11.3 余弦定理、正弦定理的应用 (Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．两座灯塔A，B与海洋观测站C的距离分别为a n mile，2a n mile，灯塔A在观测站的北偏东35°的方向上，灯塔B在观测站的南偏东25°的方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　) A．3a海里　　　　　　　 B．a海里 C．a海里 D．a海里 解析　根据题意，作出图形(图略)得 AB＝ ＝a(n mile)． 答案　B 2．如图所示，为测一棵树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为(　　) A．30(1＋)m B．15(2＋)m C．15(1＋2)m D．15(1＋)m 解析　由正弦定理可得＝， 故PB＝＝. 而树高h＝PBsin 45°＝＝30(1＋)(m)． 答案　A 3．如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC＝(　　) A．240(－1)m B．180(－1)m C．120(－1)m D．30(＋1)m 解析　∵sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝， ∴AB＝＝60(－)(m)． 在△ABC中，∠ACB＝30°，∠BAC＝45°， 由正弦定理，得＝， ∴BC＝＝2×60(－)× ＝120(－1)(m)． 答案　C 4．如图，某交警队为了了解山底一段水平公路上行驶车辆的车速情况，现派交警进行测量，交警小明在山顶A处观测到，一辆汽车在这段水平公路上沿直线匀速行驶，交警小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°，若山高AD＝100 m，汽车从B点C点历时14 s，则这辆汽车的速度为________ m/s. 解析　分析知∠ABD＝30°，∠ACD＝45°， ∴在△ABD和△ACD中，AB＝200，AC＝100， ∴在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝100 000，即BC＝100， ∴这辆汽车的速度为＝＝(m/s)． 答案　 5．如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m. 解析　根据题图，AC＝100 m. 在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理，得 ＝⇒AM＝100 m. 在△AMN中，＝sin 60°， ∴MN＝100×＝150(m)． 答案　150 6．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12海里的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10海里的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14海里的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需要的时间和角α的正弦值． 解析　如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇， 则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°， 解得x＝2.故AC＝28，BC＝20. 根据正弦定理得＝， 解得sin α＝＝. [关键能力·综合提升] 7．如图所示，有一垂直于地面的建筑物OP，为了测量它的高度，在地面上选一长度为40 m的基线AB，若在点A处测得点P的仰角为30°，在点B处测得点P的仰角为45°，且∠AOB＝30°，则建筑物的高度为(　　) A．20 m B．20 m C．20 m D．40 m 解析　设建筑物的高度为h m. 依题意，可得PO⊥OA，PO⊥OB，∠PBO＝45°， ∠PAO＝30°， 所以OB＝OP＝h m，OA＝＝h m. 由余弦定理，可得 AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos ∠AOB， 即1 600＝3h2＋h2－3h2，解得h＝40， 所以建筑物的高度为40 m. 答案　D 8．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是(　　) A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m 解析　设水柱的高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h.根据余弦定理，得(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，解得h＝50，故水柱的高度是50 m. 答案　A 9．某国投资建设了一个深水港码头，如图，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝60 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝120 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝150 m，则cos∠DEF＝________. 解析　如图所示，作DM∥AC交BE于N， 交CF于M，作FH∥AC交BE于H. 由题中所给数据得： DF＝＝＝10(m)， DE＝＝＝100(m)， EF＝＝＝130(m)． 在△DEF中，由余弦定理得： cos∠DEF＝ ＝＝－. 答案　－ 10．如图，某海轮每小时60海里的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°方向，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°方向，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离． 解析　由题意知AB＝60×＝40(海里)，∠BAP＝180°－60°＝120°， ∠ABP＝30°，所以∠APB＝30°， AP＝AB＝40(海里)， 在△ABP中，由余弦定理，得BP2＝AB2＋AP2－2AP·AB·cos 120°＝402＋402－2×40×40×＝402×3， 所以BP＝40(海里)． 又∠PBC＝90°，BC＝60×＝80， 所以PC2＝BP2＋BC2＝(40)2＋802＝11 200， 所以PC＝40(海里)， 即P，C间的距离为40海里． [核心素养·探索创新] 11．游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A处沿直线步行到C处；另一种是先从A处沿索道乘缆车到B处，然后从B处沿直线步行到C处，现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A处乘缆车到B处，在B处停留1 min后再从B处匀速步行到C处．假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝. (1)求索道AB的长． (2)乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 解析　(1)在△ABC中， 因为cos A＝，cos C＝， 所以sin A＝，sin C＝， 从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C) ＝sin Acos C＋cos Asin C ＝×＋×＝. 由正弦定理，得 AB＝·sin C＝×＝1 040(m)． (2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d m，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)． 由于0≤t≤，即0≤t≤8， 故当t＝时，甲、乙两游客距离最短． (3)由正弦定理，得BC＝·sin A＝×＝500(m)． 乙从B处出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550 m，还需要走710 m才能到达C. 设乙步行的速度为v m/min， 由题意得≤3，即－3≤－≤3，解得≤v≤， 所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内. 学科网（北京）股份有限公司 $$