9.2.3 向量的数量积 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

9.2.3　向量的数量积 学业标准 素养目标 1.理解平面向量数量积的定义．(重点) 2.理解投影向量的概念和向量数量积的几何意义．(难点) 3.掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用．(重点、难点) 1.通过力做功探究向量数量积的概念和几何意义，培养数学建模和数学抽象的核心素养. 2.通过向量数量积的运算，提升数学运算和逻辑推理等核心素养. [教材梳理] 导学1 向量的数量积的定义 1．数量积的定义 条件 两个非零向量a和b，它们的夹角为θ. 结论 数量|a||b|cos θ叫做向量a和b的数量积. 记法 a·b＝|a||b|cos θ. 规定 零向量与任一向量的数量积为0. 2．数量积的性质 (1)若两个非零向量a和b的夹角为θ，则cos θ＝. (2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b是两个非零向量)． (3)a·a＝|a|2或|a|＝. 导学2 投影向量及数量积的几何意义 1．投影与投影向量 设a，b是两个非零向量，如图，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.将由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量. 2．数量积的几何意义 向量a和b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积． 导学3 数量积的运算律 设向量a，b，c和实数λ，则： (1)a·b＝b·a； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)＝λa·b； (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积是向量．(　　) (2)对于向量a，b，若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　　) (3)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.(　　) (4)a在b方向上的投影向量就是a在b方向上的投影数量．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为(　　) A.　　 　B.　　 　C.　　 　D. 解析　由条件可知，cos θ＝＝＝，又0≤θ≤π，∴θ＝. 答案　C 3．(多选题)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论正确的是(　　) A．不存在θ，使e1·e2＝ B．e＝e C．∀θ∈R，(e1－e2)⊥(e1＋e2) D．e1在e2方向上的投影向量为sin θ e2 解析　对于A，因为e1·e2＝1×1×cos θ＝cos θ≤1，所以A正确；对于B，因为e＝e＝1，所以B正确；对于C，因为(e1－e2)·(e1＋e2)＝e－e＝0，所以(e1－e2)⊥(e1＋e2)，所以C正确；对于D，e1在e2方向上的投影向量为cos θe2，所以D错误． 答案　ABC 4．已知|b|＝3，a在b方向上的投影向量是b，则a·b为________. 解析　由向量的数量积的几何意义，得a·b＝b·b＝6. 答案　6 题型一　向量的数量积、投影向量 　(1)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求：①a·b；②a2－b2；③(2a－b)·(a＋3b)． (2)如图所示，在▱ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求： ①·；②·；③·；④在上的投影向量． [解析]　(1)①a·b＝|a||b|cos 120°＝2×3×＝－3. ②a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5. ③(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2 ＝2|a|2＋5|a||b|cos 120°－3|b|2＝8－15－27＝－34. (2)①因为∥，且方向相同， 所以与的夹角是0°， 所以·＝||||cos 0°＝3×3×1＝9. ②因为∥，且方向相反，所以与的夹角是180°，所以·＝||||cos 180°＝4×4×＝－16. ③因为与的夹角为60°，所以与的夹角为120°，所以·＝||||cos 120°＝4×3×＝－6. ④因为与的夹角为60°，而与方向相反，所以与的夹角为120°，所以在上的投影向量为：(||·cos 120°)·＝4××＝－. 向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键． (2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算. [触类旁通] 1．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________. 解析　因为·＝2·， 所以·－·＝·， 所以·＝·. 因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝， 所以2||＝||||cos， 化简得||＝2. 故·＝·(＋)＝||2＋·＝(2)2＋2×2cos＝12. 答案　12 题型二　向量模的有关计算 　(1)已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝(　　) A．　 B．2　　　 C．4　　　 D．12 (2)(2021·全国卷Ⅱ)若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________. [解析]　(1)|a＋2b|＝ ＝ ＝ ＝＝2. (2)∵|a－b|＝5， ∴|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝9＋|b|2－2＝25， ∴|b|＝3. 故答案为3. [答案]　(1)B　(2)3 求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化. [触类旁通] 2．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|a－b|＝1，则|a＋b|＝________. 解析　法一　由|a－b|＝1得a2－2a·b＋b2＝1， 所以|a|2－2a·b＋|b|2＝1， 所以2a·b＝1，所以|a＋b|＝＝＝. 法二　如图，因为|a|＝|b|＝|a－b|＝1， 所以△AOB是正三角形，∠AOB＝60°， 所以|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝2－2a·b＝1， 所以a·b＝， 所以|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋1＝3， 所以|a＋b|＝. 答案　 题型三　向量的夹角与垂直问题(一题多变) 　(1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围为________. (2)已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角． (1)[解析]　∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角， ∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k>0，∴k>0. 当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0°，不符合题意，舍去． 综上，k的取值范围为k>0且k≠1. [答案]　(0,1)∪(1，＋∞) (2)[解析]　由已知条件得 即 ②－①得23b2－46a·b＝0， ∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2， ∴|a|＝|b|，∴cos θ＝＝＝. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝. [母题变式] 1．(变条件)将本例(1)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围． 解析　∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为钝角， ∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k<0，∴k<0. 当k＝－1时，e1＋ke2与ke1＋e2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去． 综上，k的取值范围是k<0且k≠－1. 2．(变条件、变结论)将本例(1)中的条件“锐角”改为“”，求k的值． 解析　由已知得|e1＋ke2|＝＝， |ke1＋e2|＝＝， (e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k，则cos＝＝， 即＝，整理得k2－4k＋1＝0， 解得k＝＝2±. [素养聚焦]　通过夹角、垂直等问题，把数学运算等核心素养体现在解题过程中． 1．求向量夹角的基本步骤 2．向量垂直问题的处理思路 解决与垂直相关题目的依据是a⊥b⇔a·b＝0，利用数量积的运算代入，结合与向量的模、夹角相关的知识解题. [触类旁通] 3．(多选题)(2023·福州八中期中)设e1，e2为单位向量，满足|2e1－e2|≤，a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，设a，b的夹角为θ，则cos 2θ的可能取值为(　　) A.　　 　B.　　 　C.　 　　D.1 解析　设单位向量e1，e2的夹角为α，由|2e1－e2|≤，两边平方得5－4cos α≤2， 解得≤cos α≤1，又a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2， ∴＝＝， 同理|b|＝， 且a·b＝4＋4cos α， ∴cos θ＝＝＝， ∴cos 2θ＝， 则cos2θ＝＝－， ∵≤cos α≤1，∴≤5＋3cos α≤8， ∴∈. 所以－∈， 即cos 2θ的取值范围为，故选CD. 答案　CD [缜密思维提能区]　　　　　　　　　　　　　　易错案例　　 向量数量积的运算 [典例]　在△ABC中，已知∠A＝120°，AB＝AC＝1，则·＋·＋·＝________. 　 ·＝||||cos 150°＝1××＝－， ·＝||||cos 150°＝×1×＝－. ·＝||||cos 60°＝1×1×＝. 所以·＋·＋·＝－－＋＝－. [答案]　－ [纠错心得]　(1)正确理解向量夹角的概念：在以平面图形为背景的数量积问题中，关键是求向量夹角，此时要注意让两个向量共始点才能找准向量的夹角，如本例中与的夹角是角B的补角而不是角B. (2)巧用数量积的运算简化运算：数量积的运算中，逆用和巧用运算律可以凑出满足向量加法(减法)三角形法则，从而简化运算，如本例中·＋·＝·(＋)＝－2＝－3. 知识落实 技法强化 (1)数量积的定义，性质及运算律. (2)投影与投影向量. (3)数量积的运算及应用. (1)投影向量与投影数量的区别. (2)〈a，b〉∈⇔a·b＜0且a，b不共线. 〈a，b〉∈⇔a·b>0且a，b不共线. 学科网（北京）股份有限公司 $$