9.3.1 平面向量基本定理 (Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)下图为正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是(　　) A.＝ B.－＝ C.＋＝ D.和能构成一组基底 解析　对于A选项，＝－，A选项错误；对于B选项，－＝－＝，B选项正确；对于C选项，由于八边形ABCDEFGH为正八边形，故∠DOB＝，且||＝ ||，故＋＝，所以选项C正确；对于D选项，由于和不共线，故和能构成一组基底，所以D正确，故选BCD. 答案　BCD 2．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则＝(　　) A．2－　　　 B．－＋2 C.－ D．－＋ 解析　∵2＋＝0， ∴2(－)＋－＝0， 即＝2－. 答案　A 3．如图，在△ABC中，＝，＝3，若＝a，＝b，则＝(　　) A．a＋b B．－a＋b C．a＋b D．－a＋b 解析　因为＝3， 所以－＝3(－)． 所以4＝＋3. 因为＝，所以＝， 所以4＝＋， 所以4＝－＋(－)＝－2＋， 所以＝－＋， 所以＝－a＋b. 答案　B 4．设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1＋me2，＝e1＋3e2，若A，B，C三点共线，则实数m＝________. 解析　∵A，B，C三点共线， ∴与共线， ∴存在实数λ，使＝λ成立， 即2e1＋me2＝λ(e1＋3e2)， 即(2－λ)e1＋(m－3λ)e2＝0. ∵e1，e2是两个不共线的向量，∴ ∴λ＝2，m＝6，故m的值为6. 答案　6 5．已知向量a在基底e1，e2下可表示为a＝2e1＋3e2，若a在基底e1＋e2，e1－e2下可表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝______，μ＝______. 解析　由条件可知解得 答案　　－ 6．如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将，，表示出来． 解析　＝－＝－＝a－b， ＝－＝－－ ＝－b－(a－b)＝－a＋b. ＝－＝－(＋)＝(a＋b)． [关键能力·综合提升] 7．(多选题)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，则下列结论不正确的是(　　) A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向 C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向 解析　∵c∥d，∴c＝λd， 即ka＋b＝λ(a－b)＝λa－λb. 又∵a，b不共线，∴∴ ∴c＝－d，∴c与d反向．故选A，B，C. 答案　ABC 8．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足＝，则点P一定为(　　) A．AB边中线的中点 B．AB边中线的三等分点(非重心) C．△ABC的重心 D．AB边的中点 解析　∵O是△ABC的重心，∴＋＋＝0，∴＝＝，∴点P是线段OC的中点，即AB边中线的三等分点(非重心)． 答案　B 9．已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，＝y，＝x，其中x，y∈R，且均不为0.若∥，则＝________. 解析　因为＝－＝x－y，由∥，可设＝λ，即x－y＝λ(－)＝λ＝－＋λ， 所以则＝. 答案　 10．如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，CA，AB上的点，且CD＝BC，EC＝AC，AF＝AB.设P为四边形AEDF内一点(P点不在边界上)．若＝－＋λ，则实数λ的取值范围为________. 解析　取BD中点M，过M作MH∥DE分别交DF，AC于点G，H，连接FH，延长FH，交DE的延长线于点K，可得FK∥BC，过G作GN∥BC，交DE于点N， 如图，则由＝－＋λ＝＋λ可知，P点在线段GH上运动(不包括端点)．当P与G重合时，根据＝t＝t(－)＝t＝t(＋)－t＝t－t＝－t＋t＝－＋λ，可知λ＝，当P与H重合时，由P，C，E共线可知－＋λ＝1，即λ＝，结合图形可知，λ∈. 答案　 [核心素养·探索创新] 11．如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，BM＝BC，AN＝AB. (1)试用向量a，b来表示，； (2)AM交DN于O点，求AO∶OM的值． 解析　(1)因为AN＝AB，所以＝＝a，所以＝－＝a－b. 因为BM＝BC， 所以＝＝＝b， 所以＝＋＝a＋b. (2)因为A，O，M三点共线，所以∥， 设＝λ，则＝－＝λ－＝λ－b＝λa＋b 因为D，O，N三点共线， 所以∥，存在实数μ使＝μ， 则λa＋b＝μ. 由于向量a，b不共线， 则解得 所以＝，＝， 所以AO∶OM＝3∶11. 学科网（北京）股份有限公司 $$