河北省沧州市青县盘古镇中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

河北省沧州市青县盘古镇中学2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题(共12题，共36.0分) 1．(3分)二次根式中x的取值范围是（　　） A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 2．(3分)下列计算正确的是（　　） A. 2a+3a=6a B. （-3a）2=6a2 C. （x-y）2=x2-y2 D. 3-=2 3．(3分)如图，某公司举行周年庆典，准备在门口长25米，高7米的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为3米，则共需购买（　　）m2的红地毯． A. 21 B. 75 C. 93 D. 96 4．(3分)如图，在平行四边形 中， 的平分线交 的延长线于点 ， ， ，则平行四边形 的周长为 A. B. C. D. 5．(3分)如图，在 中， ， ， 是 的角平分线．若 ，则 的长为 A. B. C. D. 6．(3分)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为菱形的是（　　） A. ∠AOB=∠BOC B. ∠ABO=∠OBC C. AB=BC D. AC=BD 7．(3分)如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C，D均为格点，以A为圆心，AB长为半径作弧，交网格线CD于点E，则C，E两点间的距离为（　　） A. B. C. D. 8．(3分)如图，在长方形 中， ， ，点 是 边上一点，且 ，点 是边 上一动点，连接 ， ，则下列结论：① ；②当 时， 平分 ；③ 周长的最小值为 ；④当 时， 平分 其中正确的个数有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 9．(3分)如图，在▱ABCD中，AB=4，AD＞AB，∠ABC=60°，∠DAC=45°，点P在边AD上运动且不与点A、D重合，连接BP，取BP的中点E，过点P作PF⊥AC，垂足为点F，连接EF，则EF的最小值为（　　） A. 2 B. 1 C. D. 10．(3分)如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（　　） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 11．(3分)设，则S最接近的整数是（　　） A. 2015 B. 2016 C. 2017 D. 2018 12．(3分)如图，在正方形ABCD中，以AB为边作等边三角形ABP，连接AC，PD，PC，则下列结论；①∠BCP=75°；②△ADP≌△BCP；③△ADP和△ABC的面积比为1：2；④．其中结论正确的序号有（　　） A. ①②④ B. ②③ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题(共4题，共12.0分) 13．(3分)用反证法证明命题“已知△ABC的三边长a、b、c（a≤b＜c）满足a2+b2≠c2．求证：△ABC不是直角三角形．”时，第一步应先假设 _____． 14．(3分)要使二次根式 有意义，则 的取值范围是 ______ . 15．(3分)如图，▱ 的对角线 与 相交于点 ， ， ，当 ______时，▱ 是菱形． 16．(3分)如图1，▱ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，设PB+PD的值为a,如图2，⊙O是正方形ABCD的内切圆，AB=4，点P是⊙O上一个动点，设AP+DP的值为b,如图3，MN=4，∠M=75°，MG=3．点O是△MNG内一点，设点O到△MNG三个顶点的距离和的值为c,则a2+b2+c2的最小值为_____． 三、解答题(共8题，共72.0分) 17．(9分)阅读题目：计算， 小明同学是这样计算的= 小刚同学是这样计算的= 问题填空： （1）两位同学做法正确的是_____ A．小明正确 B．小刚正确 C．小明、小刚都正确 D．小明、小刚都不正确 （2）小明同学在计算时用到了公式 ①=_____ （a≥0，b≥0）；②=_____（a≥0） 小刚同学在计算时运用了公式 ①=_____ （a≥0，b≥0）； ②（）2=_____（a≥0） 18．(9分)已知：在△ACB中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，CD⊥AB于D． （1）求AB的长； （2）求CD的长； （3）求BD的长． 19．(9分)如图，四边形ABCD是平行四边形，AE过BC中点O且交DC的延长线于点E． （1）求证：△AOB≌△EOC； （2）若OA=OB，四边形ABEC是什么特殊四边形？请说明理由． 20．(9分)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，连接AE，CF，过点E作EH⊥CF于点H，过点F作FG⊥AE于点G． （1）请你添加一个条件：_____，使四边形EGFH为矩形，并给出证明． （2）在（1）的条件下，若AE=5，tan∠DAE=2，EG=2GF，求AG的长． 21．(9分)如图，在 的正方形网格中， ， 均在网格线的格点上．请仅用无刻度直尺按以下要求作图． 保留作图痕记 在图 中，作出一个以 为斜边的直角三角形． 在图 中，作出一个以 为直角边，且面积为 的直角三角形． 22．(9分)阅读下列短文，回答有关问题： 在实数这章中，遇到过、；这样的式子，我们把这样的式子叫做二次根式，根号下的数叫做被开方数．如果一个二次根式的被开方数中有的因数能开的尽方，可以利用将这些因数开出来，从而将二次根式化简．当一个二次根式的被开方数中不含开得尽方的因数或者被开方数中不含有分数时，这样的二次根式叫做最简二次根式，例如，化成最简二次根式是，化成最简二次根式是．几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，如上面的例子就是同类二次根式． （1）请判断下列各式中，哪些是同类二次根式？； （2）二次根式中的同类二次根式可以像整式中的同类项一样合并，请计算：． 23．(9分)如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F． （1）求证：AD=AF； （2）若AD=6，AB=3，∠A=120°，求平行四边形ABCD的面积． 24．(9分)如图1，已知等边△ABC的边长为1，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点（均不与点A、B、C重合），记△DEF的周长为p. （1）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点，则p=_____； （2）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点，则p的取值范围是_____． 小亮和小明对第（2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将△ABC以AC边为轴翻折一次得△AB1C，再将△AB1C以B1C为轴翻折一次得△A1B1C，如图2所示．则由轴对称的性质可知，DF+FE1+E1D2=p,根据两点之间线段最短，可得p≥DD2．老师听了后说：“你的想法很好，但DD2的长度会因点D的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果．”小明接过老师的话说：“那我们继续再翻折3次就可以了”．请参考他们的想法，写出你的答案． 试卷答案 1．【答案】B 【解析】根据二次根式中的被开方数是非负数可得3-x≥0，再解即可． 解：由题意得：3-x≥0， 解得：x≤3， 故选：B． 2．【答案】D 【解析】根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方的运算法则进行运算即可； 解：2a+3a=5a,A错误； （-3a）2=9a2，B错误； （x-y）2=x2-2xy+y2，C错误； =2，D正确； 故选：D． 3．【答案】C 【解析】首先可利用勾股定理解图中直角三角形得台阶的地面长度为24米，则通过观察梯子可知需买红地毯的总长度为24+7=31米． 解：依题意图中直角三角形一直角边为7米，斜边为25米， 根据勾股定理另一直角边长：=24（米）， 则需购买红地毯的长为24+7=31（米）， 红地毯的宽则是台阶的宽3米，所以面积是：31×3=93（平方米）． 故选：C． 4．【答案】C 【解析】解： 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， 平行四边形 的周长 ， 故选： 由平行四边形的性质得 ， ，再证 ，得 ，然后求得 的长度，得到 的长，即可解决问题． 此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定等知识．证得 是等腰三角形是解此题的关键． 5．【答案】C 【解析】解：在 中， ， ， ， 是 的角平分线， ， ， ， ， ， 故选： 根据已知条件可知 ，根据含 角的直角三角形的性质可得 的长，再证明 即可． 本题考查了直角三角形的性质，等角对等边等，熟练掌握这些性质是解题的关键． 6．【答案】D 【解析】由菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 解：A、∵∠AOB=∠BOC，∠AOB+∠BOC=180°， ∴∠AOB=∠BOC=90°， ∴AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意； B、过O作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，如图所示： ∵∠ABO=∠OBC， ∴OE=OF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC， ∴△AOB的面积=△COB的面积， 又∵△AOB的面积=AB×OE，△COB的面积=BC×OF， ∴AB×OE=BC×OF， ∴AB=BC， ∴平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意； C、∵平行四边形ABCD中，AB=BC， ∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意； D、∵平行四边形ABCD中，AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D符合题意； 故选：D． 7．【答案】B 【解析】如图：连接AE，则AE=2、AD=1，由勾股定理可求出DE，然后运用线段的和差即可解答． 解：如图：连接AE，则AE=2，AD=1， ∴DE=， ∴CE=CD-DE=． 故选B． 8．【答案】B 【解析】本题考查了轴对称 最短路线问题，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． 根据勾股定理得到 ，故①正确；求得 ，根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可得到 平分 ，故②正确；如图 ，作 关于直线 的对称点 ，连接 交 于 ，根据勾股定理得到 ，求得 周长的最小值为 ，故③错误；如图 ，过 作 于 ，根据勾股定理得到 ，求得 ，根据平行线的性质得到 ，求得 ，于是得到 平分 ，故④正确． 【解答】 解： ， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， ， ， ， 平分 ，故②正确； 如图 ，作 关于直线 的对称点 ，连接 交 于 ， 则此时， 周长最小，且 周长的最小值 ； ， ， ， 周长的最小值为 ，故③错误； 如图 ，过 作 于 ， 则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分 ，故④正确； 故选： 9．【答案】B 10．【答案】C 【解析】如图所示，找出从A点到B点的最短距离的走法即可． 解：根据题意得出最短路程如图所示， 最短路程长为+1=2+1， 则从A点到B点的最短距离的走法共有3种， 故选：C． 11．【答案】C 【解析】先对通式进行化简，然后将S的各项代入计算即可． 解：∵ = = = = =1+ =1+， =（1+1-）+（1+）+…+（1+） =2016+（1-+++…+ =2017-， 所以S最接近的整数是2017， 故选：C． 12．【答案】D 13．【答案】△ABC为直角三角形 【解析】根据反证法定义判断． 解：用反证法证明“已知△ABC的三边长a、b、c（a≤b＜c）满足a2+b2≠c2．求证：△ABC不是直角三角形”时，第一步应先假设这个三角形是直角三角形． 故答案为：△ABC为直角三角形． 14．【答案】a≥1 【解析】解：由题意得 ， 解得 ， 故答案为 根据二次根式有意义的条件列式计算可求解． 本题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义时被开方数为非负数求解是解题的关键． 15．【答案】16 【解析】解：当 时，▱ 是菱形， 理由如下： 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 平行四边形 是菱形， 故答案为： 由平行四边形的性质可得 ， ，由勾股定理的逆定理可证 ，即可求解． 本题考查了菱形的判定，勾股定理，平行四边形的性质，掌握菱形的判定定理是解题的关键． 16．【答案】62+12 【解析】①如图1中，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE．②如图2中，连OA，OP，OD，在OD上取一点E，使OE=，连PE，AE．由题意AP+PD=AP+PE≤AE，求出AE即可．③如图3中：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．当D、E、O、N四点共线时，NO+GO+MO值最小，求出DN，分别求出a2，b2，c2的最小值可知结论． 解：①如图1中，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E， ∵AB∥CD， ∴∠EDP=∠DAB=60°， ∴sin∠EDP==， ∴EP=PD ∴PB+PD=PB+PE ∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE， ∵sin∠A==， ∴BE=3， ∴a2的最小值为27， ②如图2中，连OA，OP，OD，在OD上取一点E，使OE=，连PE，AE． ∵OP2=22=4，OE•OD=×2=4， ∴OP2=OE•OD， ∠POE=∠DOP， ∴△POE∽△DOP， ∴==， ∴PE=PD， ∴AP+PD=AP+PE≤AE， AE==， 即AP+DP的最小值为， ∴b2的最小值为10， 如图3中：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F． ∵△MGD和△OME是等边三角形 ∴OE=OM=ME，∠DMG=∠OME=60°，MG=MD， ∴∠GMO=∠DME 在△GMO和△DME中， ， ∴△GMO≌△DME（SAS）， ∴OG=DE ∴NO+GO+MO=DE+OE+NO ∴当D、E、O、N四点共线时，NO+GO+MO值最小， ∵∠NMG=75°，∠GMD=60°， ∴∠NMD=135°， ∴∠DMF=45°， ∵MG=3． ∴MF=DF=， ∴NF=MN+MF=4+， ∴ND2=DF2+FN2=（）2+（4+）2=25+12 ∴c2的最小值为25+12， ∴a2+b2+c2的最小值为62+12． 故答案为：62+12． 17．【答案】(1)C;(2);(3)a;(4)×;(5)a; 【解析】（1）观察两位同学的做法，判断即可； （2）分析两位同学的方法，填写即可． 解：（1）两位同学都做法正确， 故选C； （2）小明：①×=（a≥0，b≥0）； ②=|a|=a（a≥0）； 小刚：①=×（a≥0，b≥0）； ②（）2=a（a≥0）． 故答案为：C，，a,×，a 18．【解析】（1）利用勾股定理计算AB的长； （2）利用面积法计算CD的长； （3）根据射影定理BC2=BD•BA，然后把BA、BC的长代入可计算出BD的长． 解：（1）∵∠ACB=90°，BC=3，AC=4， ∴AB==5； （2）∵CD⊥AB， ∴CD•AB=AC•BC， ∴CD==； （3）∵BC2=BD•BA， ∴BD==． 19．【解析】（1）由题意可得∠B=∠BCE，BO=CO，且∠AOB=∠COE，即可证△AOB≌△COE； （2）由△AOB≌△COE可得AO=EO，BO=CO，即可证四边形ABEC是平行四边形，且OA=OB，可证平行四边形ABEC是矩形． （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD，∠B=∠D ∴∠B=∠BCE ∵O是BC中点 ∴BO=CO ∵BO=CO，∠B=∠BCE，∠AOB=∠COE； （2）解：四边形ABEC是矩形． 理由如下： ∵△AOB≌△COE ∴BO=CO，AO=EO ∴四边形ABEC是平行四边形 ∵OA=OB， ∴BC=AE，且四边形ABEC是平行四边形 ∴四边形ABEC是矩形． 20．【答案】AF=CE（答案不唯一） 【解析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC．推出四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AE∥CF，根据平行线的性质得到∠AEH+∠FHE=180°．根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）设AG=x,根据垂直的定义得到∠AGF=90°，根据三角函数的定义得到GF=2AG=2x.得到EG=4x.列方程即可得到结论． 解：（1）添加的条件：AF=CE（答案不唯一）． 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC． ∵AF=CE， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AE∥CF， ∴∠AEH+∠FHE=180°． ∵EH⊥CF，FG⊥AE， ∴∠FGE=∠FHE=∠GEH=90°， ∴四边形EGFH为矩形； （2）设AG=x, ∵FG⊥AE， ∴∠AGF=90°， 在Rt△AGF中，， ∴GF=2AG=2x. ∵EG=2GF， ∴EG=4x. ∵AE=AG+EG， ∴5=x+4x, 解得x=1， ∴AG的长为1． 21．【答案】详情见解析 【解析】 根据要求作出图形即可； 利用数形结合的思想画出图形即可． 本题考查作图 应用与设计作图，直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 解：（1）如图1中，△ABC即为所求； （2）如图2中，△ABE即为所求． 22．【解析】（1）先将二次根式化简，后根据同类二次根式的定义，被开方数相同即可判断； （2）先化简二次根式，后合并最简二次根式即可． 解：（1）=5，=3，=，=， ∴、、是同类二次根式；、、是同类二次根式． （2）原式= =-． 23．【解析】（1）根据平行四边形的性质，结合DF平分∠ADC可推出∠F=∠ADF，即可证明AD=AF； （2）过点D作DH⊥BA，垂足为H，可推出∠DAH=60°，利用DH=ADsin∠DAH，得到DH，最后根据S▱ABCD=AB•DH即可得到答案． （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠F=∠CDF， ∵DF平分∠ADC， ∴∠CDF=∠ADF， ∴∠F=∠ADF， ∴AD=AF； （2）解：过点D作DH⊥BA，垂足为H， ∵∠BAD=120°，AB=3，AD=6， ∴∠DAH=180°-∠BAD=180°-120°=60°， ∴， ∴． 24．【答案】(1);(2)≤p＜3; 【解析】（1）根据三角形的中位线的性质即可求得答案； （2）根据翻折变换的性质将△ABC翻折5次，再利用梯形的性质求解即可． 解：（1）∵等边△ABC的边长为1， ∴AB=AC=BC=1， ∵D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点， ∴DE=AC=，EF=AB=，DF=BC=， ∴△DEF的周长为p=++=； （2） 根据题意与由轴对称的性质可知，D2F2+F2E3+E3D4=p, ∵D2，F2，E3D4分别是各边的中点时，D2、F2、E3、D4共线， ∴当D2与D4分别是A1B1与A2B2的中点时，p最小值为：（A1B2+A2B1）=， ∵p＜AB+AC+BC=3， ∴p的取值范围是：≤p＜3． 故答案为：（1），（2）≤p＜3． 学科网（北京）股份有限公司 $$