10.3 几个三角恒等式(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

第10章　三角恒等变换 10.3　几个三角恒等式 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 目 录 课前案 必备知识·自主学习 01 02 CONTENTS 课堂案 关键能力·互动探究 03 课后案 学业评价·层级训练 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 课前案 必备知识·自主学习 01 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 导学1 积化和差公式 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 导学2 和差化积公式 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 导学3 半角公式 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 课堂案 关键能力·互动探究 02 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 点击进入Word 课后案 学业评价·层级训练 03 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 谢谢观看 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 学业标准 素养目标 1.通过积化和差、和差化积、半角公式的推导，体会三角恒等变换的基本思想方法．(重点) 2.能利用三角恒等变换的技巧并能进行三角函数式的化简、求值以及证明．(难点、易混点) 1.通过进行三角函数式的化简、求值和三角恒等式的证明，培养数学运算和逻辑推理等核心素养. 2.通过三角恒等变换的实际应用，培养数学建模核心素养. eq \f(1,2)[cos(α＋β)＋cos(α－β)] －eq \f(1,2)[cos(α＋β)－cos(α－β)] [教材梳理] sin αcos β＝_________________________； cos αsin β＝_________________________； cos αcos β＝_________________________； sin αsin β＝__________________________. eq \f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)] eq \f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)] －2sineq \f(α＋β,2)sineq \f(α－β,2) sin α＋sin β＝_______________； sin α－sin β＝_______________； cos α＋cos β＝_______________； cos α－cos β＝_________________________. 2sineq \f(α＋β,2)coseq \f(α－β,2) 2coseq \f(α＋β,2)sineq \f(α－β,2) 2coseq \f(α＋β,2)coseq \f(α－β,2) sineq \f(α,2)＝_____________； cos eq \f(α,2)＝_____________； tan eq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－cos α,1＋cos α))＝eq \f(sin α,1＋cos α)＝_______________. ±eq \r(\f(1－cos α,2)) ±eq \r(\f(1＋cos α,2)) eq \f(1－cos α,sin α) [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ.(　　) (2)cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ.(　　) (3)sin 3θ·sin 5θ＝－eq \f(1,2)(cos 8θ＋cos 2θ)．(　　) (4)sin 15°＝±eq \r(\f(1－cos 30°,2)).(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知180°<α<360°，则cos eq \f(α,2)＝(　　) A．－eq \r(\f(1－cos α,2))　　　　　　　　 B．eq \r(\f(1－cos α,2)) C．－eq \r(\f(1＋cos α,2)) D．eq \r(\f(1＋cos α,2)) 解析　∵180°<α<360°，∴90°<eq \f(α,2)<180°， ∴cos eq \f(α,2)<0，故应选C. 答案　C 3．(多选题)下列等式不正确的是(　　) A．sin x＋sin y＝2sin eq \f(x＋y,2)sineq \f(x－y,2) B．sin x－sin y＝2coseq \f(x＋y,2)coseq \f(x－y,2) C．cos x＋cos y＝2coseq \f(x＋y,2)coseq \f(x－y,2) D．cos x－cos y＝2sineq \f(x＋y,2)sineq \f(x－y,2) 解析　由和差化积公式知C正确． 答案　ABD 4．求值：eq \f(sin 10°＋cos 70°,sin 80°＋cos 20°)＝_______. 解析　原式＝eq \f(cos 80°＋cos 70°,sin 80°＋sin 70°)＝eq \f(2cos 75°cos 5°,2sin 75°cos 5°)＝eq \f(cos 75°,sin 75°)＝eq \f(1,tan 75°)＝eq \f(1,2＋\r(3))＝2－eq \r(3). 答案　2－eq \r(3) 题型一　积化和差问题 (2)求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°. [解析]　(1)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50° ＝eq \f(1,2)(sin 90°－sin 50°)－eq \f(1,2)(cos 60°－cos 40°) ＝eq \f(1,4)－eq \f(1,2)sin 50°＋eq \f(1,2)cos 40° ＝eq \f(1,4)－eq \f(1,2)sin 50°＋eq \f(1,2)sin 50°＝eq \f(1,4). (2)原式＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70° ＝eq \f(\r(3),2)cos 10°cos 50°cos 70° ＝eq \f(\r(3),2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos 60°＋cos 40°·cos 70°)) ＝eq \f(\r(3),8)cos 70°＋eq \f(\r(3),4)cos 40°cos 70° ＝eq \f(\r(3),8)cos 70°＋eq \f(\r(3),8)(cos 110°＋cos 30°) ＝eq \f(\r(3),8)cos 70°＋eq \f(\r(3),8)cos 110°＋eq \f(3,16)＝eq \f(3,16). 积化和差公式的功能与关键 (1)功能：①把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式)． ②将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质． (2)关键：正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数. [触类旁通] 1．求sin220°＋cos250°＋sin 20°·cos 50°的值． 解析　原式＝eq \f(1－cos40°,2)＋eq \f(1＋cos100°,2)＋eq \f(1,2)(sin 70°－sin 30°) ＝1＋eq \f(1,2)(cos 100°－cos 40°)＋eq \f(1,2)sin 70°－eq \f(1,4) ＝eq \f(3,4)＋eq \f(1,2)(－2sin 70°sin 30°)＋eq \f(1,2)sin 70° ＝eq \f(3,4)－eq \f(1,2)sin 70°＋eq \f(1,2)sin 70°＝eq \f(3,4). 题型二　和差化积问题(一题多变) f(1,2)INCLUDEPICTURE "教师WORD/例2.tif" \* MERGEFORMAT" 　已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－eq \f(1,3)，求sin(α＋β)的值． [解析]　∵cos α－cos β＝eq \f(1,2)， ∴－2sineq \f(α＋β,2)sineq \f(α－β,2)＝eq \f(1,2).① 又∵sin α－sin β＝－eq \f(1,3)， ∴2coseq \f(α＋β,2)sineq \f(α－β,2)＝－eq \f(1,3).② ∵sineq \f(α－β,2)≠0， ∴由①②，得－taneq \f(α＋β,2)＝－eq \f(3,2)，即taneq \f(α＋β,2)＝eq \f(3,2). ∴sin(α＋β)＝eq \f(2sin\f(α＋β,2)cos\f(α＋β,2),sin2\f(α＋β,2)＋cos2\f(α＋β,2)) ＝eq \f(2tan\f(α＋β,2),1＋tan2\f(α＋β,2))＝eq \f(2×\f(3,2),1＋\f(9,4))＝eq \f(12,13). [母题变式] 1．(变结论)本例中条件不变，试求cos(α＋β)的值． 解析　因为cos α－cos β＝eq \f(1,2)， 所以－2sin eq \f(α＋β,2)sin eq \f(α－β,2)＝eq \f(1,2).① 又因为sin α－sin β＝－eq \f(1,3)， 所以2cos eq \f(α＋β,2)sin eq \f(α－β,2)＝－eq \f(1,3).② 因为sin eq \f(α－β,2)≠0， 所以由①②，得－tan eq \f(α＋β,2)＝－eq \f(3,2)， 即tan eq \f(α＋β,2)＝eq \f(3,2). 所以cos (α＋β)＝eq \f(cos2\f(α＋β,2)－sin2\f(α＋β,2),sin2\f(α＋β,2)＋cos2\f(α＋β,2)) ＝eq \f(1－tan2\f(α＋β,2),1＋tan2\f(α＋β,2))＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2)＝－eq \f(5,13). 2．(变条件)将本例中的条件“cos α－cos β＝eq \f(1,2)，sin α－sin β＝－eq \f(1,3)”变为“cos α＋cos β＝eq \f(1,2)，sin α＋sin β＝－eq \f(1,3)”，结果如何？ 解析　因为cos α＋cos β＝eq \f(1,2)， 所以2cos eq \f(α＋β,2)cos eq \f(α－β,2)＝eq \f(1,2).① 又因为sin α＋sin β＝－eq \f(1,3)， 所以2sin eq \f(α＋β,2)cos eq \f(α－β,2)＝－eq \f(1,3).② 所以cos eq \f(α－β,2)≠0， 所以由①②，得tan eq \f(α＋β,2)＝－eq \f(2,3)， 所以sin (α＋β)＝eq \f(2sin\f(α＋β,2)cos\f(α＋β,2),sin2\f(α＋β,2)＋cos2\f(α＋β,2))＝eq \f(2tan\f(α＋β,2),1＋tan2\f(α＋β,2))＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))2)＝－eq \f(12,13). [素养聚焦]　在应用三角公式化简、求值的过程中，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养． 和差化积公式应用时的注意事项 (1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次，必须用降幂公式降为一次． (2)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑： ①运用公式之后，能否出现特殊角； ②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项． (3)为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当作三角函数值才能应用公式，如eq \f(1,2)－cos α＝coseq \f(π,3)－cos α. [触类旁通] 2．(1)cos eq \f(π,8)＋cos eq \f(3π,8)－2sin eq \f(π,4)cos eq \f(π,8)＝_______. (2)若sin α＋sin β＝eq \f(\r(3),3)(cos β－cos α)，且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则tan eq \f(α－β,2)＝_______；α－β＝_______. 解析　(1)cos eq \f(π,8)＋cos eq \f(3π,8)－2sin eq \f(π,4)cos eq \f(π,8) ＝2cos eq \f(\f(π,8)＋\f(3π,8),2)·cos eq \f(\f(π,8)－\f(3π,8),2)－eq \r(2)cos eq \f(π,8) ＝2cos eq \f(π,4)cos eq \f(π,8)－eq \r(2)cos eq \f(π,8) ＝eq \r(2)cos eq \f(π,8)－eq \r(2)cos eq \f(π,8)＝0. (2)由已知得 2sin eq \f(α＋β,2)cos eq \f(α－β,2)＝eq \f(\r(3),3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2sin \f(α＋β,2)sin \f(β－α,2)))， 因为0<eq \f(α＋β,2)<π，－eq \f(π,2)<eq \f(α－β,2)<eq \f(π,2)， 所以sin eq \f(α＋β,2)>0，所以tan eq \f(α－β,2)＝eq \r(3)， 所以eq \f(α－β,2)＝eq \f(π,3)， 所以α－β＝eq \f(2π,3). 答案　(1)0　(2)eq \r(3)　eq \f(2π,3) 题型三　半角公式的应用 f(4,5)INCLUDEPICTURE "教师WORD/例3.tif" \* MERGEFORMAT" 　已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝eq \f(12,13)，求cos eq \f(α－β,2)的值． [解析]　因为α为钝角，β为锐角，sin α＝eq \f(4,5)， sin β＝eq \f(12,13)，所以cos α＝－eq \f(3,5)，cos β＝eq \f(5,13). 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq \f(5,13)＋eq \f(4,5)×eq \f(12,13)＝eq \f(33,65). 因为eq \f(π,2)＜α＜π且0＜β＜eq \f(π,2)， 所以0＜α－β＜π，即0＜eq \f(α－β,2)＜eq \f(π,2). 所以cos eq \f(α－β,2)＝eq \r(\f(1＋cosα－β,2)) ＝eq \r(\f(1＋\f(33,65),2))＝eq \f(7\r(65),65). 利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解． (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围. (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan eq \f(α,2)＝eq \f(sin α,1＋cos α)＝eq \f(1－cos α,sin α)，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2 eq \f(α,2)＝eq \f(1－cos α,2)，cos2 eq \f(α,2)＝eq \f(1＋cos α,2)计算． [触类旁通] 3．(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝eq \f(1＋\r(5),4)，则sin eq \f(α,2)＝(　　) A.eq \f(3－\r(5),8)　　　　　 B.eq \f(－1＋\r(5),8) C.eq \f(3－\r(5),4) D.eq \f(－1＋\r(5),4) 解析　sin2eq \f(α,2)＝eq \f(1,2)(1－cos α)＝eq \f(1,2)·eq \f(3－\r(5),4)＝eq \f(6－2\r(5),16)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,4)))2，∴sin eq \f(α,2)＝eq \f(\r(5)－1,4)，选D. 答案　D [缜密思维提能区]　　　　　　易错案例　　 三角函数式的化简问题 [典例] 已知eq \f(5π,2)<α<3π，则 eq \r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(\f(1,2)＋\f(1,2)cos 2α))＝(　　) A．－sin eq \f(α,2)　　　　 B．cos eq \f(α,2) C．sin eq \f(α,2) D．－cos eq \f(α,2) [解析]　因为eq \f(5π,2)<α<3π，所以eq \f(5π,4)<eq \f(α,2)<eq \f(3π,2)， eq \a\vs4\al(所以cos α<0，sin \f(α,2)<0，―→,原式＝\r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(\f(1＋cos 2α,2))),＝\r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(cos2α))) f(α,2)eq \x(\a\al(易错警示：忽,视判断cos α及,sin 的符号．)) ＝eq \r(\f(1,2)＋\f(1,2)|cos α|)＝eq \r(\f(1,2)－\f(1,2)cos α) ＝eq \r(sin2\f(α,2))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)))＝－sineq \f(α,2)， 所以，原式＝－sin eq \f(α,2). [答案]　A [纠错心得]　重视角的范围对函数值符号的影响 从里到外去掉根号时，要注意根据角的范围选择正负号，不能机械套用公式，如本例中根据α，eq \f(α,2)所在象限确定cos α，sineq \f(α,2)的符号，去掉绝对值符号． 知识落实 技法强化 (1)积化和差、和差化积及半角公式. (2)化简、求值、证明问题. (1)使用公式化简时，注意函数名称及符号的变化. (2)半角公式中，符号的选取由角所在象限而定，而不是两个结果. $$