9.2.3 向量的数量积 (Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．(2021·浙江卷)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 解析　考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系．若a·c＝b·c，则(a－b)·c＝0，推不出a＝b；若a＝b，则a·c＝b·c必成立，故“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件，故选B. 答案　B 2．(2023·福州高一期中)P是△ABC所在平面上一点，满足|－|－|＋－2|＝0，则△ABC的形状是(　　) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 解析　由|－|－|＋－2|＝0， 可得||＝|＋－2|， 即||＝|＋|， 即|－|＝|＋|， 等式|－|＝|＋|两边平方，化简得·＝0，∴⊥，因此，△ABC是直角三角形，故选B. 答案　B 3．已知|a|＝8，与a同向的单位向量为e，|b|＝4，a，b的夹角为120°，则向量b在向量a方向上的投影向量为(　　) A．4e　 B．－4e　　　 C．2e　　　 D．－2e 解析　向量b在向量a方向上的投影向量为|b|cos 120°e＝4×cos 120°e＝－2e. 答案　D 4．若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是北偏东60°方向，且|a|＝|b|＝1，则(－3a)·(a＋b)＝________. 解析　设a与b的夹角为θ，则θ＝120°，所以(－3a)·(a＋b)＝－3|a|2－3a·b＝－3－3×1×1×cos 120°＝－3＋3×＝－. 答案　－ 5．已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，则当m＝________时，c与d垂直． 解析　由已知得a·b＝3×2×cos 60°＝3. 由c⊥d，知c·d＝0， 即c·d＝· ＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2 ＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0， 所以m＝，即当m＝时，c与d垂直． 答案　 6．已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，求β的余弦值． 解析　因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a|＝3， b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×cos α＋1＝8， 所以|b|＝2， a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e－9e1·e2＋2e＝9－9×1×1×＋2＝8， 所以cos β＝＝＝. [关键能力·综合提升] 7．(多选题)已知向量a，b满足a·b＝1，|b|＝1，且|a＋b|＝，则(　　) A．|a|＝2 B．a⊥(a－b) C．a与b的夹角为 D．a与b的夹角为 解析　由已知可得，2＝a2＋2a·b＋b2＝7，又a·b＝1，|b|＝1，所以a2＝4，所以|a|＝2.对于A项，因为|a|＝2，故A正确；对于B项，因为a·(a－b)＝a2－a·b＝3≠0，故B项错误；因为cos 〈a，b〉＝＝，所以a与b的夹角为，故C正确，D错误，故选AC. 答案　AC 8．(多选题)已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，下列命题正确的是(　　) A．|a＋b|>1⇔θ∈ B．|a＋b|>1⇔θ∈ C．|a－b|>1⇔θ∈ D．|a－b|>1⇔θ∈ 解析　因为|a＋b|>1，即|a|2＋2a·b＋|b|2>1，可得a·b>－，即|a||b|cos θ＝cos θ>－，故θ∈，所以A正确，B错误．因为|a－b|>1，即|a|2－2a·b＋|b|2>1，可得a·b<，即|a||b|cos θ＝cos θ<，故θ∈，所以D正确，C错误．故选A、D. 答案　AD 9．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的最小值为________，最大值为________. 解析　∵b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a||b|cos θ－|b|2＝0，∴|b|＝|a|cos θ＝cos θ(θ为a与b的夹角)，θ∈[0，π]，∴0≤|b|≤1. 答案　0　1 10．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，＝2，则·＝______. 解析　由＝2， 所以＝，＝－， 故·＝(＋)· ＝[＋(－)]·(－) ＝·(－) ＝·＋2－2 ＝||||cos 120°＋||2－||2 ＝×2×1×＋×1－×22＝－. 答案　－ [核心素养·探索创新] 11．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，＝2. (1)若四边形ABCD是矩形，求·的值； (2)若四边形ABCD是平行四边形，且·＝6，求与夹角的余弦值． 解析　(1)因为四边形ABCD是矩形， 所以·＝0，由＝2，得＝，＝＝－. 所以·＝(＋)·(＋) ＝· ＝2－·－2 ＝36－×81＝18. (2)由题意，＝＋＝＋ ＝＋， ＝＋＝＋＝－， 所以·＝· ＝2－·－2 ＝36－·－18＝18－·. 又·＝6，所以18－·＝6， 所以·＝36. 设与的夹角为θ， 又·＝||·||cos θ＝9×6×cos θ＝54 cos θ ， 所以54 cos θ＝36，即cos θ＝. 所以与夹角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$