9.3.2 第2课时 向量数量积的坐标表示 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

第2课时　向量数量积的坐标表示 学业标准 素养目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积．(重点) 2.能根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直．(难点) 1.通过推导向量数量积、夹角等的坐标表示，培养逻辑推理核心素养. 2.通过数量积的坐标运算及应用，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. [教材梳理] 导学 向量数量积的坐标表示 1.平面向量数量积的坐标表示 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 2．两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 3．三个重要公式 (1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝. (2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝. (3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y2－x2y1＝0，则〈a，b〉＝0°.(　　) (2)若a＝(m,0)，则|a|＝m.(　　) (3)若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，且a1b1＋a2b2＜0，则〈a，b〉为钝角．(　　) (4)若M(x1，y1)，N(x2，y2)，则|MN|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(多选题)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，下列结论正确的是(　　) A．a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 B．a·b<0⇔a与b的夹角为钝角 C．若a·b≠0，则a与b不垂直 D．||表示A，B两点之间的距离 解析　当a与b共线且反向时，a·b<0，故B不正确． 答案　ACD 3．已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　) A．30°　 B．45°　　　 C．60°　　　 D．120° 解析　由题意得cos∠ABC＝ ＝＝， 又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°. 答案　A 4．(2023·全国甲卷)已知向量a＝(3,1)，b＝(2,2)，则cos〈a＋b，a－b〉＝(　　) A. B. C. D. 解析　因为a＝(3,1)，b＝(2,2)，所以a＋b＝(5,3)，a－b＝(1，－1)，则＝＝，＝＝，(a＋b)·(a－b)＝5×1＋3×(－1)＝2，所以cos〈a＋b，a－b〉＝＝＝.故选B. 答案　B 题型一　向量数量积的坐标运算 　(1)已知a＝(－4,3)，b＝(1,2)，则a2－(a－b)·b＝(　　) A．8　　　　　　 B．3＋ C．28 D．32 (2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝________. [解析]　(1)a2－(a－b)·b ＝a2－a·b＋b2 ＝25－(－4＋6)＋5＝28.故选C. (2)由＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得·＝(2,1)·(3，－1)＝5. [答案]　(1)C　(2)5 数量积坐标运算的两个途径：一个是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算. [触类旁通] 1．(2022·浙江卷)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，则2＋2＋…＋2的取值范围是________. 解析　以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A1(0,1)，A2，A3(1,0)，A4，A5(0，－1)，A6，A7(－1,0)，A8.设P(x，y)，于是2＋2＋…＋2＝8(x2＋y2)＋8， 因为cos 22.5°≤|OP|≤1，所以≤x2＋y2≤1，故2＋2＋…＋2的取值范围是[12＋2，16]． 答案　[12＋2，16] 题型二　向量模的坐标表示 　已知|a|＝2，b＝(2，－3)，若a⊥b，求a＋b的坐标及|a＋b|. [解析]　设a＝(x，y)， 则由|a|＝2，得x2＋y2＝52.① 由a⊥b，解得2x－3y＝0.② 联立①②，解得或. 所以a＝(6,4)或a＝(－6，－4)． 所以a＋b＝(8,1)或a＋b＝(－4，－7)， 所以|a＋b|＝. 求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算：若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝. [触类旁通] 2．已知a＝(－2,1)，b＝(－2，－3)，则a在b上的投影向量是(　　) A.　　　 B. C. D. 解析　由题知，a＝(－2,1)，b＝(－2，－3)，所以a·b＝4－3＝1，|b|＝＝， 设a与b夹角为θ，所以a在b上的投影向量是 |a|cos θ·＝·b＝·(－2，－3)＝，故选B. 答案　B 题型三　平面向量的夹角与垂直问题(一题多变) 　(1)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是(　　) A．(－2，＋∞) B．∪ C．(－∞，－2) D．(－2,2) (2)已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标． (1)[解析]　当a与b共线时，2k－1＝0，k＝，此时a，b方向相同，夹角为0°，所以要使a与b的夹角为锐角，则有a·b>0且a，b不同向．由a·b＝2＋k>0得k>－2，且k≠，即实数k的取值范围是∪. [答案]　B (2)[解析]　设点D的坐标为(x，y)， 则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)， ＝(x－3，y－2)． ∵点D在直线BC上，即与共线， ∴存在实数λ，使＝λ， 即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)， ∴ ∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.① 又∵AD⊥BC，∴·＝0， 即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0， ∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，② 即2x＋y－3＝0. 由①②可得 即D点坐标为(1,1)，＝(－1,2)， ∴||＝＝， 综上，||＝，D(1,1)． [母题变式] 1．(变条件)将本例(1)中的条件“a＝(2,1)”改为“a＝(－2,1)”，“锐角”改为“钝角”，求实数k的取值范围． 解析　当a与b共线时，－2k－1＝0，k＝－， 此时a与b方向相反，夹角为180°， 所以要使a与b夹角为钝角，则有a·b<0，且a与b不反向． 由a·b＝－2＋k<0得k<2. 由a与b不反向得k≠－， 所以k的取值范围是∪. 2．(变条件)将本例(1)中的条件“锐角”改为“”，求k的值． 解析　cos＝＝， 即＝，整理得3k2－8k－3＝0， 解得k＝－或3. [素养聚焦]　在解决向量的夹角和垂直问题的过程中，提升逻辑推理、数学运算等核心素养． 1．利用数量积求两向量夹角的步骤 2．涉及非零向量a，b垂直问题时，一般借助a⊥b⇔a·b＝x1x2＋y1y2＝0来解决. [触类旁通] 3．已知向量a＝(1,0)，b＝(m,1)，且a与b的夹角为. (1)求|a－2b|； (2)若a＋λb与b垂直，求实数λ的值． 解析　(1)因为a＝(1,0)，b＝(m,1)， 且a与b的夹角为， 所以a·b＝m，|a|＝1，|b|＝， cos 〈a，b〉＝， 故＝cos ＝， 解得m＝1或m＝－1(舍)． 所以a－2b＝(－1，－2)，则|a－2b|＝＝. (2)因为a＋λb＝(1＋λ，λ)，a＋λb与b垂直． 所以(a＋λb)·b＝0，即1＋2λ＝0，解得λ＝－. [缜密思维提能区]　　　　　　　　　　　　　　规范答题　　 平面向量数量积的坐标表示 [典例]　(12分)已知点A(－1,0)，B(0,1)，点P(x，x－1)， (1)求证：∠APB恒为锐角； (2)若四边形ABPQ为菱形，求·的值． [审题指导]　(1)要证明∠APB为锐角，证明·>0即可． (2)求四边形ABPQ为菱形，可以求出点P的坐标，进而可求出·的值． [规范解答]　(1)证明　因为P(x，x－1)， 则＝(－1－x,1－x)，＝(－x,2－x)，①(1分) 所以·＝2x2－2x＋2＝2(x2－x＋1) ＝2>0.②(3分) 所以cos∠APB＝>0.③(4分) 若A，P，B三点在一条直线上，则∥， 由向量共线定理，得＝λ，则 此方程组无解． 所以∠APB≠0.④(5分) 所以∠APB恒为锐角．⑤(6分)　 (2)因为四边形ABPQ为菱形， 所以||＝||，即＝，⑥(8分) 化简得x2－2x＋1＝0，解得x＝1，所以P(1,0)，⑦(9分) 设Q(a，b)，因为＝， 所以(a－1，b)＝(－1，－1)， 所以　⑧(11分) ·＝(0，－2)·(1，－1)＝2.⑨(12分)　 知识落实 技法强化 (1)数量积的坐标表示及运算. (2)用坐标运算求向量的模、夹角. (1)转化的思想，数形结合. (2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0，而不是·＝－1. 学科网（北京）股份有限公司 $$