第9章 教考衔接(一) 平面向量与三角形的“四心”(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

第9章　平面向量 教考衔接(一)　 平面向量与三角形的“四心” 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 谢谢观看 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 一、真题展示 (全国卷)已知O，N，P在△ABC所在平面内，且|eq \o(OA,\s\up16(→))|＝|eq \o(OB,\s\up16(→))|＝|eq \o(OC,\s\up16(→))|，eq \o(NA,\s\up16(→))＋eq \o(NB,\s\up16(→))＋eq \o(NC,\s\up16(→))＝0，且eq \o(PA,\s\up16(→))·eq \o(PB,\s\up16(→))＝eq \o(PB,\s\up16(→))·eq \o(PC,\s\up16(→))＝eq \o(PC,\s\up16(→))·eq \o(PA,\s\up16(→))，则点O，N，P依次是△ABC的(　　) (注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心) A．重心　外心　垂心 B．重心　外心　内心 C．外心　重心　垂心 D．外心　重心　内心 二、真题朔源 教科书P37第10题 已知三角形的三条中线交于一点G(也称为三角形的重心)，且点G将每条中线分为2∶1的两段(如图，AG∶GM＝2∶1)．设△ABC三个顶点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，求证： (1)点G的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3)))； (2)eq \o(GA,\s\up16(→))＋eq \o(GB,\s\up16(→))＋eq \o(GC,\s\up16(→))＝0. 三、解法探究 在三角形中，重心、内心、垂心和外心简称“四心”，它们与向量知识的整合，既自然又表达形式多样，在新高考试题中，总会出现一些与“四心”相关的既新颖又别致的试题，不仅考查了向量的表示与运算、性质等知识点，而且培养了考生“以向量为工具”的逻辑推理能力． 类型一　平面向量与三角形的重心 o(OP,\s\up16(→))INCLUDEPICTURE "教师WORD/例1.tif" \* MERGEFORMAT" 　已知点O为△ABC所在平面内一点，若动点P满足＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋λ(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)))(λ≥0)，则动点P的轨迹一定经过△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 [解析]　因为动点P满足eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋λ(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)))(λ≥0)，所以eq \o(AP,\s\up16(→))＝λ(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)))，取BC中点D(图略)，则eq \o(AP,\s\up16(→))＝2λeq \o(AD,\s\up16(→))，则动点P的轨迹一定过△ABC的重心，故选D. [答案]　D 设O是△ABC的重心，P为平面内任意一点，则有以下结论：①eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→))＝0；②eq \o(PO,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)(eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(PB,\s\up16(→))＋eq \o(PC,\s\up16(→)))；③动点P满足eq \o(AP,\s\up16(→))＝λ(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)))或eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up16(→))＋\o(AC,\s\up16(→))))，λ∈[0，＋∞)，则动点P经过三角形的重心. 类型二　平面向量与三角形的外心 o(AC,\s\up16(→))INCLUDEPICTURE "教师WORD/例2.tif" \* MERGEFORMAT" 　在△ABC中，设2－eq \o(AB,\s\up16(→))2＝2eq \o(AM,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))，那么动点M形成的图形必经过△ABC的(　　) A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 [解析]　如图所示，设线段BC的中点为D，则eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))＝2eq \o(AD,\s\up16(→))，∵eq \o(AC,\s\up16(→))2－eq \o(AB,\s\up16(→))2＝2eq \o(AM,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))，∴(eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→)))·(eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→)))＝2eq \o(AM,\s\up16(→))·eq \o(BC,\s\up16(→))，∴eq \o(BC,\s\up16(→))·(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))－2eq \o(AM,\s\up16(→)))＝0，∴eq \o(BC,\s\up16(→))·eq \o(MD,\s\up16(→))＝0，即MD⊥BC且平分BC.因此动点M形成的图形必经过△ABC的外心，故选C. [答案]　C 设O是△ABC的外心，则有以下结论：①|eq \o(OA,\s\up16(→))|＝|eq \o(OB,\s\up16(→))|＝|eq \o(OC,\s\up16(→))|⇔eq \o(OA,\s\up16(→))2＝eq \o(OB,\s\up16(→))2＝eq \o(OC,\s\up16(→))2；②(eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→)))·eq \o(AB,\s\up16(→))＝(eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→)))·eq \o(BC,\s\up16(→))＝(eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→)))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝0. 类型三　平面向量与三角形的垂心 o(PA,\s\up16(→))INCLUDEPICTURE "教师WORD/例3.tif" \* MERGEFORMAT" 　P是△ABC所在平面上一点，若·eq \o(PB,\s\up16(→))＝eq \o(PB,\s\up16(→))·eq \o(PC,\s\up16(→))＝eq \o(PC,\s\up16(→))·eq \o(PA,\s\up16(→))，则P是△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 [解析]　由eq \o(PA,\s\up16(→))·eq \o(PB,\s\up16(→))＝eq \o(PB,\s\up16(→))·eq \o(PC,\s\up16(→))，得eq \o(PA,\s\up16(→))·eq \o(PB,\s\up16(→))－eq \o(PB,\s\up16(→))·eq \o(PC,\s\up16(→))＝0，即eq \o(PB,\s\up16(→))·(eq \o(PA,\s\up16(→))－eq \o(PC,\s\up16(→)))＝0，即eq \o(PB,\s\up16(→))·eq \o(CA,\s\up16(→))＝0，则PB⊥CA，同理可证PA⊥BC，PC⊥AB，所以P为△ABC的垂心，故选D. [答案]　D 设O是△ABC的垂心，P为平面内任意一点， 则有以下结论：①eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(OB,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→))·eq \o(OC,\s\up16(→))＝eq \o(OC,\s\up16(→))·eq \o(OA,\s\up16(→))； ②|eq \o(OA,\s\up16(→))|2＋|eq \o(BC,\s\up16(→))|2＝|eq \o(OB,\s\up16(→))|2＋|eq \o(CA,\s\up16(→))|2＝|eq \o(OC,\s\up16(→))|2＋|AB|2；③若动点P满足eq \o(AP,\s\up16(→))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up16(→)),|\o(AB,\s\up16(→))|cos B)＋\f(\o(AC,\s\up16(→)),|\o(AC,\s\up16(→))|cos C)))或eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up16(→)),|\o(AB,\s\up16(→))|cos B)＋\f(\o(AC,\s\up16(→)),|\o(AC,\s\up16(→))|cos C)))，λ∈[0，＋∞)，则动点P经过三角形的垂心. 类型四　平面向量与三角形的内心 o(OA,\s\up16(→))INCLUDEPICTURE "教师WORD/例4.tif" \* MERGEFORMAT" 　若△ABC及内一点O满足关系式：S△OBC·＋S△OAC·eq \o(OB,\s\up16(→))＋S△OAB·eq \o(OC,\s\up16(→))＝0，即为经典的“奔驰定理”．若△ABC的三边为a，b，c，有a·eq \o(OA,\s\up16(→))＋b·eq \o(OB,\s\up16(→))＋c·eq \o(OC,\s\up16(→))＝0，则O为△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 [解析]　∵eq \o(OB,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(OC,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))， ∴a·eq \o(OA,\s\up16(→))＋b·eq \o(OB,\s\up16(→))＋c·eq \o(OC,\s\up16(→)) ＝a·eq \o(OA,\s\up16(→))＋b(eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→)))＋c(eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))) ＝(a＋b＋c)·eq \o(OA,\s\up16(→))＋b·eq \o(AB,\s\up16(→))＋c·eq \o(AC,\s\up16(→))＝0. ∴eq \o(AO,\s\up16(→))＝eq \f(bc,a＋b＋c) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up16(→)),c)＋\f(\o(AC,\s\up16(→)),b)))， ∵eq \f(\o(AB,\s\up16(→)),c)，eq \f(\o(AC,\s\up16(→)),b)分别是eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AC,\s\up16(→))方向上的单位向量， ∴向量eq \f(\o(AB,\s\up16(→)),c)＋eq \f(\o(AC,\s\up16(→)),b)平分∠BAC，即AO平分∠BAC，同理BO平分∠ABC，∴O为△ABC的内心，故选B. [答案]　B 设O是△ABC的内心，P为平面内任意一点，则有以下结论：①|eq \o(AB,\s\up16(→))|·eq \o(OC,\s\up16(→))＋|eq \o(BC,\s\up16(→))|·eq \o(OA,\s\up16(→))＋|eq \o(CA,\s\up16(→))|·eq \o(OB,\s\up16(→))＝0(或aeq \o(OA,\s\up16(→))＋beq \o(OB,\s\up16(→))＋ceq \o(OC,\s\up16(→))＝0，其中a，b，c分别是△ABC的三边BC，AC，AB的长)；②若动点P满足eq \o(AP,\s\up16(→))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up16(→)),|\o(AB,\s\up16(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up16(→)),|A\o(C,\s\up16(→))|)))或eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \o(OA,\s\up16(→))＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up16(→)),|\o(AB,\s\up16(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up16(→)),|\o(AC,\s\up16(→))|)))，λ∈[0，＋∞)，则动点P经过三角形的内心. $$