9.3.1 平面向量基本定理 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

9.3　向量基本定理及坐标表示 9.3.1　平面向量基本定理 学业标准 素养目标 1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底、正交分解的含义．(难点) 2．掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量并会用平面向量基本定理解决相关问题．(重点) 1.通过学习平面向量基本定理及基底、正交分解的含义，培养数学抽象核心素养． 2．通过平面向量基本定理的应用，提升直观想象、数学运算等核心素养. [教材梳理] 导学 平面向量基本定理 1.平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内两个不共线的向量 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 基底 不共线的向量e1，e2叫作表示这个平面的一组基底 2.正交分解 若向量e1，e2所在的直线互相垂直，称a＝λ1e1＋λ2e2为向量a的正交分解． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．(　　) (2)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．(　　) (3)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则a＝c，b＝d.(　　) (4)若e1，e2是平面内的一组基底，则e1＋e2，e1－e2能作为平面向量的基底．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a用基底e1，e2表示为(　　) A．e1＋e2　　　　 B．－2e1＋e2 C．2e1－e2 D．2e1＋e2 解析　a＝－2e1＋e2. 答案　B 3．如图在矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则＝(　　) A.(5e1＋3e2) B.(5e1－3e2) C.(3e2－5e1) D.(5e2－3e1) 解析　＝＝(＋)＝(＋)＝(5e1＋3e2)． 答案　A 4．已知a＝xe1＋2e2与b＝3e1＋ye2共线，且e1，e2不共线，则xy＝________. 解析　∵a∥b，∴a＝λb， 即xe1＋2e2＝3λe1＋λye2， ∴x＝3λ，2＝λy，故xy＝3λ·＝6. 答案　6 题型一　对基底的理解 　(多选题)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　) A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个 C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2) D．若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0 [解析]　根据平面向量基本定理，选项A正确；选项B不正确；若λ2＝μ2＝0时，λ的值可能不存在，故选项C不正确；选项D显然正确．故选BC. [答案]　BC 两个向量是否能构成基，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来. [触类旁通] 1．设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2. 其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)． 解析　①设e1＋e2＝λe1，则无解， 所以e1＋e2与e1不共线， 即e1与e1＋e2能作为一组基底． ②设e1－2e2＝λ(e2－2e1)， 则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0， 则无解，所以e1－2e2与e2－2e1不共线，即e1－2e2与e2－2e1能作为一组基底． ③因为e1－2e2＝－(4e2－2e1)， 所以e1－2e2与4e2－2e1共线， 即e1－2e2与4e2－2e1不能作为一组基底． ④设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，则无解，所以e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2与e1－e2能作为一组基底． 答案　③ 题型二　用基底表示平面向量(一题多变) 　如图所示，在▱ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若＝a，＝b，试用基底a，b表示向量，. [解析]　＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋＝a－b.＝＋＋＝－＋＋＝b－a. [母题变式] 1．(变问法)本例条件不变，试用基底a，b表示. 解析　由平面几何知识BG＝BF， 故＝＋＝＋ ＝a＋＝a＋b－a＝a＋b. 2．(变条件)若将本例中的向量“，”换为“，”，即若＝a，＝b，试用基底a，b表示向量，. 解析　＝＋＝2＋＝－2＋＝－2b＋a. ＝＋＝2＋＝－2＋＝－2a＋b. 用基底表示向量的两种方法 (1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解. [触类旁通] 2．在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝＋λ，则λ等于(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析　因为D是AB边上的一点，所以A，B，D三点共线，所以＝k，则－＝k－k，因为＝＋λ， 所以－(λ＋k)＝0，因为A，B，C不共线，所以解得λ＝，故选B. 答案　B 题型三　平面向量基本定理的应用 　如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN. [解析]　设＝e1，＝e2， 则＝＋＝－3e2－e1， ＝＋＝2e1＋e2. 因为A，P，M和B，P，N分别共线， 所以存在实数λ，μ使得＝＝－λe1－3λe2，＝μ＝2μe1＋μe2. 故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.而＝＋＝2e1＋3e2， 由平面向量基本定理， 得解得 所以＝，＝， 所以AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2. [素养聚焦]　通过平面向量基本定理的应用，把逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． 若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据特定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得. [触类旁通] 3．如图所示，已知△AOB中，点C是以A为中心的点B的对称点，＝2，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.若＝λ，求实数λ的值． 解析　∥. 又∵＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b， ＝2a－b， ∴＝，∴λ＝. [缜密思维提能区]　　　　　　　　　　　　　　规范答题　　 基底法解决平面几何问题 [典例]　(12分)如图所示，在▱ABCD中，AD，DC边的中点分别为E，F，连接BE，BF，与AC分别交于R，T.求证：AR＝RT＝TC. [审题指导]　要证明AR＝RT＝TC，只要找出AR，AT，AC的关系即可，为此需要借助于与共线，与共线设参数，利用解方程求出参数． [规范解答]　设AB＝a，＝b， 因为与共线，所以存在实数m， 使得＝m，m∈R.(4分) 而＝－＝a－b， 则＝m.(6分) 因为＝＋， 所以n(a＋b)＝b＋m， 即(n－m)a＋b＝0.(8分) 解得m＝n＝，所以＝.(10分) 同理＝.(11分) 所以＝＝，故AR＝RT＝TC.(12分) 知识落实 技法强化 (1)平面向量基本定理及其应用. (2)正交分解及其应用. (1)化归与转化，数形结合. (2)区分平面向量的一组基与标准正交基. 学科网（北京）股份有限公司 $$