陕西省铜川市王益区2025届高三3月模拟考试数学试题

陕西省铜川市王益区2025届高三3月份模拟考试数学试题 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知a>0，b>0，a+b =1，若 α=，则的最小值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知底面为边长为的正方形，侧棱长为的直四棱柱中，是上底面上的动点.给出以下四个结论中，正确的个数是（ ） ①与点距离为的点形成一条曲线，则该曲线的长度是； ②若面，则与面所成角的正切值取值范围是； ③若，则在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为. A． B． C． D． 3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ） A．10000立方尺 B．11000立方尺 C．12000立方尺 D．13000立方尺 4．复数满足，则复数在复平面内所对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知非零向量，满足，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解: 6．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是( ) A． B． C． D． 7．若函数有且仅有一个零点，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 8．已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（） A．1 B．2 C． D．4 9．如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是（ ） A．该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省 B．与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长 C．该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个 D．去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元 10．已知正三角形的边长为2，为边的中点，、分别为边、上的动点，并满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11．在各项均为正数的等比数列中，若，则（ ） A． B．6 C．4 D．5 12．已知向量满足,且与的夹角为,则( ) A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．如果复数满足，那么______（为虚数单位）. 14．某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，再次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75；则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为________；经过前后两次烧制后，合格工艺品的件数为，则随机变量的期望为________. 15．若函数与函数，在公共点处有共同的切线，则实数的值为______． 16．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是___________ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知向量， . （1）求的最小正周期； （2）若的内角的对边分别为，且，求的面积. 18．（12分）已知的内角、、的对边分别为、、，满足.有三个条件：①；②；③.其中三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件完成下面两个问题： （1）求； （2）设为边上一点，且，求的面积. 19．（12分）为了解本学期学生参加公益劳动的情况，某校从初高中学生中抽取100名学生，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）的数据，绘制图表的一部分如表. （1）从男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在的概率： （2）从参加公益劳动时间的学生中抽取3人进行面谈，记为抽到高中的人数，求的分布列； （3）当时，高中生和初中生相比，那学段学生平均参加公益劳动时间较长.（直接写出结果） 20．（12分）△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为 (1)求; (2)若求△ABC的周长. 21．（12分）设数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，，若，，成等比数列． （1）求及； （2）设，设数列的前项和，证明：． 22．（10分）已知函数有两个极值点，. （1）求实数的取值范围； （2）证明：. 参考答案 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【解析】 根据题意，将a、b代入，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】 ∵a>0，b>0，a+b=1， ∴， 当且仅当时取“＝”号． 答案：C 【点睛】 本题考查基本不等式的应用，“1”的应用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是首先要判断参数是否为正；二定是其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是最后一定要验证等号能否成立，属于基础题. 2、C 【解析】 ①与点距离为的点形成以为圆心，半径为的圆弧，利用弧长公式，可得结论；②当在（或时，与面所成角（或的正切值为最小，当在时，与面所成角的正切值为最大，可得正切值取值范围是；③设，，，则，即，可得在前后、左右、上下面上的正投影长，即可求出六个面上的正投影长度之和． 【详解】 如图： ①错误， 因为 ，与点距离为的点形成以为圆心，半径为的圆弧，长度为； ②正确，因为面面，所以点必须在面对角线上运动，当在（或）时，与面所成角（或）的正切值为最小（为下底面面对角线的交点），当在时，与面所成角的正切值为最大，所以正切值取值范围是； ③正确，设，则，即，在前后、左右、上下面上的正投影长分别为，，，所以六个面上的正投影长度之，当且仅当在时取等号. 故选：. 【点睛】 本题以命题的真假判断为载体，考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点，综合性强，属于难题． 3、A 【解析】 由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示： 沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直， 则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱， 则三棱柱的 四棱锥的体积 由三视图可知两个四棱锥大小相等，立方丈立方尺． 故选A． 【点睛】本题考查三视图及几何体体积的计算，其中正确还原几何体，利用方格数据分割与计算是解题的关键． 4、B 【解析】 设,则,可得,即可得到,进而找到对应的点所在象限. 【详解】 设,则, ,, 所以复数在复平面内所对应的点为,在第二象限. 故选:B 【点睛】 本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力. 5、C 【解析】 根据向量的数量积运算，由向量的关系，可得选项. 【详解】 ， ，∴等价于， 故选：C. 【点睛】 本题考查向量的数量积运算和命题的充分、必要条件，属于基础题. 6、D 【解析】 根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积. 【详解】 根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为.侧面的高为，所以侧面积为.所以该几何体的表面积是. 故选：D 【点睛】 本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题. 7、D 【解析】 推导出函数的图象关于直线对称，由题意得出，进而可求得实数的值，并对的值进行检验，即可得出结果. 【详解】 ， 则， ， ，所以，函数的图象关于直线对称. 若函数的零点不为，则该函数的零点必成对出现，不合题意. 所以，，即，解得或. ①当时，令，得，作出函数与函数的图象如下图所示： 此时，函数与函数的图象有三个交点，不合乎题意； ②当时，，，当且仅当时，等号成立，则函数有且只有一个零点. 综上所述，. 故选：D. 【点睛】 本题考查利用函数的零点个数求参数，考查函数图象对称性的应用，解答的关键就是推导出，在求出参数后要对参数的值进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 8、B 【解析】 因为圆与抛物线的准线相切，则圆心为（3,0），半径为4，根据相切可知，圆心到直线的距离等于 半径，可知的值为2，选B. 【详解】 请在此输入详解！ 9、D 【解析】 根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可. 【详解】 由折线图可知A、B项均正确，该年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位的 省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C项正确；. 故D项不正确. 故选：D. 【点睛】 本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题. 10、A 【解析】 建立平面直角坐标系，求出直线， 设出点，通过，找出与的关系． 通过数量积的坐标表示，将表示成与的关系式，消元，转化成或的二次函数，利用二次函数的相关知识，求出其值域，即为的取值范围． 【详解】 以D为原点，BC所在直线为轴，AD所在直线为轴建系， 设，则直线 ， 设点， 所以 由得 ，即 ， 所以， 由及，解得，由二次函数的图像知，，所以的取值范围是．故选A． 【点睛】 本题主要考查解析法在向量中的应用，以及转化与化归思想的运用． 11、D 【解析】 由对数运算法则和等比数列的性质计算． 【详解】 由题意 ． 故选：D． 【点睛】 本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则．掌握等比数列的性质是解题关键． 12、A 【解析】 根据向量的运算法则展开后利用数量积的性质即可. 【详解】 . 故选：A. 【点睛】 本题主要考查数量积的运算，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【解析】 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解. 【详解】 ∵， ∴， ∴， 故答案为：. 【点睛】 本小题主要考查复数除法运算，考查复数的模的求法，属于基础题. 14、0.38 0.9 【解析】 考虑恰有一件的三种情况直接计算得到概率，随机变量的可能取值为，计算得到概率，再计算数学期望得到答案. 【详解】 第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为： . 甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为： ，，. 故随机变量的可能取值为， 故；； ；. 故. 故答案为：0.38 ；0.9. 【点睛】 本题考查了概率的计算，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力. 15、 【解析】 函数的定义域为，求出导函数，利用曲线与曲线公共点为由于在公共点处有共同的切线，解得，，联立解得的值． 【详解】 解：函数的定义域为，，， 设曲线与曲线公共点为， 由于在公共点处有共同的切线，∴，解得，． 由，可得． 联立，解得． 故答案为：． 【点睛】 本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 16、 【解析】 先还原几何体，再根据柱体体积公式求解 【详解】 空间几何体为一个棱柱，如图，底面为边长为的直角三角形，高为的棱柱，所以体积为 【点睛】 本题考查三视图以及柱体体积公式，考查基本分析求解能力，属基础题 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）；（2）或 【解析】 （1）利用平面向量数量积的坐标运算可得，利用正弦函数的周期性即可求解；（2）由（1）可求，结合范围，可求的值，由余弦定理可求的值，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】 （1） ∴最小正周期 . （2）由（1）知， ∴ ∴， 又 ∴或. 解得或 当时，由余弦定理得 即， 解得. 此时. 当时，由余弦定理得. 即，解得. 此时. 【点睛】 本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算、正弦函数的周期性，考查余弦定理、三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于基础题． 18、（1）；（2）. 【解析】 （1）先求出角，进而可得出，则①②中有且只有一个正确，③正确，然后分①③正确和②③正确两种情况讨论，结合三角形的面积公式和余弦定理可求得的值； （2）计算出和，计算出，可得出，进而可求得的面积. 【详解】 （1）因为，所以，得， ，， 为钝角，与矛盾，故①②中仅有一个正确，③正确. 显然，得. 当①③正确时， 由，得（无解）； 当②③正确时，由于，，得； （2）如图，因为，，则， 则，. 【点睛】 本题考查解三角形综合应用，涉及三角形面积公式和余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 19、（1）（2）详见解析（3）初中生平均参加公益劳动时间较长 【解析】 （1）由图表直接利用随机事件的概率公式求解； （2）X的所有可能取值为0，1，2，3.由古典概型概率公式求概率，则分布列可求； （3）由图表直接判断结果. 【详解】 （1）100名学生中共有男生48名， 其中共有20人参加公益劳动时间在， 设男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在的事件为， 那么； （2）的所有可能取值为0，1，2，3. ∴；； ；. ∴随机变量的分布列为： （3）由图表可知，初中生平均参加公益劳动时间较长. 【点睛】 本小题主要考查古典概型的计算，考查超几何分布的分布列的计算，属于基础题. 20、 (1)(2) . 【解析】 试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式，再利用正弦定理将边化成角，从而得出的值；（2）由和计算出，从而求出角，根据题设和余弦定理可以求出和的值，从而求出的周长为. 试题解析：（1）由题设得，即. 由正弦定理得. 故. （2）由题设及（1）得，即. 所以，故. 由题设得，即. 由余弦定理得，即，得. 故的周长为. 点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 21、（1），；（2）证明见解析. 【解析】 （1）根据题中条件求出等差数列的首项和公差，然后根据首项和公差即可求出数列的通项和前项和； （2）根据裂项求和求出，根据的表达式即可证明. 【详解】 （1）设的公差为， 由题意有， 且， 所以， ； （2）因为， 所以， . 【点睛】 本题主要考查了等差数列基本量的求解，裂项求和法，属于基础题. 22、（1） （2）证明见解析 【解析】 （1）先求得导函数，根据两个极值点可知有两个不等实根，构造函数，求得；讨论和两种情况，即可确定零点的情况，即可由零点的情况确定的取值范围； （2）根据极值点定义可知，，代入不等式化简变形后可知只需证明；构造函数，并求得，进而判断的单调区间，由题意可知，并设，构造函数，并求得，即可判断在内的单调性和最值，进而可得，即可由函数性质得，进而由单调性证明 ，即证明，从而证明原不等式成立. 【详解】 （1）函数 则， 因为存在两个极值点，， 所以有两个不等实根. 设，所以. ①当时，， 所以在上单调递增，至多有一个零点，不符合题意. ②当时，令得， 0 减 极小值 增 所以，即. 又因为，， 所以在区间和上各有一个零点，符合题意， 综上，实数的取值范围为. （2）证明：由题意知，， 所以，. 要证明， 只需证明， 只需证明. 因为，，所以. 设，则， 所以在上是增函数，在上是减函数. 因为， 不妨设， 设，， 则， 当时，，， 所以，所以在上是增函数， 所以， 所以，即. 因为，所以， 所以. 因为，，且在上是减函数， 所以， 即， 所以原命题成立，得证. 【点睛】 本题考查了利用导数研究函数的极值点，由导数证明不等式，构造函数法的综合应用，极值点偏移证明不等式成立的应用，是高考的常考点和热点，属于难题. 学科网（北京）股份有限公司 $$