13.2.2 空间两条直线的位置关系(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

第13章　立体几何初步 13.2　基本图形位置关系 13.2.2　空间两条直线的位置关系 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 目 录 课前案 必备知识·自主学习 01 02 CONTENTS 课堂案 关键能力·互动探究 03 课后案 学业评价·层级训练 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 课前案 必备知识·自主学习 01 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 导学1 平行直线 平行 平行 相同 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 导学2 异面直线 任何一个平面内 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 不经过该点 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 0°<θ≤90° 直角 a⊥b 一个 无 任何一个平面 无 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 课堂案 关键能力·互动探究 02 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 点击进入Word 课后案 学业评价·层级训练 03 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 谢谢观看 返回目录 第13章　立体几何初步 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 学业标准 素养目标 1.掌握空间中两条直线的位置关系，理解空间直线平行性的传递性．(重点) 2.理解异面直线的相关概念并会判断两直线是否异面．(难点) 2.通过判断两直线间的位置关系，培养直观想象、逻辑推理核心素养. 1.通过学习异面直线的相关概念，培养数学抽象的核心素养. [教材梳理] 1.基本事实4 文字语言 图形语言 符号语言 平行于同一条直线的两条直线_____ eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b∥c))⇒a∥c 2．等角定理：如果空间中一个角的两边与另一个角的两边分别_____并且方向_____，那么这两个角相等． 1.异面直线 (1)定义：不同时在__________________的两条直线． (2)画法：为了表示异面直线a，b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托．如下图所示： (3)判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内_____________的直线是异面直线． 符号表示：若l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l，则直线AB与l是异面直线． (4)异面直线所成的角(或夹角) ①定义：已知a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a，b所成的角或夹角． ②异面直线所成的角θ的取值范围：_______________. ③异面直线互相垂直：若异面直线a和b所成的角是_____，则称异面直线a，b互相垂直，记作________. 2．空间中两条直线的位置关系 位置关系 特点 共面直线 相交 在同一平面内，有且只有_____公共点 平行 在同一平面内，___公共点 异面直线 不同在_______________内，___公共点 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)没有公共点的两条直线一定是异面直线．(　　) (2)两直线垂直，则这两条直线一定相交．(　　) (3)两直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行．(　　) (4)四个顶点不在同一平面内，且边长相等的四边形是不存在的．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(多选题)下列命题中正确的有(　　) A．如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等 C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补 D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行 答案　BD 3．若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′＝(　　) A．130°　　　　　 B．50° C．130°或50° D．不能确定 解析　根据等角定理，∠A′O′B′与∠AOB相等或互补， 即∠A′O′B′＝130°或∠A′O′B′＝50°. 答案　C 4．异面直线是指(　　) A．空间中两条不相交的直线 B．分别位于两个不同平面内的两条直线 C．平面内的一条直线与平面外的一条直线 D．不同在任何一个平面内的两条直线 解析　对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面．所以A应排除． 对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如图，就是相交的情况，所以B应排除． 对于C，如图中的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，所以C应排除．只有D符合定义． 答案　D 题型一　基本事实4的应用 [证明]　设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1， ∵E是AA1的中点， ∴EQeq \o(\s\do3(═),\s\up3(∥))A1D1. 又在矩形A1B1C1D1中，A1D1eq \o(\s\do3(═),\s\up3(∥))B1C1， ∴EQeq \o(\s\do3(═),\s\up3(∥))B1C1， ∴四边形EQC1B1为平行四边形， ∴B1Eeq \o(\s\do3(═),\s\up3(∥))C1Q. 又∵Q，F分别是矩形DD1C1C的两边DD1和CC1的中点， ∴QDeq \o(\s\do3(═),\s\up3(∥))C1F， ∴四边形DQC1F为平行四边形， ∴C1Qeq \o(\s\do3(═),\s\up3(∥))DF. 又∵B1Eeq \o(\s\do3(═),\s\up3(∥))C1Q，∴B1Eeq \o(\s\do3(═),\s\up3(∥))DF， ∴四边形B1EDF为平行四边形． 证明空间两条直线平行的方法 (1)平面几何法． 三角形中位线、平行四边形的性质等． (2)定义法． 用定义证明两条直线平行，要证明两个方面：①两条直线在同一平面内；②两条直线没有公共点． (3)基本事实4. [触类旁通] 1．已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，若eq \f(AE,AB)＝eq \f(AH,AD)＝eq \f(1,2)，eq \f(CF,CB)＝eq \f(CG,CD)＝eq \f(1,3)，则四边形EFGH形状为_______. 解析　如图，在△ABD中， 因为eq \f(AE,AB)＝eq \f(AH,AD)＝eq \f(1,2)， 所以EH∥BD且EH＝eq \f(1,2)BD． 在△BCD中， 因为eq \f(CF,CB)＝eq \f(CG,CD)＝eq \f(1,3)， 所以FG∥BD且FG＝eq \f(1,3)BD， 所以EH∥FG且EH>FG， 所以四边形EFGH为梯形． 答案　梯形 题型二　等角定理的应用 [证明]　连接EE1. ∵E1，E分别为A1D1，AD的中点， ∴A1E1eq \o(\s\do3(═),\s\up3(∥))AE. ∴四边形A1E1EA为平行四边形． ∴A1Aeq \o(\s\do3(═),\s\up3(∥))E1E. 又∵A1Aeq \o(\s\do3(═),\s\up3(∥))B1B， 由基本事实4可知， B1Beq \o(\s\do3(═),\s\up3(∥))E1E，∴四边形E1EBB1是平行四边形， ∴E1B1∥EB． 同理E1C1∥EC． 又∠C1E1B1与∠CEB两边的方向相同， ∴∠C1E1B1＝∠CEB． 证明两个角相等的方法 (1)利用等角定理． (2)利用三角形全等或相似. [触类旁通] 2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AD，AB，B1C1，C1D1的中点，求证：∠EA1F＝∠E1CF1. 证明　如图所示， 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，取A1B1的中点M，连接BM，F1M. 由题意，得BF＝A1M＝eq \f(1,2)AB．又BF∥A1M， ∴四边形A1FBM为平行四边形，∴A1F∥BM. 又F1，M分别为C1D1，A1B1的中点， ∴F1Meq \o(\s\do3(═),\s\up3(∥))C1B1. 而C1B1eq \o(\s\do3(═),\s\up3(∥))BC，∴F1Meq \o(\s\do3(═),\s\up3(∥))BC． ∴四边形F1MBC为平行四边形，∴MB∥F1C． 又BM∥A1F，∴A1F∥F1C． 同理可得A1E∥CE1. ∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行． 由图可知∠EA1F与∠E1CF1的两边方向都相反， ∴∠EA1F＝∠E1CF1. 题型三　异面直线所成的角(一题多变) (1)BE与CG所成的角； (2)FO与BD所成的角． [解析]　(1)如图，因为CG∥BF， 所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角 又在△BEF中，∠EBF＝45°， 所以BE与CG所成的角为45°. (2)连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形， 所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角． 连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF， 所以△AFH为等边三角形， 又知O为AH的中点， 所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°. [母题变式] 1．(变条件)在本例正方体中，若P是面EFGH的中心，其他条件不变，求OP和CD所成的角． 解析　连接EG，HF，则P为HF的中点， 连接AF，AH，OP∥AF，又CD∥AB， 所以∠BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角，由于△ABF是等腰直角三角形， 所以∠BAF＝45°，故OP与CD所成的角为45°. 2．(变条件、变问法)在本例正方体中，若M，N分别是BF，CG的中点，且AG和BN所成的角约为39.2°，求AM和BN所成的角． 解析　连接MG， 因为BCGF是正方形，所以BFeq \o(\s\do3(═),\s\up3(∥))CG， 因为M，N分别是BF，CG的中点， 所以BMeq \o(\s\do3(═),\s\up3(∥))NG，所以BNGM是平行四边形， 所以BN∥MG， 所以∠AGM(或其补角)是AG和BN所成的角，∠AMG(或其补角)是AM和BN所成的角， 因为AM＝MG，所以∠AGM＝∠MAG＝39.2°， 所以∠AMG＝101.6°，所以AM和BN所成的角为78.4°. [素养聚焦]　在求异面直线所成角的过程中，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养． 求异面直线所成角的步骤 (1)找或作——用平移法找(或作)出适合题设的角，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某空间图形，且对异面直线平移有困难时，可利用该空间图形的特殊点，将异面直线转化为相交直线． (2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角． (3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°，则θ为所求；若90°<θ<180°，则180°－θ为所求. [触类旁通] 3．(1)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　　) A．eq \f(π,2)　　　 B．eq \f(π,3)　　　 C．eq \f(π,4)　　　 D．eq \f(π,6) (2)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为_______. 解析　(1)如图，连接A1B，BC1，A1C1，易证四边形ABC1D1为平行四边形，所以AD1∥BC1，因此∠PBC1为异面直线PB与AD1所成的角．易知△A1BC1为等边三角形，所以∠A1BC1＝eq \f(π,3).在正方形A1B1C1D1中，因为P是B1D1的中点，所以P是A1C1的中点，所以∠PBC1＝eq \f(1,2)∠A1BC1＝eq \f(π,6)，故选D． (2)如图，连接BE，因为AB∥CD，所以AE与CD所成的角为∠EAB．在Rt△ABE中，设AB＝2，则BE＝eq \r(5)，则tan∠EAB＝eq \f(BE,AB)＝eq \f(\r(5),2)，所以异面直线AE与CD所成角的正切值为eq \f(\r(5),2). 答案　(1)D　(2)eq \f(\r(5),2) [缜密思维提能区]　　　　　　易错案例　　 忽略异面直线所成的角的范围而致错 [典例]　已知AB⊥BC，BC⊥CD，DE⊥AE，DE∥BC，且AB＝BC＝CD＝DE，异面直线AB与CD成60°角，求异面直线AD与BC所成的角． [错解]　连接AE，BE(如图1所示)． 图1 ∵DE∥BC，BC＝CD＝DE， BC⊥CD， ∴四边形BCDE为正方形． ∵AB⊥BC，AB＝BC，异面直线AB与CD成60°角， ∴∠ABE＝60°， ∴△ABE是正三角形． ∴AE＝AB＝BC＝DE， 又DE⊥AE，∴△ADE是等腰直角三角形， ∴∠ADE＝45°， ∴异面直线AD与BC所成的角的度数为45°. [正解]　①同错解．②连接AE，BE(如图2所示)． 图2 ∵DE∥BC，BC＝CD＝DE， BC⊥CD， ∴四边形BCDE是正方形．又AB⊥BC，AB＝BC，异面直线AB与CD成60°角． ∴AB＝BE，∠ABE＝120°. 设AB＝1，则AE＝eq \r(3). ∵DE⊥AE，∴在Rt△ADE中，∠ADE＝60°， 即异面直线AD与BC所成的角的度数为60°. 综上所述，异面直线AD与BC所成的角的度数为60°或45°. [纠错心得]　异面直线所成的角是两条相交直线所成的两对对顶角中较小的那一对对顶角．当已知两条直线所成的角而去推断两条相交直线所成的角时，依据定理，两者可能相等或者互补，所以我们应当考虑两种情况． 知识落实 技法强化 (1)基本事实等角定理. (2)两条直线的位置关系，异面直线及其夹角. (1)转化法. (2)异面直线判定方法及夹角范围eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))). $$