8.3用公式法解一元二次方程（三大题型提分练） -【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（鲁教版）

8.2用配方法解一元二次方程 题型一 用根的判别式判断一元二次方程的根 1．（24-25九年级上·山东临沂·期末）下列所给方程中，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程()的根与的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，是解决此题的关键．求出各选项方程根的判别式的值，判断出正负即可确定一元二次方程是否有实数根． 【详解】解：，则方程有两个不相等的实数根，所以选项不符合题意； ，则方程有两个不相等的实数根，所以选项不符合题意； ，所以方程有两个不相等的实数根，所以选项不符合题意； ，方程没有实数根，所以选项符合题意； 故选：． 2．（2024·河南鹤壁·模拟预测）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（   ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无实数根 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，根据新定义得到，再根据一元二次方程根的判别式即可得出答案，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 3.（24-25九年级上·山东潍坊·期中）小莹在解关于x的方程时，抄错了a的符号，解出其中一个根是，则原方程的根的情况是（  ） A．有一个实数根是 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根的判别式，先将代入方程得，求出从而得出a的正确值为，根据根的判别式得出原方程有两个不相等的实数根，求出方程的解，逐项进行判断即可． 【详解】解：将代入方程得， ， 解得， 所以a的正确值为， 则原方程为， 所以， 所以原方程有两个不相等的实数根，且方程的两个根为：． 故选：D． 4.（24-25九年级上·山东潍坊·期中）小莹在解关于x的方程时，抄错了a的符号，解出其中一个根是，则原方程的根的情况是（  ） A．有一个实数根是 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根的判别式，先将代入方程得，求出从而得出a的正确值为，根据根的判别式得出原方程有两个不相等的实数根，求出方程的解，逐项进行判断即可． 【详解】解：将代入方程得， ， 解得， 所以a的正确值为， 则原方程为， 所以， 所以原方程有两个不相等的实数根，且方程的两个根为：． 故选：D． 5．（24-25九年级上·山东青岛·期末）已知关于x的—元二次方程． (1)若方程的一个根是0，求p的值； (2)求证：无论p为何值，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． （1）把代入一元二次方程得到，然后解一次方程即可； （2）先计算根的判别式的值得到，则利用非负数的性质得到△，然后根据根的判别式的意义得到结论． 【详解】（1）解：把代入方程得， 解得， 即的值为； （2）证明： ， 无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根． 6．（24-25九年级上·山东青岛·期中）已知关于的一元二次方程． (1)方程的一个根是，求的值； (2)求证：无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． （1）把代入一元二次方程得到，然后解一次方程即可； （2）先计算根的判别式的值得到，则利用非负数的性质得到，然后根据根的判别式的意义得到结论． 【详解】（1）解：把代入方程得， 解得， 即的值为； （2）证明：∵关于的一元二次方程， ∴ ． ∴无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根． 题型二 用公式法解一元二次方程 1．（2023九年级·全国·专题练习）利用公式法解得一元二次方程的两个根为，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程--公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键． 利用公式法即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 一元二次方程的两个根为，且， 的值为， 故选：D． 2.解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用公式法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：，，， ∵， ∴， ∴，． 3. 解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 解法一：利用配方法求解即可； 解法二：利用公式法求解即可． 【详解】解：解法一： 移项，得：． 配方，得：， 即． 开方，得：， 即，或． 所以． 解法二： ，，， ． ． 即． 4. 解方程:． 【答案】， 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记公式是解题的关键． 根据公式法解一元二次方程即可． 【详解】解： ， 原方程有两个不相等的实数根， ∴，． 5. 解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，先求出，利用公式法求解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ，． 6. 解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，利用公式法求解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 7. 解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程．利用求根公式解方程时，需要弄清楚公式中的字母所表示的含义．一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项，求出，利用求根公式解方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，并能灵活运用是解题关键． （1）运用公式法求解即可； （2）运用公式法求解即可； 【详解】（1）解： ， ， ， ． （2）解：可化为， ， ， ， ． 题型三 利用一元二次方程根的情况求参数 1．（24-25九年级上·山东德州·期末）关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的定义．根据一元二次方程的根的情况来确定根的判别式且，通过解不等式来求k的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴且， 解得且， 故选：B． 2．（2025·山东泰安·模拟预测）已知方程有两个不相等的实数根，则k的取值（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程定义及根的判别式求出k的取值范围，此题考查一元二次方程的根的个数及根的判别式． 【详解】解：根据题意得且， 所以且． 故选：D． 3．（24-25九年级上·山东青岛·期末）关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟记：对于一元二次方程时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根．利用一元二次方程无实数根，判别式即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ， 解得：， 故选：B． 4．（24-25九年级上·山东青岛·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根的判别式．利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以， 解得． 故选：B． 5．（24-25九年级上·山东日照·期末）对于任意实数，规定，例如，，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题属于新定义题型，考查一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，先根据新定义得到，再把方程化为一般式，根据题意得到且，解不等式即可，根据题意得到关于的不等式是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， 整理得， 关于的方程有两个不相等的实数根， 且， 解得且． 故选：C． 6．（24-25九年级上·山东聊城·期末）若关于x方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】/0.5 【分析】此题考查了已知一元二次方程的根的情况求参数，由方程有两个相等的实数根得到，即，计算即可． 【详解】解：关于x方程有两个相等的实数根， ， 解得， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，根据题意可得，且，求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴，且， ∴且． 故答案为：且． 8．（22-23九年级上·山东青岛·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个实数根，求k的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义和根的判别式的定义得到，且，即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， ，且， 解得：，且． 9．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）已知一元二次方程． (1)若方程的一个根为，求a的值； (2)若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）把代入方程求出a即可． （2）由题意可得，根据不等式即可解决问题． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得； （2）解：∵方程有实数根， ∴且，即且， 解得：且， ∴满足条件的正整数a的值为． 10．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数根，求k的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．根据一元二次方程有实数根，得到，结合求解即可得到答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 1．（24-25九年级上·山东德州·期中）一元二次方程的实数根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系是解题的关键：当时，一元二次方程（）有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程（）有两个相等的实数根；当时，一元二次方程（）没有实数根． 先计算判别式得到，然后根据判别式判断方程根的情况即可． 【详解】解：将一元二次方程化为一般形式，得： ， ， 一元二次方程没有实数根， 故选：． 2．（24-25九年级上·山东青岛·期中）下列方程有两个相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的判别式与根的个数关系，根据判别式的符号进行判断即可． 【详解】解：A、方程变形为，此时，此方程没有实数根，故不符合题意； B、方程，此时，此方程有两个不相等的实数根，故不符合题意； C、方程变形为，此时，此方程有两个相等的实数根，故符合题意； D、 方程变形为，此时，此方程有两个不相等的实数根，故不符合题意； 故选：C． 3．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）已知函数的图像如图所示，则一元二次方程的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根，这是解题的关键． 根据一次函数的图象确定，，求出判别式的值并判定正负，据此求解． 【详解】解：∵函数的图象经过第二、三、四象限， ∴，， ∴， 对于一元二次方程， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 4．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）关于x的一元二次方程的判别式的值为4，则a的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由题意可得，解方程即可求出a的值． 【详解】解：由题意可得： ， 解得：， 故选：． 5．（24-25九年级上·山东济宁·期末）若事件“关于的方程有实数根”是必然事件，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．掌握一元二次方程的定义和根的判别式是解题的关键．分情况讨论，①时，根据一元一次方程的解判断即可；②时，根据根的判别式得出，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：∵事件“关于的方程有实数根”是必然事件， ∴关于的方程有实数根， ①当时，原方程为， 此时方程的解为，符合题意， ②当时， ∵方程有实数根， ∴， 解得 ∴且， 综上，， 故选：C． 6．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，以及一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义以及有两个实数根，列不出不等式组，求不等式组的解集，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：且． 故选C． 7．（24-25九年级下·山东菏泽·开学考试）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（　　） A．且 B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】此题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根得到，且，即可求出答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， ∴a的取值范围为且． 故选：A 8．（2019·辽宁盘锦·一模）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式，得出关于k的一元一次不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且， 故选：C． 9．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）定义：我们把关于的一元二次方程与（，）称为一元二次方程的一对“颠倒方程”．如的“颠倒方程”是，则下列结论不正确的是（    ） A．若方程M有实数根，则方程N也有实数根 B．若6是方程M的一个根，则方程N一定有一个根是 C．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是1 D．若，则方程M与方程N都有实数根 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式即可判断A；根据一元二次方程的解即可判断B、C；根据解一元二次方程即可判断D，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、方程的根的判别式为，方程的根的判别式为， ∴若方程M有实数根，则方程N也有实数根，故A选项正确，不符合题意； B、若6是方程M的一个根，则有， 若是方程N的一个根，则有，即，故B选项正确，不符合题意； C、若方程M和方程N有一个相同的根，则， ∴， ∴或，故C选项错误，符合题意； D、方程M的根为， ， 若，则， 方程的根为：，， 若，则，故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 10．（24-25九年级上·山东临沂·期中）关于的一元二次方程根的判别式的值是，则此方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．首先根据方程的根的判别式的值是，可知方程有两个不相等的实数根，再利用公式法可以求出方程的两个根． 【详解】解：的根的判别式的值是， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得：，． 故答案为：， ． 11．（22-23九年级上·山东滨州·阶段练习）一元二次方程的根是 ． 【答案】， 【分析】此题考查了公式法解一元二次方程，用到的知识点是根的判别式和求根公式，掌握求根公式是解题的关键，先找出，，的值，再根据求根公式进行计算，即可求出的值． 【详解】解：， ，，， ， ， ，； 故答案为：，． 12．（24-25九年级上·北京·开学考试）用公式法解方程时， ， ， ． 【答案】 1 3 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】∵， ∴ ∴，， 故答案为：1，3，． 13．（23-24八年级上·上海·单元测试）已知关于的方程的判别式的值是53，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，其判别式为，据此建立方程求解即可． 【详解】解；由题意得，， 解得， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）计算： (1) (2)（配方法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用公式法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）解： ， 15．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）解下列方程 (1)（用公式法） (2)（用配方法） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用公式法进行解方程，先得出，则，即可作答． （2）先移项再配方，则，然后开方，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ，，， ∴， 则， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 则， ∴， ∴． 16．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）按要求解下列方程： (1)用配方法解方程：； (2)用公式法解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查运用指定方法解一元二次方程，熟练掌握配方法和公式法是解答本题的关键． （1）先将方程的常数项移到等号的右边，两边再加上一次项系数一半的平方，配方后运用直接开平方法求解即可； （2）先判断方程的的值，再代入求根公式求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴； （2）解：， ∵ ， ∴ 17．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）解方程： (1) (2)（配方法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． （1）利用公式法求解即可； （2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得． 【详解】（1）解： ∵，， ∴ ∴ ∴，； （2）解：                       ∴，． 18．（24-25九年级上·山东青岛·期中）解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键． （1）整理为一般形式，找出，，的值，代入求根公式计算即可求出解； （2）整理为一般形式，找出，，的值，代入求根公式计算即可求出解．． 【详解】（1）解： 方程整理得：， 这里，，， ， ， 解得：，； （2）解： 方程整理得：， 这里，，， ， ， 解得：，． 19．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）已知：平行四边形的两边的长是关于的方程的两个实数根． (1)试说明：无论取何值方程总有两个实数根； (2)当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解法以及菱形的性质和根的判别式等知识，得出的值是解题关键． （1）利用根的判别式求出的符号进而得出答案； （2）利用菱形的性质以及一元二次方程的解法得出答案． 【详解】（1）证明：方程， ， 无论取何值方程总有两个实数根； （2）解：四边形是菱形， ， ， ， 方程为， ， 即菱形的边长为2． 20．（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程总有实数根． 【答案】见详解 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根；本题考查了一元二次方程根的判别式：根据判别式判断一元二次方程根的情况，正确记忆根的判别式是解题的关键． 【详解】证明： ， ∴， 无论取何值，方程总有两个实数根． 21．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知关于x一元二次方程． (1)求证：无论a取任何实数值，方程总有实数根； (2)当时，方程的两实数根是等腰三角形的两边，试求等腰三角形的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)等腰三角形的周长为． 【分析】本题考查了根的判别式，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）先计算根的判别式得到然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）先利用因式分解法解方程得到再根据等腰三角形的性质和三角形三边的关系确定等腰三角形腰长为3，底边为1，然后计算三角形的周长． 【详解】（1）证明：， ∴无论a何值，原方程总有实数根； （2）解：当时，方程化为： ∴ ∴或 当等腰三角形腰长为1，底边长为3时，，不符合三角形三边的关系，舍去； 当等腰三角形腰长为3，底边为1，它的周长为： 22．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知平行四边形的两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)若的长为5，求的值； (2)为何值时，平行四边形是菱形？求出此时菱形的边长． 【答案】(1) (2)，平行四边形是菱形，菱形的边长是4 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，菱形的判定与性质，熟练掌握根的判别式和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）将代入原方程可求出的值； （2）根据菱形的性质可得出，结合根的判别式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长． 【详解】（1）解：∵的长是关于的一元二次方程的两个实数根，的长为5， ∴把代入，得 解得：； （2）解：平行四边形是菱形， ， 方程有两个相等的实数根， ， ， 此时方程为， ， ，即菱形的边长为4； 答：，平行四边形是菱形，菱形的边长是4． 23．（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知：关于x的一元二次方程（m为实数） (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根． 【答案】(1)且 (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根，熟练掌握相关知识并运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）由方程有两个不相等的根，可得，由一元二次方程的定义可得，由此即可求得m的取值范围； （2）利用求根公式表示出方程的两个根，即可得证． 【详解】（1）解：， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴且， ∴的取值范围是且； （2）解：由求根公式得 ， ∴， ， ∴无论为何值，方程总有一个固定的根是1 ． 24．（23-24八年级下·山东济南·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求m的取值范围； (2)在等腰中，一腰长为3，其余两边长为方程的两个根，求m的值． 【答案】(1)且； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的根的判别式． （1）由方程有实数根得，可得关于的不等式，解之可得的范围； （2）由，求出的取值范围，分两种情况：①当3是腰时，3是方程的一个根，把代入方程可求得；②两腰都是方程的根时，即方程有两个相等根，由可求出，两种情况都根据三角形的三边关系检验． 【详解】（1）解：， 方程有实数根， 且， 且， 解得且； （2）解：根据题意得且， 解得且， 当时，方程的一根是3，把代入方程得， 解得， 此时方程的另一根为， ， 三角形存在； ； 当， ， 方程为． 解得， 一腰长为3， 不合题意， 综上，． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.2用配方法解一元二次方程 题型一 用根的判别式判断一元二次方程的根 1．（24-25九年级上·山东临沂·期末）下列所给方程中，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·河南鹤壁·模拟预测）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（   ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无实数根 3.（24-25九年级上·山东潍坊·期中）小莹在解关于x的方程时，抄错了a的符号，解出其中一个根是，则原方程的根的情况是（  ） A．有一个实数根是 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 4.（24-25九年级上·山东潍坊·期中）小莹在解关于x的方程时，抄错了a的符号，解出其中一个根是，则原方程的根的情况是（  ） A．有一个实数根是 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 5．（24-25九年级上·山东青岛·期末）已知关于x的—元二次方程． (1)若方程的一个根是0，求p的值； (2)求证：无论p为何值，该方程都有两个不相等的实数根． 6．（24-25九年级上·山东青岛·期中）已知关于的一元二次方程． (1)方程的一个根是，求的值； (2)求证：无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根． 题型二 用公式法解一元二次方程 1．（2023九年级·全国·专题练习）利用公式法解得一元二次方程的两个根为，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 2.解方程：． 3. 解方程：． 4. 解方程:． 5. 解方程：． 6. 解方程：． 7. 解方程：． 8．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）解下列方程 (1) (2) 题型三 利用一元二次方程根的情况求参数 1．（24-25九年级上·山东德州·期末）关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 2．（2025·山东泰安·模拟预测）已知方程有两个不相等的实数根，则k的取值（   ） A． B． C．且 D．且 3．（24-25九年级上·山东青岛·期末）关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山东青岛·期末）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·山东日照·期末）对于任意实数，规定，例如，，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 6．（24-25九年级上·山东聊城·期末）若关于x方程有两个相等的实数根，则 ． 7．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 8．（22-23九年级上·山东青岛·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个实数根，求k的取值范围． 9．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）已知一元二次方程． (1)若方程的一个根为，求a的值； (2)若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值． 10．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）若关于x的一元二次方程有实数根，求k的取值范围． 1．（24-25九年级上·山东德州·期中）一元二次方程的实数根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 2．（24-25九年级上·山东青岛·期中）下列方程有两个相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）已知函数的图像如图所示，则一元二次方程的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 4．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）关于x的一元二次方程的判别式的值为4，则a的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 5．（24-25九年级上·山东济宁·期末）若事件“关于的方程有实数根”是必然事件，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 6．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 7．（24-25九年级下·山东菏泽·开学考试）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（　　） A．且 B．且 C． D．且 8．（2019·辽宁盘锦·一模）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D． 9．（24-25九年级上·山东临沂·阶段练习）定义：我们把关于的一元二次方程与（，）称为一元二次方程的一对“颠倒方程”．如的“颠倒方程”是，则下列结论不正确的是（    ） A．若方程M有实数根，则方程N也有实数根 B．若6是方程M的一个根，则方程N一定有一个根是 C．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是1 D．若，则方程M与方程N都有实数根 10．（24-25九年级上·山东临沂·期中）关于的一元二次方程根的判别式的值是，则此方程的解为 ． 11．（22-23九年级上·山东滨州·阶段练习）一元二次方程的根是 ． 12．（24-25九年级上·北京·开学考试）用公式法解方程时， ， ， ． 13．（23-24八年级上·上海·单元测试）已知关于的方程的判别式的值是53，则 ． 14．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）计算： (1) (2)（配方法） 15．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）解下列方程 (1)（用公式法） (2)（用配方法） 16．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）按要求解下列方程： (1)用配方法解方程：； (2)用公式法解方程：． 17．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）解方程： (1) (2)（配方法） 18．（24-25九年级上·山东青岛·期中）解下列方程 (1)； (2)． 19．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）已知：平行四边形的两边的长是关于的方程的两个实数根． (1)试说明：无论取何值方程总有两个实数根； (2)当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长． 20．（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程总有实数根． 21．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知关于x一元二次方程． (1)求证：无论a取任何实数值，方程总有实数根； (2)当时，方程的两实数根是等腰三角形的两边，试求等腰三角形的周长． 22．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知平行四边形的两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)若的长为5，求的值； (2)为何值时，平行四边形是菱形？求出此时菱形的边长． 23．（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知：关于x的一元二次方程（m为实数） (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根． 24．（23-24八年级下·山东济南·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求m的取值范围； (2)在等腰中，一腰长为3，其余两边长为方程的两个根，求m的值． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$