浙江省杭州市钱塘区文海启源中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷

2023-2024学年浙江省杭州市钱塘区文海启源中学八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 1．（3分）下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 2．（3分）在下列方程中，属于一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 3．（3分）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 4．（3分）一组数据2，2，2，3，5，8，13，若加入一个数，一定不会发生变化的统计量是　　 A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数 5．（3分）用反证法证明命题：“在中，、对边是、，若，则，”的第一步应假设　　 A． B． C． D． 6．（3分）用配方法解方程，下列配方正确的是　　 A． B． C． D． 7．（3分）已知四边形，有以下四个条件：①；②；③； ④．从这四个条件中选两个，下列不能确定四边形为平行四边形的是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 8．（3分）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是　　 A． B．且 C． D．且 9．（3分）已知方程有个解，方程有个解，其中，则　　 A．或 B．或 C．或 D．或 10．（3分）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，直线过点，连接，交于点，连，的周长等于6，下列说法正确的个数为　　 ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）二次根式中字母的取值范围是　 　． 12．（3分）如果一个正多边形的每个内角为，则这个正多边形的边数是　　． 13．（3分）若是方程的一个解，则的值为 　　． 14．（3分）某经济开发区，今年一月份工业产值达50亿元，二月、三月产值和为125亿元，二月、三月平均每月的增长率是多少？若设平均每月的增长率为，根据题意，可列方程为 　　． 15．（3分）如图，已知、分别为△的边、的中点，为△的中线，连接，若四边形的面积为15，则△的面积为 　　． 16．（3分）数学活动课上，陈老师向同学们展示了一位同学的折纸作品（如图所示）．已知平行四边形纸片，，对角线，点，分别在边和上，交于点．将纸片沿折叠，点落在外的点处，落在对角线上的点处，交于点，连接．若，，则　　． 三、解答题（本大题有8小题，共72分） 17．（6分）（1）计算：； （2）解方程：． 18．（6分）疫情防控已成为常态化，为了解学生对疫情防控措施的知晓情况，某校对八（1）班和八（2）班开展了“疫情防控知识”问卷测试，并对八（1）班和八（2）班随机各抽取了5位同学的成绩进行比较，如表： 八（1）班 100 90 100 70 80 八（2）班 90 95 90 85 100 （1）计算两个班级样本中的五位同学的平均成绩、中位数． （2）分析样本数据，哪个班级成绩稍好，请说明理由． 19．（8分）如图，在中，，是直线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，且，求的长． 20．（8分）已知，是关于的一元二次方程的两实数根． （1）求的取值范围． （2）若，求的值． 21．（10分）如图，在中，，点，分别是边，的中点，连接、，点，，分别为，，的中点． （1）求证：； （2）若，求证：； （3）若，求的度数． 22．（10分）某童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价2元，每星期可多卖20件．已知该款童装每件成本为40元．设该款童装每件售价为元，销售量为件． （1）每星期的销售量　　（用含的代数式表示并化简）； （2）当每件童装售价定为多少元时，该店一星期可获得2210元的利润？ （3）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？ 23．（12分）如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，，，是△和△边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： （1）写出一个“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于的“勾系一元二次方程” 必有实数根； （3）若是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形的周长是，求△面积． 24．（12分）已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． （1）如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数． （2）如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的面积． （3）如图③，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止），若，则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 2023-2024学年浙江省杭州市钱塘区文海启源中学八年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C D B A C C C D 一、选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.） 1．（3分）下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形是指图形绕着某个点旋转能与原来的图形重合，据此即可求解． 【解答】解：、是中心对称图形，故此选项符合题意； 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查中心对称图形，熟知中心对称图形的定义是解题的关键． 2．（3分）在下列方程中，属于一元二次方程的是　　 A． B． C． D． 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【解答】解：．，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； ．，含有一个未知数，未知数的最高次数2次，满足一元二次方程的定义，符合题意； ．该方程是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； ．该方程整理，可得，是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程的定义． 3．（3分）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：不能合并，故选项不符合题意； ，故选项错误，不符合题意； ，故选项正确，符合题意； ，故选项错误，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 4．（3分）一组数据2，2，2，3，5，8，13，若加入一个数，一定不会发生变化的统计量是　　 A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数 【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义即可得到结论． 【解答】解：、原来数据的方差加入一个数后的方差一定发生了变化，不符合题意； 、原来数据的平均数是，加入一个数，平均数一定变化，不符合题意； 、原来数据的中位数是3，加入一个数后，如果中位数一定变化，不符合题意； 、原来数据的众数是2，加入一个数后众数仍为2，符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念是解题的关键． 5．（3分）用反证法证明命题：“在中，、对边是、，若，则，”的第一步应假设　　 A． B． C． D． 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【解答】解：反证法证明命题：“在中，、对边是、，若，则”， 第一步应假设， 故选：． 【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 6．（3分）用配方法解方程，下列配方正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】方程常数项移到右边，两边加上9变形得到结果即可． 【解答】解：方程变形得：， 配方得：，即， 故选：． 【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 7．（3分）已知四边形，有以下四个条件：①；②；③； ④．从这四个条件中选两个，下列不能确定四边形为平行四边形的是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【分析】根据平行四边形的判定方法即可找到所有组合方式：（1）两组对边平行①③；（2）两组对边相等②④；（3）一组对边平行且相等①②或③④，所以有四种组合． 【解答】解：依题意得有四种组合方式： （1）①③，利用两组对边平行的四边形是平行四边形判定； （2）②④，利用两组对边相等的四边形是平行四边形判定； （3）①②或③④，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定． 故选：． 【点评】此题主要考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 8．（3分）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是　　 A． B．且 C． D．且 【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【解答】解：当时，△， ， 当时，也符合题意， ， 故选：． 【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 9．（3分）已知方程有个解，方程有个解，其中，则　　 A．或 B．或 C．或 D．或 【分析】对于方程，根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的原理，可直接求解，方程，同样依据上述原理求解，但需要分，以及且等不同情况讨论，再确定两个方程解的个数和之间的关系． 【解答】解：，可得或，即或， ， ， 当，时，方程变为．解得，此时， 当，时，方程变为，解得，此时， 当，时，方程变为或解得或，此时， 当或时，，，；当且时，，，． 或． 故选：． 【点评】这道题主要考查解一元二次方程的因式分解法以及分类讨论思想，解题的关键在于对中和取值的分类讨论． 10．（3分）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，直线过点，连接，交于点，连，的周长等于6，下列说法正确的个数为　　 ①； ②； ③； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由的周长等于6，可得，即得到，根据等腰三角形三线合一得到，即可判断①；过点作，交与，证明，得到，同理可得，，，再由三角形的面积即可判断②；过点于，交于，可得，即可判断③；过点作的延长线于点，由平行线可得，进而可得，得到，由勾股定理可得，设，则，在中，由勾股定理可得，求出进而可得的长，即可判断④． 【解答】解：的周长等于6， ， 四边形为平行四边形， ，，，，， ， 即， ， ， 为等腰三角形， ， ， 即， ，故①正确； 过点作于，交与， ， ，，， 在和中， ， ， ， 同理可得，， ， ，， ，故②正确； 过点作于，交于， ， ， ， ， ，故③正确； 过点作的延长线于点，则， ，， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得， ， ， ，故④正确； 说法正确的个数有4个， 故选：． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 二、填空题：（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）二次根式中字母的取值范围是　　． 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可． 【解答】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 12．（3分）如果一个正多边形的每个内角为，则这个正多边形的边数是　12　． 【分析】首先根据内角度数计算出外角度数，再用外角和除以外角度数即可． 【解答】解：一个正多边形的每个内角为， 它的外角为， ， 故答案为：12． 【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握内角与外角互为邻补角． 13．（3分）若是方程的一个解，则的值为 　　． 【分析】根据是方程的一个解，可以得到的值，然后将所求式子变形，再将的值代入计算即可． 【解答】解：是方程的一个解， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用整体的数学思想解答． 14．（3分）某经济开发区，今年一月份工业产值达50亿元，二月、三月产值和为125亿元，二月、三月平均每月的增长率是多少？若设平均每月的增长率为，根据题意，可列方程为 　　． 【分析】由该经济开发区今年一月份的工业产值及平均每月的增长率，可得出该经济开发区今年二月份及三月份的工业产值，结合二月、三月产值和为125亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：某经济开发区，今年一月份工业产值达50亿元，且平均每月的增长率为， 该经济开发区，今年二月份工业产值为亿元，三月份工业产值为亿元． 根据题意得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15．（3分）如图，已知、分别为△的边、的中点，为△的中线，连接，若四边形的面积为15，则△的面积为 　24　． 【分析】设△的面积是，得到，求出，即可得到△的面积． 【解答】解：、分别为、的中点，为△的中线， △的面积△的面积，△的面积△的面积△的面积△的面积， 设△的面积是， △的面积△的面积△的面积， 四边形的面积△的面积△的面积△的面积， ， △的面积． 故答案为：24． 【点评】本题考查三角形的面积，关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 16．（3分）数学活动课上，陈老师向同学们展示了一位同学的折纸作品（如图所示）．已知平行四边形纸片，，对角线，点，分别在边和上，交于点．将纸片沿折叠，点落在外的点处，落在对角线上的点处，交于点，连接．若，，则　　． 【分析】连接，利用直角性质求得，，由折叠的性质以及，推出是线段的垂直平分线，则，求得，证明四边形是平行四边形，得到，在求得即可． 【解答】解：连接， 平行四边形纸片，，且，， ，， ，， 由折叠的性质知，，，是线段的垂直平分线，则， ， ，即， ，由平行四边形的性质得， ， ， ， ， ，，即， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 三、解答题（本大题有8小题，共72分） 17．（6分）（1）计算：； （2）解方程：． 【分析】（1）先将各项二次根式化简，再按照从左到右的顺序进行计算，即可求得答案； （2）用因式分解法解一元二次方程求解即可． 【解答】解：（1）， ， ， ； （2）， ， 或， ，． 【点评】（1）题目较为基础，重点在于对二次根式化简及运算法则的掌握．在计算过程中，要注意将二次根式化为最简形式，再进行计算，这是解决二次根式混合运算题目的关键； （2）用因式分解法解一元二次方程时比较常用的方法，熟练掌握因式分解法是解题的关键． 18．（6分）疫情防控已成为常态化，为了解学生对疫情防控措施的知晓情况，某校对八（1）班和八（2）班开展了“疫情防控知识”问卷测试，并对八（1）班和八（2）班随机各抽取了5位同学的成绩进行比较，如表： 八（1）班 100 90 100 70 80 八（2）班 90 95 90 85 100 （1）计算两个班级样本中的五位同学的平均成绩、中位数． （2）分析样本数据，哪个班级成绩稍好，请说明理由． 【分析】（1）根据平均数的定义：一组数据的和除以这组数据的个数所得的商；中位数的定义：将一组数据从小到大（或从大到小）排列，处在中间的一个数或者中间的两个数的平均数；进行相关计算即可； （2）从平均数方面分析即可． 【解答】解：（1）八（1）班：平均分为：（分； 将数据重新排列：70，80，90，100，100，中间的数为90， 故中位数为90分； 八（2）班：平均分为：（分； 将数据重新排列：85，90，90，95，100，中间的数为90， 故中位数为90分； （2）八（2）班成绩稍好，理由如下： 八（2）班平均数大于八（1）班的平均数，所以八（2）班成绩稍好． 【点评】本题考查了平均数，中位数的相关定义，以及根据平均数，中位数做决策，熟记相关定义是解本题的关键． 19．（8分）如图，在中，，是直线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，且，求的长． 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得，．根据平行线的性质，得，则．根据可以证明，，，从而证明，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据勾股定理得到，连接交于，求得，根据平行四边形的性质得到，设，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． ． ． 在和中， ， ． ，． ， 四边形是平行四边形； （2）解：，，， ， 连接交于， ， 四边形是平行四边形， ， ， 设， ， ， ， ， ， （负值舍去）， 的长为． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． 20．（8分）已知，是关于的一元二次方程的两实数根． （1）求的取值范围． （2）若，求的值． 【分析】（1）根据，是关于的一元二次方程的两实数根，可知△，然后求解即可； （2）根据、根与系数的关系和（1）中的取值范围，可以计算出的值． 【解答】解：（1），是关于的一元二次方程的两实数根， △， 解得， 即的取值范围为； （2）， ， ， ，是关于的一元二次方程的两实数根， ，， ， 解得或， 由（1）可知，， 的值为7． 【点评】本题考查根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是求出的取值范围和相应的的值． 21．（10分）如图，在中，，点，分别是边，的中点，连接、，点，，分别为，，的中点． （1）求证：； （2）若，求证：； （3）若，求的度数． 【分析】（1）由中点性质及，得到，再由中位线性质证明，，，，从而得到； （2）由（1），，再由，可证； （3）由（1），，可求得，再由，可求得的度数． 【解答】（1）证明：，点，分别是边，的中点， ， 点，，分别为，，的中点， ，， ，， ； （2）证明：由（1）， 又， ， ， ； （3）解：延长交于点， ，， ， ， ． 【点评】本题是几何问题，考查了三角形中位线的有关性质，解答时应根据题意找到相应三角形的中位线． 22．（10分）某童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价2元，每星期可多卖20件．已知该款童装每件成本为40元．设该款童装每件售价为元，销售量为件． （1）每星期的销售量　　（用含的代数式表示并化简）； （2）当每件童装售价定为多少元时，该店一星期可获得2210元的利润？ （3）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）根据售量（件与售价（元件）之间的函数关系即可得到结论． （2）设每星期利润为元，将代入所得的解析式，即可解决问题． （3）将（2）中解析式化为顶点式，即可解决问题． 【解答】解：（1）； 故答案为：； （2）设每星期利润为元， ，由题意，得， 解得或57， 当每件童装售价定为53元或57元时，该店一星期可获得2210元的利润． （3）， 时，取得最大值为2250． 每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润为2250元． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型． 23．（12分）如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，，，是△和△边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： （1）写出一个“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于的“勾系一元二次方程” 必有实数根； （3）若是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形的周长是，求△面积． 【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可； （2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论； （3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积． 【解答】（1）解：当，，时 勾系一元二次方程为； （2）证明：根据题意，得 △ 即△ 勾系一元二次方程必有实数根； （3）解：当时，有，即 ，即 ， ． 【点评】此类题目要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题． 24．（12分）已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． （1）如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数． （2）如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的面积． （3）如图③，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止），若，则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 【分析】（1）如图①中，只要证明是等边三角形即可． （2）如图②中，由四边形是平行四边形，推出，，推出，推出，推出，可得由此即可解决问题． （3）如图③中，分四种情形列出方程解方程即可． 【解答】解：（1）如图①中， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ． （2）如图②中， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ． （3）如图③中， ， 当时，四边形是平行四边形， 或或或， 解得或8或9.6， 另外时，也满足条件， 为或或或9.6 时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 【点评】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是灵活应用同底等高的两个三角形面积相等，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$