9.3.2 第2课时 向量数量积的坐标表示 (Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝(　　) A．－12　 B．－6　　　 C．6　　　 D．12 解析　2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0， 所以10＋2－k＝0，解得k＝12. 答案　D 2．(多选题)设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论中不正确的是(　　) A．|a|＝|b| B．a·b＝ C．(a－b)⊥b D．a∥b 解析　因为a＝(2,0)，b(1,1)， 所以|a|＝2，|b|＝，故|a|≠|b|，A错误． a·b＝(2,0)·(1,1)＝2×1＋0×1＝2，故B错误；因为a－b＝(1，－1)， 所以(a－b)·b＝(1，－1)·(1,1)＝0， 所以(a－b)⊥b，故C正确．因为2×1－0×1≠0，所以a与b不共线，故D错误． 答案　ABD 3．(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝，b＝.若⊥，则(　　) A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 解析　因为a＝，b＝，所以a＋λb＝，a＋μb＝， 由⊥可得， ·(a＋μb)＝0， 即＋＝0，整理得λμ＝－1.故选D. 答案　D 4．设向量a与b的夹角为θ，且a＝(3,3)，2b－a＝(－1，－1)，则cos θ＝________. 解析　b＝a＋(－1，－1)＝(1,1)，a·b＝6. 又|a|＝3，|b|＝，所以cos θ＝＝＝1. 答案　1 5．(2021·全国卷Ⅰ)已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________. 解析　由题意得(a－λb)·b＝0，即15－25λ＝0.解得λ＝. 答案　 6．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)． (1)求a－b及|a－b|； (2)若ka＋b与a－b垂直，求实数k的值． 解析　(1)a－b＝(4,0)，|a－b|＝＝4. (2)ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－b＝(4,0)， 因为ka＋b与a－b垂直， 所以(ka＋b)·(a－b)＝4(k－3)＋(2k＋2)·0＝0，解得k＝3. [关键能力·综合提升] 7．已知向量a＝(1,2)，b＝(m,3)，若a⊥(2a－b)，则a与b的夹角的余弦值为(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. 解析　因为a＝，b＝，所以2a－b＝(2－m,1)，因为a⊥， 所以a·(2a－b)＝1×(2－m)＋2×1＝0，解得m＝4，所以b＝(4,3)，设a与b夹角为θ，则 cos θ＝＝＝， 即a与b夹角的余弦值为，故选B. 答案　B 8．(多选题)已知向量a，b在平面直角坐标系中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为1，则下列选项中正确的是(　　) A．a·b＝6 B．向量b在向量a方向上的投影向量为a C．(a＋b)⊥(a－b) D．若c＝(－1,2)，则〈c，a－b〉＝π 解析　由图可得a＝(3,0)，b＝(2,2)，对于A，a·b＝3×2＝6，故A正确；对于B，向量b在向量a方向上的投影向量·＝(2,0)＝a，故B正确；对于C，a＋b＝(5,2)，a－b＝(1，－2)，(a＋b)·(a－b)＝5×1＋2×(－2)＝1≠0，故C错误；对于D，因为c＝(－1,2)，a－b＝(1，－2)，所以c＝－(a－b)，故〈c，a－b〉＝π，故D正确，故选ABD. 答案　ABD 9．已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值为________. 解析　法一(定义法)　如图，根据题意可得△ABC为直角三角形，且B＝，cos A＝，cos C＝， 所以·＋·＋· ＝·＋· ＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A) ＝－20cos C－15cos A ＝－20×－15× ＝－25. 法二(坐标法)　如图，建立平面直角坐标系， 则A(3,0)，B(0,0)，C(0,4)． 所以＝(－3,0)，＝(0,4)，＝(3，－4)． 所以·＝－3×0＋0×4＝0， ·＝0×3＋4×(－4)＝－16， ·＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9. 所以·＋·＋·＝0－16－9＝－25. 法三(转化法)　因为||＝3，||＝4，||＝5， 所以AB⊥BC，所以·＝0， 所以·＋·＋·＝·(＋)＝·＝－||2＝－25. 答案　－25 10．已知向量a＝(1，)，b＝(0,1＋t2)，则当t∈[－，2]时，的取值范围是________. 解析　a－t＝(1，)－t ＝(1，)－(0，t)＝(1，－t)． ∴＝， ∴当t＝时，最小＝1. 当t＝－时，最大＝＝. 故所求取值范围为[1, ]． 答案　[1，] [核心素养·探索创新] 11．如图，在△ABC中，·＝0，||＝8，||＝6，l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D，E为l上异于D的任意一点． (1)求·的值； (2)判断·的值是否为一个常数，并说明理由． 解析　(1)以点D为坐标原点，BC所在直线为x轴，直线l为y轴建立平面直角坐标系，由题意易知||＝10， 则D(0,0)，B( －5,0)，C(5,0)，A， 此时＝，＝(－10,0)， 所以·＝－×(－10)＋×0＝14. (2)是一个常数．理由如下：设点E的坐标为(0，y)(y≠0)，此时＝， 所以·＝－×(－10)＋×0＝14，为常数，故·的值是一个常数． 学科网（北京）股份有限公司 $$