9.2.1 第2课时 向量的减法运算 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

第2课时　向量的减法运算 学业标准 素养目标 1.能用相反向量说出向量减法的意义．(难点) 2.掌握向量的减法运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算．(重点) 3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算．(易混点) 1.类比数的运算，探究向量减法运算和三角形法则，培养数学抽象和数学建模等核心素养. 2.通过向量加法进行向量的减法运算，提升数学运算和逻辑推理等核心素养. [教材梳理] 导学 向量加减法 1.向量减法的定义 若b＋x＝a，则向量x叫作a与b的差，记为a－b.求两个向量差的运算，叫作向量的减法． 2．几何意义 如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b.则向量a－b＝. 即当向量a，b起点相同时，从b的终点指向a的终点的向量就是a－b. 3．性质：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即a－b＝a＋(－b).[基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)△ABC中，＝a，＝b，则＝a－b.(　　) (2)两个相等向量的差是零．(　　) (3)任意两个向量的差都能用三角形法则表示．(　　) (4)向量的减法是向量加法的逆运算．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(多选题)在平行四边形ABCD中，下列结论正确的是(　　) A.－＝0　　　　 B.－＝ C.－＝ D.＋＝0 答案　ABD 3.－＝________. 解析　－＝. 答案　 4.＋－＝________. 解析　＋－＝＋＝. 答案　 题型一　向量减法的几何意义(一题多解) 　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. [解析]　法一　如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，连接BC， 则＝b－c. 过点A作AD綊BC，连接OD， 则＝b－c， 所以＝＋＝a＋b－c. 法二　如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，连接OB，则＝a＋b， 再作＝c，连接CB， 则＝a＋b－c. 法三　如图③，在平面内任取一点O， 作＝a，＝b，连接OB，则＝a＋b， 再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. 求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． (2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量. [触类旁通] 1. 如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c. 解析　在平面内任取一点O， 作向量＝a，＝b，则向量＝a－b，再作向量＝c，则向量＝a－b－c. 题型二　向量的减法运算(一题多解) 　化简下列各式： (1)(＋)＋(－－)； (2)－－. [解析]　(1)法一　原式＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝. 法二　原式＝＋＋＋ ＝＋(＋)＋＝＋＋ ＝＋0. (2)法一　原式＝－＝. 法二　原式＝－(＋)＝－＝. 向量减法运算的常用方法 [触类旁通] 2．化简下列向量表达式： (1)－＋－； (2)(－)＋(－)． 解析　(1)－＋－＝＋－＝－＝. (2)(－)＋(－)＝＋＋＋＝＋(＋＋)＝＋0. 题型三　向量加减法的综合应用(一题多变) 　(1)在四边形ABCD中，＝，若|－|＝|－|，则四边形ABCD是(　　) A．菱形　　　　　　 B．矩形 C．正方形 D．不确定 (2)已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围． (1)[解析]　∵＝， ∴四边形ABCD为平行四边形， 又∵|－|＝|－|，∴||＝||. ∴四边形ABCD为矩形． [答案]　B (2)[解析]　∵≤|－|≤||＋||， 且||＝9，||＝6，∴3≤|－|≤15. 当与同向时，|－|＝3； 当与反向时，|－|＝15. ∴|－|的取值范围为[3,15]． [母题变式] 1. (变条件，变结论)将本例(2)的条件改为“||＝8，||＝5”，求||的取值范围． 解析　因为＝－，||＝8，||＝5， ≤|－|≤||＋||， 所以3≤||≤13， 当与同向时，||＝3； 当与反向时，||＝13. 所以||的取值范围是[3,13]． 2．(变条件，变结论)在本例(2)条件不变的条件下，求|＋|的取值范围． 解析　由≤|＋|≤||＋||，∵||＝6，||＝9， ∴3≤|＋|≤15. 当与同向时，|＋|＝15； 当与反向时，|＋|＝3. 3．(变条件，变结论)本例(2)中条件“||＝9”改为“||＝9”，求||的取值范围． 解析　＝－，又||＝||， 由≤|－|≤||＋||，∴3≤||≤15. [素养聚焦]　通过向量加减法的综合应用，直观想象、数学运算等核心素养体现在解题过程中． 要熟练掌握在三角形、平行四边形等常见图形中，各边对应向量以及对角线对应向量之间的关系，能够运用向量的加法与减法进行正确的表示，同时还要熟悉常见平面图形的几何性质，能够从向量的角度，运用向量语言进行表示. [触类旁通] 3．在四边形ABCD中，AB＝AD＝2，∠BAD＝120°，O为平面上一点，且满足＋＝＋，则四边形ABCD的面积为(　　) A．　 B．2　　　 C．4　　　 D．4 解析　∵＋＝＋，∴－＝－，即＝，∴BA綊CD， ∴四边形ABCD为平行四边形，又AB＝AD， ∴平行四边形ABCD为菱形． 如图，连接AC，∵∠BAD＝120°， ∴△ABC与△ACD均为等边三角形，∴四边形ABCD的面积为×2××2＝2，故选B. 答案　B [缜密思维提能区]　　　　　　　　　　　　　　易错案例　　 向量加、减法运算 [典例]　如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则OD＝________(用a，b，c表示)． [解析]　因为＝， [纠错心得]　向量加减法的几何意义的两个关注点 (1)重视向量知识与平面几何知识的结合：利用平面几何中线线平行、线段相等可以推出向量共线． (2)记准向量减法的几何意义：根据向量减法的几何意义作两个向量差的基本步骤是：作平移，共起点，两尾连，指被减． 知识落实 技法强化 向量减法的定义、几何意义，相反向量. 恰当的构造平行四边形，寻找|a|，|b|，|a±b|的关系，要灵活运用平面图形的性质. 学科网（北京）股份有限公司 $$