第9章 平面向量 章末达标检测(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

(时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若＝(－1,2)，＝(1，－1)，则＝(　　) A．(－2,3)　　　　 B．(0,1) C．(－1,2) D．(2，－3) 解析　＝(－1,2)，＝(1，－1)， 所以＝－＝(1＋1，－1－2)＝(2，－3)． 答案　D 2．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角θ为(　　) A. B. C. D. 解析　因为|a＋b|＝1，所以|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，所以cos θ＝－.又θ∈[0，π]，所以θ＝. 答案　C 3．在△ABC中，已知D是边AB上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝(　　) A. B. C. D. 解析　由已知得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，因此λ＝. 答案　B 4．(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·＝(　　) A． B．3 C．2 D．5 解析　法一　以为基底向量，可知＝＝2，·＝0， 则＝＋＝＋， ＝＋＝－＋， 所以·＝·＝－2＋2＝－1＋4＝3. 法二　如图所示，以A为坐标原点建立平面直角坐标系， 则E，C，D，可得＝，＝， 所以·＝－1＋4＝3. 法三　由题意可得ED＝EC＝，CD＝2， 在△CDE中，由余弦定理可得cos∠DEC＝＝＝， 所以·＝cos∠DEC＝××＝3. 故选B. 答案　B 5．(2023·金陵中学二模)设平面向量a＝，b＝，若a∥b，则＝(　　) A. B. C. D. 解析　由于a∥b，所以1×y＝2×，y＝－4， b＝， 3a＋b＝＋＝，＝＝.故选A. 答案　A 6．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4＝(　　) A．(－1，－2) B．(1，－2) C．(－1,2) D．(1,2) 解析　根据力的平衡原理有 f1＋f2＋f3＋f4＝0， 所以f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)． 答案　D 7．(2023·泰州模拟)设a，b均为非零向量，且a⊥(a－b)，＝2，则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 解析　由a⊥得： a·＝a2－a·b＝0， ∴a·b＝2， ∴cos〈a，b〉＝＝＝， 又〈a，b〉∈，∴〈a，b〉＝.故选C. 答案　C 8．如图，过点M(1,0)的直线与函数y＝sin πx(0≤x≤2)的图象交于A，B两点，则·(＋)＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　∵过点M(1,0)的直线与函数y＝sin πx(0≤x≤2)的图象交于A，B两点， ∴由三角函数图象的对称性可得A(x1，sin πx1)，B(2－x1，－sin πx1)， ∴＝(x1，sin πx1)，＝(2－x1，－sin πx1)， ∴＋＝(2,0)． 又＝(1,0)， ∴·(＋)＝(1,0)·(2,0)＝2， ∵点M(1,0)是AB的中点， ∴＝(＋)， ∴·(＋)＝＝＝2. 答案　B 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．点C是线段AB靠近点A的一个三等分点，则下列正确的是(　　) A.＝ B.＝ C．||＝2|| D.||＝3|| 答案　ACD 10．设a，b，c是非零向量，则下列说法中不正确的是(　　) A．(a·b)·c＝(c·b)·a B．|a－b|≤|a＋b| C．若a·b＝a·c，则b＝c D．若a∥b，a∥c，则b∥c 解析　对A选项，(a·b)·c与c共线，(c·b)·a与a共线，故A错误； 对B选项，当a，b共线且方向相反时，结论不成立，故B错误； 对C选项，∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，a·c＝|a|·|c|cos〈a，c〉，∴若a·b＝a·c，则|b|cos〈a，b〉＝|c|cos〈a，c〉，故C错误． 对D选项，∵a，b，c是非零向量，所以若a与b共线，a与c共线，则b与c共线，故D正确. 答案　ABC 11．已知平面向量a＝(1,0)，b＝(1,2)，则下列说法正确的是(　　) A．|a＋b|＝16 B．(a＋b)·a＝2 C．向量a＋b与a的夹角为30° D．向量a＋b在a上的投影向量为2a 解析　a＋b＝(1＋1,0＋2)＝(2,2)，所以|a＋b|＝＝4，故A错误；a·(a＋b)＝1×2＋0×2＝2，故B正确；cos〈a，a＋b〉＝＝，〈a，a＋b〉∈(0，π)， ∴〈a，a＋b〉＝，故C错误；向量a＋b在a上的投影为·＝2a，故D正确． 答案　BD 12．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是(　　) A．若＝＋，则点M是边BC的中点 B．若＝2－，则点M在边BC的延长线上 C．若＝－－，则点M是△ABC的重心 D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的 解析　A.＝＋⇒－＝－，即＝，则点M是边BC的中点，故A正确；B.＝2－，则点M在边CB的延长线上，所以B错误．C.如图，设BC中点D，则＝－－＝＋＝2，由重心性质可知C成立． D.＝x＋y，且x＋y＝⇒2＝2x＋2y，2x＋2y＝1，设＝2， 所以＝2x＋2y，2x＋2y＝1，可知B，C，D三点共线，所以△MBC的面积是△ABC面积的，故D正确． 答案　ACD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．(2021·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝________. 解析　利用向量的坐标运算法则求得向量c的坐标，利用向量的数量积为零求得k的值 ∵a＝(3,1)，b＝(1,0)，∴c＝a＋kb＝(3＋k,1)， ∵a⊥c，∴a·c＝3(3＋k)＋1×1＝0， 解得k＝－，故答案为－. 答案　－ 14．(2020·全国卷Ⅰ)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________. 解析　因为a，b为单位向量，所以|a|＝|b|＝1 所以|a＋b|＝＝＝＝1，解得2a·b＝－1. 所以|a－b|＝＝＝. 答案　 15．(2023·沭阳模拟)如图，正八边形ABCDEFGH，其外接圆O半径为1.则·＝________. 解析　易得，的夹角为，再由图可得＝－，·＝·＝·－2＝1×1×－1＝－1. 答案　－1 16．如图，在△ABC中，AD＝2DB，AE＝EC，BE与CD相交于点P，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y＝________. 解析　由题可知＝＋＝＋λ＝＋λ(－) ＝＋λ(－－) ＝＋λ， 又＝＋＝＋μ＝＋μ(－) ＝＋μ ＝μ＋， 所以可得 解得λ＝，μ＝，故＝＋， 所以x＋y＝. 答案　 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)在平面直角坐标系中，已知a＝(1，－2)，b＝(3,4)． (1)若(3a－b)∥(a＋kb)，求实数k的值； (2)若⊥b，求实数t的值． 解析　(1)因为a＝(1，－2)，b＝(3,4)． 所以3a－b＝3(1，－2)－(3,4)＝(0，－10)，a＋kb＝(1，－2)＋k(3,4)＝(3k＋1,4k－2)， 因为(3a－b)∥(a＋kb)，所以－10(3k＋1)＝0， 解得k＝－. (2)a－tb＝(1，－2)－t(3,4)＝(1－3t，－2－4t)，因为(a－tb)⊥b，所以(a－tb)·b＝3×(1－3t)＋4×(－2－4t)＝－25t－5＝0，解得t＝－. 18．(12分)已知向量e1，e2，且|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝. (1)求证：(2e1－e2)⊥e2； (2)若m＝λe1＋e2，n＝3e1－2e2，且|m|＝|n|，求λ的值． (1)证明　因为|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝，所以(2e1－e2)·e2＝2e1·e2－e ＝2|e1||e2|cos－|e2|2＝2×1×1×－12＝0，所以(2e1－e2)⊥e2. (2)解析　由|m|＝|n|得(λe1＋e2)2＝(3e1－2e2)2， 即(λ2－9)e＋(2λ＋12)e1·e2－3e＝0. 因为|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝， 所以e＝e＝1，e1·e2＝1×1×cos＝， 所以(λ2－9)×1＋(2λ＋12)×－3×1＝0， 即λ2＋λ－6＝0.所以λ＝2或λ＝－3. 19．(12分)在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)． (1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值． 解析　(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)， 所以|＋|＝2，|－|＝4，故所求的两条对角线的长分别为4，2. (2)由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．由(－t)·＝0，得(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0， 即5t＝－11，所以t＝－. 20．(12分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线． (1)求实数λ的值； (2)若e1＝(2,1)，e2＝(2，－2)，求的坐标； (3)已知点D(3,5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 解析　(1)＝＋＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2. 因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得＝k，即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2. 因为e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，所以解得k＝－，λ＝－. (2)＝＋＝－3e1－e2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)． (3)因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以＝.设A(x，y)， 则＝(3－x,5－y)．因为＝(－7，－2)， 所以解得 即点A的坐标为(10,7)． 21．(12分)如图，＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)． (1)若∥，求x与y之间的关系式； (2)若在(1)的条件下，又有⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积． 解析　(1)因为＝＋＋ ＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)， 所以＝－＝(－x－4,2－y)． 又因为∥，＝(x，y)， 所以x(2－y)－y(－x－4)＝0，即x＋2y＝0. (2)因为＝＋＝(6,1)＋(x，y)＝(x＋6，y＋1)，＝＋＝(x，y)＋(－2，－3)＝(x－2，y－3)，且⊥，所以·＝0， 即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0. 又由(1)的结论x＋2y＝0， 所以(6－2y)(－2y－2)＋(y＋1)(y－3)＝0. 化简，得y2－2y－3＝0，所以y＝3，或y＝－1. 当y＝3时，x＝－6.于是有 ＝(－6,3)，＝(0,4)，＝(－8,0)． 所以||＝4，||＝8. 所以S四边形ABCD＝||||＝16； 当y＝－1时，x＝2.于是有 ＝(2，－1)，＝(8,0)，＝(0，－4)． 所以||＝8，||＝4. 所以S四边形ABCD＝||||＝16. 所以或S四边形ABCD＝16. 22．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，A(6,0)，C(1，)，点M满足＝，点P在线段BC上运动(包括端点)，如图． (1)求∠OCM的余弦值； (2)是否存在实数λ，使(－λ)⊥，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由． 解析　(1)由题意可得＝(6,0)，＝(1，)，＝＝(3,0)，＝(2，－)，＝(－1，－)，所以cos∠OCM＝cos〈，〉＝＝. (2)设P(t，)，其中1≤t≤5，λ＝(λt，λ)， －λ＝(6－λt，－λ)，＝(2，－)， 若(－λ)⊥，则(－λ)·＝0. 即12－2λt＋3λ＝0⇒(2t－3)λ＝12， 若t＝，则λ不存在，若t≠，则λ＝， 因为t∈∪， 故λ∈(－∞，－12]∪. 学科网（北京）股份有限公司 $$