为，直线的方程为， 设，，，， 联立，消去得，， 由，所以， 所以，， 即，同理可得， 因为，所以，则， 记的中点为，则. 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的面积最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $