9.3.2 第1课时 向量的坐标表示与向量线性运算的坐标表示 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

9.3.2　向量坐标表示与运算 第1课时　向量的坐标表示与向量线性运算的坐标表示 学业标准 素养目标 1.理解向量坐标表示的意义. 2.掌握两个向量的和、差及向量数乘的坐标运算法则并能熟练应用．(重点) 1.通过对向量的坐标表示的探究，培养数学抽象、直观想象核心素养. 2.通过向量的线性运算，提升数学运算等核心素养. [教材梳理] 导学1 向量的坐标表示 1．在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对有序实数(x，y)，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)称为向量a的坐标，记作a＝(x，y). 2．在平面直角坐标中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0(0,0). 导学2 向量线性运算的坐标表示 1.向量线性运算的坐标表示 已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么 (1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)； (2)a－b＝(x1－x2，y1－y2)； (3)λa＝(λx1，λy1). 2．平面内任一向量的坐标 一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．(　　) (2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　　) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．(　　) (4)点的坐标与向量的坐标相同．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．已知向量a＝(－1,2)，b＝(1,0)，那么向量3b－a的坐标是(　　) A．(－4,2)　　　　　 B．(－4，－2) C．(4,2) D．(4，－2) 解析　3b－a＝3(1,0)－(－1,2)＝(4，－2)． 答案　D 3．已知M(2,3)，N(3,1)，则的坐标是(　　) A．(2，－1) B．(－1,2) C．(－2,1) D．(1，－2) 解析　＝(2－3,3－1)＝(－1,2)． 答案　B 4．如图，向量a，b，c的坐标分别是______，______，________. 解析　将向量所在直线分解，则a＝－4i＋0·j，∴a＝(－4,0)；b＝0·i＋6j， ∴b＝(0,6)；c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)． 答案　(－4,0)　(0,6)　(－2，－5) 题型一　平面向量的坐标表示 　已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°， (1)求向量的坐标； (2)若B(，－1)，求的坐标． [解析]　(1)设点A(x，y)，则x＝||cos 60°＝4cos 60°＝2，y＝||sin 60°＝4sin 60°＝6，即A(2，6)，所以＝(2，6)． (2)＝(2，6)－(，－1)＝(，7)． 求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标． (2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标. [触类旁通] 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，则的坐标为________. 解析　 设A(2,0)，B(2,1)，由题意知劣弧长为2，∠ABP＝2.设P(x，y)，则x＝2－1×cos＝2－sin 2，y＝1＋1×sin＝1－cos 2， 所以的坐标为(2－sin 2,1－cos 2)． 答案　(2－sin 2,1－cos 2) 题型二　平面向量的坐标运算(一题多解) 　(1)已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝(　　) A．(－23，－12)　　　 B．(23,12) C．(7,0) D．(－7,0) (2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求点M，N的坐标． (1)[解析]　因为a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，且c满足3a－2b＋c＝0， 所以c＝2b－3a＝2(－4，－3)－3(5,2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12)． [答案]　A (2)[解析]　法一　因为A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)， 所以＝(－2,4)－(－3，－4)＝(1,8)， ＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6,3)． 因为＝3，＝2， 所以＝3(1,8)＝(3,24)，＝2(6,3)＝(12,6)． 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 所以＝(x1＋3，y1＋4)＝(3,24)， ＝(x2＋3，y2＋4)＝(12,6)， 所以 解得 所以M(0,20)，N(9,2)． 法二　设O为坐标原点， 则由＝3，＝2， 可得－＝3(－)，－＝2(－)，所以＝3－2，＝2－. 所以＝2(－2,4)－2(－3，－4)＝(0,20)， ＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9,2)． 所以M(0,20)，N(9,2)． [素养聚焦]　本题主要考查向量的坐标运算，突出考查数学运算等核心素养． 平面向量坐标运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行. [触类旁通] 2．已知平面上三个点A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，求，，＋，－，2＋. 解析　∵A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)， ∴＝(7－4,5－6)＝(3，－1)， ＝(1－4,8－6)＝(－3,2)， ＋＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)， －＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)， 2＋＝2(3，－1)＋(－3,2)＝. 题型三　向量坐标运算的综合应用(一题多变) 　已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及＝＋t. (1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？ (2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． [解析]　(1)＝＋t＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)． 若点P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－. 若点P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－. 若点P在第二象限，则 所以－<t<－. (2)＝(1,2)，＝(3－3t,3－3t)． 若四边形OABP为平行四边形， 则＝，所以该方程组无解． 故四边形OABP不能为平行四边形． [母题变式] 　(变问法)若保持本例条件不变，问t为何值时，B为线段AP的中点？ 解析　由＝＋t，得＝t. 所以当t＝2时，＝2，B为线段AP的中点． 向量中含参数问题的求解策略 (1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变． (2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的. [触类旁通] 3．已知在非平行四边形ABCD中，AB∥DC，且A，B，D三点的坐标分别为(0,0)，(2,0)，(1,1)，则顶点C的横坐标的取值范围是________. 解析　当ABCD为平行四边形时，则＝＋＝(2,0)＋(1,1)＝(3,1)， 故满足题意的顶点C的横坐标的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞)． 答案　(1,3)∪(3，＋∞) [缜密思维提能区]　　　　　　　　　　　　　　易错案例　　 向量坐标运算的应用 [典例]　已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若第三象限的点P满足＝＋λ，则实数λ的取值范围是(　　) A.(－∞，－1)　　　　　　 B. C. D. [解析]　法一　设P(x，y)，则＝(x－2，y－3)． (x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)， 所以即 因为点P在第三象限，所以 解得λ<－1. 故所求实数λ的取值范围是(－∞，－1)． 法二　＝＋＝＋＋λ ＝＋λ＝(5,4)＋λ(5,7) ＝(5＋5λ，4＋7λ)，所以P(5＋5λ，4＋7λ)， 因为点P在第三象限， 所以所以λ<－1. [答案]　A [纠错心得]　(1)明确向量坐标与点坐标的概念，当且仅当向量的起点为坐标原点时，向量坐标与其终点的坐标相同． (2)明确向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，正确进行向量的坐标运算是解题的关键． 知识落实 技法强化 (1)平面向量的坐标表示及线性运算. (2)向量运算的综合应用. (1)转化法、数形结合法. (2)＝(x，y)⇔A(x，y) 学科网（北京）股份有限公司 $$