10.2 二倍角的三角函数(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

第10章　三角恒等变换 10.2　二倍角的三角函数 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 目 录 课前案 必备知识·自主学习 01 02 CONTENTS 课堂案 关键能力·互动探究 03 课后案 学业评价·层级训练 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 课前案 必备知识·自主学习 01 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 导学 二倍角的三角函数 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 课堂案 关键能力·互动探究 02 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 点击进入Word 课后案 学业评价·层级训练 03 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 谢谢观看 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 学业标准 素养目标 1.能推导并记住二倍角的正弦、余弦和正切公式．(重点) 2.能利用倍角公式化简、求值和证明．(重点) 3.会利用倍角公式解决实际问题．(难点) 1.借助二倍角公式的推导，培养学生的数学建模、逻辑推理核心素养. 2.通过倍角公式的应用，提升数学运算、逻辑推理核心素养. [教材梳理] [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于任意的角α，都有sin 2α＝2sin α成立．(　　) (2)存在角α，使cos 2α＝2cos α成立．(　　) (3)cos 3αsin 3α＝eq \f(1,2)sin 6α对任意的角α都成立．(　　) (4) eq \f(2tan 15°,1＋tan2 15°)＝tan 30°.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．1－2sin222.5°＝(　　) A.eq \f(1,2)　　 　B.eq \f(\r(2),2)　　 　C.eq \f(\r(3),3)　　 　D.eq \f(\r(3),2) 解析　1－2sin22.5°＝cos 45°＝eq \f(\r(2),2). 答案　B 3．eq \f(1－tan215°,2tan 15°)＝(　　) A.eq \r(3) B.eq \f(\r(3),3) C.1 D.－1 解析　原式＝eq \f(1,\f(2tan 15°,1－tan215°))＝eq \f(1,tan 30°)＝eq \r(3). 答案　A 4．已知α为第三象限角，cos α＝－eq \f(3,5)，则tan 2α＝_______. 解析　因为α为第三象限角，cos α＝－eq \f(3,5)， 所以sin α＝－eq \r(1－cos2α)＝－eq \f(4,5)， tan α＝eq \f(4,3)，tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2 α)＝eq \f(2×\f(4,3),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2)＝－eq \f(24,7). 答案　－eq \f(24,7) 题型一　给角求值 (1)2cos2eq \f(25π,12)－1； (2)eq \f(1－tan2\f(π,8),tan \f(π,8))； (3)cos 20°cos 40°cos 80°. [解析]　(1)原式＝coseq \f(25π,6)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4π＋\f(π,6))) ＝cos eq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2). (2)原式＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－tan2\f(π,8))),2tan\f(π,8))＝2×eq \f(1,\f(2tan\f(π,8),1－tan2\f(π,8))) ＝2×eq \f(1,tan \f(π,4))＝2. (3)原式＝eq \f(2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°,2sin 20°) ＝eq \f(2sin 40°cos 40°cos 80°,4sin 20°) ＝eq \f(2sin 80°cos 80°,8sin 20°) ＝eq \f(sin 160°,8sin 20°) ＝eq \f(sin 20°,8sin 20°)＝eq \f(1,8). 对于给角求值问题，一般有两类 (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角． (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. [触类旁通] 1．求下列各式的值： (1)sin eq \f(π,6)cos eq \f(π,6)； (2)cos2eq \f(π,8)－sin2eq \f(π,8)； (3)eq \f(2tan 15°,1－tan215°). 解析　(1)原式＝eq \f(1,2)×2sineq \f(π,6)cos eq \f(π,6)＝eq \f(1,2)sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),4). (2)原式＝coseq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2). (3)原式＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3). 题型二　给值求值、求角问题(一题多变) b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))INCLUDEPICTURE "教师WORD/例2.tif" \* MERGEFORMAT" 　(1)已知α∈，且sin 2α＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))，求α； (2)已知sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq \f(5,13)，0＜x＜eq \f(π,4)，求eq \f(cos 2x,cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)))的值． [解析]　(1)∵sin 2α＝－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,2)))＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－1))＝1－2cos2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))， sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝－coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))))＝－cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))， ∴原式可化为1－2cos2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))，解得coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝1或coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq \f(1,2). ∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴α＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))， 故α＋eq \f(π,4)＝0或α＋eq \f(π,4)＝eq \f(2π,3)，即α＝－eq \f(π,4)或α＝eq \f(5π,12). (2)∵0＜x＜eq \f(π,4)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq \f(5,13)， ∴eq \f(π,4)－x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq \f(12,13)， eq \f(cos 2x,cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)))＝eq \f(cos2x－sin2x,\f(\r(2),2)cos x－sin x)＝eq \r(2)(cos x＋sin x)＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq \f(24,13). [母题变式] 1．(变结论)若本例(2)中的条件不变，则eq \f(sin 2x,sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)))的值是什么？ 解析　sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq \f(\r(2),2)cos x－eq \f(\r(2),2)sin x＝eq \f(5,13)， 平方得sin 2x＝eq \f(119,169)， sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq \f(12,13)， 所以eq \f(sin 2x,sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)))＝eq \f(119,169)×eq \f(13,12)＝eq \f(119,156). 2．(变条件)若本例(2)中的条件变为“taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq \f(5,12)”，其他条件不变，结果如何？ 解析　因为taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq \f(5,12)， 所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq \f(5,12)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))， 又sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＋cos2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝1， 故可解得coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq \f(12,13)， 原式＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq \f(24,13). 解决条件求值问题的方法 (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系． (2)当遇到eq \f(π,4)±x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通． cos 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)). 类似的变换还有： cos 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2x))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))， sin 2x＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))＝2cos2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))－1， sin 2x＝－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2x))＝1－2cos2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))等. [触类旁通] 2．若tan θ＝－2，则eq \f(sin θ1＋sin 2θ,sin θ＋cos θ)＝(　　) A．－eq \f(6,5)　 B．－eq \f(2,5)　　　 C．eq \f(2,5)　　　 D．eq \f(6,5) 解析　原式＝eq \f(sin θsin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ,sin θ＋cos θ) ＝eq \f(sin θsin θ＋cos θ2,sin θ＋cos θ)＝sin 2θ＋sin θcos θ ＝eq \f(sin 2θ＋sin θcos θ,sin 2θ＋cos 2θ) ＝eq \f(tan 2θ＋tan θ,tan 2θ＋1) ＝eq \f(4－2,4＋1)＝eq \f(2,5).故选C. 答案　C 题型三　化简、证明问题 f(1,tan θ＋1)INCLUDEPICTURE "教师WORD/例3.tif" \* MERGEFORMAT" 　(1)化简：＋eq \f(1,tan θ－1)＝_______. (2)证明：eq \f(\r(3)tan 12°－3,sin 12°4cos212°－2)＝－4eq \r(3). (1)[解析]　原式＝eq \f(tan θ－1＋tan θ＋1,tan θ＋1tan θ－1)＝eq \f(2tan θ,tan2θ－1)＝－eq \f(2tan θ,1－tan2 θ)＝－tan 2θ. [答案]　－tan 2θ (2)[证明]　左边＝eq \f(\f(\r(3)sin 12°－3cos 12°,cos 12°),2sin 12°2cos212°－1) ＝eq \f(2\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin 12°－\f(\r(3),2)cos 12°)),2sin 12°cos 12°cos 24°) ＝eq \f(2\r(3)sin12°－60°,sin 24°cos 24°) ＝eq \f(－2\r(3)sin 48°,\f(1,2)sin48°) ＝－4eq \r(3)＝右边， 所以原等式成立． 三角函数式的化简与证明 (1)化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ. (2)证明三角恒等式的方法：①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，eq \f(左边,右边)＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件. [触类旁通] 3．(1)化简：eq \f(sin 2x,2cos x) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋tan xtan\f(x,2)))； (2)求证：eq \f(3－4cos 2A＋cos 4A,3＋4cos 2A＋cos 4A)＝tan4A. (1)解析　eq \f(sin 2x,2cos x) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋tan xtan \f(x,2))) ＝eq \f(sin 2x,2cos x) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(sin xsin \f(x,2),cos xcos \f(x,2)))) ＝eq \f(2sin xcos x,2cos x)·eq \f(cos xcos\f(x,2)＋sin xsin\f(x,2),cos xcos \f(x,2)) ＝sin x·eq \f(cos\f(x,2),cos xcos\f(x,2))＝tan x. (2)证明　因为左边 ＝eq \f(3－4cos 2A＋2cos22A－1,3＋4cos 2A＋2cos22A－1) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－cos 2A,1＋cos 2A)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2sin2A,2cos2A)))2＝(tan2A)2 ＝tan4A＝右边， 所以eq \f(3－4cos 2A＋cos 4A,3＋4cos 2A＋cos 4A)＝tan4A. 题型四　实际应用问题 [解析]　连接OB(图略)，设∠AOB＝θ， 则AB＝OBsin θ＝20sin θ， OA＝OBcos θ＝20cos θ，且θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))). 因为A，D关于原点对称， 所以AD＝2OA＝40cos θ. 设矩形ABCD的面积为S， 则S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ. 因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以当sin 2θ＝1， 即θ＝eq \f(π,4)时，Smax＝400(m2) 此时AO＝DO＝10eq \r(2)(m)． 故当A，D距离圆心O为10eq \r(2)(m)时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 (m2)． [素养聚焦]　通过实际应用问题，数学建模．数学运算等核心素养在解题过程中得以体现． 解决此类问题的关键是引进角为参数，列出三角函数式. [触类旁通] 4．随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然，更舒适，黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横、竖各分三部分，以比例1∶0.618∶1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点．如图，分别用A，B，C，D表示黄金分割点．若照片长、宽比例为8∶5，设∠CAB＝α，则eq \f(1,sin 2α)－tan α＝(　　) A.－eq \f(1,8) B.eq \f(39,80) C.eq \f(5,8) D.eq \f(49,89) 解析　依题意eq \f(BC,AB)＝eq \f(5,8)，所以tan α＝eq \f(5,8)， 所以eq \f(1,sin 2α)－tan α＝eq \f(sin 2α＋cos 2α,2sin αcos α)－tan α＝eq \f(tan 2α＋1,2tan α)－tan α＝eq \f(tan 2α＋1－2tan 2α,2tan α)＝eq \f(1－tan 2α,2tan α)＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,8)))2,2×\f(5,8))＝eq \f(39,80). 答案　B [缜密思维提能区]　　　　　　规范答题　　 二倍角公式的应用 [典例]　(12分)在直角坐标系xOy中，若角α的始边为x轴的非负半轴，终边为射线l：y＝2x(x≤0)． (1)求tan 2α的值； (2)求eq \f(2cos2\f(α,2)－2sinα－π－1,\r(2)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(7π,4))))的值． [审题指导]　(1)在y＝2x(x≤0)上取一点，由任意角的正切函数的定义求出tan α的值，然后根据二倍角的正切求解 (2)利用诱导公式及倍角公式将其化简求值． [规范解答]　(1)因为角α的始边为x轴的非负半轴， 终边为射线l：y＝2xx≤0， 所以可在α的终边l上取一点P－1，－2，由任意角的正切函数的定义知 tan α＝eq \f(－2,－1)＝2.)―→①3分)eq \x(失分警示：若不能求出tan α的值，不得分．．) 所以eq \a\vs4\al(tan 2α＝\f(2tan α,1－tan2α))―→②(5分) ＝eq \f(2×2,1－22)＝－eq \f(4,3).③(6分)eq \x(失分警示：若没有写出公式，扣1分．) (2)eq \f(2cos2\f(α,2)－2sinα－π－1,\r(2)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(7π,4)))) eq \a\vs4\al(＝\f(cos α＋2sin α,\r(2)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))))―→④8分 eq \x(失分警示：若化简不正确，不得分.) ＝eq \f(cos α＋2sin α,cos α－sin α)　⑤(9分) ＝eq \f(1＋2tan α,1－tan α)　⑥(11分)eq \x(失分警示：若结果不正确，扣2分.) ＝eq \f(1＋2×2,1－2)＝－5.(12分) 知识落实 技法强化 (1)二倍角的正弦、余弦、正切及正用、逆用. (2)化面、求值、证明及实际应用. (1)转化法、整体代换法. (2)在实际应用中注意参数的选取及其取值范围. $$