9.2.2 向量的数乘 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

9.2.2　向量的数乘 学业标准 素养目标 1.掌握向量的数乘运算的定义，并理解其几何意义．(重点) 2.掌握数乘运算的运算律，并能进行向量的线性运算．(难点) 1.通过向量数乘的定义、几何意义的学习，主要培养直观想象核心素养. 2.通过向量的线性运算，主要提升数学运算核心素养. [教材梳理] 导学1 向量的数乘运算 1.向量的数乘定义 一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. (2)若a≠0，则当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反. 实数λ与向量a相乘的运算，叫作向量的数乘. 2．向量数乘λa的几何意义 当λ>0时，把向量a沿a的相同方向放大或缩小； 当λ<0时，把向量a沿a的相反方向放大或缩小． 3．向量数乘运算的运算律 (1)λ(μa)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 4．向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算． 导学2 向量共线定理 设a为非零向量，如果有一个实数λ，使b＝λa，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)2a的长度是a的长度的2倍，且2a与a方向相同．(　　) (2)－的长度是a的长度的，且－与a方向相反．(　　) (3)若λ＝0，则λa等于零．(　　) (4)若λ＝，则λa是与a同向的单位向量．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(多选题)已知实数m，n和向量a，b，下列说法中正确的是(　　) A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na C．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na(a≠0)，则m＝n 解析　易知A和B正确；C中，当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故C不正确；D中，由ma＝na，得(m－n)a＝0，因为a≠0，所以m＝n，故D正确． 答案　ABD 3．已知|a|＝4，|b|＝8，若两向量方向同向，则向量a与向量b的关系为b＝________a. 解析　由于|a|＝4，|b|＝8，则|b|＝2|a|， 又两向量同向，故b＝2a. 答案　2 4．若＝3，则直线AB与直线CD的位置关系为________. 解析　由题设知与为共线向量． 答案　重合或平行 题型一　向量的线性运算 　(1)计算： ①4(a＋b)－3(a－b)－8a； ②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)； ③. (2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)． [解析]　(1)①原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a＝－7a＋7b. ②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c. ③原式＝ ＝＝a－b. (2)原式＝a－b－a＋b＋2b－a＝a＋b＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j)＝i＋j＝－i－5j. 向量线性运算的基本方法 (1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． (2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算. [触类旁通] 1．若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝________. 解析　由2－(c＋b－3y)＋b＝0，得2y－a－c－b＋y＋b＝0，即y－a－c＋b＝0.所以y＝a－b＋c. 答案　a－b＋c 题型二　用已知向量表示其他向量(一题多变) 　如图，ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，试用e1，e2表示下列向量． (1)＝________； (2)＝________. [解析]　因为∥，||＝2||， 所以＝2，＝. (1)＝＋＝e2＋e1. (2)＝＋＋＝－－＋＝－e1－e2＋e1＝e1－e2. [答案]　(1)e2＋e1　(2)e1－e2 [母题变式] (变条件)在本例中，若将“＝e1，＝e2”改为“＝e1，＝e2”，其他条件不变，试用e1，e2表示向量. 解析　因为＝＋＋，＝＋＋， 所以2＝(＋)＋＋＋(＋)． 又因为M，N分别是DC，AB的中点， 所以＋＝0，＋＝0. 所以2＝＋， 所以＝(－－)＝－e2－e1. 用已知向量表示其他向量的方法 (1)直接法 (2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程. [触类旁通] 2．(2022·新高考全国卷Ⅰ)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝(　　) A．3m－2n　　　　 B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n 解析　因为＝＋，＝－，又3＝，所以＝－2＋3，即＝－2m＋3n.故选B. 答案　B 题型三　向量共线定理及其应用 　已知非零向量e1，e2不共线． (1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线． (2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值． (1)[证明]　因为＝e1＋e2， ＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5. 所以，共线，且有公共点B， 所以A，B，D三点共线． (2)[解析]　因为ke1＋e2与e1＋ke2共线， 所以存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 则(k－λ)e1＝(λk－1)e2， 由于e1与e2不共线， 只能有所以k＝±1. [素养聚焦]　通过共线向量定理及其应用，把直观想象、逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． 向量共线定理的应用 (1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行． (2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若＝λ，则与共线，又与有公共点A，所以A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法. [触类旁通] 3．(1)(多选题)(2023·阜阳高一期中)已知点O是△ABC的重心，则下列等式正确的有(　　) A.＋＋＝0 B.＝ C.＝ D.＋＝ (2)已知＝－，若记＝λ，则λ＝________. 解析　(1)记D为BC中点，则O为AD靠近点D的三等分点． 因为 ＋＝2 ，＝－2， 所以＋＋＝0，A正确； 又 ＋＝2，＝， 所以＝，B正确，C错误； 又＋＝2，＋＝2＝6，所以 ＋＝，故D错误．故选AB. (2)＝－ ＝－， ∴＋＝－ ＝， 则有＝－＝， ∴λ＝. 答案　(1)AB　(2) [缜密思维提能区]　　　　　　　　　　　　　　易错案例　　 忽略三等分点的多种结论 [典例]　三角形ABC中，点D为BC的三等分点，设向量a＝，b＝，用向量a，b表示＝________. [解析]　因为D为BC的三等分点， ＝＋(－) 如图2，＝， 所以＝＋ ＝＋(－) ＝＋＝a＋b. [答案]　a＋b或a＋b [纠错心得]　(1)本题出错的根本原因是忽视了三等分点是两种情况，应有＝或＝，解题时条件转化要全面准确． (2)用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量线性运算的反复应用． 知识落实 技法强化 向量数乘的定义、几何意义、运算律，向量共线定理. 1.一般地，如果存在实数λ，使得＝，则与平行且有公共点A，从而A，B，C三点一定共线. 2.易错点 ①数乘向量λa，当λ＝0时，λa＝0，而非数0. ②忽视向量共线与三点共线的区别，没有说明向量有公共点. 学科网（北京）股份有限公司 $$