11.1 余弦定理 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

11.1　余弦定理 学业标准 素养目标 1.掌握并熟记证明余弦定理的向量方法，会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．(重点) 2.掌握余弦定理在实际问题中的应用．(难点) 1.通过学习运用余弦定理解三角形，培养数学运算核心素养. 2.通过借助余弦定理判断三角形的形状，培养逻辑推理核心素养. [教材梳理] 导学 余弦定理 1．余弦定理 文字 语言 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 符号 语言1 a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝a2＋c2－2accos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C 符号 语言2 cos A＝；cos B＝；cos C＝ 2．解三角形 (1)三角形的三个角和三条边叫作三角形的元素. (2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．(　　) (2)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．(　　) (3)在△ABC中，若a2＞b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．(　　) (4)在△ABC中，若a2＜b2＋c2，则△ABC一定为锐角三角形．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝5，c＝6，则cos B＝(　　) A．－　　　　　　 B． C．－ D． 解析　由余弦定理可得 cos B＝＝＝. 答案　D 3．在△ABC中，已知a＝，b＝2，c＝＋1，则A＝________. 解析　由余弦定理得 cos A＝＝＝， 又0°<A<180°，所以A＝60°. 答案　60° 4．已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则c＝____________. 解析　由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，所以c＝. 答案　 题型一　利用余弦定理解三角形(一题多变) 　(1)(2021·全国卷Ⅱ)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　) A．1　　　 B．　　　 C．　　　 D．3 (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a∶b∶c＝3∶5∶7，则此三角形中的最大角的大小为(　　) A．150° B．120° C．92° D．135° [解析]　(1)利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长． 设AB＝c，AC＝b，BC＝a， 结合余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB， 可得19＝a2＋4－2×a×2×cos 120°， 即a2＋2a－15＝0，解得a＝3(a＝－5舍去)， 故BC＝3.故选D. (2)∵a∶b∶c＝3∶5∶7，设a＝3x，b＝5x，c＝7x，x>0，∴c最大，即C最大， ∴cos C＝＝＝－， 又0°<C<180°， ∴C＝120°，故选B. [答案]　(1)D　(2)B [母题变式] (变条件)将本例(1)中的条件“a＝，c＝2，cos A＝”改为“a＝2，c＝2，cos A＝”，求b为何值？ 解析　由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccos A， 所以22＝b2＋(2)2－2×b×2×， 即b2－6b＋8＝0， 解得b＝2或b＝4. [素养聚焦]　在运用余弦定理解三角形的过程中，突出培养数学运算等核心素养． 1．解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤 (1)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长． (2)再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角. 2．解决“已知三角形的三边”解三角形的方法 先利用余弦定理的第二种形式求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的第二种形式求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角． [触类旁通] 1．在△ABC中，已知sin A＝，cos A＋cos B<0，a＝3，b＝5，则c＝________. 解析　在△ABC中，a＝3，b＝5， 由a>b，得A>B， 因为cos A＋cos B<0，所以角A为钝角， 则cos A＝－， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A， 即c2＋8c－20＝0，解得c＝2或c＝－10(舍去)， 故答案为2. 答案　2 题型二　三角形形状的判断 　在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosB· cos C，试判断△ABC的形状． [解析]　将已知等式变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccos Bcos C．由余弦定理并整理，得 b2＋c2－b22－c22＝2bc××， 所以b2＋c2＝＝＝a2. 所以A＝90°.所以△ABC是直角三角形． 判断三角形的形状往往和三角恒等变换或代数变形分不开．此题利用余弦定理将角化边，得出三边之间的关系，从而判断出三角形形状. [触类旁通] 2．满足条件a＝4，b＝3，A＝45°的△ABC的个数为(　　) A．一个 B．两个 C．不存在 D．无法判断 解析　因为a2＝b2＋c2－2bccos A，即16＝18＋c2－6c，解得c＝3＋或c＝3－，所以满足条件的△ABC有两个．故选B. 答案　B 题型三　利用余弦定理解决实际应用问题 　如图，为了测量河对岸的塔高AB，设计了不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200 m，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，则塔高AB＝________m. [解析]　在Rt△ABC中，∠ACB＝45°， 设AB＝h，则BC＝h， 在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，所以BD＝h， 在△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝200 m， 由余弦定理可得40 000＝h2＋3h2－2h·h·， 所以h＝200(m)，所以塔高AB＝200 (m)． [答案]　200 此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某个量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题. [触类旁通] 3．如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m,50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为(　　) A．30°　 B．45°　　　 C．60°　　　 D．75° 解析　依题意可得AD＝20(m)， AC＝30(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中， 由余弦定理得cos∠CAD＝ ＝＝＝， 又0°<∠CAD<180°， 所以∠CAD＝45°， 所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°. 答案　B [缜密思维提能区]　　　　　　　　　　　　　　易错案例　　 由余弦定理求参数的值或范围 [典例]　设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围． [解析]　∵2a＋1，a,2a－1是三角形的三边， ∴解得a>，此时2a＋1最大． 要使2a＋1，a,2a－1表示三角形的三边， 还需a＋(2a－1)>2a＋1， 解得a>2. 设最长边2a＋1所对的角为θ，则 cos θ＝＝<0，解得<a<8. 综上，a的取值范围是2<a<8. [纠错心得]　解题时，忽略三角形的三边必须满足两边之和大于第三边，而使某些参数的取值范围变大．本题实质上是求2a＋1，a,2a－1能构成钝角三角形三边，除了要保证三边长均为正数外，还应满足两边之和大于第三边． 解题时要注意隐含条件的应用． 知识落实 技法强化 (1)余弦定理及证明. (2)余弦定理的应用. (1)转化法，分类讨论法. (2)若已知三边成比例，可以设而不求. 学科网（北京）股份有限公司 $$