9.2.2 向量的数乘 (Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有(　　) A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a| C．a与λ2a方向相同 D．|－2λa|＝2|λ|·|a| 解析　当λ＝－1时，a与－λa同向，故A不对； 当λ＝－时，|－λa|<|a|，故B不对； 当λ≠0时，a与λ2a同向，故C对； 显然D对，故选C，D. 答案　CD 2．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，AC与BD相交于点O，点M在AB上，且＋3＝0，则向量＝(　　) A．－a－b　　　 B．a＋b C．－a－b D．a＋b 解析　如图，∵＋3＝0，∴＝－3， ∴＝. 又＝＋， ∴＝＋＝－－＋＝－－＝－a－b.故选A. 答案　A 3．设a，b不共线，＝a＋kb，＝ma＋b(k，m∈R)，则A，B，C三点共线时有(　　) A．k＝m B．km－1＝0 C．km＋1＝0 D．k＋m＝0 解析　若A，B，C三点共线，则与共线， 所以存在唯一实数λ，使＝λ，即a＋kb＝λ(ma＋b)，即a＋kb＝λma＋λb， 所以 所以km＝1，即km－1＝0. 答案　B 4．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝____________. 解析　由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0， 所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a. 答案　4b－3a 5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若 ＝2， ＝＋λ，则λ＝________. 解析　△ABC中，D是AB边上一点， ＝2，＝ ＋λ， ∴＝＋＝＋2，① ＝＋， ∴2＝2＋2＝2－2，② ①＋②得， 3＝＋2， ∴＝＋，∴λ＝. 答案　 6．已知两个非零向量a与b不共线，＝2a－b，＝a＋3b，＝ka＋5b. (1)若2－＋＝0，求k的值； (2)若A，B，C三点共线，求k的值． 解析　(1)因为2－＋＝2(2a－b)－a－3b＋ka＋5b＝(k＋3)a＝0，所以k＝－3. (2)＝－＝－a＋4b，＝－＝(k－2)a＋6b，又A，B，C三点共线，则存在λ∈R，使＝λ，即(k－2)a＋6b＝－λa＋4λb，所以解得k＝. [关键能力·综合提升] 7．在△ABC中，G为△ABC的重心，M为AC上一点，且满足＝3，则＝(　　) A．＋ B．－－ C．＋ D．－－ 解析　因为G为△ABC的重心，所以＝×(＋)＝(＋)．又＝3， 所以＝，所以＝＋＝－＋＝－－，故选B. 答案　B 8．(2023·山西高平市第一中学期中)O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 解析　∵－＝， ∴＝λ. 令＋＝，则是以A为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，即在∠BAC的平分线上， ∵＝λ，∴，共线， 故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选B.答案　B 9．如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________.(用a，b表示) 解析　＝＋＋＝－＋＋＝－－＋(＋)＝－b－a＋(a＋b)＝b－a＝(b－a)． 答案　(b－a) 10．如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若＝m＋n(m，n∈R)，则m－n＝________. 解析　直接利用向量共线定理，得＝3， 则＝＋＝＋3＝＋3(－)＝＋3－3， ＝－＋， 则m＝－，n＝， 那么m－n＝－－＝－2. 答案　－2 [核心素养·探索创新] 11．设，不共线，且＝a＋b(a，b∈R)． (1)若a＝，b＝，求证：A，B，C三点共线； (2)若A，B，C三点共线，则a＋b是否为定值？并说明理由． (1)证明　当a＝，b＝时， ＝＋， 所以(－)＝(－)，即2＝， 所以与共线，又与有公共点C， 所以A，B，C三点共线． (2)解析　a＋b为定值1，理由如下： 因为A，B，C三点共线，所以∥， 不妨设＝λ(λ∈R)， 所以－＝λ(－)， 即＝(1－λ)＋λ. 又＝a＋b，且，不共线， 则 所以a＋b＝1(定值). 学科网（北京）股份有限公司 $$